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近轴光线计算
§1.3 光路计算与近轴光学系统一、基本概念与符号规则设在空间存在如下一个折射球面：r:折射球面曲率半径 o:顶点 L:物方截距 L':像方截距 u:物方孔径角 u':像方孔径角符号规则: 光线方向自左向右•（1）沿轴线段：以顶点O为原点，光线到光轴交点或球心，顺光线为正，逆光线为负。
•（2）垂轴线端：光轴以上为正，光轴以下为负•（3）光线与光轴夹角：由光轴转向光线锐角，顺时针为正，逆时针为负。
•（4）光线与折射面法线的夹角：由光线经锐角转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
•（5）光轴与光线的夹角：有光轴经锐角转向法线，顺时针为正逆时针为负。
•（6）折射面间隔:d有前一面顶点到后一面顶点方向，顺光线方向为正，逆光线方向为负。
二、实际光线的光路计算已知:折射球面曲率半径r，介质折射率为n和n'，及物方坐标L和U求:像方L'和U'解：△AEC中，由折射定律：又说明：以上即为子午面内实际光线的光路计算公式，给出U、L，可算出U’、L’，以A为顶点，2U为顶角的圆锥面光线均汇聚于A’点。
由上面推导可知：L’= f(L,U)、U’= g(L,U)，当L不变，只U变化时，L’也变。
说明“球差”的存在。
三、近轴光线的光路计算概念：近轴区、近轴光线公式：(5)式说明：在近轴区l’只是l的函数，它不随孔径u的变化而变化，轴上物点在近轴区成完善像，这个像点称高斯像点。
高斯像面：通过高斯像点且垂直于光轴的平面称为高斯像面共轭点：像上面提到的一对构成物象关系的点称为共轭点在近轴区有：由公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)可推出：(7)式中Q称为阿贝不变量，对于单个折射球面物空间与像空间的Q相等；(8)式表明了物、像孔径角的关系(9)式表明了物、像位置关系限制了光线与光轴的夹角,光线在折射面上的入射角,折射角等都很小.所有角度小于5°正切,正弦都可用该角度的弧度值代替.。
第八章 光线光路计算
2）近轴光：
n n i u ; i ' i u n' n' u ' i ' ; l ' l u l n ' u' n
1 l d 1 n u i 2 u i li 2 li l d i d i 1
d 2 , , Lk Lk 1 d k 1 L2 L1 d1 , L3 L2 , , U k U k 1 U 2 U 1 , U 3 U 2 , n3 n 2 , , n k n k 1 n2 n1
2. 物体位于有限距离
1）轴上点：L，U 2）轴外点： 各条光线和高斯面交点的高度为：
y 上光线：tgU a L L , La Lz tgU z z 主光线：U z , L z y 下光线： tgU , L L b b z L L tgU z z
二、光线光路计算过程
1. 给出或求出每个折射面的光学参数： l，l′，u，u′， L，sinU，L′， sinU′等 2. 由像差计算公式，计算各个折射面的像差贡献，了解整个光学系 统的像差。（像差公式与光学参数有关） 3. 轴上点及轴外点成像采用相同计算公式（近轴光或远轴光） 轴上点：物点位置l和孔径角u 初始坐标 轴外点：入瞳位置lZ和 视场角uZ
l tgU a Ya La l tgU z Yz L z Y L l tgU b b b
四、光线经过平面时的光路计算
1. 远轴光计算公式：
n I U ; sin I ' sin I n' U ' I ' ; L' L tg U tgU
n n i u ; i ' i u n' n' u ' i ' ; l ' l u l n ' u' n
1 l d 1 n u i 2 u i li 2 li l d i d i 1
d 2 , , Lk Lk 1 d k 1 L2 L1 d1 , L3 L2 , , U k U k 1 U 2 U 1 , U 3 U 2 , n3 n 2 , , n k n k 1 n2 n1
2. 物体位于有限距离
1）轴上点：L，U 2）轴外点： 各条光线和高斯面交点的高度为：
y 上光线：tgU a L L , La Lz tgU z z 主光线：U z , L z y 下光线： tgU , L L b b z L L tgU z z
二、光线光路计算过程
1. 给出或求出每个折射面的光学参数： l，l′，u，u′， L，sinU，L′， sinU′等 2. 由像差计算公式，计算各个折射面的像差贡献，了解整个光学系 统的像差。（像差公式与光学参数有关） 3. 轴上点及轴外点成像采用相同计算公式（近轴光或远轴光） 轴上点：物点位置l和孔径角u 初始坐标 轴外点：入瞳位置lZ和 视场角uZ
l tgU a Ya La l tgU z Yz L z Y L l tgU b b b
四、光线经过平面时的光路计算
1. 远轴光计算公式：
n I U ; sin I ' sin I n' U ' I ' ; L' L tg U tgU
§1.3 光路计算与近轴光学系统
§1.3 光路计算与近轴光学系统一、基本概念与符号规则设在空间存在如下一个折射球面：r:折射球面曲率半径o:顶点L:物方截距L':像方截距u:物方孔径角u':像方孔径角符号规则: 光线方向自左向右∙（1）沿轴线段：以顶点O为原点，光线到光轴交点或球心，顺光线为正，逆光线为负。
∙（2）垂轴线端：光轴以上为正，光轴以下为负∙（3）光线与光轴夹角：由光轴转向光线锐角，顺时针为正，逆时针为负。
∙（4）光线与折射面法线的夹角：由光线经锐角转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
∙（5）光轴与光线的夹角：有光轴经锐角转向法线，顺时针为正逆时针为负。
∙（6）折射面间隔:d有前一面顶点到后一面顶点方向，顺光线方向为正，逆光线方向为负。
二、实际光线的光路计算已知:折射球面曲率半径r，介质折射率为n和n'，及物方坐标L和U求:像方L'和U'解：△AEC中，由折射定律：又说明：以上即为子午面内实际光线的光路计算公式，给出U、L，可算出U’、L’，以A为顶点，2U 为顶角的圆锥面光线均汇聚于A’点。
由上面推导可知：L’= f(L,U)、U’= g(L,U)，当L不变，只U变化时，L’也变。
说明“球差”的存在。
三、近轴光线的光路计算概念：近轴区、近轴光线公式：(5)式说明：在近轴区l’只是l的函数，它不随孔径u的变化而变化，轴上物点在近轴区成完善像，这个像点称高斯像点。
高斯像面：通过高斯像点且垂直于光轴的平面称为高斯像面共轭点：像上面提到的一对构成物象关系的点称为共轭点在近轴区有：由公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)可推出：(7)式中Q称为阿贝不变量，对于单个折射球面物空间与像空间的Q相等；(8)式表明了物、像孔径角的关系(9)式表明了物、像位置关。
(工程光学教学课件)第6章 光线的光路计算及像差理论
L'
n n' n'
r
如下图所示
该对无球差共扼点位置间的关系
n n′
-I A′ A C
I
A C A′ n n′
n'L' nL
U ' I, U I'
ssiiU nU n' ssiinInI' nn' L L'
即这对共扼点不管孔径角U多大，比值 sU i'n /sU in L /L ' 始终保持常数，故不产生生球差，这一对共扼点称为不晕点(或 齐明点)。
1nn' ssiinU nU' 1LLl'z'
当物体位于无限远时：
h1 1 L'
f'sinU' L'lz'
4.正弦差的定义
轴上点和近轴点不满足等晕成像引起的成像不对称性。 用OSC’表征。 当物体位于有限远时：
1nsiU n L' OS'C n'siU n'Llz' 1
当物体位于无限远时：
OS'Cf'sh1iU n'L' Ll'z' 1
补充：五、光学设计的一般过程和内容 (了解)
(1) 成像要求：基本类型，视场，观测方式，景深，渐晕， 分辨率，仪器尺寸，其它要求等；
(2) 建立理想 基本光组数量，焦距，成像光路，物像共轭距、 系统模型：物像四要素，反射棱镜(用平行平板表示)等；
(3) 构造基本 按最低数量配置透镜，初步确定透镜的材料、 光学系统：形状、孔径、曲率半径等参数，配置必要光阑， 确定反射棱镜的形状和大小，其它器件等；
称球差。它由孔径引起。 L' L' l'
第一章第三节
球面近轴反射成像
成像放大率，把n’=-n代入折射面放大率公式：
β = y'/y = -l'/l α= dl’/dl = -l’2/l2 = -β2 γ = u/u’ = -1/β
当物点位于球心时，放大率公式
β = -1 α= -1 γ = 1
拉赫不变量uy = -u’y’ = J
球面近轴反射成像
共轴球面系统
对于宽光束的计算公式，只需将相应的小写字 母改写为大写字母：
L2=L’1-d1, L3= L’2-d2,…,LK=L’K-1-dK-1 U2=U1’, U3=U2’,...,UK=U’K-1 Y2=Y1’, Y3=Y2’,...,YK=Y’K-1 n2=n1’, n3=n2’,…,nK=n’K-1
轴向放大率讨论
与垂轴放大率的关系是α = （n'/n）β2 轴向放大率恒为正，当物点沿轴向移动时，其像点也 沿光轴同方向移动。 轴向放大率与垂轴放大率不等，空间物体成像要变形。
近轴折射成像的放大率-角放大率
一对共轭光线与光轴的夹角u’与u之比值，用 γ来表示，即 γ = u’/u 由l’u’ = lu，得 γ = l/l’ = (n/n’)(1/β) 角放大率表示折射球面对光束变宽或变细的能 力。 角放大率只与共轭点的位置有关，而与光线的 孔径角无关。
符号规则
沿轴线段：（如L、L′、r）规定以折射面顶点O为原点， 由原点到光线与光轴交点的方向和光线传播方向相同者 取值为正，反之为负。又规定光线传播方向为自左向右， 所以，自原点向右为正，向左为负。 垂轴线段：（如光线矢高h）以光轴为基准，在光轴上 为正，在光轴下为负。 光线与光轴夹角：（如U、U′）用光轴转向光线所形成 的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负。 光线与法线的夹角：（如I、I′、I″）由光线以锐角 方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
光路计算与近轴成像
四、单个折射球面成像的放大率
三者之间关系
4、拉格朗日-赫姆霍兹不变量
J nuy nuy
表征了光学系统的性能，是光学系统的重要指标。 与阿贝不变式不同，它不仅适用于单个折射面，以后将 会看到，它适用于整个光学系统。
四、单个折射球面成像的放大率
三者之间关系
4、拉格朗日-赫姆霍兹不变量
J nuy nuy
2. 转面(A1’---A2)
u2 = u1 ˊ n2=n1’ l2 = l1’-d
3. 由A2，再用L公式，求像点A2’。 l2 , u2 l2ˊ , u2 ˊ
第四节 球面光学成像系统
Section 4 Spherical Optical Imaging system 推广到 k 个折射球面的转折公式：
5R ' 5R
3, /2
r3 R
2.5R
，n
1.5，n3
'
1
最终光束会聚于距玻璃球前表面右侧的2.5R处，虚像。
1. 作业将在课后发到公共信箱。 2. 请提前预习“2.1 、2.2节” 。 3. 完成随堂测试后，提交老师方可下课、离开教室。
共轴球面系统的解：
1. 重复使用单个折射球面的公式（已有）; 2. 面与面之间的转接（过渡公式）。
第四节 球面光学成像系统
Section 4 Spherical Optical Imaging system
以两个折射球面组成的透镜为例：
-U1 A1
-l1
U1’=U2
O1
O2 U2’
A2’
l2’
d
第一次成像同前，得 l1' 3R
第二次被反射面成像，l2 ，R r2 R
1
代入公式：l2 '
第一章 第三四节光路计算与近轴光学系统
4
I
A -U -L 4. 符号规则的意义： O
E h I' φ
n'>n C L' U' A'
r
通过各个物理量的正、负，体现光线传播和成像中的物理 意义和物理图象，给出更多、更细和更准确的描述； 执行一套统一的符号规则，便于在应用中表达统一含义， 避免误解和歧意。 5. 特别注意： 各量在图中以字母表示时，应冠以相应的“+、-”号，以保 证 几何量无正负之分。 以数子表示时，不加“+、-”号。
2
特别注意：
截距：物方截距——顶点到物方光线与光轴的交点的距离L 像方截距——顶点到像方光线与光轴的交点的距离L' 该截距指的是物(像)方光线的截距！ 与中学的“物距、像距”有区别，在特殊情况下，其数值 又是相同的。
I A -U -L O E h I' φ n'>n C L' U' A'
r
3
二、符号规则：人为
作业
• P23: 4，5，6
• P23：8，9
= - l l
= - 2
= -1
J = uy = -uy
球面镜的拉赫不变量
结论
<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
第三节、共轴球面系统
B1 n1
-u1
y1 A1
O1 C1
n1'=n2
（为计算方便，根据不同情况可使用不同公式）
利用
lu = h = l ' u ' = h / r = u + i = u '+i' ni = n' i'
电子科大应用光学chapter_02_2014-2015
• 应用式(2-1)~(2-4)逐步计算，可由已
知折射面性质（r1，n1，n1′）及入射 光线坐标（L，U）求得经过第一面 后的折射光线坐标（L1′，U1′）；
• 利用转面公式(2-5)求出第二面的入
射光线坐标（L2，U2）后，再应用 式(2-1)~(2-4)计算第二面的折射光线 （L2′，U2′）； 轴球面系统的折射光线。
11
符号规则
角度的符号规则
*转动方向
• 以锐角度量，
顺时针为正，逆时针为负。
*起始轴
• 孔径角U、U′：以光轴为起始轴转向光线。 • 入射角I、折射角I′：以光线为起始轴转向法线。 • 光轴与法线乊间的夹角φ：以光轴为起始轴转向法线。 • 光轴>光线>法线
12
符号规则
*在标注光路图时，图上的线段和角度一律标注其绝对
• 据此可得到关于折射曲面表面形状的方程，解为一个复杂的四
次曲面。
33
思考
*为什么选择球面作为折射面？
• 正确的复杂曲面加工不易，造价昂贵，只有军用特殊系统或者
作为检测标准的仪器中适用。而折射球面加工简单，得到了广 泛的应用。
• 妥协：幵非将所有光线都聚集到一点，只选择相当靠近光轴的
光线使其会聚于A′点。
39
近轴光线的基本公式
h n u nu n n r n n n n r l l 1 1 1 1 n n Q r l r l
2 11 2 12 2 13
24
单个折射球面实际光线的光路计算
物在无限进
h sin I r sin I n sin I n U I I L r 1 sin I sin U
光线的光路计算
Kη = 1,0.85,0.707,0.5,0.3
2. 物面有限距 ①轴上点A
η
A -y B
− L1
− U1
3. 遇反射面时 y’
n' = − n
5. 校对：PA校对法
⎧ L1 = l1 (物距) ⎨ ⎩sin U1 = Kη sin U max
Kη = 1,0.85,0.707,0.5,0.3
②轴外点B
边光 0.707带光
L p1
hmax
− 0.707Wmax − Wmax
0.707带视场 全视场全孔径 与0.707孔径 上、下、主光 线
KW 取点系数为1,0.85,0.707,0.5,0.3
H1 = η = Kη • hmax = Kη • a (0 < Kη ≤ 1为取点系数)
一般取
L p1
Kη 取点系数为 ± 1,±0.85,±0.707,±0.5,±0.3,0
− l1
− l p1
二、初始参数
1. 第一近轴光线——轴上点A发出经入瞳边缘的“近轴”光线 ①物有限距
三、计算时的一些处理方法
1. 遇平面时，半径为无穷大(可以用1.0E15等很大的实数代入计算)
l1 = L1 , u1 = sin U1
A
− U1
②物无穷远 l = −∞, u = 0, h = a, i = h1 y1 1 1 1 1 r1
P
4. 计算器上的处理方法：M+内放U L sin U L' sin U ' = PA = 1 1 cos ( I − U ) cos ( I '−U ' ) 2 2
− L1
L p1
Lk '
第二章：应用光学——高斯光学
共轭光线与光轴夹角u 和u 的比值，称为角放大率
u' u
l l
n 1 n'
4. 三个放大率之间的关系
n'2 n 1 n n'
5. 拉亥不变量J
在公式 y y =nlnl 中，利用公式 =l l=u u，
nuynuyJ
此式称为拉格朗日－亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其 表示为不变量形式，用J 表示，简称拉亥不变量。 J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大， 成像的孔径角大，传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分 辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
l l
2
1
l l
2
1
16
对A1和A2点分别用（1-20）可得
nnnnnn l2 l2 r l1 l1
移项整理得
l2 l1 nl2 l1 nn2l2 l1 n
l2l1 nl2l1 nn2l2l1 n
1
2
即
1 2
n'
n 12
其中1 和2 分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率
17
3. 角放大率
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
物方孔径角:U，像方孔径角：U′
入射光线
A
E nI
h
-U
OD
出射光线
I′ n´
U′
r
C
-L
L′
3
2. 符号规则：
➢ 线段:方向——自左向右为正,由下向上为正 起点——沿轴:以顶点O为原点， －L，r，L′
➢ 角度：方向——顺时针为正
起始轴—— 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′， 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
u' u
l l
n 1 n'
4. 三个放大率之间的关系
n'2 n 1 n n'
5. 拉亥不变量J
在公式 y y =nlnl 中，利用公式 =l l=u u，
nuynuyJ
此式称为拉格朗日－亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其 表示为不变量形式，用J 表示，简称拉亥不变量。 J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大， 成像的孔径角大，传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分 辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
l l
2
1
l l
2
1
16
对A1和A2点分别用（1-20）可得
nnnnnn l2 l2 r l1 l1
移项整理得
l2 l1 nl2 l1 nn2l2 l1 n
l2l1 nl2l1 nn2l2l1 n
1
2
即
1 2
n'
n 12
其中1 和2 分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率
17
3. 角放大率
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
物方孔径角:U，像方孔径角：U′
入射光线
A
E nI
h
-U
OD
出射光线
I′ n´
U′
r
C
-L
L′
3
2. 符号规则：
➢ 线段:方向——自左向右为正,由下向上为正 起点——沿轴:以顶点O为原点， －L，r，L′
➢ 角度：方向——顺时针为正
起始轴—— 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′， 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
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第三节 光路计算与近轴光学系统
一、基本概念与符号法则 二、实际光线的光路计算 三、近轴光线的光路计算
一、基本概念与符号法则
nI
E
n’
-U A
h I’
φ
C
U’
A’
O
r
-L
L’
※ O：顶点。
※ C：球面曲率中心。
※ OC：球面曲率半径，r。
※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。 ※ h：光线投射高度。
※ 物方截距：顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示。
※ 物方倾斜角：入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示。
※ 像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。
※ 像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示。
※ 入射角I
※ 折射角I’
※ 法线与光轴的夹角φ
※ 子午平面：通过物点和光轴的截面
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
n' n n' n l' l r
由近轴细光束成的完善像称为高斯像
光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
第四节 球面光学成像系统
一、单个折射面成像 二、球面反射镜成像 三、共轴球面系统
一、单个折射面成像
上式为三种放大率的关系。
y' n u y n' u' 即： y n u y' n' u' J
y n u y' n'u' J
B
n
E
n’
y -u
A
C u’
A’
O
-y’
B’
上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成
像时，在一对共轭面内，其 n，u，y 或 n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。
J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质， 在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，也 就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。
例1-3：已知一个光学系统的结构参数， r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm， 现求β, y’ （横向放大率与像的大小）
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U I U' I'
U' U I I'
E
n’
I’
φ
C
U’
A’
r
L’
在△EA’C中，CA’ = L’-r， 由正弦定理，可得
L' r r sin I ' sinU '
L' r(1 sin I ' ) sinU '
nE
n’
sin I L r sinU r
A O
-240mm
C
sin I ' n sin I
n'
U' U I I'
L' r(1 sin I ' ) sinU '
U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm U= -2°: U’= 3.291334° L’=147.3711mm U= -3°: U’= 5.204484° L’=141.6813mm
dl'
dl
对公式 n' n n' n 微分，有 l' l r
n' l
dl '2
'
ndl l2
0
整理后
dl ' dl
nl ' 2 n' l2
由于 nl'
n' l
所以 n' 2
n
讨论：
由 n' 2 得到以下结论：
n
（1）折射球面的轴向放大率恒为正， 说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴 同方向移动。
L’
练习：试用符号规则标出下列 光组及光线的位置
（1）r = -30mm、L = -100mm、U = -10° （2）r = 30mm、L = -100mm、U = -10° （3）r1 = 100mm、r2 = -200mm、d = 5mm、L = -200mm、U = -10° （4）r = -40mm、L’ = 200mm、U’ = -10° （5）r = -40mm、L = -100mm、U = -10°、L’= -200mm
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有
i h r
继续用其余三个公式。
例2：仍用上例的参数 r = 36.48mm, n = 1, n’ = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017 求：l’, u’
i l r u 240 36.48 (0.017) 0.1288
只知道无符号的参数，光线可能有四种 情况。要确定光线的位置，仅有参量是 不够的，还必须对符号作出规定。
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。
正向光路
反向光路
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到 终点的方向与光线传播方向相 同，为正；反之为负。
即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）
O1
O2
O1
O2
+d
O2
O1
2. 垂轴线段：以光轴为界， 上方为正，下方为负。
B
+y
A
E
+h
O
C
A’
-y’
B’
（三）角度
角度的度量一律以锐角来度量，由起始边 顺时针转到终止边为正，逆时针为负。
起始边规定如下：
（1）光线与光轴的夹角，如 U、U’，以光轴为起始边。
由阿贝不变量公式可得： l ' r nl ' 代入上式 l r n' l
可得： y' nl'
y n' l
可见β只取决于介质折射率和物体位置。
对横向放大率的讨论
根据β的定义和公式，可以 确定物体的成像特性：
（1）若β> 0，即 y 与 y’ 同号，表示 成正立像。反之成 倒立像。
nI
E
n’
h φC
O
r
入射角可以按 sin I h 计算 r
然后再按其它实际光路公式计算
例：已知一折射球面其 r = 36.48mm，n = 1，n’ = 1.5163。 轴上点A的截距 L = -240mm，由它发出一同心光束，今 取 U 为 -1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折 射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方倾斜角U’）
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
ni
E
n’
有：lu = l’u’ = h
-u A
h i’
φ C u’
A’
O
r
-l
l’
如将 i l r u 和 l' r(1 i' )
则实际光路公式可写成：
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U' U I I' L' r(1 sin I ' )
sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i' l' r(1 i' )
u'
称为近轴公式
ni
E
可以发现：同一物点发出的物方倾斜角 不同的光线过光组后并不能交于一点！
E
n
n’
A
O -240mm
C
轴上点以宽光束经 球面成像时，存在 像差（球差）。
折射球面对轴上点以宽光束成 像是不完善的，所成的像不是 一点，而是个模糊的像斑，在 光学上称其为弥散斑。
一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点 的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。
y' nl'
y n' l
还可发现，当物体由远而近时， 即 l 变小，则β增大
成像的位置、大小、虚实、 倒正极为重要！！！
（二）轴向放大率
轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。 它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示。
将物方倾斜角 U 限制在一个很 小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这 是可以认为可以成完善像
三、近轴光线的光路计算
U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧
度值来代替它的正弦值，并用
小写字母表示。
sin I i
sin I' i'
sinU u
sinU' u'
同时 L，L’ 也用小写表示。
r
u'
中的 i, i’ 代入 i' n i
n'
n' u' nu h( n' n ) r
一、基本概念与符号法则 二、实际光线的光路计算 三、近轴光线的光路计算
一、基本概念与符号法则
nI
E
n’
-U A
h I’
φ
C
U’
A’
O
r
-L
L’
※ O：顶点。
※ C：球面曲率中心。
※ OC：球面曲率半径，r。
※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。 ※ h：光线投射高度。
※ 物方截距：顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示。
※ 物方倾斜角：入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示。
※ 像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。
※ 像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示。
※ 入射角I
※ 折射角I’
※ 法线与光轴的夹角φ
※ 子午平面：通过物点和光轴的截面
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
n' n n' n l' l r
由近轴细光束成的完善像称为高斯像
光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
第四节 球面光学成像系统
一、单个折射面成像 二、球面反射镜成像 三、共轴球面系统
一、单个折射面成像
上式为三种放大率的关系。
y' n u y n' u' 即： y n u y' n' u' J
y n u y' n'u' J
B
n
E
n’
y -u
A
C u’
A’
O
-y’
B’
上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成
像时，在一对共轭面内，其 n，u，y 或 n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。
J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质， 在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，也 就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。
例1-3：已知一个光学系统的结构参数， r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm， 现求β, y’ （横向放大率与像的大小）
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U I U' I'
U' U I I'
E
n’
I’
φ
C
U’
A’
r
L’
在△EA’C中，CA’ = L’-r， 由正弦定理，可得
L' r r sin I ' sinU '
L' r(1 sin I ' ) sinU '
nE
n’
sin I L r sinU r
A O
-240mm
C
sin I ' n sin I
n'
U' U I I'
L' r(1 sin I ' ) sinU '
U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm U= -2°: U’= 3.291334° L’=147.3711mm U= -3°: U’= 5.204484° L’=141.6813mm
dl'
dl
对公式 n' n n' n 微分，有 l' l r
n' l
dl '2
'
ndl l2
0
整理后
dl ' dl
nl ' 2 n' l2
由于 nl'
n' l
所以 n' 2
n
讨论：
由 n' 2 得到以下结论：
n
（1）折射球面的轴向放大率恒为正， 说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴 同方向移动。
L’
练习：试用符号规则标出下列 光组及光线的位置
（1）r = -30mm、L = -100mm、U = -10° （2）r = 30mm、L = -100mm、U = -10° （3）r1 = 100mm、r2 = -200mm、d = 5mm、L = -200mm、U = -10° （4）r = -40mm、L’ = 200mm、U’ = -10° （5）r = -40mm、L = -100mm、U = -10°、L’= -200mm
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有
i h r
继续用其余三个公式。
例2：仍用上例的参数 r = 36.48mm, n = 1, n’ = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017 求：l’, u’
i l r u 240 36.48 (0.017) 0.1288
只知道无符号的参数，光线可能有四种 情况。要确定光线的位置，仅有参量是 不够的，还必须对符号作出规定。
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。
正向光路
反向光路
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到 终点的方向与光线传播方向相 同，为正；反之为负。
即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）
O1
O2
O1
O2
+d
O2
O1
2. 垂轴线段：以光轴为界， 上方为正，下方为负。
B
+y
A
E
+h
O
C
A’
-y’
B’
（三）角度
角度的度量一律以锐角来度量，由起始边 顺时针转到终止边为正，逆时针为负。
起始边规定如下：
（1）光线与光轴的夹角，如 U、U’，以光轴为起始边。
由阿贝不变量公式可得： l ' r nl ' 代入上式 l r n' l
可得： y' nl'
y n' l
可见β只取决于介质折射率和物体位置。
对横向放大率的讨论
根据β的定义和公式，可以 确定物体的成像特性：
（1）若β> 0，即 y 与 y’ 同号，表示 成正立像。反之成 倒立像。
nI
E
n’
h φC
O
r
入射角可以按 sin I h 计算 r
然后再按其它实际光路公式计算
例：已知一折射球面其 r = 36.48mm，n = 1，n’ = 1.5163。 轴上点A的截距 L = -240mm，由它发出一同心光束，今 取 U 为 -1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折 射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方倾斜角U’）
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
ni
E
n’
有：lu = l’u’ = h
-u A
h i’
φ C u’
A’
O
r
-l
l’
如将 i l r u 和 l' r(1 i' )
则实际光路公式可写成：
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U' U I I' L' r(1 sin I ' )
sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i' l' r(1 i' )
u'
称为近轴公式
ni
E
可以发现：同一物点发出的物方倾斜角 不同的光线过光组后并不能交于一点！
E
n
n’
A
O -240mm
C
轴上点以宽光束经 球面成像时，存在 像差（球差）。
折射球面对轴上点以宽光束成 像是不完善的，所成的像不是 一点，而是个模糊的像斑，在 光学上称其为弥散斑。
一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点 的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。
y' nl'
y n' l
还可发现，当物体由远而近时， 即 l 变小，则β增大
成像的位置、大小、虚实、 倒正极为重要！！！
（二）轴向放大率
轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。 它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示。
将物方倾斜角 U 限制在一个很 小的范围内，人为选择靠近光轴 的光线，只考虑近轴光成像，这 是可以认为可以成完善像
三、近轴光线的光路计算
U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧
度值来代替它的正弦值，并用
小写字母表示。
sin I i
sin I' i'
sinU u
sinU' u'
同时 L，L’ 也用小写表示。
r
u'
中的 i, i’ 代入 i' n i
n'
n' u' nu h( n' n ) r