2002年高等数学竞赛试题
江苏省第六届(2002年)高等数学竞赛(本科三级、民办本科)试题
江苏省第六届（2002年）高等数学竞赛本科三级，民办本科竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）0e 1.lim(0k _____,____.x kx c c c x →-=≠==设），则+++2.f(x)lim f ()0,f(x)B. lim f ()0,f(x)C. lim f ()=1,f(x)x x x x x x '→∞'→∞'→∞∞=∞≠∞∞设在[1,+)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若则在[1,+)上有界若则在[1,+)上无界若则在[1,+)上无界3.e ()1y=y(x),y (0)_______.y x y x x -"+-=+=设由确定则4.(arcsin arccos )____________.x x dx -=⎰45.________________.+∞=⎰2z 6.()(,sin ),g ______________.xy z f g e y f x x y∂=+=∂∂的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则21307.dx (,)____________.xxf x y dy -=⎰⎰交换积分次序28.x 5y +=2函数f(x,y)=2x-y+1满足方程的条件极大值为____,条件极小值为____.二、（8分）设()f x +∞在[0，）上连续且单调减少，0a b <<，证明：0()().aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰bak f -+-+k ≥∞∞∞∞设f(x)=kx+sinx.(1)若1，求证：(x)在（，）上恰有一个零点;(2)若0<k<1,且f(x)在（，）上恰有一个零点，求常数的取值范围.四、（8分）201sin e .1cos xxdx xπ++⎰求设,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试讨论(,)f x y 在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。
2002江苏省高校第6届高等数学赛试题与评分标准
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xk x e e c c x →-=≠，则k =3，c =132. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 C A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=3-4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰arcsin arccos arcsin )2x x x x x x C ⋅+-++5. 曲线22222z x y x y y ⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为1122x y t z t=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩6.设(),sin x y z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂12321cos xy f f g y e x x'''--+⋅ 7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰12133012(,)(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx -++⎰⎰⎰⎰⎰8.幂级数111112n n x n∞=+++∑的收敛域[1,1)-二.（8分）设40tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-证：令tan x t =，1120011tan 12222n nnn t t I xdx dt dt t t n n π==<=<+-⎰⎰⎰，(2)n ≥ 11220011112(1)n nn t t I dt dt t n =>=+++⎰⎰ 三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0bbx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点. 解：令()()xaF x f t dt =⎰，()a x b ≤≤，则()()0F a F b ==，且()()F x f x '=。
2002级高数竞赛试卷
b a
f x dx f a b a
b a 2 。 （8 分）
2
五、设 f u , v 具二阶连续偏导，且满足 （8 分）
2 f 2 f 2 z 2 z 2 2 ，令 ，试证： 0 z f x y , 2 xy 0。 u 2 v 2 x 2 y 2
1 x y 1 y f xy dx y y f xy 1 dy
2 2 L 2
。 （8 分）
九、求 1
1 1 1 （8 分） 的和。 3 5 7
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参考答案
一、 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
1 5 x3 6 x 2 9 x 2
f x
1 100 ，则 f 0 1 x2
。
5.
arctan e x e2 x dx
。
x
6.
x 1 x e
1 2003 1
e x dx
。
7.
f x
x
1
ln t 1 dt ，则 f x f 1 t x
4
提示：考虑 S x
2n 1
n0
1 n x 2 n 1
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。
8.
设 f x 连续， F t
2
x y t
f x
2 2
2
y 2 dxdy t 0 ，则 F t
。
9.
已知平面过直线
x y 0 且平行另一直线 x y z ， 则该平面方程为 x y z 2
2002年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2002年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2002*1、函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是A.()1,-∞-B. ()1,∞-C. ()+∞,1D. ()+∞,3 ◆答案：A★解析：由0322>--x x 解得1-<x 或3>x ，由复合函数的单调性可得选A2002*2、若实数y x ,满足22214)12()5(=-++y x ，则22y x +的最小值为 。
A.2B. 1C. 3D. 2◆答案：B★解析：22214)12()5(=-++y x 可以看成以()12,5-为圆心，14为半径的圆，22y x +表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为13，所以11413222=-=+y x ，故选B2002*3、函数221)(xx x f x --=A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数 ◆答案：A★解析：计算出)(x f -的表达式整理到最简后对比即可发现，2002*4、直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3，这样的点P 共有A.1个B. 2个C. 3个D. 4个◆答案：B★解析：设()θθsin 3,cos 41P (20πθ<<)，即点1P 在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形AOBP 1的面积S 。
可得⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 26πθS ，可知26max =S ，又6=∆OAB S 可知()3626max1<-=∆ABP S所以点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有 两个点P ，故选B 。
2002*5、已知两个实数集合{}10021,,,a a a A =与{}5021,,,b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ 则这样的映射共有A.50100C 个B. 4899C 个C. 49100C 个D. 4999C 个◆答案：D★解析：不妨设5021b b b <<< ，将A 中元素10021,,,a a a 按顺序分为非空的50组，定义映射B A f →:，使得第i 组的元素在f 之下的象都是i b (50,,2,1 =i )，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
2002年全国高中数学联赛试题3
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。
（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k≤10）有个。
2002年全国高中数学联赛试题及参考标准答案
２002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分,每小题6分）1、函数ｆ(x)=ｌｏg1/２(x2-2x-３）的单调递增区间是（）。
（A)（－∞,－１)（Ｂ)（－∞,１)(C)(1，＋∞)(D）（3, +∞)2、若实数ｘ,y满足(x＋5)2＋（y-12)２=１4２，则x2＋y2的最小值为( ）。
(A)2（B)1 （C）√3 (D)√23、函数ｆ（x)＝x/1-2x－x/2（)(A)是偶函数但不是奇函数（B)是奇函数但不是偶函数（C)既是偶函数又是奇函数（D)既不是偶函数也不是奇函数４、直线x/4+y/3＝１与椭圆x２/16+ｙ２/9=1相交于Ａ，B两点，该椭圆上点Ｐ,使得ΔPAＢ面积等于３,这样的点P共有（）。
(A）１个（Ｂ)2个（C）3个（D)4个５、已知两个实数集合A=｛a１,ａ２,…，ａ1０0}与B={ｂ1,b2,…，ｂ50},若从A到B的映射ｆ使得B中每个元素都有原象，且f（a1）≤f(a２)≤…≤f(a１00)则这样的映射共有()。
(A)C50１00（B)C４899(C）C4９１0０（D）C499９6、由曲线x2＝4y,ｘ2＝－4ｙ，x=4,x=－4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足ｘ２+y2≤16,ｘ2+(y-2）2≥4，ｘ２+(y+２)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V２，则(）。
（A)V１=（1/2）V2 (Ｂ)V1=（2/3)V２（C)V1=V2（D)V1=2Ｖ2二、填空题(本题满分5４分,每小题９分)7、已知复数Z1，Ｚ２满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝３,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Ｚ2)／(Z１＋Z２)∣＝。
8、将二项式（√x＋1/（２４√x))n的展开式按ｘ的降幂排列,若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点Ｐ1,Ｐ2,…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pｉ,Ｐｊ,P k)(1<i＜j＜k≤10)有个。
2002年浙江省数分高数竞赛试题及解答
2002一．计算题(每小题5分，共30分)1．求极限01cos lim (1)(11)x x xe x →--+-。
2．求积分|1|Dxy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
4．设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xx xe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。
5．设211arctan 2nn k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x xx e dx x++-⎰。
二． （15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积。
三． （20分）证明：220sin()0x dx π>⎰。
四．（20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续的偏导数，且(0,1)(1,0)f f =。
证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0y f x y x f x y x y∂∂-=∂∂。
五．（15分）设11a =，21a =，2123n n n a a a ++=+，1n ≥，求1nn n a x ∞=∑的收敛半径，收敛域及和函数。
2002一、计算题1. 求极限()()1cos lim111xx xex →--+-.解：原式()()()01cos 11lim1xx x x ex→-++=-()201c o s2l i m 1xx x x xe →-=-12112=⋅⋅=. 2. 求积分1DI xy dxdy =-⎰⎰，()11,:2,222D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭.解：记(){}1,:,1D x y xy D xy =∈≥，(){}2,:,1D x y xy D xy =∈≤，()()1211D D I xy dxdy xy dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰()()1222111122211x xdx xy dy dx xy dy =-+-⎰⎰⎰⎰222112222211111111222222x dx x dx x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰2211221*********x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰212171582x dx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰2217111512l n 2l n 2822222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭152ln 264=+. 3. 设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数a ，b ，c ，h .解：()22x y x x e '=+，()242x y x x e ''=++，代入方程，得()()21422x hx a b x a x e ce ⎡⎤+++++=⎣⎦，于是 1242010h c a a b =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩，故2a =-，1b =，2c =，1h =.4. 设()f x 连续，且当1x >-时，()()()20121xx xe f x f t dt x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦+⎰，求()f x . 解：由条件可知()00f =，()()()2211xx f t dt xe x -'⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰，()()()()21111x xt f t dt te d t -+-=-+⎰⎰()11xxt xe x e dt -=-++⎰()111xxxe x e -=-++-11x e x=-+， ()()211xxe f t dt x +=+⎰，()011x x e f t dt x +=±+⎰，()()23221xxef x x =±+.5、 设211arctan2nnk S k==∑，求lim n n S →∞. 解：利用公式arctan arctan arctan 1x yx y xy--=+，2111a r c t a n a r c t a n a r c t a n 22121k k k =--+， 211arctan 2nn k S k ==∑111arctan arctan 2121nk k k =⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∑1a r c t a n 1a r c t a n 21n =-+，lim 4n n S π→∞=;211arctan24k k π∞==∑. 由2211arctanarctan arctan 441222k k k k=--+-， 得2221arctanarctan 4412k k k ∞==-+∑. 6. 计算积分121211x x I x e dx x +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰.解法一 因为111x x x e x +⎛⎫+- ⎪⎝⎭111x x x x e x e x ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1x x xe +'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1212x xIxe dx +'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 21521232x x xe e +⎛⎫== ⎪⎝⎭. 解法二112211221x x xx I edx x e dx x ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰11221122x x xxedx xde++=+⎰⎰211122111222x x x xxxedx xee dx +++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰5232e =.解法三 分析：观察被积函数的特点，令1u x=做代换，利用定积分的“递推方法”求I , 令1u x=，则 11222111u u I u e du u u +⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰112211u u u e d e u ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰1111112222222111111u u uu u u u e e u e e du e e du u u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰1111522222211311u u u u e u e du e du u u ++⎛⎫⎛⎫=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰11152221221131u u u u e u e du e d u u u ++⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰1152223u u e I e +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭523e I =-，所以5232I e =.二、求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积.解：112z x y =+-，()22,:149x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()()221x y DS z z dxdy =++⎰⎰221112D dxdy ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰32D d x d y =⎰⎰ 32392ππ=⋅⋅⋅=.三、证明：()220sin 0x dx π>⎰.证明：令2x u =，则()2221sin sin 2x dx u du uππ=⋅⎰⎰201s i n s i n 2u u du du u u πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()00sin 1sin 2t u du dt u t ππππ+⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰001sin sin 2u u du du u u πππ-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰0111s i n 2u d u uu ππ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰ 0>. 同理可证20sin 0xdx xπ>⎰. 四、设二元函数(),f x y 有一阶连续的偏导数，且()()0,11,0f f =，证明：在单位圆周上至少存在两点满足方程()(),,0y f x y x f x y x y∂∂-=∂∂. 证明：令cos x θ=，sin y θ=，()()cos ,sin F f θθθ=，()02θπ≤≤；因为(),f x y 有一阶连续的偏导数，所以()F θ可导.()()sin cos f f f fF y x x y x yθθθ∂∂∂∂'=-+=-+∂∂∂∂， 由条件，得()()01,0F f =，()0,12F f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()21,0F f π=,()02F F π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22F F ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用罗尔中值定理，得存在10,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10F θ'=，存在2,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20F θ'=， 即得在单位圆周上至少存在两点满足方程()(),,0y f x y x f x y x y∂∂-=∂∂. 五、设11a =，21a =，2123n n n a a a ++=+，()1,2,n =，求1n n n a x ∞=∑的收敛半径，收敛域及和函数. 解：由条件可知， ()2113n n n n a a a a ++++=+，()21133n n n n a a a a +++-=--，于是()2121332n n n n a a a a +++=+=，()()()212131321nnn n a a a a ++-=--=--，从而()()14231nn n a +=+-，()()11312nnn a +=+-，()1,2,n = 因此()()111312n n n a --=+-，()1,2,n =.因为()111133limlim 3113nn n n n n na a -+-→∞→∞-+==⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以收敛半径13r=； ()111111312n nn n n n n n n a x x x ∞∞∞--===⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑的收敛域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()11111111312n nn n n n n n n a x x x x ∞∞∞----===⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 1112131x x x ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭.（五）、设{}n a ，{}n b 为满足1n n a b n e a e +=+，()1,2,n =的两个实数列，已知0na >，()1,2,n =，且1n n a ∞=∑收敛. 证明：1n n b ∞=∑也收敛.证明：由1nn a∞=∑收敛，得lim 0nn a →∞=，由1nn b a n e e a +=-，得 lim 0n n b →∞=，由1n n n a b b n e a e e +=+>，得 1n n a b +>，显然()111n na b nn n eea+∞∞==-=∑∑收敛，因为111limlim 1n n nn n a b n n a b e e e ξ++→∞→∞-==-，所以()11n n n ab ∞+=-∑收敛，()11n n n n b a a b ++=--，11n n n n b a b a ++≤-+，于是1nn b∞=∑收敛，1nn b∞=∑收敛.或者()()1ln ln 1n nb b n n n n a e a b a e -+=+=++，()1ln 1limlim 1nb n n n n n nna e ab a a -+→∞→∞+-==，()11n n n a b ∞+=-∑收敛，从而1n n b ∞=∑收敛.（五）、设0na >，()1,2,n =，且nna b n ea e=+，()1,2,n =，若1n n a ∞=∑收敛.，试证1nn nb a ∞=∑收敛.证明：由1nn a∞=∑收敛，得lim 0nn a →∞=，由nn b a n ee a =-，得 lim 0n n b →∞=，因为()22ln lim lim lim n na n n nn n n n n nb e a a b a a a →∞→∞→∞-==()20ln 1lim 2x x e x x +→-==， 又1n n a ∞=∑收敛，所以1nn nb a ∞=∑收敛.（五） 、设0na >，()1,2,n =，1n n a ∞=∑收敛，且nn n aa b n e a e +=+，()1,2,n =，证明：1nn b∞=∑也收敛.证明：由1nn a∞=∑收敛，得lim 0nn a →∞=，再由nn n a a b n e a e +=+，得 lim 0n n b →∞=，()ln n a n n na b e a +=-，()ln n a n n n b e a a =--，()()10ln ln limlim 0n a xnn x ne a ex a x++→∞→--==，()1ln na nn ea ∞=-∑收敛，所以1nn b∞=∑收敛，1nn b∞=∑收敛.()ln n a n n na b e a +=-，因为2lim lim n nn n nn n n na b a a ba a →∞→∞++=()()220ln ln 1limlim 2n a xnn x ne a ex a x +→∞→--===， 所以1nnn n a b a ∞=+∑收敛，1n n nb a ∞=∑发散.。
2002电子科大高等数学竞赛试题与解答
12002电子科大高等数学竞赛试题与解答一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.1．设)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，且为非零偶函数，⎰=Φxdt t f x 0)()(，则)(x Φ（B ）.（A ）是偶函数； （B ）是奇函数；（C ）是非奇非偶函数；（D ）可能是奇函数，也可能是偶函数.2．设)(x f 在] ,[b a 上连续，且0)(=⎰badx x f ，则………………………………（D ）.（A ）在) ,(b a 内不一定有x 使0)(=x f ； （B ）对于] ,[b a 上的一切x 都有0)(=x f ；（C ）在] ,[b a 的某个小区间上有0)(=x f ；（D ）在) ,(b a 内至少有一点使0)(=x f .3．已知当0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''…………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0；（B ）等于21；（C ）等于1； （D ）不存在.4．设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2)(limx x x y x -→…………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0； （B ）等于1；（C ）等于2；（D ）不存在.5．设直线L ：⎩⎨⎧-=---=++3102123z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （C ）.（A ）π//L ； （B ）L 在π上；（C ）π⊥L ； （D ）L 与π斜交.6．设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式),(),(2221y x f y x f <成立的条件是………………………………………………………………（A ）.（A ）21x x >，21y y <； （B ）21x x <，21y y <；2（C ）21x x >，21y y >；（D ）21x x <，21y y >.7．设S 为八面体1||||||≤++z y x 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D ）.（A ）02=⎰⎰Sdydz y ；（B ）0 =⎰⎰Sdydz y ；（C ）02=⎰⎰Sdydz x ；（D ）0 =⎰⎰Sdydz x .8．设常数0>λ，则级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12 tan )1(n n n πλ是……………………（A ）.（A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性与λ有关9．设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且O =AB ，则A 和B 的秩…………………………（D ）.（A ）必有一个等于零；（B ）都等于n ；（C ）一个小于n ，一个等于n ；（D ）都小于n .10．设A 是3阶可逆矩阵，且满足062=--E A A ，144||*=A （*A 为A 的伴随矩阵），则A 的三个特征值是…………………………………………………………………（C ）.（A ）3，3，2-； （B ）3-，3-，2； （C ）3，2-，2-； （D ）3-，2，2.二、（8分）设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且31)(1 lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.[解] 0])(1ln[lim 3])(1ln[lim])(1[lim 0031=++⇒=++⇒=++→→→xx f x x x x f x e xx fx x x xx00)0()(lim )0(')0(0)(lim 0)(lim000=--=⇒==⇒=⇒→→→x f x f f f x f x x f x x x由等价无穷小得40)0(')('lim )0("22)('lim 2)(lim 3)(lim00200=--=⇒=⇒=⇒=+→→→→x f x f f x x f x x f x x x f x x x x x（或由泰勒公式得4)0("2])(0)0("21[lim )0)((0)0("21)(22022=⇒=+⇒→+=→f xx f x x x f x f x ）三、（8分）设2)1arcsin()(-='x x f 及0)0(=f ，求⎰1)(dx x f .[解]⎰⎰⎰⎰---=---=-=1 0111210)1arcsin()1()(')1()]()1[()1()()(dx x x dx x f x x f x x d x f dx x fux =-1令⎰⎰⎰-------=-=-10 1 430122220 1 2]12arcsin [21arcsin 21arcsin du u u u u du u du u u3]12[210 1 4--+-=t π214-=π.四、（8分）设函数),(y x u 满足0=-yy xx u u 与x x x u =)2 ,(，2)2 ,(x x x u x =，求)2 ,(x x u xx ，)2 ,(x x u xy ，)2 ,(x x u yy （x u 表示u 对x 的一阶偏导数，其他类推）.[解]等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得1)2,(2)2,(=+x x u x x u y x2)2,(x x x u x = .)1(21)2,(2x x x u y -=∴ 这两个等式,对x 求导得x x x u x x u xy xx 2)2,(2)2,(=+, .)2,(2)2,(x x x u x x u yy yx -=+由已知条件得yx xy yy xx u u u u ==,,故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35=. 五、（8分）设向量组1α，2α，…，s α是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组0=AX 的解，即0≠βA ，试证明：向量组β，1αβ+，2αβ+，…，s αβ+线性无关.[证]设有一组数s k k k k ,,,,21 使得∑==++si i k 10)(αββ,即∑∑==-=+si i i si i k k k 11)()(αβ两边左乘A ,得∑∑===-=+si ii s i i A k A k k 110)()(αβ 0≠βA ,∑==+∴si ikk 1∑∑===+=-∴si s i i iik k k 110)()(βα,即∑==si ii k 10α,s ααα,,21 为0=AX 的基础解系0021=⇒====∴k k k k s 。
2002年—2010年浙江省(经管类)高等数学竞赛试题
2002.12.7年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）题 号 一二三四五六总分得 分 评卷人一．计算题（每小题5分，满分30分）1． 1．1．求极限01cos lim (1)(11)x x xe x →--+-。
2．求积分|1|Dxy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
学校姓名准考证号 专业装订线4．设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xxxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。
5．设211arctan 2nn k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x xx e dx x++-⎰。
学校姓名准考证号专业装订线二．（本题满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积。
三．（本题满分20分）证明：220sin()0x dx π>⎰。
四．（本题满分20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续偏导数，且(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yf x y x f x y x y∂∂-=∂∂。
学校姓名准考证号 专业装订线五．（本题满分15分）（非数学类做）设{},{}n n a b 为满足1,1n na b n ea e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛.证明：1nnn b a ∞=∑也收敛。
六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，0)0(='f ，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求n n n x a ∞=∑1的收敛半径、收敛域和函数。
2002年上海市高中数学竞赛
a 2 +b 2 ab a °∑2002 年上海市高中数学竞赛说明 :解答本试卷不得使用计算器 .一、填空题(每小题 7 分 ,共 70 分) x 2 y 2 1. 一个正 △ABC 内接于椭圆+= 1 ,顶点 A 二、(本题 16 分)已知数列{ a n } 、{ b n }都是等差数列 , S n = a 1 + a 2 94+ + a n , T n = b 1 + b 2 + + b n ,且对一切正整数的坐标为(0 ,2) ,过顶点 A 的高在 y 轴上. 则此正三角 S n 3 n + 31 形的边长为 . sin θcosθ cos 2θ n , T n = 31 n + 3.b2. 已 知 x 、y 为 正 数 , 且 x= y , x 2(1) 求 28的值 ;28 sin 2θ 10 x+y2=3 ( x 2 + y 2 ). 则 y 的 值 为 . 3. 袋里装有 35 个球 ,每个球上都记有从 1 到 35n 2的一个号码 ,设号码为 n 的球重 3- 5 n + 23 克 ,这些球以同等的机会(不受其重量的影响) 从袋里取出. 若同时从袋内任意取出两球 ,则它们重量相等的概率为 (用分数作答) .4. 已知正四棱台的上底、下底及侧面 (四个等腰梯形) 的面积之比为 2∶5∶8. 则侧面与底面所成角的大 小 为 .5. 若对| x | ≤1 的一切 x , t + 1 > ( t 2 - 4) x 恒成立 ,则 t 的取值范围是 .6. 设实数 a 、b 、c 、d 满足 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 5. 则( a - b ) 2 + ( a - c ) 2 + ( a - d ) 2 + ( b - c ) 2 + ( b - d ) 2+ ( c - d ) 2的最大值是 .7. 函数 f 定义在正整数集上 , 且满足 f ( 1) = 2 002 和 f (1) + f (2) + + f ( n ) = n 2 f ( n ) ( n > 1) . 则 f (2 002) 的 值 是 .(2) 求使 b n为整数的所有正整数 n .n三、(本题 16 分)设 F 是所有有序 n 元组( A 1 , A 2 , , A n ) 构成的 集合 ,其中 A i (1 ≤i ≤n ) 都是集合{1 ,2 ,3 , ,2 002} 的子集 ,设| A | 表示集合 A 的元素的数目. 对 F 中的所有元素 ( A 1 , A 2 , , A n ) ,求| A 1 ∪A 2 ∪ ∪A n | 的总和 ,即| A 1 ∪A 2 ∪ ∪A n | .(A 1 ,A 2 , ,A n) ∈F 四、(本题 18 分) 纸上写有 1 ,2 , , n 这 n 个正整数 ,第 1 步划去 前面 4 个数 1 ,2 ,3 ,4 ,在 n 的后面写上划去的 4 个数 的和 10 ;第 2 步再划去前面的 4 个数 5 ,6 ,7 ,8 ,在最后 写上划去的 4 个数的和 26 ;如此下去(即每步划去前面 4 个数 ,在最后面写上划去的 4 个数的和) .(1) 若最后只剩下一个数 ,则 n 应满足的充要条件是什么 ?8. 已知函数 f ( x ) = 1 (2 x1 - x +(2) 取 n = 2 002 ,到最后只剩下一个数为止 ,所有 ,写出的数(包括原来的 1 ,2 , ,2 002) 的总和是多少 ?x ∈[ 2 , 4 ] . 则该函数的值域是 .9. 如图 1 ,在 △ABC 中 , ∠B 参 考 答 案= ∠C ,点 P 、Q 分别在 AC 和 AB 上 ,使得 A P = PQ = QB = BC . 则 1. 72 3312. 3 或 133.1 854. arccos 38∠A 的大小是 .5. 13 - 1 , 21 + 16. 207. 210. 棱长为 1 的正四面体 ,在平面 上 投 影 面 积 的 最 大 值 是图 18. 1 4 2 , 5 - 1 42 9. 20 10. 122 003a 2 +b 2 - u 2u ≤2 ab +c 2 +d 2 - v 2 1 ,2 cd 由柯西不等式 ,有( u + v ) 2 + ( u 1 + v 1 ) 2u 2v 2a 2+ b 2c 2+ d 222即+ 1≤ + . ≤( ab + cd ) u + v+ ( ab + cd ) abcdabcd2u 22+ 222ab cd u 2 v 2 u 2v 2同理 , v + 1 ≤cd +a +b .= + + 1 + 1≤2+ u 2211ab cd+ v c 2 + d 2 cd . 1 - 2 x + 2 x 2) a 一、cd ab cd ab ab cd ab cd(浙江大学数学系李胜宏提供)an n3n2002 年湖南省高中数学奥林匹克(2002Ο09Ο07 9 :00～11 :00)一、选择题(每小题6 分,满分36 分)1.定义在实数集R 上的函数y = f ( - x) 的反函数是y = f -1( - x) , 则( ) .(A)y = f ( x) 是奇函数(B)y = f ( x) 是偶函数(C)y = f ( x) 既是奇函数,也是偶函数(D)y = f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数f ( x )= ax2+ bx + c 的图像如图1 所示. 记N = | a + b + c |+ | 2 a - b| ,M = | a - b + c |+ | 2 a + b| . 则( ) . 图1(A) M > N (B) M = N(C) M < N (D) M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是( ) .(A) 4 或5 或6 或7 (B) 4 或6 或7 或8(C) 6 或7 或8 (D) 4 或5 或64.△ABC 中, 若( sin A + sin B ) ( cos A + cos B ) = 2sin C ,则△ABC ( ) .(A)是等腰三角形但不一定是直角三角形(B)是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)既不是等腰三角形也不是直角三角形(D)既是等腰三角形也是直角三角形5.△ABC 中, ∠C = 90°. 若sin A 、sin B 是一元二次方程x2+ px + q = 0 的两个根,则下列关系中正确的是( ) .a1 + a2 n - 1二、(1)a n = 2 =S2 n - 1 = 3 (2 n - 1) + 31 a ∈A1∪A2∪ ∪A n.于是,当计算数∑| A1∪A2∪∪A n|b n b1 + b2 n -1 T2 n - 1 31 (2 n - 1) + 3 (A ,A , ,A ) ∈F1 2 n2 =3 n + 14 , 31 n - 14 时,元素 a 被计算了(22 002 n - 22 001 n ) 次.既然{1 ,2 , ,2 002}有2 002 个元素,故故b28 = 31 ×28 - 14 = 31 ×2 - 1 = 61 .∑| A1∪A2∪ ∪A n|a28 3 ×28 + 14 3 ×2 + 1 7b 31 n - 14 (A1 ,A2 , ,A n) ∈F= 2 002 (22 002 n - 22 001 n ) .(2) ∵(3 n + 14 ,3) = 1 , ∴ n =n 3 n + 14为整数四、(1) 每经一步,纸上的数减少3 个,若n 个数Ζ 3 (31 n - 14) = 31 - 4763 n + 14 3 n + 14Ζ (3 n + 14) | 476.∵476 = 22 ×7 ×17 ,3 n + 14 ≥17 ,∴3 n + 14 = 17 ,28 ,34 ,68 ,119 ,238 ,476.∵n 为整数, ∴n = 1 ,18 ,35 ,154.三、∵{1 ,2 , ,2 002}有22 002 个子集,∴| F| = (22 002 ) n = 22 002 n .设a 是{1 ,2 , ,2 002}中某个固定的元素. 为了经p 步只剩下 1 个数,则n - 3 p = 1 ,即n = 3 p + 1.∴n 满足的充要条件是n 除以 3 余 1.(2) 假定原先有4 k 个数,其和为S ,当这4 k 个数划完,需4 k - 1 步,纸上剩下4 k - 1 个数,且这4 k - 1 个数的和等于原来4 k 个数的和S . 故当最后剩下1 个数时,所写出的数的总和为( k + 1) S .2 002 = 1 024 + 978 = 45 + 978. 原来2 002 个数经978= 326 步后, 剩下45 个数, 被划去的数是 1 ,2 ,3在A1∪A2∪ ∪A n中不含有 a ,则每个A i(1 ≤i ≤,1 304 (注意1 304 = 4 ×326) ,而纸上剩下的45 个n) 都不含有a. 因为{1 ,2 , ,2 002}的不含a 的子集有22 001 个,故使A1∪A2∪∪A 不含有a 的有序n 元组( A1, A2, , A ) 有( 22 001 ) n = 22 001 n 个, 从而有22 002 n - 22 001 n 个有序n 元组( A1, A2, , A ) , 使得数的和就是1 + 2 + + 2 002. 因此最后只剩下1 个数时,所写出的数的总和为(1 + 2 + + 1 304) + 6 (1 + 2 + 3 + + 2 002) = 12 880 878.(李大元、刘鸿坤、熊斌、叶声扬命题)为整数。
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1 大学数学竞赛试题参考答案
一、填空（每小题4分，共计32分）
1、已知)(x f 在),(∞+-∞内可导，且2
e )(lim ='∞
→x f x ，
(
)[])1()(lim lim --=-+∞
→∞
→x f x f a
x a x x x x ，则=a 。
2、设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞
→x
y
x lim。
3、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，则圆锥面的方程 为 。
4、已知0))(e (32='++''y x y y ，则方程的通解为 。
5、已知级数
∑∞
=1
n n
u
的一般项n u 与前n 项的和n s 有如下关系：
n n n n u s u s -=222（2≥n ），且21=u
则级数
=∑∞
=1
n n
u。
6、设∑∞
==12)(n n
n
x x f （10≤≤x ），则=-⋅+-+)1ln(ln )1()(x x x f x f 。
7、11269422222++-+++--+=
y x y x y x y x z 的最小值为 。
8、设Ω是由xy z = ，1=++z y x 与0=z 围成的区域，则
=⎰⎰⎰Ω
xdV 。
二、（7分）设函数)(x f 满足1)1(=f ，且对1≥x 时，有)
(1
)(22x f x x f +='，
证明： （1）)(lim x f x ∞
→存在，（2）4
π1)(lim +
≤∞
→x f x 。
三、（8分）设)(x f 在]1,0[上连续，且⎰=1
0d )(x x f ，⎰=10
0d )(x x xf ，…… ，
⎰
=-10
10d )(x x f x n ，⎰=1
1d )(x x f x n ，证明：存在]1,0[∈ξ，使
)1(2)(+≥n f n ξ
四、（8分）证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大。
2
五、设),(y x f 有二阶连续偏导数，θθθπd )sin ,cos (20
⎰
=
r r f u ，且
θθθπd )sin ,cos (d d 20⎰∂∂=r r f r r u ，θθθπd )sin ,cos (d d 2022
22⎰∂∂=r r f r
r u r f f 11211=''+''， 求 r u r
u r d d d d 22+ 的值。
六、（8分）设)(x f 在),1[∞+上有连续的二阶导数，0)1(=f ，1)1(='f ，且
二元函数 )()(2
2
2
2
y x f y x z ++= 满足 02222=∂∂+∂∂y
z
x z ，求)(x f 在),1[∞+的最
大值。
七、（7分）计算曲面积分y x y x xy x z x z xz z y z y yz d d )(d d )(d d )(-+-+-⎰⎰∑
，
其中∑是曲面224y x Rx z --=
（1≥R ）在柱面1)2
3(2
2=+-y x 之内部分的上侧。
八、（7分）设区域D 为122≤+y x ，证明
π52d d )(sin π16561322≤+≤⎰⎰y x y x D
九、（8分）设2
11)(x x x f --=，)0(!1)
(n n f n a =，证明级数∑∞
=++02
1n n n n a a a 收敛，并求其和。
十、（8分）计算曲线积分y y x x xy y x y x L
d )]ln([d 2222⎰
+++++
其中L 是曲线1+=x y 从点)2,1(A 到点)1,0(C 的部分。
3 7、 判别级数的敛散性
（1）∑∞
=12
n n
n
； (2) ∑∞
=-12
43n n
n
n
8、 求解微分方程 x y x
y =+'1
四、 证明题(6分)
设)(x f 连续，积分区域D 是由直线x y
=，1=y 及y 轴围成 ，试证明
2
10d )(21d d )()(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰x x f y x y f x f D。