高中数学(人教A版)必修二课件：2.3.2平面与平面垂直的判定
人教A版必修二2.3.2.1二面角及其平面角课件
OB
C'C 平面ABCD,OC 平面ABCD, C'C OC
设正方体的棱长为1， 则AC 2,OC 2 ，
tan C'OC C'C 1 2
2
OC 2
2 二面角C'BD C的正切值为 2
2
当堂训练:
P73 4 P78 7
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角C'-BD-C
的正切值.
解：连接AC交BD于点O,连接OC ', 则O为BD的中点，且 AC BD,
D' A'
C' B'
正方体中 BC' DC ', OC' BD
又OC'OC O
D
C
C'OC为二面角C'BD C的平面角，A
2.3.2.1二面角及其平面角
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
高中数学(人教A版)必修二课件：2.3.2平面与平面垂直的判定
A．m⊥n，m∥α，n∥β C．m∥n，n⊥β，m⊂α
答案：C
已知 l⊥α，则过 l 与 α 垂直的平面( A．有 1 个 C．有无数个
答案：C
)
B．有 2 个 D．不存在
如图 P 是二面角 αlβ 内的点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别 为 A， B． 若∠APB＝80° ， 则二面角 αlβ 的大小为________．
1．已知 Rt△ABC，斜边 BC⊂α，点 A∉α， AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30° ，∠ACO＝45° ，则二面角 A BC O 的大小为__________．
解析： 如图， 在平面 ABC 内， 作 AD⊥BC， 且垂足为 D，连接 OD，则∠ADO 即为 二面角 A BC O 的平面角，设 OA
(3)垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的 垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平 面角或其补角．此种方法通用于求二面角的题目．具体步骤 为：一找、二证、三求．如图③．
图①
图②
图③
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有 关．( × ) (2) 二 面 角 可 以 看 成 是 一 个 半 平 面 以 其 棱 为 轴 旋 转 而 成 的．( √ ) (3)如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的一条直线，则 α⊥β．( × )
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．3．2 平面与平面垂直的判定
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的 大小． 2．理解两平面垂直的定义． 3．掌握两平面垂直
的判定定理．
1．二面角
两个半平面 所组成的图形叫做 (1)定义：从一条直线出发的____________ 棱 ， 二面角， 这条直线叫做二面角的_______ 这两个半平面叫做
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
2.3.2平面与平面垂直的判定(人教A版必修2第二章)2020-2021学年高二下学期数学课时作业
课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是．8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.10．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面P AE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC13．在二面角α-l -β中，A ∈α，AB ⊥平面β于点B ，BC ⊥平面α于点C ，若AB ＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为( A)A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( C)A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理有DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD ⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积． 解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33. 11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE ＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF ⊥PC ；(2)试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF ⊥PF ，EF ⊥FC ，又由PF ∩FC ＝F ，所以EF ⊥平面PFC . 又因为PC ⊂平面PFC ，所以EF ⊥PC .(2)是定值．由(1)知，EF ⊥平面PFC ，所以平面BCFE ⊥平面PFC ，如图，作PH ⊥FC ，则PH ⊥平面BCFE ，作HG ⊥BE ，连接PG ，则BE ⊥PG ，所以∠PGH 是这个二面角的平面角，设AF ＝x ，则0<x ≤1，因为∠PFC ＝60°，所以FH ＝x 2，PH ＝32x ，易求GH ＝334x ，所以tan ∠PGH ＝PH GH ＝23，所以二面角P -EB -C 的大小是定值．。
直线与平面垂直的判定课件人教新课标
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 90o （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直．
l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP
n
线不在多，重在相交
判定定理
线线垂直
线面垂直
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
ab
mn
a b，a b
证明: 在平面内作两条相交直线m, n.
猜一猜 我们需要寻求一个简单可行的 办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
动手操作
如图，准备一块A三角形的纸片，做一个实验：A
A
lACDB NhomakorabeaP
D
C
C
B
D
C
BD B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片（边，B上D得的，到高D折C时痕于，A桌DA面D，所接将在触翻直）
人教版高中数学必修二
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面有那些位置关系？ c a
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直的判定PPT课件
如果两条平行线中，有一条垂直于平面，那么 另一条直线也垂直于这个平面。
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直
P
线，如果和这个平面的一条斜线
的射影垂直，那么，它就和这条
O B
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
练习：《练习册》59页 例1
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
典型例题 数学人教A版必修二.1直线与平面垂直的判定PPT课件
例 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影。
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
3、直线和平面所成的角
定义：平面的一条斜线与平面内这条斜线的射影 所成的锐角叫做直线和平面所成的角。
斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，若和这 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。
O
Aa
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
数学人教A版必修二.1直线与平面垂直 的判定 PPT课 件
直线和平面所成的角
p
O
1.射影
自一点向平面引垂线，垂足叫做 这点在这个平面上的射影；
小结：
直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
2.3.2 平面与平面垂直的判定
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
14高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下和A’-AB-D；
C B
高中数学人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定定理课件
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
(3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
例2.已知a∥b, a ⊥ 求证: b ⊥
a
m
b
n
O
练习
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。
A
1.
证明 取BD的中点E , 连接AE, CE ,
：
AB AD, AEBD,
D
B E
BC DC, CEBD, 又 AE CE E , BD平面ACE, AC 平面ACE, BDAC
C
练习
2 、 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D。求证：CD AB。
D Q A B
P
C
小结
直接法
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
直线与平面 垂直的判定
测量BD的长度，若长度为 6m，则AB BD， 否则不垂直。
再将绳子拉直与地面交 与另一点D，D与B，C不共线，连接 BD，
若AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
l
线面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们
就说直线
l 和平面
互相垂直。记作：l
l
平面的垂线
A
垂足
直线的垂面
?
l
l
a a
图1
图2
?
两 条 直 线
l
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD． 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC． ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD． 故 图 中 互 相 垂 直 的 平 面 有 平 面 ABC⊥ 平 面 BCD ， 平 面 ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．
(3)判定定理 垂线 ，则这两个平 文字 一个平面过另一个平面的__________ 语言 面垂直 图形 语言 符号 语言 作用
l⊂β l⊥α，__________ ⇒α⊥β 垂直 判断两平面__________
[破疑点]
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通
过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记 为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间问
图形．
射影 所成 4．线面角的定义：一条直线与它在平面内的_______ 的锐角或直角．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面AC所成的 角等于( ) B．45° D．90° A．30° C．60°
[答案] D
6．如右图，△ADB和△ADC都是以D为直角 顶点的直角三角形，且 AD ＝ BD ＝ CD ，∠BAC ＝ 60°，则直线 AD⊥平面 ________ ；直线 BD⊥平 面________；直线CD⊥平面________. [答案] BDC ADC ABD
如图所示，在长方体ABCD－
A1B1C1D1 中， AB ＝ AD ＝ 1 ， AA1 ＝ 2 ， M 是棱 CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M. [ 探究 ] 1 ．证面面垂直关键让线面垂 直，找平面的垂线．
2．平面A1B1M的垂线是谁？
[证明] 由长方体的性质可知 A1B1⊥平面 BCC1B1， 又 BM⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BM. 又 CC1＝2，M 为 CC1 的中点，所以 C1M＝CM＝1.
题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题
(即平面问题)来解决．
●预习自测 1．如图所示的二面角可记为( )
A．α－β－l C．l－M－N [答案] B
B．M－l－N D．l－β－α
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面
角是( ) A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1[知识拓展](1)二角的平面角的大小是由二面角的两个
面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关． (2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二 面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
(1) 定 义 ： 两 个 平 面 相 交 ， 如 果 它 们 所 成 的 二 面 角 是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直， __________ α⊥β 记作__________. (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成 横边 与水平平面的__________ 垂直．如图所示．
4 ． 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 求 证 ： 平 面
ABCD⊥平面BDD1B1.
[证明] ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB∩BC＝B， ∴BB1⊥平面ABCD．又BB1⊂平面 BDD1B1， ∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.
高效课堂
●互动探究
面面垂直的判定
D．∠ABC1
[答案] C [解析]
3. 如 图 所 示 ， 已 知 AB⊥ 平 面 BCD ，
BC⊥CD ， 则 图 中 互 相 垂 直 的 平 面 共 有
( )对 A．1 B．2
C．3
[答案] C
D．4
[ 解析 ] ABD，
∵AB⊥ 平面 BCD ，且 AB⊂ 平面 ABC 和 AB⊂ 平面
成才之路 ·数学
人教版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2
平面与平面垂直的判定
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课后强化作业
优效预习
●知识衔接 1 ．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理 b∩c＝A 即：a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，__________ ，则a⊥α. 2．两平面的位置关系：平行与相交 ____________． 射线 所成的 3 ．角的定义：从平面内一点出发的两条 ________
2 在 Rt△B1C1M 中，B1M＝ B1C2 ＋ MC 1 1＝ 2，
同理 BM＝ BC2＋CM2＝ 2， 又 B1B＝2，所以 B1M2＋BM2＝B1B2， 从而 BM⊥B1M. 又 A1B1∩B1M＝B，所以 BM⊥平面 A1B1M， 因为 BM⊂平面 ABM，所以平面 ABM⊥平面 A1B1M.
平 面 角 棱为l，面分别为α，β的二面角记为__________. α－l－β 如图 所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点 P－l－Q P，Q，将这个二面角记作二面角__________ 记 法
[破疑点]
二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所
组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可 以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反映 了两个相交平面的位置关系．
●自主预习 1．二面角
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常 半平面 ．从一条直线出发的两个________ 半平面 所组 称为________ 概念 棱 ， 成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的____ 面 这两个半平面叫做二面角的______
图示
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个 棱 的射线，则这两条 文字 半平面内分别作垂直于________ 角 射线构成的________ 叫做这个二面角的平面角
平 面 图示 角
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l， 符号 OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围
[0，π]
平面角 来度量，二面角 二面角的大小可以用它的__________ 规 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面 定 直角 角是__________ 的二面角叫做直二面角