考试必备-北京师大附中高一数学上学期期中考试试题(AP班)
(整理版)师大附中高一上学期期中考试试题(数学)
师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。
北京师大附中高一数学上学期期中考试试题(AP班)
北京市师大附中上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1） ()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<f （－2）D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a<1时，下列不等式成立的是 A. a 1.0<a 2.0B. log a 0.1> log a 0.2C. a 2<a 3D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that a player must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,2,1,1A B =-=-，则集合A B = （）A ．{}1-B ．{}1,0,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,22．设全集R U =，{}02M x x =≤≤，{}13N x x =≤≤．如图所示，阴影部分所表示的集合为（）A ．()(),03,∞∞-⋃+B ．(][),03,∞∞-⋃+C ．()(),12,+∞∞-⋃D ．(][),12,∞∞-⋃+3．设函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，()f x 是奇函数，则()3g 的值是（）A ．18-B ．8-C ．18D ．84．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．若,a b R ∈，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（）A ．55元B ．60元C ．65元D ．70元7．关于x 的方程2210x ax -+=的两个实数根12,x x ，满足12012x x <<<<，则常数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若()()()2,1,3a g b g c g =-==，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<9．对任意[]()()21,1,442a f x x a x a ∈-=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（）A ．()(),13,-∞+∞B ．()1,3C ．()(),12,-∞+∞ D ．()1,210．函数()()120f x x ax a =++->的定义域为R ，最小值为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 最小值为1；②()M a 最大值为3；③()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④只有唯一的a值使得()f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论是（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题11．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,2-，则这个函数的解析式是．12．函数()f x =的定义域是.13．写出一个a 的值，使关于x 的不等式1x a +<恰有两个整数解．a =．14．已知函数()92f x x x =+-，()2,x ∈+∞，当x =时，函数有最小值．15．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()2f x =()1f x ，则称函数()f x 是“()V k 型函数”．（i ）()21f x x =+是否为“()1V -型函数”？；（填“是”或“否”）（ii ）若函数()()1,10,1a x x g x a x x a x ⎧+-≥⎪=>⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”，则实数a 的取值范围是．三、解答题16．已知集合{}2560A x x x =-+=，{}2280B x x x =+-=，{}22190C x x ax a =-+-=．(1)求A B ⋂；(2)求实数a 的值，使得A C ⋂≠∅，B C =∅ ．17．解关于x 的不等式()2220x a x a --->．18．已知函数()231x f x x -=-(1)判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,5上的值域．19．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈．(1)若()f x 有两个零点．求实数t 的取值范围；(2)求()f x 在区间[]0,4上的最值．20．已知函数()()()2212,,1k f x x a g x h x x x =-+==+．(1)当1k =-时，方程()()f x g x =在()1,2上有实根，求实数a 的取值范围；(2)对任意R x ∈，不等式()()h x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的不等式()()h x g x >的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数k 的取值范围．21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．。
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一(5-11班)数学试题(解析版)
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一数学试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{| 2 x x >或1}x <【答案】B【解析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果. 【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A ．y =x 2B ．y =3xC ．y =x +1D ．y 【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断. 【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A ．ac ＞bc B ．a c ＞b cC ．a 2＞b 2D ．21ac +＞21b c + 【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c 时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6．函数f (x的最大值为 （ ） A ．2 5 B ．1 2C．D ．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12f x ==≤=，即1x =时取等号．故选B ．7．5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A ．3 B ．0C ．-3D ．13【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9．已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10．给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②. 【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题11．计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12．函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围. 【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13．若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【解析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值. 【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______。
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期中考试数学试卷(ap班) 后有答案
北京师大附中2013—2014学年上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ部分（70分）一、选择题：本大题有9小题，每小题3分，共27分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列关系中正确的是（ ） A. 0∈∅B. π∈QC. ∅∈{∅}D.2R ∈2. 已知2()f x x m =+，()(())g x f f x =，则()g x 等于（ ）A. 22()x m +B. 4x m + C. 22()x m m ++D. 42x m +3. 下列函数中，与函数||y x =表示同一个函数的是（ ）A. 33y x =B. 2y x =C. 2()y x =D. 2||x y x =4. 下列函数中为奇函数的是（ ）A. 3()1f x x =+ B. 34()f x x = C. 25()f x x =D. 3()f x x x =+5. 已知f （x ）是区间(,)-∞+∞上的偶函数并且在区间(0,)+∞上是减函数，则下列关系中正确的是（ ）A. (3)(1)f f <-B. (3)(1)f f >-C. (3)(1)f f =-D. 二者无法比较6. 已知函数y=mx+4的图象中有一部分位于第四象限，则关于m 的取值下列说法中正确的是（ ）A. m=0B. m<0C. 0<m<1D. m>07. 函数3()41f x x x =-+在下列哪个区间中一定具有零点？（ ）A. (2,1)--B. (1,0)-C. (1,2)D. (2,3)8. 已知12x -<<，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0||1x ≤<B. 1||2x <<C. 0||2x ≤<D. ||1x >9. 下列关系中正确的是（ ）A. 0.80.733<B. 0.10.10.750.75-<C. 0.10.1log 0.5log 0.6<D. 0.50.51.10.9--<二、填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分。
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京师范大学附属中学高一上学期期中数学试题含答案解析
2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >4. 函数1111y x x=-+-的奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇函数，又是偶函数5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3 D. ()3,46. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）是A. B.C. D.8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.12. 函数2122x x y ++=值域是________．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.15. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且的210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润多少？20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件集合A 的个数.是的2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义可求A B ⋂.【详解】因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数，故{}1,3A B =- ，故选：D.2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x -+≤”故选：D3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【详解】解：0a b <<Q ， 0ab ∴>，故C 错误；的两边同除ab 得：11a b>，故A 错误；a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确；故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．4. 函数1111y x x=-+-奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知{}1,R x x x ≠±∈，即定义域关于原点对称，又()()()11111111f x f x f x x x x x=-⇒-=-=-+--+，所以函数1111y x x=-+-是奇函数.故选：A5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】()33505f x x x x x =--=⇒=+函数3y x =和函数5y x =+在同一直角坐标系内图象如下图所示：的一方面()()()()()05,15,21,319,455f f f f f =-=-===，()()120f f <另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B 6. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确．考点：充分必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意.故选：C .8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.【详解】函数()221x f x x =+，则()()()()222211x x f x f x x x --==-=-+-+，即函数为奇函数，则A 、B 错误，当0x >时，()2201xf x x =>+.故D 正确故选：D9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定【答案】A 【解析】【分析】由条件可得()f x 在(),0∞-上是增函数，根据条件可得120x x >>-，所以()()12f x f x >-，从而得出答案.【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上是减函数故()f x 在(),0∞-上是增函数因为10x <且120x x +>，故120x x >>-；所以有()()12f x f x >-，又因为()()11f x f x ->所以有()()12f x f x ->-故选：A .10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-【答案】A 【解析】【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.【详解】令()11220f x m x m x x x =⇒=-=++，显然有0x ≠且2x ≠-且0m ≠，于是有()()()()()2,0122,,22,0x x x x x x x x m ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，设()()()()()()2,022,,22,0x x x g x x x x x x ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，它的图象如下图所示：因此要想函数()12f x m x x =-+有三个零点，只需0111m m <<⇒>，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.【答案】(),1-∞.【解析】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知101x x ->⇒<，即函数的定义域为(),1-∞.故答案为：(),1-∞12. 函数2122x x y ++=的值域是________．【答案】(0,1]【解析】【分析】根据二次函数的性质求解2()22f x x x =++的范围可得函数2122x x y ++=的值域【详解】解：由22()22(1)1f x x x x =++=++，可得()f x 的最小值为1，2122y x x ∴=++的值域为(0，1]．故答案为：(0，1]．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，1011、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.【答案】112【解析】【分析】运用基本不等式得出31x y +=≥，化简求得112xy ≤即可.【详解】 正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立.故答案为112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.【答案】 ①. 34-②. ()0,1【解析】【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空.【详解】易知()()()()314144f ff f -=⇒-==-，又1x ≤时，()22211y x x x =-+=-单调递减，且min 0y =，110x x >⇒>时，11y x=-单调递减，且10y -<<，作出函数()y f x =的图象如下：所以方程()f x k =有两个不同解即函数()y f x =与y k =有两个不同交点，显然()0,1k ∈.故答案为：34-；()0,115. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.【答案】()3,2--【解析】【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有0k <满足，若集合A 的元素个数最少，由0k <，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解.【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<；当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+，所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当0k <时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个.综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当0k <时，集合A 的元素个数为有限个，故当0k <时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+ 的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k =+（0k <），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =，所以()f k 在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-<+<-，即32k -<<-时，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -<<-故答案为:()3,2--【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x ≤< （2）][()3,23,--⋃+∞【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，然后利用补集和交集运算求解即可；（2）根据集合关系列不等式组求解即可.【小问1详解】因为{}2230A x x x =--<，所以{}13A x x =-<<，所以{}13U A x x x =≤-≥或ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}34U A B x x ⋂=≤<ð.【小问2详解】因为{}13U A x x x =≤-≥或ð，由题意得23231a a a <+⎧⎨+≤-⎩或233a a a <+⎧⎨≥⎩，解得32a -<≤-或3a ≥.所以实数a 的取值范围是][()3,23,--⋃+∞.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.【答案】（1）()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明见解析 （2）322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解，（2）由函数的单调性即可求解.【小问1详解】()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明如下：设1225x x ≤<≤，则()()()()()()21211222221212111111x x x x f x f x x x x x -+-=-=++++，由于1225x x ≤<≤，所以()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，因此()()120f x f x ->，故()()12f x f x >，所以()f x 在[]2,5x ∈单调递减，【小问2详解】由（1）知()f x 在[]2,5x ∈单调递减，所以由()()121f m f m +<-得51212m m ≥+>-≥，解得322m ≤<，故不等式解集为322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【答案】18. 124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭19. 14a <-或94a >【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解集合M ．（2）x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆，对a 分类讨论，解出不等式()(2)0x a x a -+-<的解集，可得a 的取值范围．【小问1详解】221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，的故函数在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当12x =时取最小值min 14y =-，当=1x -时，2y =，当1x =时，0y =，故124y -≤<，所以124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，【小问2详解】x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆．当1a >时，2a a >-，此时(2,)N a a =-,所以1242a a ⎧-<-⎪⎨⎪≥⎩，解得94a >；当1a =时，N 为空集，不适合题意，所以1a =舍去； 当1a <时，2a a <-，此时(,2)N a a =-，所以1422a a ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩，解得14a <-综上可得a 取值范围是14a <-或94a >19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；的（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()(920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）217()()24f x x =++（2）2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（3）13[,3{})3+∞⋃．【解析】【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；（2）通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于a 的不等式，解出即可．【小问1详解】设函数2()()f x a x h k =-+，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74可得得217()(24f x a x =++，将(0,2)代入()f x 得：1a =，故217()()24f x x =++；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，12m ≤-时，()f x 在[2m -,]m 递减，2min 17()()(24f x f m m ==++，1322m -<<时，()f x 在[2m -,12-递减，在1(2-,]m 递增，故min 17()()24f x f =-=，32m ≥时，()f x 在[2m -,]m 递增，故2min 37()(2)(24f x f m m =-=-+；综上，2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；【小问3详解】2217()()1()1(1)124F x f x ax x ax x a x =--=++--=+-+在(0,3)上只有一个零点，当Δ0=时，即()2140a ∆=--=，解得3a =或1a =-当1a =-时，2210x x ++=，=1x -不满足题意，舍去，当3a =时，2210x x -+=，1x =满足题意，当0∆>时，当()(0)30F F ⋅<，解得133a >，此时()F x 在(0,3)上只有一个零点，由于(0)1F =，当()31330F a =-=时，此时133a =，此时210()103F x x x =+=-，解得13x =或3x =（舍去），满足条件，综上可得133a ≥，综上：a 的取值范围是13[,3{})3+∞⋃．21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A = （2）证明见解析 （3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A = ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A = ； （2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈ 使得0x A ∈， 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈ ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<< ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，第21页/共21页又因为121001m a a a -<<< ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤． 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =- ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
北京市师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京师大二附中2024—2025学年高一年级第一学期数学期中测试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一､单选题1.下列说法不正确的是（ ） A.B.C.D.2.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）A.1B.3C.5D.93.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60件B.80件C.100件D.120件4.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A ､径赛项目B ､其他健身项目C .该班有25名同学选择球类项目A ，20名同学选择径赛项目B ，18名同学选择其他健身项目C ；其中有6名同学同时选择A 和名同学同时选择A 和C ，3名同学同时选择B 和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）A.51B.50C.49D.485.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ）A. B. C. D.6.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具*0∈N 0∈N 0.1∉Z 2∈Q{}0,1,2A ={},B x yx A y A =-∈∈∣x 8x,4B C (),a b a b ε-<ε02a bx +=0,4ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭0,2ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,ε[)0,2εx 210mx mx +->∅m ()(),40,∞∞--⋃+[)4,0-][(),40,∞∞--⋃+[]4,0-()f x R 12,x x ∈R ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭()f x P ()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩()2f x x =()21f x x =-有性质的函数的个数为（ ）A.0B.1C.2D.38.已知“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：①中的元素不都是的元素；②的元素都不是的元素；③存在且；④存在且；这四个命题中，真命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数，则的定义域为（ ）A. B. C. D.10.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､填空题11.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________.12.若集合只含一个元素，则__________.13.若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________.14.若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为__________.15.若关于的方程的两个实数根是，则的最小值是__________.三､解答题16.设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值.17.已知集合，其中至少有一个集合不是空集，求实数的取值范围.P M P M P M P x P ∈x M ∈x M ∈x P ∉()f x =()()1212g x f x x =-+-3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()3,22,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()3,22,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()(),22,∞∞-⋃+()f x m =+[](),1a b b a >≥-()f x [],a b []2,2a b m 178m >-102m <≤2m ≤-1728m -<≤-{}0{}21,0,M xx n x n ==+<∈R ∣{}∅∅(){}0,0210x+={}2210M xax x =++=∣a =()y f x =2x =()()()01f a f f <<a x 212kx x k ≤++≤k m 2260m am a -++=,x y 22(1)(1)x y -+-A ,0,1a -B 1,,1c b a b++A B =,,a b c {}(){}{}22224430,10,220A xx ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=∣∣∣a18.已知关于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的范围.19.已知函数，且.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）求函数在上的最值.20.定义在区间上的函数满足，且对任意的都有.（1）证明：对任意的都有；（2）求的值；（3）计算.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.答案一､单选题1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.C8.B9.C10.D二､填空题11.②④⑥12.0或113.14.15.8x ()221x x a a -->∈R 1a =R a ()2a f x x x =-()922f =a ()f x ()1,∞+()f x []2,3[]0,1()f x ()()010f f ==[]12,0,1x x ∈()()12122x x f f x f x +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭[]0,1x ∈()0f x ≥34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭202411112422k ff f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2f x x x a x a =-+∈R ()f x R a []0,4a ∈x ()()0f x tf a -=t ()(),04,∞∞-⋃+三､解答题16.因为，所以，解得，所以的值分别为.17.当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解，即解此不等式组，得.所以所求实数的取值范围为.18.（1）时，原不等式为，整理，得，对于方程，因为，所以它有两个不等的实数根，解得结合函数的图象得不等式的解集为或.（2）原不等式可化为，由于不等式解集为，结合函数图象可知，方程无实数根，所以，所以的范围是.19.（1）因为，且，所以，所以.（2）函数在上单调递增.证明如下：1,0AB a b =≠+10,1,1c b a a b+==-=+1,2,2a b c ==-=,,a b c 1,2,2-()2122223Δ164430,Δ(1)40,Δ480.a a a a a a ⎧=--+<⎪=--<⎨⎪=+<⎩312a -<<-a [)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃-+ ⎥⎝⎦1a =2211x x -->2220x x -->2220x x --=Δ120=>1211x x ==+222y x x =--{1x x <-∣1x >+2210x x a --->R 221y x x a =---2210x x a ---=()Δ441840a a =++=+<a {2}aa <-∣()2a f x x x =-()922f =9422a -=1a =-()f x ()1,∞+由（1）可得，，任取，不妨设，则因为且，所以，所以，即，所以在上单调递增.（3）由（2）知，函数在上单调递增，则当时，有最小值；当时，有最大值.20.（1）任取，则有，即，于是，所以，对任意的都有.（2）由，得，于是，但由（1）的结果知，所以，()12f x x x=+()12,1,x x ∞∈+12x x <()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()2121112x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()1221122x x x x x x -=-+()211212x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21121221x x x x x x --=()12,1,x x ∞∈+12x x <2112120,210,0x x x x x x ->->>()()210f x f x ->()()21f x f x >()f x ()1,∞+()f x []2,32x =()f x ()922f =3x =()f x ()1933f =[]120,1x x x ==∈()()22x f f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭()()2f x f x ≤()0f x ≥[]0,1x ∈()0f x ≥()()010f f ==()()01010002f f f +⎛⎫≤+=+=⎪⎝⎭102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭102f ⎛⎫≥⎪⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，则，于是，由（1）的结果知，所以.（3）由，得，于是，但由（1）的结果知，所以，继续求下去，可得，因此，.21.（1）.由在上是增函数，则即，则范围为.（2）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根.当时，由，得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为；时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；()10,102f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()1112100022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭304f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭304f ⎛⎫≥⎪⎝⎭304f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()100,02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()1012000022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭104f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭104f ⎛⎫≥⎪⎝⎭211042f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,1,2,3,,20242k f k ⎛⎫== ⎪⎝⎭2024111102422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩()f x R 2,22,2a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩22a -≤≤a 22a -≤≤22a -≤≤()f x R x ()()0f x tf a -=(]2,4a ∈()()()222,2,x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩x a ≥()()22f x x a x =+-22a x -=()f x [),x a ∞∈+()f x ())[),2,f a a ∞∞⎡+=+⎣x a <()()22f x x a x =-++22a x +=()f x 2,2a x ∞+⎛⎤∈- ⎥⎝⎦()f x 2(2),4a ∞⎛⎤+- ⎥⎝⎦()f x 2,2a x ∞+⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭()f x 2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦由存在，方程有三个不相等的实根，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数的取值范围为.综上所述，实数的取值范围为.(]2,4a ∈()()2f x tf a ta ==2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(]2,4a ∈2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()2(2)8a g a a +=()max ()t g a <()g a (]2,4a ∈()max 9()48g a g ==t 91,8⎛⎫⎪⎝⎭t 91,8⎛⎫⎪⎝⎭。
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北京市师大附中-上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）
说明：本试卷共150分，考试时间120分钟◎
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分◎
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的◎
1◎
设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于
A ◎
φ B ◎
{3} C ◎
{1，3，5，6} D ◎
Ｒ
2◎
函数f （x ）＝
x
-12的定义域是
A ◎
（－∞，1） B ◎
(]1,∞- C ◎
Ｒ D ◎
（－∞，1） ()∞+，1
3◎
下列函数中在其定义域上是偶函数的是
A ◎
y ＝2x B ◎
y ＝x 3
C ◎
y ＝x 2
1
D ◎
y ＝x
2
-
4◎
下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是
A ◎
y ＝－x 2
B ◎
y ＝ x 2
－2 C ◎
y ＝2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛ D ◎
y ＝log 2x 1
5◎
已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是
A ◎
f （x ）＋f （－x ）＝2 B ◎
f （x ）f （－x ）＝2 C ◎
f （x ）＝f （－x ） D ◎
–f （x ）＝f （－x ）
6◎
设函数f （x ）＝a
x
-（a>0），且f （2）＝4，则
A ◎
f （－1）>f （－2） B ◎
f （1）>f （2） C ◎
f （2）<f （－2） D ◎
f （－3）>f
（－2）
7◎
已知a ＝log 20◎
3，b ＝2
3
.0，c ＝0◎
3
2
.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是
A ◎
a>b>c B ◎
b>a>c C ◎
b>c>a D ◎
c>b>a
8◎
函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，
2
7），则a 的值为 A ◎
2
2
B ◎
2 C ◎
4 D ◎
2
1 9◎
当0<a<1时，下列不等式成立的是
A ◎ a
1
.0<a
2
.0
B ◎
log a 0◎
1> log a 0◎
2 C ◎
a 2<a 3
D ◎
log a 2< log a 3
10◎
A semipro baseball league has teams with 21 players each ◎
League rules state that a player must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000◎
What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？
A ◎
270，000 B ◎
385，000 C ◎
400，000 D ◎
430，000 E ◎
700，000
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分◎
11◎
273
2＋lg4＋2lg5＝__________
12◎
函数y ＝x 3log 2-的定义域是________
13◎
已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2221，，则f （2）＝_______
14◎
一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，
复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过______分钟，该病毒占据64MB 内存◎
15◎
For real numbers ａ and b ， define a ＄b ＝（a －b ）
2
◎
What is （x －y ）2
＄（y －
x ）2
？______
16◎
已知f （x ）＝x 2
＋（a －1）x ＋a 在区间[)∞+，2上是增函数，则a 的取值范围是______
17◎
若a>0，a ≠1，F （x ）为偶函数，则G （x ）＝F （x ）·log a （x ＋12+x ）是_______
函数（填“奇”或“偶”），它的图像关于______对称◎
18◎
A class collects ＄50 to buy flowers for a classmate who is in the hospital ◎
Roses cost ＄3 each ， and carnations cost ＄2 each ◎
No other flowers are to be used ◎
How many different bouquets could be purchased for exactly ＄50？_______
三、解答题：本大题共4小题，共28分
19◎
已知集合A ＝{}{
}
81log 24303≥=≤-<x
x B ，x x 集合，求A B ⋂◎
20◎
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆◎
租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元◎
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21◎ 已知f （x ）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且满足f （x y ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1◎
（1）求f （8）
（2）求不等式f （x ）－f （x －2）>3的解集
22◎
已知：2256≤x
且log 22
1≥
x ， （1）求x 的取值范围；
（2）求函数f （x ）＝ log 2（
2
x
）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅2log 2x 的最大值和最小值◎
【试题答案】
一、选择题
1◎
C 2◎
A 3◎
D 4◎
B 5◎
A 6◎
D 7◎
C 8◎
C 9◎
B 10◎
C
二、填空题 11◎
11
12◎
(]90，
13◎
2
14◎
45 15◎ 0
16◎ a 3-≥ 17◎ 原点 18◎
9
三、解答题
19◎
解：由0<3－x 314<≤-⇒≤x ∴ A ＝[)31，-
由2281log 3≥⇒≥x x ∴ B ＝[)∞+，2 ∴ A ⋂B ＝[)32， 20◎
解：（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为
1250
3000
3600=-，所以
这时租出了88辆◎
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则公司月收益为
f （x ）＝()5050
3000
150503000100⨯---⎪⎭⎫ ⎝⎛--
x x x 整理得：f （x ）＝－()307050405050
12100162502
2+--=-+x x x ∴ 当x ＝4050时，f （x ）最大，最大值为f （4050）＝307050元
21◎
解：（1）由题意得f （8）＝f ()24⨯＝f （4）＋f （2）＝f ()22⨯＋f （2）＝f （2）＋f （2）
＋f （2）＝3f （2）
又1)2(=f ∴3)8(=f
（2）不等式化为f （x ）>f （x －2）＋3
∵ f （8）＝3
∴ f （x ）>f （x －2）＋f （8）＝f （8x －16）
∵ f （x ）是（0，＋∞）上的增函数 ∴ 716
2)
2(80)2(8<<⎩⎨
⎧->>-x x x x 解得
22◎
解：（1）由2256≤x
得x ≤8，由log 22
1
≥
x 得2≥x ∴ 82≤≤x
（2）由（1）82≤≤x 得
3log 2
1
2≤≤x f （x ）＝log 2（
2
x ）·log 2
（2
x
）＝（log 2x －log 22）（log 2
x －log
2
2）
∴ f （x ）＝（log 2x －1）·（log 2x －2）＝（log 2x －23）2－4
1◎
当log 2x ＝23，f （x ）min ＝－4
1
，当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2。