考试必备-北京师大附中高一数学上学期期中考试试题(AP班)
北京市师大附中-上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）
说明：本试卷共150分，考试时间120分钟◎
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分◎
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的◎
1◎
设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于
A ◎
φ B ◎
{3} C ◎
{1，3，5，6} D ◎
Ｒ
2◎
函数f （x ）＝
x
-12的定义域是
A ◎
（－∞，1） B ◎
(]1,∞- C ◎
Ｒ D ◎
（－∞，1） ()∞+，1
3◎
下列函数中在其定义域上是偶函数的是
A ◎
y ＝2x B ◎
y ＝x 3
C ◎
y ＝x 2
1
D ◎
y ＝x
2
-
4◎
下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是
A ◎
y ＝－x 2
B ◎
y ＝ x 2
－2 C ◎
y ＝2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛ D ◎
y ＝log 2x 1
5◎
已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是
A ◎
f （x ）＋f （－x ）＝2 B ◎
f （x ）f （－x ）＝2 C ◎
f （x ）＝f （－x ） D ◎
–f （x ）＝f （－x ）
6◎
设函数f （x ）＝a
x
-（a>0），且f （2）＝4，则
A ◎
f （－1）>f （－2） B ◎
f （1）>f （2） C ◎
f （2）<f （－2） D ◎
f （－3）>f
（－2）
7◎
已知a ＝log 20◎
3，b ＝2
3
.0，c ＝0◎
3
2
.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是
A ◎
a>b>c B ◎
b>a>c C ◎
b>c>a D ◎
c>b>a
8◎
函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，
2
7），则a 的值为 A ◎
2
2
B ◎
2 C ◎
4 D ◎
2
1 9◎
当0<a<1时，下列不等式成立的是
A ◎ a
1
.0<a
2
.0
B ◎
log a 0◎
1> log a 0◎
2 C ◎
a 2<a 3
D ◎
log a 2< log a 3
10◎
A semipro baseball league has teams with 21 players each ◎
League rules state that a player must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000◎
What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？
A ◎
270，000 B ◎
385，000 C ◎
400，000 D ◎
430，000 E ◎
700，000
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分◎
11◎
273
2＋lg4＋2lg5＝__________
12◎
函数y ＝x 3log 2-的定义域是________
13◎
已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2221，，则f （2）＝_______
14◎
一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，
复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过______分钟，该病毒占据64MB 内存◎
15◎
For real numbers ａ and b ， define a ＄b ＝（a －b ）
2
◎
What is （x －y ）2
＄（y －
x ）2
？______
16◎
已知f （x ）＝x 2
＋（a －1）x ＋a 在区间[)∞+，2上是增函数，则a 的取值范围是______
17◎
若a>0，a ≠1，F （x ）为偶函数，则G （x ）＝F （x ）·log a （x ＋12+x ）是_______
函数（填“奇”或“偶”），它的图像关于______对称◎
18◎
A class collects ＄50 to buy flowers for a classmate who is in the hospital ◎
Roses cost ＄3 each ， and carnations cost ＄2 each ◎
No other flowers are to be used ◎
How many different bouquets could be purchased for exactly ＄50？_______
三、解答题：本大题共4小题，共28分
19◎
已知集合A ＝{}{
}
81log 24303≥=≤-<x
x B ，x x 集合，求A B ⋂◎
20◎
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆◎
租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元◎
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21◎ 已知f （x ）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且满足f （x y ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1◎
（1）求f （8）
（2）求不等式f （x ）－f （x －2）>3的解集
22◎
已知：2256≤x
且log 22
1≥
x ， （1）求x 的取值范围；
（2）求函数f （x ）＝ log 2（
2
x
）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅2log 2x 的最大值和最小值◎
【试题答案】
一、选择题
1◎
C 2◎
A 3◎
D 4◎
B 5◎
A 6◎
D 7◎
C 8◎
C 9◎
B 10◎
C
二、填空题 11◎
11
12◎
(]90，
13◎
2
14◎
45 15◎ 0
16◎ a 3-≥ 17◎ 原点 18◎
9
三、解答题
19◎
解：由0<3－x 314<≤-⇒≤x ∴ A ＝[)31，-
由2281log 3≥⇒≥x x ∴ B ＝[)∞+，2 ∴ A ⋂B ＝[)32， 20◎
解：（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为
1250
3000
3600=-，所以
这时租出了88辆◎
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则公司月收益为
f （x ）＝()5050
3000
150503000100⨯---⎪⎭⎫ ⎝⎛--
x x x 整理得：f （x ）＝－()307050405050
12100162502
2+--=-+x x x ∴ 当x ＝4050时，f （x ）最大，最大值为f （4050）＝307050元
21◎
解：（1）由题意得f （8）＝f ()24⨯＝f （4）＋f （2）＝f ()22⨯＋f （2）＝f （2）＋f （2）
＋f （2）＝3f （2）
又1)2(=f ∴3)8(=f
（2）不等式化为f （x ）>f （x －2）＋3
∵ f （8）＝3
∴ f （x ）>f （x －2）＋f （8）＝f （8x －16）
∵ f （x ）是（0，＋∞）上的增函数 ∴ 716
2)
2(80)2(8<<⎩⎨
⎧->>-x x x x 解得
22◎
解：（1）由2256≤x
得x ≤8，由log 22
1
≥
x 得2≥x ∴ 82≤≤x
（2）由（1）82≤≤x 得
3log 2
1
2≤≤x f （x ）＝log 2（
2
x ）·log 2
（2
x
）＝（log 2x －log 22）（log 2
x －log
2
2）
∴ f （x ）＝（log 2x －1）·（log 2x －2）＝（log 2x －23）2－4
1◎
当log 2x ＝23，f （x ）min ＝－4
1
，当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2。
(整理版)师大附中高一上学期期中考试试题(数学)
师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。
北京师大附中高一数学上学期期中考试试题(AP班)
北京市师大附中上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1） ()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<f （－2）D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a<1时，下列不等式成立的是 A. a 1.0<a 2.0B. log a 0.1> log a 0.2C. a 2<a 3D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that a player must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,2,1,1A B =-=-，则集合A B = （）A ．{}1-B ．{}1,0,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,22．设全集R U =，{}02M x x =≤≤，{}13N x x =≤≤．如图所示，阴影部分所表示的集合为（）A ．()(),03,∞∞-⋃+B ．(][),03,∞∞-⋃+C ．()(),12,+∞∞-⋃D ．(][),12,∞∞-⋃+3．设函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，()f x 是奇函数，则()3g 的值是（）A ．18-B ．8-C ．18D ．84．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．若,a b R ∈，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（）A ．55元B ．60元C ．65元D ．70元7．关于x 的方程2210x ax -+=的两个实数根12,x x ，满足12012x x <<<<，则常数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若()()()2,1,3a g b g c g =-==，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<9．对任意[]()()21,1,442a f x x a x a ∈-=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（）A ．()(),13,-∞+∞B ．()1,3C ．()(),12,-∞+∞ D ．()1,210．函数()()120f x x ax a =++->的定义域为R ，最小值为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 最小值为1；②()M a 最大值为3；③()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④只有唯一的a值使得()f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论是（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题11．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,2-，则这个函数的解析式是．12．函数()f x =的定义域是.13．写出一个a 的值，使关于x 的不等式1x a +<恰有两个整数解．a =．14．已知函数()92f x x x =+-，()2,x ∈+∞，当x =时，函数有最小值．15．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()2f x =()1f x ，则称函数()f x 是“()V k 型函数”．（i ）()21f x x =+是否为“()1V -型函数”？；（填“是”或“否”）（ii ）若函数()()1,10,1a x x g x a x x a x ⎧+-≥⎪=>⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”，则实数a 的取值范围是．三、解答题16．已知集合{}2560A x x x =-+=，{}2280B x x x =+-=，{}22190C x x ax a =-+-=．(1)求A B ⋂；(2)求实数a 的值，使得A C ⋂≠∅，B C =∅ ．17．解关于x 的不等式()2220x a x a --->．18．已知函数()231x f x x -=-(1)判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,5上的值域．19．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈．(1)若()f x 有两个零点．求实数t 的取值范围；(2)求()f x 在区间[]0,4上的最值．20．已知函数()()()2212,,1k f x x a g x h x x x =-+==+．(1)当1k =-时，方程()()f x g x =在()1,2上有实根，求实数a 的取值范围；(2)对任意R x ∈，不等式()()h x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的不等式()()h x g x >的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数k 的取值范围．21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．。
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一(5-11班)数学试题(解析版)
北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一数学试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{| 2 x x >或1}x <【答案】B【解析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果. 【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A ．y =x 2B ．y =3xC ．y =x +1D ．y 【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断. 【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A ．ac ＞bc B ．a c ＞b cC ．a 2＞b 2D ．21ac +＞21b c + 【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c 时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6．函数f (x的最大值为 （ ） A ．2 5 B ．1 2C．D ．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12f x ==≤=，即1x =时取等号．故选B ．7．5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A ．3 B ．0C ．-3D ．13【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9．已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10．给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②. 【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题11．计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12．函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围. 【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13．若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【解析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值. 【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______。
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期中考试数学试卷(ap班) 后有答案
北京师大附中2013—2014学年上学期高一年级期中考试数学试卷（AP 班）本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ部分（70分）一、选择题：本大题有9小题，每小题3分，共27分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列关系中正确的是（ ） A. 0∈∅B. π∈QC. ∅∈{∅}D.2R ∈2. 已知2()f x x m =+，()(())g x f f x =，则()g x 等于（ ）A. 22()x m +B. 4x m + C. 22()x m m ++D. 42x m +3. 下列函数中，与函数||y x =表示同一个函数的是（ ）A. 33y x =B. 2y x =C. 2()y x =D. 2||x y x =4. 下列函数中为奇函数的是（ ）A. 3()1f x x =+ B. 34()f x x = C. 25()f x x =D. 3()f x x x =+5. 已知f （x ）是区间(,)-∞+∞上的偶函数并且在区间(0,)+∞上是减函数，则下列关系中正确的是（ ）A. (3)(1)f f <-B. (3)(1)f f >-C. (3)(1)f f =-D. 二者无法比较6. 已知函数y=mx+4的图象中有一部分位于第四象限，则关于m 的取值下列说法中正确的是（ ）A. m=0B. m<0C. 0<m<1D. m>07. 函数3()41f x x x =-+在下列哪个区间中一定具有零点？（ ）A. (2,1)--B. (1,0)-C. (1,2)D. (2,3)8. 已知12x -<<，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0||1x ≤<B. 1||2x <<C. 0||2x ≤<D. ||1x >9. 下列关系中正确的是（ ）A. 0.80.733<B. 0.10.10.750.75-<C. 0.10.1log 0.5log 0.6<D. 0.50.51.10.9--<二、填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分。
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京师范大学附属中学高一上学期期中数学试题含答案解析
2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >4. 函数1111y x x=-+-的奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇函数，又是偶函数5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3 D. ()3,46. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）是A. B.C. D.8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.12. 函数2122x x y ++=值域是________．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.15. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且的210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润多少？20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件集合A 的个数.是的2023北京北师大二附中高一（上）期中数学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B = （ ）A. {}1,0- B. {}1,2- C. {}0,3 D. {}1,3-【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义可求A B ⋂.【详解】因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数，故{}1,3A B =- ，故选：D.2. 命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”的否定为（ ）A. x ∀∈R ，2230x x -+< B. x ∀∈R ，2230x x -+≤C. x ∃∈R ，2230x x -+< D. x ∃∈R ，2230x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x -+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x -+≤”故选：D3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A.11a b< B. a b< C. 0ab < D.2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．【详解】解：0a b <<Q ， 0ab ∴>，故C 错误；的两边同除ab 得：11a b>，故A 错误；a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确；故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．4. 函数1111y x x=-+-奇偶性是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知{}1,R x x x ≠±∈，即定义域关于原点对称，又()()()11111111f x f x f x x x x x=-⇒-=-=-+--+，所以函数1111y x x=-+-是奇函数.故选：A5. 函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】()33505f x x x x x =--=⇒=+函数3y x =和函数5y x =+在同一直角坐标系内图象如下图所示：的一方面()()()()()05,15,21,319,455f f f f f =-=-===，()()120f f <另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B 6. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确．考点：充分必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意.故选：C .8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.【详解】函数()221x f x x =+，则()()()()222211x x f x f x x x --==-=-+-+，即函数为奇函数，则A 、B 错误，当0x >时，()2201xf x x =>+.故D 正确故选：D9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ）A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2）B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定【答案】A 【解析】【分析】由条件可得()f x 在(),0∞-上是增函数，根据条件可得120x x >>-，所以()()12f x f x >-，从而得出答案.【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上是减函数故()f x 在(),0∞-上是增函数因为10x <且120x x +>，故120x x >>-；所以有()()12f x f x >-，又因为()()11f x f x ->所以有()()12f x f x ->-故选：A .10. 已知函数()12f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1m > B. 01m <<C 12m << D. 1m <-【答案】A 【解析】【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.【详解】令()11220f x m x m x x x =⇒=-=++，显然有0x ≠且2x ≠-且0m ≠，于是有()()()()()2,0122,,22,0x x x x x x x x m ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，设()()()()()()2,022,,22,0x x x g x x x x x x ∞⎧+>⎪=+=⎨-+∈--⋃-⎪⎩，它的图象如下图所示：因此要想函数()12f x m x x =-+有三个零点，只需0111m m <<⇒>，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.【答案】(),1-∞.【解析】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知101x x ->⇒<，即函数的定义域为(),1-∞.故答案为：(),1-∞12. 函数2122x x y ++=的值域是________．【答案】(0,1]【解析】【分析】根据二次函数的性质求解2()22f x x x =++的范围可得函数2122x x y ++=的值域【详解】解：由22()22(1)1f x x x x =++=++，可得()f x 的最小值为1，2122y x x ∴=++的值域为(0，1]．故答案为：(0，1]．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，1011、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.【答案】112【解析】【分析】运用基本不等式得出31x y +=≥，化简求得112xy ≤即可.【详解】 正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立.故答案为112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f -=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.【答案】 ①. 34-②. ()0,1【解析】【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空.【详解】易知()()()()314144f ff f -=⇒-==-，又1x ≤时，()22211y x x x =-+=-单调递减，且min 0y =，110x x >⇒>时，11y x=-单调递减，且10y -<<，作出函数()y f x =的图象如下：所以方程()f x k =有两个不同解即函数()y f x =与y k =有两个不同交点，显然()0,1k ∈.故答案为：34-；()0,115. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.【答案】()3,2--【解析】【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有0k <满足，若集合A 的元素个数最少，由0k <，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解.【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<；当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+，所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当0k <时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个.综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当0k <时，集合A 的元素个数为有限个，故当0k <时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+ 的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k =+（0k <），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =，所以()f k 在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-<+<-，即32k -<<-时，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -<<-故答案为:()3,2--【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}04B x x =<<.（1）求()U A B ⋂ð；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若U D A ⊆ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x ≤< （2）][()3,23,--⋃+∞【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，然后利用补集和交集运算求解即可；（2）根据集合关系列不等式组求解即可.【小问1详解】因为{}2230A x x x =--<，所以{}13A x x =-<<，所以{}13U A x x x =≤-≥或ð，因为{}04B x x =<<，所以(){}34U A B x x ⋂=≤<ð.【小问2详解】因为{}13U A x x x =≤-≥或ð，由题意得23231a a a <+⎧⎨+≤-⎩或233a a a <+⎧⎨≥⎩，解得32a -<≤-或3a ≥.所以实数a 的取值范围是][()3,23,--⋃+∞.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求不等式()()121f m f m +<-的解集.【答案】（1）()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明见解析 （2）322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解，（2）由函数的单调性即可求解.【小问1详解】()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明如下：设1225x x ≤<≤，则()()()()()()21211222221212111111x x x x f x f x x x x x -+-=-=++++，由于1225x x ≤<≤，所以()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，因此()()120f x f x ->，故()()12f x f x >，所以()f x 在[]2,5x ∈单调递减，【小问2详解】由（1）知()f x 在[]2,5x ∈单调递减，所以由()()121f m f m +<-得51212m m ≥+>-≥，解得322m ≤<，故不等式解集为322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18. 已知2y x x =-，且()1,1x ∈-.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【答案】18. 124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭19. 14a <-或94a >【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解集合M ．（2）x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆，对a 分类讨论，解出不等式()(2)0x a x a -+-<的解集，可得a 的取值范围．【小问1详解】221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，的故函数在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当12x =时取最小值min 14y =-，当=1x -时，2y =，当1x =时，0y =，故124y -≤<，所以124M y y ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，【小问2详解】x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆．当1a >时，2a a >-，此时(2,)N a a =-,所以1242a a ⎧-<-⎪⎨⎪≥⎩，解得94a >；当1a =时，N 为空集，不适合题意，所以1a =舍去； 当1a <时，2a a <-，此时(,2)N a a =-，所以1422a a ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩，解得14a <-综上可得a 取值范围是14a <-或94a >19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；的（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()(920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =-，函数()f x在R 上最小值为74.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）；（3）若函数()()1F x f x ax =--在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）217()()24f x x =++（2）2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（3）13[,3{})3+∞⋃．【解析】【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可；（2）通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于a 的不等式，解出即可．【小问1详解】设函数2()()f x a x h k =-+，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上最小值为74可得得217()(24f x a x =++，将(0,2)代入()f x 得：1a =，故217()()24f x x =++；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，12m ≤-时，()f x 在[2m -,]m 递减，2min 17()()(24f x f m m ==++，1322m -<<时，()f x 在[2m -,12-递减，在1(2-,]m 递增，故min 17()()24f x f =-=，32m ≥时，()f x 在[2m -,]m 递增，故2min 37()(2)(24f x f m m =-=-+；综上，2min2171(),242713(),422373(),242m m f x m m m ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；【小问3详解】2217()()1()1(1)124F x f x ax x ax x a x =--=++--=+-+在(0,3)上只有一个零点，当Δ0=时，即()2140a ∆=--=，解得3a =或1a =-当1a =-时，2210x x ++=，=1x -不满足题意，舍去，当3a =时，2210x x -+=，1x =满足题意，当0∆>时，当()(0)30F F ⋅<，解得133a >，此时()F x 在(0,3)上只有一个零点，由于(0)1F =，当()31330F a =-=时，此时133a =，此时210()103F x x x =+=-，解得13x =或3x =（舍去），满足条件，综上可得133a ≥，综上：a 的取值范围是13[,3{})3+∞⋃．21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001···205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A = （2）证明见解析 （3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A = ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A = ； （2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈ 使得0x A ∈， 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈ ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<< ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤，第21页/共21页又因为121001m a a a -<<< ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤． 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =- ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
北京市师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京师大二附中2024—2025学年高一年级第一学期数学期中测试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一､单选题1.下列说法不正确的是（ ） A.B.C.D.2.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）A.1B.3C.5D.93.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60件B.80件C.100件D.120件4.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A ､径赛项目B ､其他健身项目C .该班有25名同学选择球类项目A ，20名同学选择径赛项目B ，18名同学选择其他健身项目C ；其中有6名同学同时选择A 和名同学同时选择A 和C ，3名同学同时选择B 和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）A.51B.50C.49D.485.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ）A. B. C. D.6.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具*0∈N 0∈N 0.1∉Z 2∈Q{}0,1,2A ={},B x yx A y A =-∈∈∣x 8x,4B C (),a b a b ε-<ε02a bx +=0,4ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭0,2ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,ε[)0,2εx 210mx mx +->∅m ()(),40,∞∞--⋃+[)4,0-][(),40,∞∞--⋃+[]4,0-()f x R 12,x x ∈R ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭()f x P ()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩()2f x x =()21f x x =-有性质的函数的个数为（ ）A.0B.1C.2D.38.已知“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：①中的元素不都是的元素；②的元素都不是的元素；③存在且；④存在且；这四个命题中，真命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数，则的定义域为（ ）A. B. C. D.10.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､填空题11.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________.12.若集合只含一个元素，则__________.13.若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是__________.14.若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为__________.15.若关于的方程的两个实数根是，则的最小值是__________.三､解答题16.设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值.17.已知集合，其中至少有一个集合不是空集，求实数的取值范围.P M P M P M P x P ∈x M ∈x M ∈x P ∉()f x =()()1212g x f x x =-+-3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()3,22,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()3,22,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()(),22,∞∞-⋃+()f x m =+[](),1a b b a >≥-()f x [],a b []2,2a b m 178m >-102m <≤2m ≤-1728m -<≤-{}0{}21,0,M xx n x n ==+<∈R ∣{}∅∅(){}0,0210x+={}2210M xax x =++=∣a =()y f x =2x =()()()01f a f f <<a x 212kx x k ≤++≤k m 2260m am a -++=,x y 22(1)(1)x y -+-A ,0,1a -B 1,,1c b a b++A B =,,a b c {}(){}{}22224430,10,220A xx ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=∣∣∣a18.已知关于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的范围.19.已知函数，且.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）求函数在上的最值.20.定义在区间上的函数满足，且对任意的都有.（1）证明：对任意的都有；（2）求的值；（3）计算.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.答案一､单选题1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.C8.B9.C10.D二､填空题11.②④⑥12.0或113.14.15.8x ()221x x a a -->∈R 1a =R a ()2a f x x x =-()922f =a ()f x ()1,∞+()f x []2,3[]0,1()f x ()()010f f ==[]12,0,1x x ∈()()12122x x f f x f x +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭[]0,1x ∈()0f x ≥34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭202411112422k ff f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2f x x x a x a =-+∈R ()f x R a []0,4a ∈x ()()0f x tf a -=t ()(),04,∞∞-⋃+三､解答题16.因为，所以，解得，所以的值分别为.17.当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解，即解此不等式组，得.所以所求实数的取值范围为.18.（1）时，原不等式为，整理，得，对于方程，因为，所以它有两个不等的实数根，解得结合函数的图象得不等式的解集为或.（2）原不等式可化为，由于不等式解集为，结合函数图象可知，方程无实数根，所以，所以的范围是.19.（1）因为，且，所以，所以.（2）函数在上单调递增.证明如下：1,0AB a b =≠+10,1,1c b a a b+==-=+1,2,2a b c ==-=,,a b c 1,2,2-()2122223Δ164430,Δ(1)40,Δ480.a a a a a a ⎧=--+<⎪=--<⎨⎪=+<⎩312a -<<-a [)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃-+ ⎥⎝⎦1a =2211x x -->2220x x -->2220x x --=Δ120=>1211x x ==+222y x x =--{1x x <-∣1x >+2210x x a --->R 221y x x a =---2210x x a ---=()Δ441840a a =++=+<a {2}aa <-∣()2a f x x x =-()922f =9422a -=1a =-()f x ()1,∞+由（1）可得，，任取，不妨设，则因为且，所以，所以，即，所以在上单调递增.（3）由（2）知，函数在上单调递增，则当时，有最小值；当时，有最大值.20.（1）任取，则有，即，于是，所以，对任意的都有.（2）由，得，于是，但由（1）的结果知，所以，()12f x x x=+()12,1,x x ∞∈+12x x <()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()2121112x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()1221122x x x x x x -=-+()211212x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21121221x x x x x x --=()12,1,x x ∞∈+12x x <2112120,210,0x x x x x x ->->>()()210f x f x ->()()21f x f x >()f x ()1,∞+()f x []2,32x =()f x ()922f =3x =()f x ()1933f =[]120,1x x x ==∈()()22x f f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭()()2f x f x ≤()0f x ≥[]0,1x ∈()0f x ≥()()010f f ==()()01010002f f f +⎛⎫≤+=+=⎪⎝⎭102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭102f ⎛⎫≥⎪⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，则，于是，由（1）的结果知，所以.（3）由，得，于是，但由（1）的结果知，所以，继续求下去，可得，因此，.21.（1）.由在上是增函数，则即，则范围为.（2）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根.当时，由，得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为；时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；()10,102f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()1112100022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭304f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭304f ⎛⎫≥⎪⎝⎭304f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()100,02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()1012000022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭104f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭104f ⎛⎫≥⎪⎝⎭211042f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,1,2,3,,20242k f k ⎛⎫== ⎪⎝⎭2024111102422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩()f x R 2,22,2a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩22a -≤≤a 22a -≤≤22a -≤≤()f x R x ()()0f x tf a -=(]2,4a ∈()()()222,2,x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩x a ≥()()22f x x a x =+-22a x -=()f x [),x a ∞∈+()f x ())[),2,f a a ∞∞⎡+=+⎣x a <()()22f x x a x =-++22a x +=()f x 2,2a x ∞+⎛⎤∈- ⎥⎝⎦()f x 2(2),4a ∞⎛⎤+- ⎥⎝⎦()f x 2,2a x ∞+⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭()f x 2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦由存在，方程有三个不相等的实根，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数的取值范围为.综上所述，实数的取值范围为.(]2,4a ∈()()2f x tf a ta ==2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(]2,4a ∈2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()2(2)8a g a a +=()max ()t g a <()g a (]2,4a ∈()max 9()48g a g ==t 91,8⎛⎫⎪⎝⎭t 91,8⎛⎫⎪⎝⎭。
2022-2023学年北京师范大学附属中学高一上学期期中数学试卷含详解
北京师大附中2022—2023学年（上）高一期中考试数学试卷考生须知1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分150分．2．考生务必将答案填写答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，考生应将答题纸交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合{}|52x x A =-<<，{}|33x x B =-<<，则A ⋂B =A.{}|32x x -<< B.{}|52x x -<<C.{}|33x x -<< D.{}|53x x -<<2.已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B ⋃=R ，则实数a 的值可以为（）A.2B.1C.0D.2-3.函数2()23f x x x =-+-在闭区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（）A.0，–2B.–2，–6C.–2，–3D.–3，–64.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（）A.y x= B.2y x = C.y x = D.1y x =-5.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A.()y x f x =+ B.()y x f x =⋅C.2()y x f x =+ D.2()y x f x =⋅6.“0a b >>”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.函数3()1f x x x =+-的零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2)8.下列函数中，满足f （2x ）＝2f （x ）的是（）A.f （x ）＝（x +2）2B.f （x ）＝x +1C.()4f x x=D.f （x ）＝x ﹣|x |9.已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（）A.-14B.14C.-6D.1010.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x)＝,x A x A <≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．11.函数()f x =_________．12.已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝_____．13.设函数()1,0,x f x x ∈⎧=⎨∉⎩Q Q ，其中Q是有理数集，则(f f ⎡⎤⎣⎦的值为_____________．14.设a 为常数，函数23 ()2f x x x =-+，若()f x a +为偶函数，则=a ___________．15.设函数f (x )＝1,12,1x x x x ⎧>⎪⎨⎪--≤⎩则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．16.若0x >，则1()49f x x x=+的最小值为___________；取到最小值时，x =___________．17.已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是___________；取到最小值时，x =__________．18.若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数=a ________，函数()f x 的单调递增区间是___________.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．①1()2f -=_______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是_______．20.已知集合{1,2,,}U n = ，*N n ∈.设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð.（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是__________；（写出一个即可）（2）当10n =时，满足条件的集合A 的个数为_________.三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.21.已知全集U =R ，集合(){}20P x x x =-≥，{}26M x a x a =<<+（1）求集合U C P（2）若U C P M ⊆，求实数a 的取值范围.22.已知函数()12x f x x +=+．（1）求f [f （1）]的值；（2）若f （x ）＞1，求x 的取值范围；（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．23.已知函数2()f x a x=-，()g x x a =-（a ∈R ）.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）判断函数()()y f x g x =-的奇偶性，并证明；（3）若()()0f x g x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.24.定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的,m n ∈R 有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，有0()1<<f x ，1(2)4f =.（1）求出(0)f 的值，并证明：()0f x >在R 上恒成立；（2）证明：()f x 在R 上是减函数；（3）若存在正数x 使不等式()24()()f x f ax f x <成立，求实数a 的取值范围．25.已知函数21()2f x ax x c =-+（a 、c ∈R ），满足(1)0f =，且x ∈R 时，()0f x ≥恒成立．（1）求a 、c 的值；（2）若函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值–5，请求出实数m 的值．26.已知集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，集合(,)n m M 为集合n A 的m 元子集，且(,)n m M 中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当x A ∈，1x A -∉且1x A +∉时，则称x 为集合A 中的孤立元素．（1）列出所有符合题意的集合(4,2)M ；（2）设()k m 为集合(8,)m M 的所有可能的集合个数，求()k m 的最大值，并说明理由；（3）在集合(2,)m m M 的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由．北京师大附中2022—2023学年（上）高一期中考试数学试卷考生须知1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分150分．2．考生务必将答案填写答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，考生应将答题纸交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合{}|52x x A =-<<，{}|33x x B =-<<，则A ⋂B =A.{}|32x x -<< B.{}|52x x -<<C.{}|33x x -<<D.{}|53x x -<<【答案】A【详解】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B ⋂为图中阴影部分，即{}32x x -<<，故选A.考点：集合的交集运算.2.已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B ⋃=R ，则实数a 的值可以为（）A.2B.1C.0D.2-【答案】D【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B ⋃=R ，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥ ，且A B ⋃=R ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-．故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．3.函数2()23f x x x =-+-在闭区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（）A.0，–2B.–2，–6C.–2，–3D.–3，–6【答案】B【分析】根据二次函数的单调性求最值.【详解】()f x 的对称轴为1x =，开口向下，所以()f x 在[)0,1上单调递增，在(]1,3上单调递减，则()()max 12f x f ==-，又()03f =-，()36f =-，所以()min 6f x =-.故选：B.4.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（）A.y x =B.2y x = C.y x = D.1y x =-【答案】D【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试卷．5.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A.()y x f x =+ B.()y x f x =⋅C.2()y x f x =+ D.2()y x f x =⋅【答案】B【详解】试卷分析：由题意得，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()g x xf x =，则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，故选B ．考点：函数奇偶性的判定．6.“0a b >>”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件.故选：A.7.函数3()1f x x x =+-的零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1)D.(1,2)【答案】C【分析】利用零点的存在性定理即可求解.【详解】因为3()1f x x x =+-在x ∈R 上单调递增，(2)110,(1)30f f -=-<-=-<，根据零点的唯一性定理知函数在(2,1)--上无零点，故A 错误;(1)30,(0)10f f -=-<=-<，根据零点的唯一性定理知函数在(1,0)-上无零点，故B 错误;(0)10,(1)10f f =-<=>，根据零点的唯一性定理知函数在(0,1)上有唯一零点，故C 正确;(1)10,(2)90f f =>=>，根据零点的唯一性定理知函数在(1,2)上无零点，故D 错误;故选:C.8.下列函数中，满足f （2x ）＝2f （x ）的是（）A.f （x ）＝（x +2）2B.f （x ）＝x +1C.()4f x x= D.f （x ）＝x ﹣|x |【答案】D【分析】对每一个选项的函数逐一验证即得解.【详解】A.f （x ）＝（x +2）2,所以222(2)(22)484,2()288f x x x x f x x x =+=++=++，所以不满足满足f （2x ）＝2f （x ）；B.f （x ）＝x +1，所以(2)21,2()22,(2)2()f x x f x x f x f x =+=+∴≠；C.()4f x x =，所以428(2),2(),(2)2()2f x f x f x f x x x x===∴≠；D.f （x ）＝x ﹣|x |，所以(2)22||,2()22||f x x x f x x x =-=-，满足f （2x ）＝2f （x ）.故选D【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（）A.-14B.14C.-6D.10【答案】A【分析】先计算(2)+(2)f f -，再代入数值得结果.【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-Q ，又(2)6f =，所以(2)14,f -=-故选：A10.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x)＝,x A x A <≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是A.75,25 B.75,16C.60,25D.60,16【答案】D【详解】由题意可得：f （A ）=15，所以而f （4）=30，可得出2=30=4，可得A=16从而=60故答案为D二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．11.函数()f x =_________．【答案】()2,∞+【分析】根据函数表达式可得20x ->，解不等式即可.【详解】由()f x =20x ->，解得2x >，所以函数的定义域为()2,∞+.故答案为：()2,∞+12.已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝_____．【答案】{0，2}【分析】先求出集合N ，再求M ∩N.【详解】∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}，∴M ∩N ＝{0，2}．故答案为{0，2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.设函数()1,0,x f x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，其中Q是有理数集，则(f f ⎡⎤⎣⎦的值为_____________．【答案】1【分析】利用分段函数的定义即可求解.【详解】因为Q ,所以(f ，又因为0∈Q ,所以(0)=1f ，所以(=(0) 1.f f f ⎡⎤=⎣⎦故答案为:1.14.设a 为常数，函数23 ()2f x x x =-+，若()f x a +为偶函数，则=a ___________．【答案】1【分析】先得到()22()2223f x a x a x a a +=+-+-+，利用函数为偶函数，得到()()f x a f x a -+=+，列出方程，得到220a -=，求出a .【详解】23 ()2f x x x =-+，()()()222()232223f x a x a x a x a x a a +=+-++=+-+-+，因为()f x a +为偶函数，所以()()f x a f x a -+=+，故()()()()222222232223x a x a a x a x a a -+--+-+=+-+-+，故220a -=，解得：1a =.故答案为：115.设函数f (x )＝1,12,1x x x x ⎧>⎪⎨⎪--≤⎩则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．【答案】①.－52②.[－3，＋∞)【分析】由内层依次代入函数，即可得出结果.分段求出各段的值域，再求并集即为答案.【详解】∵f (2)＝12，∴f (f (2))＝12f ⎛⎫⎪⎝⎭＝－12－2＝－52.当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)，∴f (x )∈[－3，＋∞)．【点睛】本题考查分段函数的函数值与值域.属于基础题.复合函数的函数值求法：由内层依次代入计算.分段函数的值域问题：分段求出各段的值域，再求并集.16.若0x >，则1()49f x x x =+的最小值为___________；取到最小值时，x =___________．【答案】①.43②.16【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为0x >，所以14()493f x x x =+≥=，当且仅当149x x =，即16x =时取等号，故答案为：43；1617.已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是___________；取到最小值时，x =__________．【答案】①.3②.2【分析】依题意可得1x y =+，且0y >，再利用基本不等式求出1x y+的最小值，即可得解.【详解】解：∵1x >，且1x y -=，∴1x y =+，且0y >，所以11113x y y y +=++≥+=，当且仅当1y =，即2x =时取等号.故答案为：3；218.若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数=a ________，函数()f x 的单调递增区间是___________.【答案】①.0②.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+，等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++，可知0ax =对任意的x R ∈恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．①1()2f -=_______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是_______．【答案】①.14-②.(,0][1,)-∞⋃+∞【分析】①利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；②由()f x 的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x 轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.【详解】①由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x ax a =-+，则211111()([()2]22224f f a a -=-=--⨯+=-；②若函数()f x 的值域为R ，由函数的图象关于原点对称，可得当0x >时，函数()22f x x ax a =-+的图象与x 轴有交点，则2(2)40a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥，即实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.20.已知集合{1,2,,}U n = ，*N n ∈.设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð.（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是__________；（写出一个即可）（2）当10n =时，满足条件的集合A 的个数为_________.【答案】①.{}1,4；（{}1,4，{}1,3,4，{}2，{}2,3任写一个即可）②.32【分析】（1）4n =时，集合{}1,2,3,4U =，则由题意可得1，4同属于集合A ，此时2属于A 的补集，或2属于集合A ，1，4同属于集合A 的补集，元素3与集合A 的关系不确定，从而可求出集合A ，（2）当10n =时，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，1，4必须同属于A ，此时2,8属于A 的补集；或1，4必须同属于A 的补集，此时2,8属于A ；当3A ∈时，则6A ∉；则3U A ∉ð，则6A ∈；当5A ∈时，则10A ∉；当5U A ∉ð，则10A ∈；而元素7，9没有限制，从而可得满足条件的集合A【详解】（1）4n =时，集合{}1,2,3,4U =，由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð，可知：当1A ∈时，则2A ∉，即2U A ∈ð，则4U A ∉ð，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，故{}1,4A =或{}1,3,4A =；当2A ∈时，则4A ∉，1A ∉，元素3与集合A 的关系不确定，故{}2A =，或{}2,3A =．综上，{}1,4A =，或{}1,3,4A =，或{}2A =，或{}2,3A =．（2）当10n =时，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③U x A ∈ð，则2U x A ∉ð，可知：当1A ∈时，则2A ∉，即2U A ∈ð，则4U A ∉ð，即4A ∈，8U A ∈ð，1，4必须同属于A ，此时2,8属于A 的补集；或1，4必须同属于A 的补集，此时2,8属于A ；此时1248，，，的放置有2种；当3A ∈时，则6A ∉；则3U A ∉ð，则6A ∈；此时36，的放置有2种；当5A ∈时，则10A ∉；当5U A ∉ð，则10A ∈；此时510，的放置有2种；而元素7，9没有限制，此时79，的放置，各有2种；所以集合A 可能为{}{}{}{}1,4,2,8,1,4,7,9,2,8,7,9，{}{}{}{}1,4,3,2,8,3,1,4,6,2,8,6，{}{}{}{}1,4,5,2,8,5,1,4,10,2,8,10，{}{}{}{}1,4,7,2,8,7,1,4,3,7,1,4,3,9，{}{}{}{}1,4,9,2,8,9,2,8,3,7,2,8,3,9，{}{}{}{}1,4,67,1,4,6,9,2,8,6,7,2,8,6,9,，{}{}{}{}1,4,5,7,1,4,5,9,2,8,5,7,2,8,5,9，{}{}{}{}1,4,10,7,1,4,10,9,2,8,10,7,2,8,10,9所以满足条件的集合A 共有32个．故答案为：{}1,4，（{}1,4，{}1,3,4，{}2，{}2,3任写一个即可）；32三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.21.已知全集U =R ，集合(){}20P x x x =-≥，{}26M x a x a =<<+（1）求集合U C P（2）若U C P M ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|02x x <<；（2）[]2,0-【分析】（1）分析可得，P 是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得P ，进而可得U P ð可得答案．（2）根据U P M ⊆ð，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合(){}20P x x x =-≥，所以{|2P x x =≥或0}x ≤所以{|(2)0}U P x x x =-<ð，即集合{}|02U P x x =<<ð（2）因为U P M ⊆ð，所以0262a a ⎧⎨+⎩解得02.a a ⎧⎨-⎩所以[]2,0a ∈-【点睛】本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可，属于基础题．22.已知函数()12x f x x +=+．（1）求f [f （1）]的值；（2）若f （x ）＞1，求x 的取值范围；（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【答案】（1）58（2）（-∞，-2）（3）增函数，证明见解析【分析】（1）可以求出()213f =，然后代入x =23即可求出f [f （1）]的值；（2）根据f （x ）＞1即可得出112x x ++，化简然后解分式不等式即可；（3）分离常数得出()112f x x =-+，从而可看出f （x ）在（-2，+∞）上是增函数，根据增函数的定义证明：设任意的x 1＞x 2＞-2，然后作差，通分，得出()()()()12121222x x f x f x x x --=++，然后说明f （x 1）＞f （x 2）即可得出f （x ）在（-2，+∞）上是增函数．【详解】（1）f [f （1）]=2125323823f +⎛⎫== ⎪⎝⎭+；（2）由f （x ）＞1得，112x x ++＞，化简得，102x +＜，∴x ＜-2，∴x 的取值范围为（-∞，-2）；（3）()11122x f x x x +==-++，f （x ）在（-2，+∞）上是增函数，证明如下：设x 1＞x 2＞-2，则：()()12211122f x f x x x -=-++=()()121222x x x x -++，∵x 1＞x 2＞-2，∴x 1-x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0，∴()()1212022x x x x -++＞，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（-2，+∞）上是增函数．【点睛】本题考查了已知函数求值的方法，分式不等式的解法，分离常数法的运用，增函数的定义，考查了计算能力和推理能力，属于基础题．23.已知函数2()f x a x=-，()g x x a =-（a ∈R ）.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）判断函数()()y f x g x =-的奇偶性，并证明；（3）若()()0f x g x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）02x <≤（2）奇函数，证明见解析（3）a ≤【分析】(1)解分式不等式即可；(2)利用奇函数的定义证明;(3)利用基本不等式求出最小值即可求解.【小问1详解】当1a =时,22()10x f x x x-=-=≥,即(2)00x x x -≥⎧⎨≠⎩,解得02x <≤.【小问2详解】依题意，2()()y f x g x x x =-=-，判断函数为奇函数，证明如下：令2()h x x x =-，定义域为(),0(0,)-∞⋃+∞，因为22()()()h x x x h x x x-=-+=--=-，所以函数为奇函数.【小问3详解】由题可知220x a x+-≥在(0,)+∞上恒成立，即22x a x +≥在(0,)+∞上恒成立，因为2x x +≥，当且仅当2x x =，x =所以要使22x a x +≥在(0,)+∞上恒成立，则min22x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即2a ≥，解得a ≤.24.定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的,m n ∈R 有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，有0()1<<f x ，1(2)4f =.（1）求出(0)f 的值，并证明：()0f x >在R 上恒成立；（2）证明：()f x 在R 上是减函数；（3）若存在正数x 使不等式()24()()f x f ax f x<成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(0)1f =,证明见解析（2）证明见解析.（3）1a >-【分析】(1)令0,1m n ==即可求解(0)1f =;(2)根据题设令121,m x n x x ==-即可证明;(3)利用题设条件和单调性求解.【小问1详解】令0,1m n ==,则有(1)(0)(1)f f f =⋅,因为0(1)1f <<,所以(0)1f =.因为0x >时，有0()1<<f x ，令,==-m x n x ，则有()()()f x x f x f x -+=-⋅，即()()(0)1f x f x f -⋅==，所以1()1()f x f x -=>，即0x <时，()0f x >.综上，()0f x >在R 上恒成立.【小问2详解】1212,,,x x x x ∀∈<R 则有210x x ->，所以()2101f x x <-<，因为[]2121121()()()()f x f x x x f x f x x =+-=⋅-，所以2211()()1()=-<f x f x x f x ，所以12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数.【小问3详解】由（1）可知1(2)=4(2)f f -=，所以()4()()=(2)()()(2)()21f x f ax f f x f ax f x f ax f a x -=-+=-++⎡⎤⎣⎦，所以存在正数x 使不等式()221()f a x f x -++<⎡⎤⎣⎦成立，因为()f x 在R 上是减函数，所以存在正数x 使不等式()221a x x -++>成立，即存在正数x 使不等式21a x x >+-成立，所以min21a x x ⎛⎫>+- ⎪⎝⎭，因为0x >，所以211x x +-≥-，当且仅当2x x=，x =时等号成立,所以1a >.25.已知函数21()2f x ax x c =-+（a 、c ∈R ），满足(1)0f =，且x ∈R 时，()0f x ≥恒成立．（1）求a 、c 的值；（2）若函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值–5，请求出实数m 的值．【答案】（1）14a c ==.（2）3m =-或1m =-+【分析】（1）讨论0a =时不满足题意，0a ≠时根据题意(1)0f =得12a c +=，又可列出201()402a ac >⎧⎪⎨--≤⎪⎩解得21()04a -≤，又21()04a -≥，即可求解.（2）由（1）知2111()424f x x x =-+，得2111()()()424g x f x mx x m x =-=-++，然后求出对称轴21x m =+，并分三种情况讨论二次函数在指定区间[,2]m m +上的单调性即可.【小问1详解】当0a =时，1()2f x x c =-+.由(1)0f =得：102c -+=，即12c =，11().22f x x ∴=-+显然1x >时，()0f x <这与条件相矛盾，不符合题意.0a ∴≠，函数21()2f x ax x c =-+是二次函数.由于对一切x R ∈，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得：201(402a ac >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，即01016a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩由(1)0f =得12a c +=，即12c a =-，代入01016a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩得11()216a a -≥.整理得2110216a a -+≤，即21(04a -≤，而21()04a -≥，14a ∴=.14c ∴=.14a c ∴==【小问2详解】14a c == ,2111()424f x x x ∴=-+，2111()()()424g x f x mx x m x ∴=-=-++，该函数图像开口向上，且对称轴为21x m =+，假设存在实数m 使函数2111()()()424g x f x mx x m x =-=-++，在区间[],2m m +上有最小值5-.①当1m <-时，21m m +<，函数()g x 在区间[],2m m +上是递增的，()5,g m ∴=-即2111()5424m m m -++=-解得3m =-或73m =71,3>- 73m ∴=舍去.②当11m -≤<时，212m m m ≤+<+函数()g x 在区间[],21.m m +上是递减的，而在区间[]21,2m m ++上是递增的，(21)5g m ∴+=-即()()211121215424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭.解得12m =--或12m =-+.③当m 1≥时，212m m +≥+，函数()g x 在区间[],2m m +上是递减的，(2)5,g m ∴+=-即2111(2)()(2)5424m m m +-+++=-解得1m =--1m =-+综上可得，当3m =-或1m =-+时，函数函数()()g x f x mx =-（在区间[,2]m m +上有最小值–5.26.已知集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，集合(,)n m M 为集合n A 的m 元子集，且(,)n m M 中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当x A ∈，1x A -∉且1x A +∉时，则称x 为集合A 中的孤立元素．（1）列出所有符合题意的集合(4,2)M ；（2）设()k m 为集合(8,)m M 的所有可能的集合个数，求()k m 的最大值，并说明理由；（3）在集合(2,)m m M 的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由．【答案】（1）{1,3},{1,4},{2,4}（2）当2m =时，()k m 的最大值为21，理由见解析.（3）2和21m -在所有可能的集合中只能出现一次，理由见解析.【分析】（1）列出4{1,2,3,4}A =的二元子集，观察符合要求的子集.（2）转化为元素不相邻问题，采用插空法求解，可推导公式为81(C )mm k m -+=；（3）取{1,3,5,7,,23,21}m m ⋅⋅⋅--，{1,3,5,7,,23,2}m m ⋅⋅⋅-，{1,4,6,8,,22,2}m m ⋅⋅⋅-，{2,4,6,8,,22,2}m m ⋅⋅⋅-说明除2和21m -外的其它元素在所有集合中至少出现两次，再证明2只能出现一次.【小问1详解】4{1,2,3,4}A =，所有的二元子集共有6个：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，其中符合要求的有3个：{1,3},{1,4},{2,4}【小问2详解】将{1,2,3,,8}n A =⋅⋅⋅中元素从小到大排列一队，共有8个位置，由孤立元素的定义知(8,)m M 中任何两个元素都不能为相邻的整数，因此可转化为两个元素不相邻问题，可用插空法解决：第一步：将这m 个元素对应的位置取出来，剩下8m -个位置；第二步：将这m 个位置插入，保证它们互不相邻，只要从81m -+个空隙中选出m 个空放入，共有81C m m -+种方法.因此，81(C )mm k m -+=18C )8(1k ==，27C )21(2k ==，36C )20(3k ==，45C )5(4k ==，当5m ≥时，任取出的m 个数都会有相邻的整数，不是孤立元素，故(8,)m M 不存在.综上：当2m =时，()k m 的最大值为21.【小问3详解】2{1,2,3,,2}m A m =⋅⋅⋅取(2,)m m M 中两个集合：{1,3,5,7,,23,21}m m ⋅⋅⋅--，{1,3,5,7,,23,2}m m ⋅⋅⋅-在这两个集合中除21m -外的奇数出现2次；再取(2,)m m M 中两个集合：{1,4,6,8,,22,2}m m ⋅⋅⋅-，{2,4,6,8,,22,2}m m ⋅⋅⋅-，这两个集合中除2以外的偶数都出现了两次；若(2,)m m M 中有2存在，则这样集合只有{2,4,6,2}m ⋅⋅⋅，一个，因为大于2的第一个数必须为4，否则元素个数就不会凑够m 个，以此类推，后面元素分别为6,2m ⋅⋅⋅，8，，故含有2的集合只有{2,4,6,2}m ⋅⋅⋅，一个.所以2在所有可能的集合中只能出现一次.由位置对称性知：21m -在所有可能的集合中只能出现一次.综上：只有2和21m -在所有可能的集合中只能出现一次.【点睛】插空法，是用来解决某些元素不相邻的排列组合题，即不邻问题.在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略.用这种方法解题思路清晰、简便易懂.除了插空法，还有其他解排列问题的方法，如：插板法，用于处理分组问题；捆绑法，用于处理相邻问题.。
北京市师范大学附属实验中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京市师范大学附属实验中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A. 1,2,3,B.C.D.2.已知ln2=a，ln3=b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A. B. C. ab D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.4.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 不存在5.已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.6.设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是（）A. B. C. D.8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9.函数f（x）=的定义域为______．10.已知函数则=______；若f（x）=1，则x=______．11.函数（x＞1）的最小值是______；取到最小值时，x=______．12.设a为常数，函数f（x）=x2-6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a=______．13.定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为______ ．14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．15.已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为______．16.对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，那么：（1）函数g（x）=x2-2的“不动点”为______；（2）集合A与集合B的关系是______．17.若x、y∈R+，且，则的最大值为______．18.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2ax+a，其中a∈R①f（-）=______②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）19.已知全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}，M={x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a=1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20.解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x-1）（x-2）＜0；（Ⅱ）|2x-1|＜3；（Ⅲ）x2-（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21.已知函数．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22.已知函数f（x）=x2-2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a=-1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23.如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c 的图象经过点（-1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．直接利用交集的运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵In2=a，In3=b，又∵log32=∴log2=3故选：D．由已知中In2=a，In3=b，用换底公式可将log32化用自然对数表示的形式，代入In2=a，In3=b，即可得到答案．本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握．3.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2-x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=-x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键．4.【答案】B【解析】解：∵函数，∴f（-）=0，∴=f（0）=1．故选：B．推导出f（-）=0，从而=f（0），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属中档题．本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b＞1，a、c都小于1．再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小。