云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)理科数学卷及答案
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)文科数学
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x ax =-=，{}3,4B =，且A B A = ，则a 的所有可能值组成的集合是A ．110,,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}02．设复数11z i=-（其中i 为虚数单位），则2z 为 A ．1i + B ．2i C ．22i +D ．2i -3．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++>”B ．若“p q ∧”为真命题，则“()p q ∨⌝”也为真命题C ．线性回归方程 y bx a =+ 对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,(,)n nx y x y x y 中的一个点D ．“1x =-”是“2560x x --=”成立的必要不充分条件4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是A ．15B ．35C ．25D ．455．设向量sin ,2a α⎛=⎪⎝⎭2，则cos 2α＝ A．2B ．12C ．12-D ．14-6．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图像，其中0a >且1a ≠，则下列所给图像中可能正确的是A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为A ．B ． CD8．图3是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3D ．49．函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且||2πϕ<）在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A ．2B ．12C 2D 410．P 是抛物线24y x =上任意一点，则点P 到定点A 的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是A ．32B ．2C ．3 D侧视图111 1111．设a 、b 、c 、d R ∈，若,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，则下列等式恒成立的是A ．||2a b cd +≥B ．||2a b cd +≤C ．2a b cd +≥D ．2a b cd +≤12．如图4，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA a = ，OB b =．在平面AO B 上，P 是线段A B 垂直平分线上任意一点，向量O P p = ，且||3a =，||2b = ，则()p a b ⋅-的值是A ．12B ．32C ．72D ．52第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos 5A =，则)4A π-的值为 ．14．已知11a =，*1()()n n n a n a a n N +=-∈，则数列{}n a 的前60项和为 ．15．若不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为 ．16．如图5，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的内切球，则以球心O 为顶点，以球O 被平面1A C D 所截得的圆为底面的圆锥的体积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且3452a a a +=，0n a >．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)321n n n b a n =-++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T18．（本小题满分12分）为预防某病毒爆发，一生物技术公司研制出一种新疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90％，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （2）已知465b ≥，30c ≥，求该疫苗通过测试的概率．19．（本小题满分12分）如图5，已知在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面A B C D ，E ，F ，G 分别是P D ，P C ，B C 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段C D 上一点，求三棱锥M E F G -的体积． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(2,0)的直线l 的与椭圆C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当A O B ∠为锐角时，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln 8xf x x =-，[]1,3x ∈．（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若()4f x at <-对于任意的[]0,2t ∈恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7所示，P A 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10P A =，5P B =，B A C ∠的平分线与B C 和O 分别交于点D 和E ． （1）求证：A B P A A CP C=；（2）求A D A E ⋅的值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11,22,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2,,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y，求x +的最小值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1||1|f x x x =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1．由A B A = 知A B ⊆，而{}34B =，，且0a =时，A =∅，适合A B A = ，故选A ． 2．111i i z =-=+，则22(1i)2i z =+=，故选B ．3．p q ∧为真，则p ，q 均为真，所以()p q ⌝∨为真，故选B ． 4．所求概率302305405P ==++，故选C ．5．213sin 24α+=，则21sin 4α=，21cos 212sin 2αα=-=，故选B ．6．0a >且1a ≠，当2π2πT a=>时，01a <<，故选A ．7．该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥，1212S ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭122⎛⨯⨯= ⎝C ．8．第一次循环有112a T k ===，，，第二次循环有013a T k ===，，，第三次循环有0a =，14T k ==，，第四次循环有125a T k ===，，，第五次循环有136a T k ===，，，此时不满足条件，输出3T =，故选C ． 9．12T =2πππ362-=，则πT =，2π2π2πTω===，此时sin(2)y x ϕ=+，又函数过点π16⎛⎫⎪⎝⎭，，代入可得π6ϕ=，因此函数πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =，可得12y =，故选D ．10．由抛物线定义，点P 到抛物线准线的距离等于它到焦点F 的距离，所以当A P F ，，三点共线时，其和最小为AF =D ．11．212a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，故2a b +≥，又2c d +=，故212c d cd +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，即22cd ≥，故选A ．图 2图112．采用特殊化法，如图1，当点P 运动到线段AB 的中点M 这一特殊位置时，有1()2p a b =+， 所以22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-=，故选D ．（另解：设线段AB 的中点为M ，则1()2M P OP OM p a b =-=-+，又BA a b =-，且MP BA ⊥，所以1()()02p a b a b ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦， 即22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-=）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC ❒中，由4cos 5A =，得3sin 5A =π341sin cos 4555A A A ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭．14． 由1()n n n a n a a +=-，得11n na n a n++=，所以，当2n ≥时，累积得32411231n n n a a a a a a a a a a -=2341.1231n n n ==-又1a 也满足上式，故n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=．（另解：1()n n n a n a a +=-，得101n n a a n n +-=+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，又111a =，所以1n a n=，即n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=）15．不等式组所表示的平面区域如图2中阴影部分，易知403B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线43y kx =+过点B ，若BDC BDA S S =❒❒，则点D 为线段A C的中点，由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩，得(11)A ，，又(04)C ，，所以1522D ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线43y kx =+中，解得73k =．16．如图3，O 为球心，也是正方体的中心，设球O 被平面1ACD所截得的圆的半径为r ，A C 的中点为M，则1136r D M ==， 球的半径12R =，则O 到平面ACD 1的距离6h ==，故圆锥的体积21π3108V r h ==三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则123411122a q a q a q a q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，①②……（2分）把①代入②整理得220q q --=，即12q q =-=，，∵0n a >，∴2q =，…………（4分） 代入①得11a =，∴12n n a -=．…………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵1(1)321(1)3221n n n n n b a n n -=-++=-++13(2)21n n -=--++，……………………………………………………………………（9分）13[1248(2)][35721]n n T n -=--+-++-++++++ ，∴223[1(2)]2(2)2112nnn T n n n n ---=++=-++-+．……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0.332000a =，∴660a =．………………………………………………（2分）∵20006737766090500b c +=----=，……………………………………………（4分） ∴ 应在C 组抽取样本个数是360500902000⨯=（个）．………………………………（6分）（Ⅱ）∵500b c +=，465b ≥，30c ≥，∴()b c ，的可能性是：(465，35)，(466，34)，(467，33)，(468，32)，(469，31)，(470，30)，……………（8分） 若测试没有通过，则77902000(190%)200c ++>⨯-=，33c >，()b c ，的可能性是(465，35)，(466，34)，图4通过测试的概率是22163-=．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，∴C D ⊥平面PAD ，……………………………………（3分） 又E F ，分别是PD PC ，的中点，∴EF C D ∥，EF ⊥平面PAD ，而EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵C D EF ∥，∴C D ∥平面EFG ，故C D 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，∴M EFG D EFG V V --=，取AD 的中点H ，连接GH ，EH ，则GH EF ，∥EF EH ⊥， 于是122EFG S EF EH =⨯⨯=❒，又平面E F G H ⊥平面PAD 于EH ，PAD ❒是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离，即正三角形EH D10分）∴3M EFG V -=．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2c e a==得222a b =，依题意1222a b ⨯⨯=，即ab =解方程组222a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212xy +=．…………………（4分）（Ⅱ）设l ：(2)y k x =-，11()A x y ，，22()B x y ，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，得212k <，且2122812kx x k+=+，21228212k x x k-=+，……………………………………………………（6分）于是2212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++＝22212kk+．∵AO B ∠为锐角，即0O A O B ⋅>，∴22212122228221020121212k kk x x y y kkk--+=+=>+++，解得215k >，又212k <，∴21152k <<，………………………………………………………………（10分）所以直线l 的斜率k 的取值范围是2552⎛--⎝⎭⎝⎭．……………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(2)(2)()44x x x f x x x+-'=-=，令()0f x '=，得2x =-或2x =．∵[13]x ∈，，故当12x <<时，()0f x '<，当23x <<时，()0f x '>，……………（3分） ∴()f x 在2x =处取得唯一极小值，也是最小值1(2)ln 22f =-，又1(1)8f =，9(3)ln 38f =-，19ln 3ln 31088⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即(1)(3)f f >，∴()f x 的最大值为18， 最小值为1ln 22-．……………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()8f x ≤，所以()4f x at <-对于任意的[02]t ∈，恒成立，只要148at ->，即8310at -<对任意[02]t ∈，恒成立，……………………………（9分）设()831g t at =-([02])t ∈，，则(0)0(2)0g g <⎧⎨<⎩，，解得3116a <，所以实数a 的取值范围是3116⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图5，∵PA 为O 的切线， ∴PAB AC P ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB PCA ∽，❒❒ ∴AB PA ACPC=．……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴2·PA PB PC =．………………………………………………………………………（5分） 又∵PA =10，PB =5，∴PC =20，BC =15． 由（Ⅰ）知，12AB PA ACPC==，∵BC 是⊙O 的直径，∴90C AB ∠=︒，∴AC 2+AB 2=BC 2=225，∴AC AB ==7分） 连接CE ，则ABC E ∠=∠，又C AE EAB ∠=∠，∴AC E AD B ∽❒❒， ∴AB AD AEAC=，∴··90AD AE AB AC ==．……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l20y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为：221x y +=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）∵2x x y y '=⎧⎨'=⎩，，∴将2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入C ，得C '：22()()14x y ''+=， 即椭圆C '的方程为2214xy +=．设椭圆C '的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），则π2cos 4sin 6x ϕϕϕ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，∴x +的最小值为4-．……………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法一：当1()11a f x x x =-=-++时，，………………………………（1分）由()3f x ≥得113x x -++≥，（ⅰ）当1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥，不等式组1()3x f x -⎧⎨⎩≤，≥的解集为 32⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，；（ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立，不等式组11()3x f x -<⎧⎨⎩≤，≥的解集为∅；（ⅲ）当1x >时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥，不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩，≥的解集为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．综上得，()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．…………………………………（5分） 方法二：当1()11a f x x x =-=-++时，，由()3f x ≥得113x x -++≥，由绝对值的几何意义11x x -++表示数轴上的点x 到1-与1的距离之和， 而11x x -++的最小值为2， 所以当32x -≤或32x ≥时，113x x -++≥，所以不等式()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．………………………………（5分） （Ⅱ）若1()21a f x x ==-，，不满足题设条件，若211()112(1)1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥，()f x 的最小值为1a -；若2111()112(1)x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥， ()f x 的最小值为1a -；………………………（8分）所以()2a-≥，∀∈R，≥的充分条件是12x f x从而a的取值范围为(1][3)，，．…………………………………………（10分）-∞-+∞云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）·双向细目表文科数学。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(一)理数答案
理科数学参考答案·第1页（共6页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1． 全集U =R ，{}|1M x x =≤，{}|22N x x =-<<，∴{}()|12U M N x x =<< ð，选B. 2．2i 2i (1i)i(1i)1i 1i÷+==-=++ ，选A.3．设i，j的夹角为β，则由(2)0j i i +=，可得22||||cos ||0i j i β+=，得2cos 10β+=，又(0π)β∈，，所以2π3β=，选C.4．数形结合法，在同一坐标系中画出ln 26y x y x ==-+，的图象，估计零点在（1，3）之间，进一步验证55ln126122<-⨯+=，，从而确定零点在532⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，选D.5．由倍角公式直接求得ππ2ππcos 2cos 2πcos 2cos 23333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π172cos 11388α⎛⎫=-++=-+=⎪⎝⎭，选B.6．0002125?k S S k k ====>，，，，否1122+2225?k S S k k ====>，，，，否 011222+22+2+2325?k S S k k ====>，，，，否012012332+2+22+2+2+2425?k S S k k ====>，，，，否…1224122425252+2+2++22+2+2++2+22625?k S S k k ====> ，，，，是输出260225261(12)2+2222112S -=+++==-- ， 选C.7．命题p 真，命题q 假，选A.8．特值法，并考虑到22,xy y x ==的增长速度，因为12221=，22212=，322839=，42214=，选D ．9．由题意知，120122T =，即12π20122ω⋅=，π2012ω=，选C. 10． 阴影部分的面积11112211d 1ln 1ln 2E x xx=+=+=+⎰，1ln 22P +=，选A.11．由||1AM =可知，点M的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则222||||||PA PM AM =+，得22||||1PM PA =-，∴要使得||PM 的值最小，则要||P A的值最理科数学参考答案·第2页（共6页）小，而||P A 的最小值为4a c -=，此时||PM =，故选B.12．数形结合法，题意是()f x 的图象上有几对点关于原点对称，因为()P x y ，关于原点对称的点Q 的坐标为()Q x y --，，在同一坐标系中画出222x y y x x ==--，的图象可看出有两个交点，选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13. 它是一个横放的直棱柱，112222V Sh ==⨯⨯⨯=．14．总的取法35C 10n ==，取出的三个球标号之和为奇数的有两种情况：三个都是奇数；两个偶数，一个奇数．即321323C C C 4m =+=，所以42105P ==．15．数形结合法，画出函数2log y x =的图象，看出当1[]14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，时，长度b a -最小，最小值是34．16．分段讨论思想．分110122a a ⎡⎫⎡⎤∈∈⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，，，两种情况，当102a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，1()2f a a =+， 11122a +<≤，由1102122a ⎛⎫--<⎪⎝⎭≤，解得1142a <≤，所以1142a <<；当112a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2(1)f a a =-， 02(1)1a - ≤≤，11102(1)2(1)222a a -<-+若≤，则≥，不满足；若12(1)12a -≤≤，即1324a ≤≤，因为2[12(1)]42a a --=-，由10422a -<≤，得1528a <≤，综上得1548a <<．也可以画出函数的图象，分析.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设1(1)n a n d =+-，因为23511a a a ++，，成等比数列，所以2325(1)(1)a a a +=+，2(22)(2)(14)d d d +=++，理科数学参考答案·第3页（共6页）解得2d =，于是21n a n =-．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，1111111112335572121n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=21n n +，21n n S n ∴=+．…………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）甲班有4人及格，乙班有5人及格，事件“从每班抽取的10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”记作A ，则1165111010C C 307()11C C 10010P A =-=-=． …………………………………………………（6分）（Ⅱ）X 取值为0，1，2，3.1265121010C C 2(0)C C 15P X ==⋅=；1112165554121210101010C C C C C 19(1)C C C C 45P X ==⋅+⋅=；1211165554121210101010C C C C C 16(2)C C C C 45P X ==⋅+⋅=；2154121010C C 4(3).C C 45P X ==⋅=…………………（8分）所以X10分） 所以1932127().455E X ++==…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：PA ABC D BE ABC D ⊥⊂ 平面，平面，EB PA ∴⊥．又EB AB AB AP A AB AP PAB ⊥=⊂ ，，，平面，EB PAB ∴⊥平面， 又A F P A B ⊂平面， AF BE ∴⊥． 又1PA AB ==，点F 是PB 的中点，AF PB ∴⊥， ……（4分） PB BE B PB BE PBE =⊂ 又，，平面，AF PBE ∴⊥平面.PE PBE AF PE ⊂∴⊥ 平面，. ………………………（6分） （Ⅱ）如图1，过A 作AG DE ⊥于G ，连结P G ，又DE P A⊥ ，则DE ⊥平面PAG ，则PG A∠是二面角P DE A --的平面角，PD 与平面ABC D 所成角是30︒， 30PD A ∴∠=︒， 又1PA AB ==，ABC D 是矩形． AD ∴=CE =DE ∴=1122AD E S =⨯=△，112222D E AG=⇒⨯=，则1A G=，PG∴=在R t PAG△中，cos2A GA G PP G∠===，得二面角P DE A--的大小为45︒. …………………………………………………（12分）解法二:（向量法）（Ⅰ）建立如图2所示的空间直角坐标系，则()001P，，，()010B，，，1122F⎛⎫⎪⎝⎭，，，)00D，.CE=)10E-，，1111)0022PE AF⎛⎫⋅=-⋅=⎪⎝⎭，，，，AF PE∴⊥．………………………………………（6分）（Ⅱ）设平面PDE的法向量为()1m x y=，，，)01PD=-，，)11PE=-，，由m PDm PE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得：(1m=，而平面AD E的法向量为(001)AP=，，，||cos||||m APm APθ⋅∴=2===，又[0180)θ∈︒，，得二面角P DE A--的大小为45︒. …………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为函数的定义域为()0∞，+，2121()2x axf x x ax x+-'=+-=≤0在[12]，上恒成立，令2()21h x x ax=+-，有(1)0(2)0hh⎧⎨⎩≤，≤，得172aa⎧⎪⎨⎪⎩≤-，≤-，得72a≤-. ……………………（6分）（Ⅱ） xaxxg ln)(-=((0])x e∈，有最小值3，又11()axg x ax x-'=-=．①当0a≤时，)(xg在(0]e，上单调递减，31)()(min=-==aeegxg，ea4=（舍去）；②当0a>时，令()0g x'>，解得1xa>，()g x∴在1a⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增；令()0g x'<，解得1xa<，()g x∴在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．m in1()1ln3g x g aa⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭，2ea=，满足条件. …………………………………（10分）理科数学参考答案·第4页（共6页）理科数学参考答案·第5页（共6页）综上，2a e =时，使得当(0]x e ∈，时)(x g 有最小值3. ……………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ， 1C ：221(1)4x y ++=，2C ：2249(1)4x y -+=，则由题意有1217||||22CC r CC r=+=-，，124CC CC ∴+=，C∴的轨迹是以12(10)(10)C C -，，，为焦点，24a =的椭圆， ∴C的轨迹方程为22143xy+=．………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，由22143x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去y 并整理得222(34)84120k x kmx m +++-=． …………………………………（6分） 直线y kx m =+与椭圆有两个交点，222(8)4(34)(412)0km k m ∴∆=-+->，即2243m k <+，①又122834km x x k+=-+， …………………………………………………………………（8分）M N∴中点P 的坐标为22433434km mkk ⎛⎫-⎪++⎝⎭，．设M N 的垂直平分线l '的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，P在l '上，22314134348mkm kk k ⎛⎫∴=--- ⎪++⎝⎭，即24830k km ++=，21(43)8m k k∴=-+，…………………………………………………………………（10分）将上式代入①得2222(43)4364k k k +<+，2120k ∴>，即10k >10k <-k ∴的取值范围为1010⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图3，PA 与圆相切于点A ，PAD D C A ∴∠=∠. ……………………………………（2分） AB C D ∥，D C A C AB ∴∠=∠， PAD C AB ∴∠=∠． ……………………………………（5分） （Ⅱ）PAD C AB D C A ∠=∠=∠ ，AD BC∴=，AD BC ∴=． ……………………………（6分）理科数学参考答案·第6页（共6页）A B C D是圆的内接四边形，∴PD A C BA ∠=∠， 又PAD C AB ∠=∠ ，PD A ∴△∽C B A △，………………………………………………………………………（8分） AD PD ABBC=故，2A D AB P D∴=⋅． ……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：cos sin ρθθ=+，两边同乘以ρ得：2cos sin ρρθρθ=+， ……………………………………………（3分）220x y x y ∴+--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………………（5分）（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 的方程得：2521200t t -+=， ……………………（6分）12122145t t t t ∴+==，，…………………………………………………………………（8分）12||||5M N t t ∴=-==．……………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()21f x x x =+-＝23020132 1.x x x x x x -<⎧⎪-⎨⎪->⎩，，，≤≤，， ……………………………………（3分）当x ＜0时，由2−3x ≤8，得−2≤x ＜0； 当0≤x ≤1时，由2−x ≤8，得0≤x ≤1； 当x ＞1时，由3x −2≤8，得1＜x ≤103．综上，不等式()8f x ≤的解集为1023⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． ………………………………………（5分）（Ⅱ）因为()2f x x x a =+-2302032a x x a x x a x a x a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，…………………………………（8分）可见()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞，+单调递增，所以，当x a =时，()f x 取最小值a ， 所以，a 的取值范围是[6)+∞，． ……………………………………………………（10分）数学命题思想一、每次考试在选择题及填空题侧重于所复习内容。
云南省师大附中高考数学适应性月考(五)试题 理(扫描版,含解析)
云南省师大附中2015届高考数学适应性月考（五）试题理（扫描版，含解析）云南师大附中2015届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B A A BC C C BD C D A【解析】1．{23568}(){368}U U A A B ==I ∵，，，，，∴，，痧，故选B ． 2．5i (5i)(1i)23i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，在复平面内对应的点的坐标为(23)，，故选A ． 3．1248161024⨯⨯⨯⨯=，结束循环时32i =，故条件可为32i ≥，故选A ．4．如图1所示，x y ，所满足的可行域为图中阴影部分区域，对于直线33x z y =-+，显然经过P 点时截距取得最小值， 即z 取得最小值，此时3303z =+⨯=，故选B ．5．易知，A 、B 、D 选项分别对应的是俯视、正视、侧视时的投影，故选C ．6．3711343(2)4(6)a a a d a d =+=+∵，∴，得1180a d +=，即190a =，1819S S =．而100d a ><，，故n S 的最小值在18n =或19n =处取得，故选C ．7．在ABC △中，b a c b a -<<+，故13c <<．又ABC △为钝角三角形，显然钝角不为A ，cos 0B <∴或cos 0C <，即22202a c b ac +-<或22202a b c ab+-<，将12a b ==，代入，最终解得13c <<或53c <<，故选C ．8．假如A 书给谁没有规定，一共有2343C A ⋅种分法，本来A 书给哪个同学都是等可能的，现在规定A 书只能给甲同学，所以一共有2343C A 123⋅=种分法，故选B ． 9．||=1OB OC -u u u r u u u r ，即||=1CB u u u r ，则C 点在以B 为圆心，1为半径的圆上运动，如图2所示，连接AB ，与此圆相交于点12C C ，，显 图2图1然12||||||AC AC AC u u u u r u u u r u u u u r ≤≤，由余弦定理可知， 22π||||||2||||cos 73AB OB OA OB OA =+-⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以71||71AC -+u u u r ≤≤，故选D ．10．如图3，M N AB AP MN PB ∵、分别为和的中点，∴∥，MN CN PB CN ⊥⊥∵，∴，又P ABC -为正三棱锥，PB AC ⊥∴，AC CN C =I ，PB PAC ⊥∴平面，PB PA PB PC ⊥⊥∴，， 同理可得PA PC ⊥，所以PA PB PC ，，两两垂直，且1PA PB PC ===，所以外接球半径为3，所以外接球表面积为3π，故选C ． 11．()0f x kx k --=，即方程()(1)f x k x =+有四个实数根，即函数()y f x =和函数(1)y k x =+的图象有四个交点，分析得，ln(1)1x y x +=+的图象先增后减，在 e 1x =-处取得最大值，如图4所示，设直线与ln(1) (0)1x y x x +=+≥的图象相切时斜率为0k ，则00k k <<即可．设切点为000ln(1)1x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，则00201ln(1)(1)x k x -+=+，则切线方程为000200ln(1)1ln(1)()1(1)x x y x x x x +-+-=-++，又切线经过点(10)-，，代入解得0e 1x =-，故012e k =，故概率为14eP =，故选D ． 12．如图5所示，设右焦点为2F ，连接2PF ，12F F 为圆的直径，12PF PF ⊥，112F MA F PF ∴△∽△，13F M MP =u u u u r u u u r ，1112134F A F M F F F P ==∴，33242a c c c +=⋅=∴， 2c a =∴，又1274F MA S =△，1224271234F PF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭△∴， 图3 图5 图4A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】时，5240T =．15．当2015x ≤时，()(3)[(6)](6)f x f x f x f x =-+=--+=+，此时()f x 为周期为6的周期函数，201563355=⨯+，(1)(2011)(2014)(2017)2017f f f f ==-==∴．称的点为π24P x y ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，，而P '在函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上，故ππ22sin 344y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ π2sin 32x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos3x =，22cos3y x =-∴，故③正确． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为11121(2)n n a a a n -==+，≥，21213a a =+=∴．当2n ≥时，112(1)n n a a -+=+，1121n n a a -+=+，又112a +=， {1}n a +∴是以2为首项，2为公比的等比数列，221(1)22n n n a a -+=+⋅=∴，2 1 (2)n n a n =-∴≥， 又1n =时，1211a =-=也满足21n n a =-，21n n a =-∴． …………………………（6分） （Ⅱ）22log (1)log 2n n n b a n =+==，(21)2n n n n n c a b n n n =⋅=⋅-=⋅-， 1212(1)1212222122222n n n n n T n n n +=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-， 令1212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①231212222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②①-②得：121112(12)22222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--， 得1(1)(1)(1)2222n n n n n n n T S n +++=-=-⋅-+． ……………………（12分） 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6所示，连接BD ，交AE 于点F ，因为E 为CD 中点，故1DE =， 2AD AB DE AD==，又90BAD ADE ∠=∠=︒， BAD ADE ∴△∽△，ABD DAE ∠=∠∴， 90DAE ADB ABD ADB ∠+∠=∠+∠=︒∴， 90AFD ∠=︒∴，即AE BD ⊥．因为是沿着AE 折叠的，故不改变1D F AE BF AE ⊥⊥，，又1D F BF F =I ，AE ⊥∴平面1BD F ， 图6而1BD ⊂平面1BD F ，1AE BD ⊥∴． ……………………………………（6分） （Ⅱ）解：（法一）如图7所示，1D F AE ⊥∵，且1D AE B --为直二面角， 1D F ⊥∴平面ABCE ，1D F BC ⊥∴， 过F 作FG EC ∥，FG BC ⊥∴， 1FG D F F =I ，BC ⊥平面1D GF ，1BC D G ⊥∴， 1D GF ∠∴为二面角1D BC A --的一个平面角，易求得16D F =，43FG =，12162239D G =+=∴ 1142223cos 22GF D GF GD ∠===， 故二面角1D BC A --的余弦值为22211． …………………………（12分） （法二）已知1D F AE BF AE ⊥⊥，，且1D AE B --为直二面角，故知1FD FE FB 、、两两垂直，故可建立如图8所示的空间直角坐标系，2600B ⎫⎪⎪⎝⎭，，6230C ⎫⎪⎪⎝⎭，，， 1600D ⎛ ⎝⎭，，， 16236D C =-⎝⎭u u u u r ∴，， 6230BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，， 由（Ⅰ）知1600FD ⎛= ⎝⎭u u u u r ，，为平面ABC 的一个法向量， 设平面1D BC 的一个法向量为222()n x y z =r ，，，则1n D C n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u u r r u u u r ，， 即100n D C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r ，，有2222226236()0623()00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，，图7 图8从而2222200x y y =⎨⎪+=⎪⎩，，取21y =，则22x z ==所以1n =r ． 设二面角1D BC A --的大小为θ，11cos ||||FD n FD n θ⋅===⋅u u u u r r u u u u r r ∴，19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设甲球员罚球命中数为x ，乙球员罚球命中数为y ，则应有2x y +=，22139(02)55625P x y ⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 1122413296(11)C C 5555625P x y ===⋅⋅⋅⋅⋅=，， 224264(20)55625P x y ⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若犯规，则甲球员得分2X 可以的取值为0123，，，，24114(0)555125P X ==⋅⋅=，12244132(1)C 555125P X ==⋅⋅=， 22441169(2)5555125P X ⎛⎫==⋅+⋅= ⎪⎝⎭，2144(3)5525P X ==⋅=， 2432694()0123 1.8412512512525E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴， 12()()E X E X >，所以应该犯规． …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）12c e a ===，又菱形面积2S ab ==2a b ==，（Ⅱ）设点1122()()M x y N x y ，，，，当切线与x 轴不垂直时，设切线方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得222(43)84120k x kmx m +++-=， 212122284124343km m x x x x k k --+==++，，MN =∴化简得：MN =，① 因为直线y kx m =+与圆2253x y +==， 即225(1)3m k =+，将其代入①式得：MN =2(0)t k t =≥，则4MN ==44=44==， 当且仅当25181812t t t +==+，即时等号成立，此时k =．当斜率不存在时，253x =，代入算得MN =<，故当k =时，||MN 1||2OMN S MN r =⋅⋅△，r ，21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若1a =-，2e ()23xf x x x x=+--， 则222e e (e 2)(1)()22x x x x x x f x x x x⋅-+-'=+-=，2e 20x x +>恒成立， 故知()f x 的单调递增区间为(1)+∞，，单调递减区间为(0)-∞，和(01)，．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）对任意的(04]x ∈，，2e ()(23)0xf x a x x x=---≥恒成立， 由于223(1)(3)x x x x --=+-，3x =时，任意a 都成立．当(03)x ∈，时，2230x x --<，故等价于2e (23)xa x x x --≥恒成立， 令2e ()(03)(23)xg x x x x x =∈--，，，故等价于max ()a g x ≥， 322322222222e (23)(343)e e (53)e (1)(43)()[(23)][(23)][(23)]x x x x x x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x x ------++---'===------∴， 当(03)x ∈，时，知2430x x --<，故易得当(01)x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(13)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，max e ()(1)4g x g ==-∴，e 4a -∴≥； 当(34]x ∈，时，2230x x -->，故等价于2e (23)xa x x x --≤恒成立， 令2e ()(34](23)xh x x x x x =∈--，，，故等价于min ()a h x ≤， 同理可得222e (1)(43)()[(23)]x x x x h x x x x ---'=--， 当(34]x ∈，时，知10x ->，2430x x --<，故()0h x '<，故()h x 单调递减，故4min e ()(4)20h x h ==，4e 20a ∴≤．综上：4e e 420a -≤≤． …………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图9，∵PA 是切线，AB 是弦，∴BAP C ∠=∠．又∵APD CPE ∠=∠，∴BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠．ADE BAP APD ∠=∠+∠，AED C CPE ∠=∠+∠，∴ADE AED ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠，又∵APC BPA ∠=∠，∴APC △∽BPA △，∴PC CA PA AB=． ∵AC AP =，∴APC C ∠=∠，∴APC C BAP ∠=∠=∠．由三角形内角和定理可知，180APC C CAP ∠+∠+∠=︒．∵BC 是圆O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∴1809090APC C BAP ∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒． 在Rt ABC △中，1tan CA C AB =，即1tan30CA AB =︒， ∴3CA AB =，∴3PC CA PA AB==． ……………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为：22222x y r ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 圆心坐标为22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，ρ=2222122⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心C 在第二象限，3π4θ=，圆心极坐标为3π14⎛⎫ ⎪⎝⎭，． …………………………（5分） （Ⅱ）圆C 上的点到直线l 的最大距离等于圆心C 到直线l 的距离和半径之和，l 的直角坐标方程为10x y +-=，22122222r -+-+=，322r =． ……………………………………………（10分） 图924．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）31(1)()3(11)31(1)x xf x x xx x+>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩，≤≤，，()5f x>∴的解集为423x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．……………………………………（5分）（Ⅱ）()[2)f x∈+∞，，()()f x a a<∈R的解集为空集，则(2]a∈-∞，．…………（10分）。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(五)高三(五)文数_答案
文科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1．由A B A = 知A B ⊆，而{}34B =，，且0a =时，A =∅，适合A B A = ，故选D ．2．111i iz =-=+，则22(1i)2i z =+=，故选C ．3．p q ∧为真，则p ，q 均为真，所以()p q ⌝∨为真，故选D ． 4．所求概率302305405P ==++，故选B ．5．213sin 24α+=，则21sin 4α=，21cos212sin 2αα=-=，故选C ． 6．0a >且1a ≠，当2π2πT a=>时，01a <<，故选D ． 7．该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥，1212S ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭122⎛⨯= ⎝B ． 8．第一次循环有112a T k ===，，，第二次循环有013a T k ===，，，第三次循环有0a =，14T k ==，，第四次循环有125a T k ===，，，第五次循环有136a T k ===，，，此时不满足条件，输出3T =，故选B ．9．12T =2πππ362-=，则πT =，2π2π2πT ω===，此时sin(2)y x ϕ=+，又函数过点π16⎛⎫⎪⎝⎭，，文科数学参考答案·第2页（共8页）图1代入可得π6ϕ=，因此函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，可得12y =，故选A ．10．由抛物线定义，点P 到抛物线准线的距离等于它到焦点F 的距离，所以当A P F ，，三点共线时，其和最小为AF A ．11．212a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，故2a b +≥，又2c d +=，故212c d cd +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，即22cd ≥，故选D ．12．采用特殊化法，如图1，当点P 运动到线段AB 的中点M 这一特殊位置时，有1()2p a b =+，所以22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-= ，故选C ．（另解：设线段AB 的中点为M ，则1()2MP OP OM p a b =-=-+，又BA a b =- ，且MP BA ⊥ ，所以1()()02p a b a b ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦， 即22115()()()()222p a b a b a b a b -=+-=-= ）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC 中，由4cos 5A =，得3sin 5A =π341sin cos 4555A A A ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭．14． 由1()n n n a n a a +=-，得11n n a n a n ++=，所以，当2n ≥时，累积得32411231n n n a a a aa a a a a a -= 2341.1231nn n ==-又1a 也满足上式，故n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=． （另解：1()n n n a n a a +=-，得101n n a a n n +-=+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，又111a =，所以1n a n =，文科数学参考答案·第3页（共8页）图2图3即n a n =，所以数列{}n a 的前60项和为60(601)18302+=） 15．不等式组所表示的平面区域如图2中阴影部分，易知403B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以直线43y kx =+过点B ，若BDC BDA S S =❒❒，则点D 为线段 AC 的中点，由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩，得(11)A ，，又(04)C ，，所以 1522D ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线43y kx =+中，解得73k =．16．如图3，O 为球心，也是正方体的中心，设球O 被平面1ACD所截得的圆的半径为r ，AC 的中点为M，则113r D M ==，球的半径12R =，则O 到平面ACD 1的距离h =，故圆锥的体积21π3V r h ==三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则123411122a q a q a q a q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，①②……（2分） 把①代入②整理得220q q --=，即12q q =-=，，∵0n a >，∴2q =，…………（4分） 代入①得11a =，∴12n n a -=．…………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵1(1)321(1)3221n n n n n b a n n -=-++=-++13(2)21n n -=--++，……………………………………………………………………（9分） 13[1248(2)][35721]n n T n -=--+-++-++++++ ，文科数学参考答案·第4页（共8页）图4∴223[1(2)]2(2)2112n n n T n n n n ---=++=-++-+．……………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0.332000a=，∴660a =．………………………………………………（2分）∵20006737766090500b c +=----=，……………………………………………（4分） ∴ 应在C 组抽取样本个数是360500902000⨯=（个）．………………………………（6分） （Ⅱ）∵500b c +=，465b ≥，30c ≥，∴()b c ，的可能性是：(465，35)，(466，34)，(467，33)，(468，32)，(469，31)，(470，30)，……………（8分） 若测试没有通过，则77902000(190%)200c ++>⨯-=，33c >， ()b c ，的可能性是(465，35)，(466，34)，通过测试的概率是22163-=．…………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，……………………………………（3分） 又E F ，分别是PD PC ，的中点， ∴EF CD ∥，EF ⊥平面PAD ，而EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵CD EF ∥，∴CD ∥平面EFG ，故CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，∴M EFG D EFG V V --=，取AD 的中点H ，连接GH ，EH ，则GH EF ，∥EF EH ⊥，于是122EFG S EF EH =⨯⨯=❒，又平面EFGH ⊥平面PAD 于EH ，PAD ❒是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离，即正三角形EHD10分）文科数学参考答案·第5页（共8页）∴M EFG V -=12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由c e a ==得222a b =，依题意1222a b ⨯⨯=，即ab，解方程组222a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得a 1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．…………………（4分） （Ⅱ）设l ：(2)y k x =-，11()A x y ，，22()B x y ，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，得212k <， 且2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，……………………………………………………（6分）于是2212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++＝22212k k +．∵AOB ∠为锐角，即0OA OB ⋅>，∴22212122228221020121212k k k x x y y k k k--+=+=>+++，解得215k >， 又212k <，∴21152k <<，………………………………………………………………（10分）所以直线l 的斜率k的取值范围是⎛ ⎝⎭⎝⎭ ．……………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(2)(2)()44x x x f x x x+-'=-=，令()0f x '=，得2x =-或2x =． ∵[13]x ∈，，故当12x <<时，()0f x '<，当23x <<时，()0f x '>，……………（3分）文科数学参考答案·第6页（共8页）图5∴()f x 在2x =处取得唯一极小值，也是最小值1(2)ln 22f =-， 又1(1)8f =，9(3)ln38f =-，19ln 3ln 31088⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即(1)(3)f f >，∴()f x 的最大值为18， 最小值为1ln 22-．……………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()8f x ≤，所以()4f x at <-对于任意的[02]t ∈，恒成立，只要148at ->，即8310at -<对任意[02]t ∈，恒成立，……………………………（9分） 设()831g t at =-([02])t ∈，，则(0)0(2)0g g <⎧⎨<⎩，，解得3116a <，所以实数a 的取值范围是3116⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图5，∵PA 为O 的切线， ∴PAB ACP ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB PCA ∽，❒❒∴AB PAAC PC=．……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）解：∵P A 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴2·PA PB PC =．………………………………………………………………………（5分） 又∵P A =10，PB =5，∴PC =20，BC =15． 由（Ⅰ）知，12AB PA AC PC ==，∵BC 是⊙O 的直径， ∴90CAB ∠=︒，∴AC 2+AB 2=BC 2=225，∴AC AB ==．………………（7分）文科数学参考答案·第7页（共8页）连接CE ，则ABC E ∠=∠，又CAE EAB ∠=∠，∴ACE ADB ∽❒❒，∴AB ADAE AC=，∴··90AD AE AB AC ==．……………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l20y -+，曲线C 的直角坐标方程为：221x y +=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）∵2x x y y '=⎧⎨'=⎩，，∴将2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入C ，得C '：22()()14x y ''+=， 即椭圆C '的方程为2214x y +=．设椭圆C '的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），则π2cos 4sin 6x ϕϕϕ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，∴x +的最小值为4-．……………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法一：当1()11a f x x x =-=-++时，，………………………………（1分） 由()3f x ≥得113x x -++≥，（ⅰ）当1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥， 不等式组1()3x f x -⎧⎨⎩≤，≥的解集为32⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，；（ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立， 不等式组11()3x f x -<⎧⎨⎩≤，≥的解集为∅；（ⅲ）当1x >时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥，文科数学参考答案·第8页（共8页）不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩，≥的解集为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．综上得，()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．…………………………………（5分）方法二：当1()11a f x x x =-=-++时，，由()3f x ≥得113x x -++≥，由绝对值的几何意义11x x -++表示数轴上的点x 到1-与1的距离之和， 而11x x -++的最小值为2，所以当32x -≤或32x ≥时，113x x -++≥，所以不等式()3f x ≥的解集为3322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．………………………………（5分）（Ⅱ）若1()21a f x x ==-，，不满足题设条件，若211()112(1)1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥，()f x 的最小值为1a -； 若2111()112(1)x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩，≤，，，，，≥， ()f x 的最小值为1a -；………………………（8分）所以()2x f x ∀∈R ，≥的充分条件是12a -≥，从而a 的取值范围为(1][3)-∞-+∞ ，，．…………………………………………（10分）。
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云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五） 理科综合参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共126分） 一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
题号12345678910111213答案CACBCDDCACADB二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
题号1415161718192021答案CBD：【解析】 1．无丝分裂是真核细胞增殖的一种方式。
2．浆细胞（细胞4）不能识别抗原，A错误。
细胞1是吞噬细胞，细胞2是T细胞，细胞3是B细胞，细胞4是浆细胞，细胞5是记忆细胞，物质a是抗体。
受抗原刺激的B细胞和记忆细胞能增殖分化；此题不涉及细胞免疫，故不考虑T细胞增殖分化的情况，B正确。
吞噬细胞参与非特异性免疫和特异性免疫，C正确。
T细胞分泌淋巴因子，浆细胞分泌抗体，D正确。
3．甲可能是抗利尿激素，应由下丘脑合成，由垂体释放，A错误。
信息分子乙应是神经递质，化学成分多样，不一定是蛋白质，B错误。
信息分子丙可能是甲状腺激素等，甲状腺激素几乎对全身细胞都有作用，D错误。
4．叶圆片进行光合作用产生O2，O2附着在叶圆片上，使叶圆片上升。
叶圆片上浮至液面的 时间越短，说明光合作用越强。
ab段显示随着CO2浓度的增加，叶圆片上浮至液面的时间缩短，光合作用速率逐渐增大，A错误。
实验在“适宜强度的光照”条件下进行，若增大光照，光合作用速率将下降，叶圆片上浮时间变长，C错误；整个实验过程叶片保持生活状态，一直进行呼吸作用，D错误。
5．可以通过基因诊断判定胎儿是否是隐性基因的纯合子，C错误。
6．调查跳蝻等活动能力不强的动物的种群密度，常采用样方法。
A项原溶液中存在IB项合成纤维机材料3COOH为弱酸，在离子方程式中不能改写；选项D中离子方程式的得失电子不守恒和电荷不守恒。
9．电镀时，镀件为阴极。
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云南师大附中2016届高考适应性月考卷（五）——理科数学云南师大附中2016届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACDBDCBBCAAB【解析】1．当{0123}M =，，，时，M 的子集最多有4216=个，故选A ．2．22(1i)2i (1i)(1i)2i(1i)(1i )2(i i )22(1i)z z z z +=+-=--=-=+∵，∴，，，1i z =+∴，故选C ． 3．当0x >时，()ln f x x =在(0)+∞，上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)M f f =-=，而πe 5>>，所以M N K >>，故选D ．4．2sin cos 3A A +=∵，22(sin cos )9A A +=∴，72sin cos 09A A =-<，则A 为钝角，故选B ． 5．由ξ服从正态分布(4,1)N ，得4μ=，1σ=．(35)(4141)0.6826P P ξξ<=-<+=∵≤≤， 1(5)[1(35)]0.15872P P ξξ>=⨯-<=∴≤，故选D ．6．由线面关系易知，①②③均正确，在④中如图1所示，平面α，β，γ两两垂直，m αβ=I ，且n γ⊂，n α⊥，过直线n 作平面ϕ，此时βγ⊥，αϕ⊥，二面角m αβ--为90︒，而满 足条件的平面ϕ有无穷多个，所以其二面角n γϕ--无法确定， 故④错，故选C ．7．依据程序框图，可知，m 表示数学成绩90i a <的学生人数，则18m =；n 表示数学成绩90120i a ≤≤的学生人数，则33n =；k 表示数学成绩120i a >的学生人数，则9k =，故选B ．8．如图2，几何体的直观图为三棱柱和三棱锥的组合体，其体积为 11133331315232V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B ．9．由等比数列{}n a 的性质， 得313538a a a a ==，32a =∴，又∵当1n =时，212212S a a a =+=， 1122a q ==-∴，，781(2)642a =⨯-=-∴，故选C ．10．∵函数3211()232f x x ax bx c =+++的两个极值点分别位于区间(10)-，与(01)，内，图2图12()2f x x ax b '=++∴的两个零点分别位于区间(10)-，与(01)，内，(1)0(0)0(1)0f f f '->⎧⎪'<⇒⎨⎪'>⎩，∴，2100210a b b a b -++>⎧⎪<⎨⎪++>⎩，，，设点()P a b ，，112A ⎛⎫⎪⎝⎭，， 则1111121222PA b b k a a --==--g (PA k 为直线PA 的斜率)， 如图3所示，由线性规划知，2(2)3PA k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，，11(,1),23PA k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ∴，故选A ． 11．对于圆O ：221x y +=外的点P 和圆上点Q ，当90OQP ∠=︒时，OPQ ∠最大，此时，由30OPQ ∠=︒，得||2OP =，当||2OP >时，30OPQ ∠<︒，2200||2OP x y =+∴≤，即22004x y +≤，又0020x y -+=，即002y x =+，22220000(2)4x y x x +=++∴≤，解得020x -≤≤，故选A ．12．由“域倍函数”定义知()2,()2,f m m f n n =⎧⎨=⎩即方程()2f x x =有两个不同实根，即方程2e 6e x x x t ++=有两个不同实根．设函数2()e e 6x x g x x t =---()x ∈R ，2()2e e 6(2e 3)(e 2)x x x x g x '=--=+-∴．令()0g x '=，解得ln2x =．当ln2x <时，()0g x '<，所以()g x 在(,ln 2)-∞上是减函数；当ln2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(ln 2,)+∞上是增函数．∴当ln2x =时，min ()426ln 2g x t =---，x ∈R ∴，()[26ln 2,)g x t ∈--+∞，∴方程()0g x =有两个不同实根的充要条件为26ln20t --<，所以26ln2t >-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案152π46720图3【解析】13．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵的展开式的通项为26161C ()rrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭1236C (1)r r r x -=-(0,1,2,,6)r =…，∴当4r =时，4456C (1)15T =-=，故621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为15．14．由题意，得2222|2|(2)44449404a b a b a a b b a b -=-=-+=-=+⨯r r r r r r r r r r g g ，0a b =r rg ∴，a b r r ∴⊥，设a r 与b r 的夹角为θ，[0,]θ∈π，2θπ=∴．15．满足1212()()()n nf x f x f x x x x ===…的x 的个数n 即为 函数()sin 2f x x =与y kx =的图象的交点个数，但 不含原点，如图4所示，存在(,0)k ∈-∞，使得n取到最大值4．16．（ⅰ）当1a 为奇数时，1212a a +=，此时若2a 为奇数，则121311132224a a a a ++++===， 11131137510244a a a S a +++=++==∴，解得15a =，此时的数列{}n a 为5,3,2，5,3,2,…；（ⅱ）当1a 为奇数时，1212a a +=，此时若2a 为偶数，则11323(1)3131122a a a a ++=-=-=，11311131311022a a S a a ++=++=+=∴，解得13a =，此时的数列{}n a 为3,2,5,3,2,5,…；（ⅲ）当1a 为偶数时，2131a a =-，此时2a 为奇数，则21131(31)13222a a a a +-+===，131113113111022a S a a a =+-+=-=∴，解得12a =，此时的数列{}n a 为2,5,3,2,5,3,…．上述三种情况数列{}n a 均为周期数列，又67232016⨯=，所以20166720S =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）422()2cos 2sin cos 23sin cos 1f x x x x x x =++-g g 2222cos (cos sin )23sin cos 1x x x x x =++-g 22cos 123sin cos x x x =-+g图43sin 2cos2x x =+π2sin 2,6x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，…………………………………………………………（4分） ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． ………………………………………（6分）（Ⅱ）π12A f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∵，ππ2sin 2π2sin 2π1266A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴，ππ5π(0π)666A A ⎛⎫∈-∈- ⎪⎝⎭∵，，，，ππ66A -=∴，即π3A =． 设ABC △的边BC 上的高为h ，又2a =，则1113||sin 2224ABC S BC h ah h bc A bc =====△． 由余弦定理知，22222π42cos 23a b c bc b c bc bc bc bc ==+-=+--=≥(当且仅当2b c ==时取“=”)，334344h bc =⨯=∴≤(当且仅当2b c ==时取“=”)， 即BC 边上的高的最大值为3． ………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件A =“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(,)m n (其中m ，n 为月份)有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共25C =10种， 其中事件A 包含的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种， 42()105P A ==∴． …………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）11(12345)3(44566)555x y =++++==++++=，，51142435465681i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，515221581535ˆ0.655595i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑∴，ˆˆ50.63 3.2ay bx =-=-⨯=，ˆ0.6 3.2y x =+∴， 当6x =时， 6.8y =．故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件． ……………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：AEF ∵△为等边三角形，O 为EF 的中点，AO EF ⊥∴．AEF EFCB ⊥∵平面平面，AEF EFCB EF =I 平面平面，AO AEF ⊂平面， AO EFCB ⊥∴平面， 又BE EFCB ⊂平面，AO BE ⊥∴．……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：如图5，取CB 的中点D ，连接OD ， 以O 为原点，分别以OE ，OD ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,3),(,0,0),(2,233,0)A a E a B a -，(,0,3),(2,233,0)AE a a EB a a =-=--u u u r u u u r∴． 设平面AEB 的法向量为1(,,)n x y z =u u r，则1130,(2)(233)0,n AE ax az n EB a x a y ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩r u u u r g r u u ur g 令3z =，则3,3x y ==-，1(3,3,3)n =-u u r，易知平面AEF 的法向量为2(0,1,0)n =u u r，12121235cos ,5||||15n n n n n n -〈〉===-u u r u u ru u r u u r g u u r u u r ∴，∴二面角F AE B --的正弦值为255． ………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）图5解：（Ⅰ）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有2112222,2,x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩2AM MB =u u u u r u u u r ∵，11(,1)AM x y =--u u u ur ，22(,1)MB x y =-u u u r ，12122,12(1),x x y y -=⎧⎨-=-⎩∴即12122,32,x x y y -=⎧⎨=-⎩ 代入抛物线方程得22222242(32),2,x p y x py ⎧=-⎪⎨=⎪⎩22,12x p y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴或22,1,2x p y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∵直线l 的倾斜角为4π，即2122212233113AB y y y y k x x x x ---====-，1121p -=∴（舍去）或1121p -=-， 14p =∴，∴抛物线C ：212x y =． ………………………………………………（6分）另解：由题意，得直线l 的方程为1y x =+，直线l 与C 相交于A ，B 两点， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 22,1,x py y x ⎧=⎨=+⎩∵2220x px p --=∴， 12122,2,x x p x x p +=⎧⎨=-⎩g ∴又2AM MB =u u u u r u u u r ∵，11(,1)AM x y =--u u u ur ，22(,1)MB x y =-u u u r ，122x x -=∴，即1212122,2,2,x x p x x p x x +=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩g解方程得121,1,21,4x x p ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴抛物线C ：212x y =． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）212x y =∵，即22y x =， 4y x '=∴. 设抛物线C 上任意一点200(,2)N x x ，004x x y x ='=，则在点200(,2)N x x 处的切线l '的方程为200024()y x x x x -=-， 即l '：200420x x y x --=， ∴点(0,1)M 到直线l '的距离为22000220|12|12()116116x x d x xx--+==∈++R ．令201161t x =+≥，则220116t x -=， 27177884t d t t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴≥（当且仅当7t =时取等号），∴当064x =±时，min 74d =． ∴点M 到直线l '的距离的最小值为74． ……………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221122()22a x x af x x x x -+-'=--=． 令()0f x '=，则222048x x a a -+-=∆=-，， ①当12a ≥时，0∆≤，()0f x '≤，()f x ∴在(0,)+∞上为减函数；②当12a <时，0∆>，2220x x a -+-=有两不等根， 1112x a =--，2112x a =+-．i)当102a <<时，120x x <<， 令()0f x '>得12x x x <<，则()f x 在12(,)x x 上单调递增；令()0f x '<得120x x x x <<>或，则()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递减．ii)当0a ≤时，120x x <≤，令()0f x '>得20x x <<，则()f x 在2(0,)x 上单调递增； 令()0f x '<得2x x >，则()f x 在2(,)x +∞上单调递减． 综合①、②得，当12a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当102a <<时，()f x 在(0,112)a --，(112,)a +-+∞上是减函数， 在(112,112)a a --+-上是增函数；当0a ≤时，()f x 在(0,112)a +-上是增函数，在(112,)a +-+∞上是减函数．………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）对于任意的12,[1,2]x x ∈，都有12()()1f x g x -≤恒成立， 等价于[1,2]x ∀∈，max min ()1()f x g x +≤， 由（Ⅰ）知，当12a >时，()f x 在[1,2]上为减函数， max 1()(1)2f x f a ==-+∴．下面求当[1,2]x ∈时()g x 的最小值，22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++'==+，[1,2]x ∈， 令()(1)ln(1)h x x x x =-++，则()1[ln(1)1]ln(1)h x x x '=-++=-+， [1,2]x ∈∵，()0h x '<∴，()h x ∴在[1,2]上为减函数，∴当[1,2]x ∈时，()(1)12ln 21ln 40h x h =-=-<≤， ∴当[1,2]x ∈时，()0g x '<，()g x ∴在[1,2]上为减函数， ∴当[1,2]x ∈时，min ln3()(2)2g x g ==， 1ln3122a -++∴≤，ln332a +∴≤，又12a >， 故1ln3322a +<≤时，对于任意的12,[1,2]x x ∈，都有12()()1f x g x -≤恒成立．…………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图6，连接MN ，BN ， ∵NA 为⊙O 2的直径，90AMN ∠=︒∴，90BMN ∠=︒∴，∴BN 为⊙O 1的直径，90BEN ∠=︒∴，90BEC ∠=︒∴，又∵NA 为⊙O 2的直径，90ACN ∠=︒， BEC ACN ∠=∠∴， AC BE ∴∥．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）AC BE ∵∥， ACD BED ∴△∽△，AC CDBE DE=∴； ∵点C 为¼AM 的中点，ANC CAM ∠=∠∴， 又ACN DCA ∠=∠∵，ACN DCA ∴△∽△， AC CNCD AC=∴， 2AC CD CN =g ∴．又2222AC CD BE DE =∵，222CD CN CD BE DE =g ∴， 22CD BE CN DE =g g ∴． …………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∵且曲线C ：2cos ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=， 曲线C 是圆心为(1,0)，半径为1r =的圆.图6∵直线l 的参数方程为221,31,3x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ∴直线l 的普通方程为2210x y ++=， ∴圆心C 到直线l 的距离为|11|2318d +==+， 222225||22133AB r d ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭∴. ………………………………………（5分）（Ⅱ）由题，可得圆C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（其中ϕ为参数，[0,2)ϕ∈π），设圆C 上的任意一点(1cos ,sin )Q ϕϕ+，则线段PQ 的中点R 11cos ,sin 22ϕϕ⎛⎫⎪⎝⎭，RH x ⊥∵轴， 1cos ,02H ϕ⎛⎫⎪⎝⎭∴，∵点G 在射线HR 上，且满足||3||HG HR =， 1cos ,233sin ,2G R G R x x y y ϕϕ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∴∴点G 的轨迹C '的参数方程为1cos ,23sin ,2x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中ϕ为参数，[0,2)ϕ∈π），轨迹C '是焦点在y 轴，长轴长为3，短轴长为1的椭圆. ……………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：由绝对值三角不等式，得()|2||5||(2)(5)||52|f x x a x x a x a =------=-≤， ∵对于任意x ∈R 都有()1f x ≤恒成立， |52|1a -∴≤，1521a --∴≤≤，即426a ≤≤， 23a ∴≤≤．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：∵01b <<， 011b <-<∴，112b <+<． 23a ∵≤≤，∴由对数函数的性质，可得log (1)0a b -<，log (1)0a b +>，|log (1)||log (1)|log (1)log (1)log [(1)(1)]a a a a a b b b b b b --+=---+=--+g ∴2log (1)a b =--．∵01b <<，2011b <-<∴，2log (1)0a b -<∴，2|log (1)||log (1)|log (1)0a a a b b b --+=-->∴， 即|log (1)||log (1)|a a b b ->+．……………………………………………………（10分）。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学
理科数学试题及参考答案·第1页（共13页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学参考公式：样本数据,,,x x x 的标准差 s 其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数ii +-11(i 是虚数单位)化简的结果是A.iB.i -C.1D.1- 【考点解析】本题考查复数的除法，基础题。
解: i i i i -=-=+-2)1(112,故选择B.2.已知集合}011|{≥+-=x x x A ,)}2(log |{2+==x y x B ,则=B A ( ) A.)1,2(-- B. ),1()1,2(+∞--- C. ),1[+∞ D. ),1[)1,2(+∞-- 【考点解析】本题考查解分式不等式、对数函数的定义域、集合的运算，基础题。
解: ),1[)1,(+∞--∞= A ,),2(∞-=B ,故),1[)1,2(+∞--= B A ,故选择D.3.已知两条直线m 、n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“α//n ”是“n m //”的（ ） A.充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点解析】本题考查线面平行与线线的判定，基础题。
解:由“α//n ”推不出“n m //”；由“n m //”可推出“α//n ”，故选择C 。
4．已在等差数列}{n a 中，91593=++a a a ，则数列}{n a 的前17项和=17S （ ） A.36 B. 48 C. 51 D. 102【考点解析】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和，基础题。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(一)理科数学试卷
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s 其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集UR =，集合{}|1M x x =≤，{}2|40N x x =-<，则集合()U C M N 等于A ．[)1,2 B ．()1,2C ．()2,1-D ．[)2,1-2．计算：2(1)i i ÷+等于A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知单位向量i ，j 满足(2)j i i +⊥，则i 与j 的夹角为A ．6π B ．3π C ．23π D ．4π 4．函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间为A ．[]1,2B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎢⎣5．已知1cos()34πα+=，则cos(2)3πα-＝ A ．78 B ．78- C ．78±D ．1516-6．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．252(21)- B ．2521- C ．2621- D ．262(21)-7．命题:p x R ∃∈，使得2x x >；命题:q 若函数(1)y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，下列判断正确的是A ．p q ∨真 B ．p q ∧真 C ．p ⌝真 D ．q ⌝假8．已知数列{}n a 满足：*22()n n a n N n=∈，若对任意正整数n ，都有*()n k a a k N ≥∈成立，则k a 的值为A ．12B ．2C ．98D ．899．已知函数()sin cos (0)fx x x ωωω=+>，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为A ．12012B ．14024C ．2012πD 10．如图2，设D 是图中边长分别为1和2的长形区域，E 是D 1(0)y x x=>图像下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M 点M 取自E 内的概率为A ．1ln 22+B ．1ln 22-C ．ln 22D 211．已知动点(,)P x y 在椭圆2212524x y +=上，若A 点坐标为(1,0)，M 是平面内任一点，||1AM = ，且0PM AM ⋅= ，则||PM的最小值是A ．BC ．4D ．12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图像上；②P 、Q 关于原点对称．则称点对[],P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[],P Q 与[],Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数22,(0)()2,(0)x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则此函数的“友好点对”有A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是 ．14．一个盒子中有5个大小、形状完全相同的小球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余球的标号是不同的奇数，现从中任取3个球，则这球的标号之和是奇数的概率为 ． 15．函数2|log |y x =的定义域是[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度b a -的最小值是 ．16．设函数11,0,,22()12(1),,1,2x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩若[]1()0,2f f a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则a的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若21a +，31a +，5a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11nn n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）在一次数学考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图4所示，成绩不小于90分为及格． （1）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；（2）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图3，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是30°，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．主视图侧视图俯视图ABFP 2 5 7 7 8 93 6 8 8 6 7 8 5 8 9 1 2 3 5 6 8 10 1（1）证明：PE AF ⊥； （2）当CE =时，求二面角P DE A --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2()()g x f x x =-，若(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，求a 的值． 21．（本小题满分12分） 已知动圆C 与定圆2213:204C xx y +++=相外切，与定圆22245:204C x x y -+-=相内切．（1）求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；（2）若直线:(0)l y kx m k =+≠与C 的轨迹交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1(,0)8G ，求k 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，ABCD 是圆的内接四边形，AB ∥CD ，过A 点的圆的切线与CD 的延长线交于P 点．证明：（1）PAD CAB ∠=∠；（2）2AD AB PD =⋅23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为31,541,5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设()||2||(0)f x x x a a =+->．（1）当1a =时，解不等式()8f x ≤；（2）若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。
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云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x ax =-=，{}3,4B =，且A B A = ，则a 的所有可能值组成的集合是A ．110,,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,34⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}02．设复数21z i=-（其中i 为虚数单位），则23z z +为A ．2iB ．10i -C ．10iD ．62i --3．设向量sin 2a α⎛= ⎝⎭2，则cos 2α＝ A ．14-B ．12C ．12-D24．如图1，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数cos y x =的图像上方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E （阴影部分）中的概率为A ．2πB ．1πC ．2ππ-D ．125．在同一个坐标系中画出函数xy a =，sin y ax =的部分图像，其中0a >且1a ≠，则下列所给图像中可能正确的是D ．6．一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为A．B．+ CD7．图3是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3 D．48．函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且||2πϕ<）在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A ．2B ．12C 2D 49．设a 、b 、c 、d R ∈，若,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，则下列等式恒成立的是A ．||2a b cd +≥B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．2a b cd +≤10．P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，且120PF PF ⋅= ，若△12F P F 的面积是9，7a b +=，则双曲线的离心率为A ．74B ．54C ．2D ．211．如图4，已知O 、A 、B 是平面上三点，向量OA a = ，OB b =．在平面AO B 上，P 是线段A B 垂直平分线上任意一点，向量O P p = ，且||3a =，||2b = ，则()p a b ⋅-的值是A ．12B ．32C ．72D ．5212．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,11,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)10,4,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos 5A =，则)4A π-的值为 ． 14．若数列{}n a 满足112a =，2*12()n n a a a n a n N +++=∈ ，则数列{}n a 的前60项和为 ．15．若不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为 ．16．如图5，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的内切球，则以球心O 为顶点，以球O 被平面1A C D 所截得的圆为底面的圆锥的体积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足22a =，且3452a a a +=，0n a >． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)321nn n b a n =-++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T18．（本小题满分12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．（1）求这2（2）若这2人来自区域A ，D ，并记来自区域A 队员中的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图6所示的几何体中，平面AC E ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 为平行四边形，90ACB ∠= ，E F ∥B C ，2AC BC EF ==，AC ==．（1）求证：A E ⊥平面B C E F ； （2）求二面角A B F C --的大小． 20．（本小题满分12分）已知函数2()ln 8xf x x =-，[]1,3x ∈．（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若()4f x at <-对于任意的[]0,2t ∈恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(2,0)的直线l 的与椭圆C 交于A 、B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP += （O 为坐标原点），当||3PA PB -< t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7所示，P A 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10P A =，5P B =，B A C ∠的平分线与B C 和O 分别交于点D 和E ． （1）求证：A BP AA C P C=；（2）求A D A E ⋅的值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11,22,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2,,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y，求x +的最小值．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1||1|f x x x =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13． 14． 15． 16．三、解答题 17．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由= A B A 知⊆A B ，而{3,4}=B ，且0=a 时，=∅A ，适合= A B A ，故选A ． 2．2112i i=-=+z ，则223(12i)3(12i)10i +=+++=z z ，故选C.3. 213sin 24+=α，则21sin 4=α，21cos 212sin 2=-=αα，故选B ．4．=πD S ，22cos d 2ππ-=π-=π-⎰E S x x ，故选C ．5．0>a 且1≠a ，当22π=>πT a时，01<<a ，故选C.6．该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥，1121222⎛⎫⎛=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎝⎭⎝S D ．7．第一次循环有1,1,2===a T k ，第二次循环有0,1,3===a T k ，第三次循环有0,1,4===a T k ，第四次循环有1,2,5===a T k ，第五次循环有1,3,6===a T k ，此时不满足条件，输出3=T ，故选C. 8．12=T 2362πππ-=，=πT ，222ππ===πTω，此时sin(2)=+y x ϕ，又函数过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭，代入可得6π=ϕ，因此函数sin 26π⎛⎫=+⎪⎝⎭y x ，令0=x ，可得12=y ．故选B.9．212+⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ab ≤，故2+a b ≥，又2+=c d ，故212+⎛⎫= ⎪⎝⎭c d cd ≤，即22cd ≥，故选A ．10． 设1=PF x ，2=PF y ，由题意得192=xy ，即18=xy ，又2224+=x y c ，故22()24-+=x y xy c ，即229+=a c ，于是29=b ，即3=b ，又7+=a b ，所以4=a ，5=c ，54==c e a，选B.11．如图1，采用特殊化法，当点P 运动到线段AB 的中点M 这一特殊位置时，有1()2=+p a b ，所以22115()()()()222-=+-=-=p a b a b a b a b ，故选D.另解：设线段AB 的中点为M ， 则1()2=-=-+M P OP OM p a b ，又=- BA a b ，且⊥ MP BA ，所以1()()02⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦p a b a b ，即22115()()()()222-=+-=-=p a b a b a b a b .12．原命题212⇔-<xx a，在(1,1)∈-x 上恒成立，因为当(1,1)∈-x 时2111222--<x ≤，于是若1>a ，则x a 的最小值是1-a ，故112-a ≥，即2a ≤，此时12<a ≤，至此可选答案为B ；事实上若01<<a ，则x a 的最小值是a ，故12a ≥，此时1 1.2<a ≤（也可作出212=-y x 与=xy a 在(1,1)∈-x 上的简图，易知当1>a 时，112-a ≥；当01<<a 时，112a ≥，解之得B ．）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】图113．在ABC △中，由4cos 5=A ，得3sin 5=A341sin cos 4555π⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭A A A ．14. 由题意知2=n n S n a ，当2n ≥时，211(1)--=-n n S n a ，两式相减得221(1)-=--n n n a n a n a ，即221(1)(1)--=-n n n a n a ，故111--=+n n a n a n ，所以324112311123211.23451(1)---===++n n n a a a a n n a a a a a a nn n n ……又1a 也满足上式，故111(1)1==-++n a n n nn ，所以数列{}n a 的前60项和为16016161-=．15．不等式组所表示的平面区域如图2阴影部分，易知40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ，所以直线43=+y kx 过点B ，若=BDC BDA S S △△，则点D 为线段A C 的中点，由34,34,+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)A ，又(0,4)C ，所以15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ，代入直线43=+y kx 中，解得73=k ．16．如图3，O 为球心，也是正方体的中心，设球O 被平面1ACD 所截得的圆的半径为r ，AC 中点为M，则1136==r D M ，球的半径12=R ，则O 到平面1ACD的距离6==h圆锥的体积213108=π=V r h ．三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 则12341112,2,=⎧⎪⎨+=⎪⎩a q a q a q a q ①② …（2分）把①代入②整理得220--=q q ，即1,2=-=q q ，0>n a ∵, 2=q ∴，代入①得11=a , ∴12-=n n a ． ……………（6分） （Ⅱ）1(1)321(1)3221-=-++=-++ n n n n n b a n n ∵13(2)21-=--++n n ， ……………（9分）13[1248(2)][35721]-=--+-++-++++++ n n T n,图2图3223[1(2)]2(2)2112---=++=-++-+nn n T n n n n ∴． ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这2人来自同一区域”为事件E ，那么22222010515250C C C C 2()C7+++==P E ，所以这2人来自同一区域的概率是27． …………………………………………（4分）（Ⅱ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且215235C 3(0)C 17===P ξ，112201520223535C C C 6038(1),(2).C119C119======P P ξξ …………………………（8分）所以ξ的分布列是：ξ的数学期望为360381368012.171191191197=⨯+⨯+⨯==E ξ……………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面⊥AC E 平面ABC D ， 平面 A C E 平面=ABC D AC ， 且⊥BC AC ，∴⊥BC 平面AC E ，⊥BC AE， …………………………………………………………………………（3分）又==AC，∴⊥AE EC ，而= B C E C C ，∴⊥AE 平面.B C E F ……………………………………………（6分） （Ⅱ）解：方法一：建立如图5所示的空间直角坐标系， 不妨设2==AC BC ，则==AE EC ，图4由题意得(0,0,0)A ，(2,2,0)-B ，(2,0,0)C ，(1,1,1)-F ，(2,2,0)=-AB ，(0,2,0)=BC ，(1,1,1)=-BF ， ……………………………………………………………………（8分）设平面BFC 的法向量为111(,,)=m x y z ， 由0= m BC ，且0= m BF ，得(1,0,1)=m ， 设平面ABF 的法向量为222(,,)=n x y z ，由0=n AB ，且0= n BF ，得(1,1,0)=n ， ……………………………………（10分）所以1cos ,2⋅〈〉==m n m n m n，∴二面角--A BF C 的大小为60︒. ………………………………………………（12分） 方法二：如图6，取A C 的中点N ，连接E N ， ∵平面⊥AC E 平面ABC D ，=A E E C ， ∴⊥EN 平面ABC D .取AB 的中点H ，连接FH ，N H ，由题意可知四边形E F H N 是平行四边形， 则//FH EN ，⊥FH 平面ABC D ， ∴平面ABF ⊥平面ABC D .连接C H ，∵=AC BC ，则⊥C H AB ，∴⊥C H 平面ABF . 过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接C R ，则⊥C R B F ，则∠H R C 为二面角--A BF C 的平面角. …………………………………………（9分） 由题意，不妨设2==AC BC，则=AB ， 在R t BH F △中，3=H R，12==CH AB ,所以在R t △CHR中，tan ∠==C H H RC RH图5图6因此二面角--A BF C 的大小为60︒. ……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(2)(2)()44+-'=-=x x x f x xx，令()0'=f x ，得2=-x 或2=x .[1,3]∈x ∵，故当12<<x 时，()0'<f x ，当23<<x 时，()0'>f x ， …………………………………………………………（3分） ∴()f x 在2=x 处取得唯一极小值，也是最小值1(2)ln 22=-f ，又1(1)8=f ，9(3)ln 38=-f ，19ln 3ln 31088⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，即(1)(3)>f f ，∴()f x 的最大值为18， 最小值为1ln 22-． ………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()8f x ≤，所以()4<-f x at 对于任意的[0,2]∈t 恒成立，只要148->at ，即8310-<at 对任意[0,2]∈t 恒成立， ………………………（9分）设()831=-g t at （[0,2]∈t ），则(0)0,(2)0,<⎧⎨<⎩g g 解得3116<a ，所以实数a 的取值范围是31,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2==c e a得，222=a b，依题意1222⨯⨯=a b=ab解方程组222,⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ab得=a 1=b ，所以椭圆C 的方程为2212+=xy . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）依题意直线l 的斜率存在，设l ：(2)=-y k x ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1,2=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 得2222(12)8820+-+-=k x k x k ， 由422644(21)(82)0∆=-+->k k k ，得212<k ，且2122812+=+kx x k，21228212-=+k x x k． ………………………………………………（6分）∵+=OA OB tOP ，1212(,)(,)++=x x y y t x y ∴，当0=t 时，0=k，23-==>PA PB a ，∴0≠t ，21228(12)+==+x x kx tt k ，1212214[()4](12)+-==+-=+y y k y k x x k ttt k ，∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)-+⋅=++k k t k t k ，即22216(12)=+k t k . …………………………………………………………（8分）∵3-<PA PB123-<x 22121220(1)[()4]9++-<k x x x x ，∴422222648220(1)4(12)129⎡⎤-+-⋅<⎢⎥++⎣⎦k k k k k ， 即22(41)(1413)0-+>k k ，∴21.4>k ………………………………………………（10分）又212<k ，∴21142<<k ，则由222216881221==-++kt kk ，得2843<<t ，∴实数t的取值范围是2,233⎛⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：P A ∵为 O 的切线，∠=∠PAB AC P ∴， 又∠=∠P P ，PAB PC A ∴△∽△．.=AB PA ACPC∴…………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：如图7，∵P A 为 O 的切线，PBC 是过点O 的割线，2.=⋅PA PB PC ∴ ………………………………………………………………………（5分）又10,5,20,15,====PA PB PC BC ∵∴ 由（Ⅰ）知，12==AB PA ACPC，∵BC 是 O 的直径，22290,225,∠=︒+==CAB AC AB BC ∴∴==AC AB ∴…………………………（7分）连接CE ，则∠=∠ABC E ，又∠=∠C AE EAB ，,AC E AD B △∽△ .=AB AD AEAC∴90.⋅=⋅==AD AE AB AC ∴…………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l20-+-=y ，曲线C 的直角坐标方程为：221+=x y ． …………………………………………（4分）（Ⅱ）∵2,,'=⎧⎨'=⎩x x y y ∴将,2'⎧=⎪⎨⎪'=⎩x x y y 代入C ，得'C ：22()()14''+=x y ， 即椭圆'C 的方程为2214+=xy ．设椭圆'C 的参数方程为2cos ,sin =⎧⎨=⎩x y ϕϕ（ϕ为参数），则π2cos 4sin 6⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭x ϕϕϕ，∴+x 的最小值为 4.- …………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法一：当1=-a 时，()11=-++f x x x ， …………………………（1分） 由()3f x ≥得 113-++x x ≥，（ⅰ）当1-x ≤时，不等式化为113---x x ≥，即23-x ≥， 不等式组1,()3-⎧⎨⎩x f x ≤≥的解集为 3,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；（ⅱ）当11-<x ≤时，不等式化为113-++x x ≥，不可能成立， 不等式组11,()3-<⎧⎨⎩x f x ≤≥ 的解集为∅；图7（ⅲ）当1>x 时，不等式化为113-++x x ≥， 即23x ≥，不等式组1,()3>⎧⎨⎩x f x ≥的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，综上得，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ . ……………………………（5分）方法二：当1=-a 时，()11=-++f x x x ，由()3f x ≥得113-++x x ≥，由绝对值的几何意义11-++x x 表示数轴上的点x 到1-与1的距离之和，而11-++x x 的最小值为2，所以当32-x ≤或32x ≥时，113-++x x ≥，所以不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅱ）若1,()21==-a f x x ，不满足题设条件，若21,,1,()1,1,2(1),1,-++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩x a x a a f x a a x x a x ≤≥()f x 的最小值为1-a ；若21,1,1,()1,1,2(1),,-++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩x a x a f x a x a x a x a ≤≥ ()f x 的最小值为1-a ， …………………（8分）所以,()2∀∈x f x R ≥的充分条件是12-a ≥，从而a 的取值范围为(,1][3,)-∞-+∞ ． ………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（五）·双向细目表 理科数学。