与圆有关的角的性质及应用

1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符 号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”， “csc”。便直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。 为 1949 年 至 今 ， 由 于 受 前 苏 联 教 材 的 影 响 ， 我 国 数 学 书 籍 中 “ cot” 改 “ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场 上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。 Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620 年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。 Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯· 劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。 Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐 章》一书。

例题 已知：如图所示，AE是△ABC外 接圆的直径，AD是△ABC的高。 求证：∠1=∠2。 A
1
2
．O B
D
E
C
A
1
2
．O
B D E C
A
1 2
．O B C
D
E
总结
1.直径所对的圆周角是90度； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半； 4.相似三角形的判定和性质； 5.同角或等角的余角相等。
情
B C
A
分析：
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比
A的对边 a sin A 斜边 c
1 sin A sin 30 2

斜边 A
c
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2

例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
BC AB
与
B'
B' C ' A' B '
有什么
A
C
A形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值．
正弦函数 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住 B sinA 即
不用辅助线能寻找解题的可行途径吗？

证明： ∵AB+BE=半圆AE ∴半圆AE所对的圆周 角是90° ∵弧AB对∠1，弧AB 对∠C ∴ ∠1+∠C=90° 又∵ ∠2+ ∠C=90° ∴ ∠1= ∠2
⌒ ⌒ AB+BE
A
1 2
．O B D E C
如果把原题目的题设和结论互换一下,会如何?
1已知：如图所示，⊙O是△ABC 的外接圆,∠1=∠2。 求证： AE是△ABC外接圆的直径； AD是△ABC的高。
B
A
C
3.已知在RT△ABC中,∠C=900,D是BC 中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE= 4 5 AE=7,求DE的长.
A E B C
D

小资料
三角函数符号最早的使用
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导 人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等 于 1 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A
2 的对边与斜边的比都等于 2
2
，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝ 90°，∠A＝∠A'＝α，那么 关系．你能解释一下吗？
B 3 B 13
5
A C 4 C
A
(1)
(2)
例2、如图，在△ABC中， AB=BC=5， sinA=4/5，求△ABC 的面积。
B 5 A D 5 C
1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0) 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____ 2.在RT△ABC中,∠C=900,AD是BC边上 的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____. 3.在 RT△ABC中, a 3 b 3 则sin∠A=___.
已知：如图1所示，AE是△ABC外接圆的 直径，AD是△ABC的高。 A AD 求证：sinB×sinC=
AE
1 2
．O B D E C
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的 机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬 境 水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水 探 平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为 究 35m，那么需要准备多长的水管？
1 值都等于 2
如图，任意画一个Rt△ABC， A 使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC ， AB 你能得出什么结论？ C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时， 不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边 与斜边的比都等于 2
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当
1
A
2
．O B D E C
2 已知：如图所示，AE是△ABC外接圆的直
径， ∠1=∠2。 求证： AD是△ABC的高。
A
1 2
．O
3已知：如图所示， AD是△ABC高,∠1=∠2。 D 求证： AE是△ABC外接圆的直径。 E
B
C
1.小结 学习了这节课，你有什么感受？ 2.布置作业 相关习题。