第34计 参数开门 宾主谦恭

第34计 参数开门 宾主谦恭●计名释义参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩. 有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.●典例示范【例1】 P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x 2+22y=1上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且PF ·MF ＝0，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式. 幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ 和MN ，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k ，并找到PQ ，MN 对k 的依赖式.这就要“无中生有”了.【解答】 如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1）， 且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条 存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k . 【插语】 题设中没有这个k ， 因此是“无中生有”式的参数. 我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ |= f 1(k )，还能表示|MN |= f 2(k ). 例1题解图 【续解】 又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为y=kx +1，将此式代入椭圆方程得（2+k 2)x 2+2kx -1=0，设P 、Q 两点的坐标分别为（x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1=22222222,222kk k •x•kkk +++-=++--，从而｜PQ ｜2＝(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2222)2()1(8k k ++, 亦即|PQ |=222)1(22kk ++.【插语】 无论在椭圆方程中，还是P ，Q ，M ，N 的坐标中，x,y 是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ |=f 1(k )=222)1(22kk ++标志着主宾易位，问题已经发生了转程.【续解】 (ⅰ)当k ≠0时，MN 的斜率为-k1，同上可推得，｜MN ｜=22)1(2)1(122kk -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,故四边形S ＝21|PQ |·|MN |=23222222225)12(4112)(2()11)(1(4kk k kkk k k ++++=++++.令u =k 2+21k，得S =)2511(225)2(4uuu +-=++. 因为u =k 2+21k≥2，当k =±1时，u =2，S =916，且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S <2.【插语】 以上为本题解答的主干，以下k =0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k ≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话. 【续解】 (ⅱ)当k =0时，MN 为椭圆长轴，｜MN ｜＝22，|PQ |=2，S =21|PQ |·|MN |=2.综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为916.【点评】 参数k 将F (x ，y )=0的方程转化为关于k 的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.【例2】 对于a ∈［-1,1］,求使不等式1221212+++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a x axx 恒成立的x 的取值范围.【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x 为主，讨论二次不等式？还是以a 为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.【解答】 y =x⎪⎭⎫⎝⎛21为R 上的减函数，∴由原不等式得：x 2+ax >2x+a +1.即a (x -1)+(x 2-2x -1)>0当a ∈［-1，1］时恒成立. 令f (a )=a (x -1)+(x 2-2x -1).只须∈⇒⎩⎨⎧>-<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-->-⇒⎩⎨⎧>>-x x x x x x x x x f f 213002030)1(0)1(22或或(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y =xx cos 2sin 3++的最大值与最小值.【解答一】 设tan2x =t ，则y =332311212322222+++=+-+++t t t tt t t即t 2(y -3)-2t +3y -3=0 ① ∵t =tan2x ∈R , ∴关于t 的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y -3)(y -1)≥0.即3y 2-12y +8≤0，解得：2-332≤y ≤2+332.即y max =2+332，y min =2-332.【解答二】 原式变形：sin x -y cos x =2y -3，21y +sin (x+φ)=2y -3. ∵ |sin (x+φ)|≤1，∴21y +≤|2y -3|.平方化简得：3y 2-12y +8≤0.(下略)【点评】 本例中y 是x 的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,按常法应是由自变量x 的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或 通过转化为关于t 的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理 由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.【例4】 若cos 2θ+2m sin θ-2m -2<0恒成立，试求实数m 的取值范围. 【解答】 反客为主，不看成关于sin θ的二次式，而看成关于m 的一次式. 原不等式即：2m (sin θ-1)<1+sin 2θ,如sin θ=1，则0<1恒成立，此时m ∈R . 如sin θ≠1，∵sin θ∈［-1,1］，只能sin θ∈［-1,1)，于是sin θ-1<0. ∴2m >1sin sin12-θθ+2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-θθsin 12)sin 1( ∵ (1-sin θ)+θsin 12-≥22.当且仅当1- sin θ=θsin 12-，即sin θ=1-2时，m insin 12)sin 1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-θθ=22, ∴m ax21sin sin 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+θθ =2-22.为使2m >1sin sin12-θθ+恒成立,只需2m >2-22，∴m >1-2.综合得：所求m 的取值范围为：m ∈(1-2，+∞).【例5】 已知动点P 为双曲线3222yx-=1的两个焦点，F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为91-.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM =λDN ，求实数λ的取值范围.【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆， 当P 在椭圆上时，由cos ∠F 1PF 2=91-<0，知∠F 1PF 2必为钝角且为最大角， 则P 应为短轴端点(须证明),据此可 求出椭圆方程.(2)M 、N 在椭⊙上, DM =λDN 时,DM 与DN 必共线,可用设参、消参 例5题图的方式确定λ的范围.【解答】 (1)设P (x,y )为轨迹上一点，命|PF 1|= r 1，|PF 2|= r 2，∵r 1+r 2=2a 为定值，且 F 1(5-,0)，F 2(5，0)为定点.∴点P 的轨迹为椭圆，已知(cos ∠F 1PF 2)min =91-.而cos ∠F 1PF 2=11022202)(2)52(21221212212122221--=--+=-+r r a r r r r r r r r r r ，这里212102r r a ->0，且r 1r 2≤2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+r r =a 2，∴212102r r a -≥22102a a -，从而 cos ∠F 1PF 2≥22102aa --1=1-210a,当且仅当r 1=r 2，即P 为短轴端点时,1-210a=91-，∴a 2=9，∵c 2=5，∴b 2=4.∴所求动点P 的轨迹方程为：4922yx+=1.(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M (m ，s )，N (n ，t )在椭圆上. ∵DM =λDN ，即(m ，s -3)=λ(n ，t -3),∴⎩⎨⎧+-λ=λ=3)3(t s n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+λ-λ+λ=+14)33(914922222t n tn 消去n 2得：14)33(2222-λ=+λ-λ-λt t化简得：(13λ-5)(λ-1)=6t λ(λ-1)如λ=1，则DM =DN ，M ，N 重合于一点，且为椭圆与直线DM 的切点.如λ≠1，有：t =λ-λ6513，∵|t |≤2，-2≤λ-λ6513≤2，解得λ∈［51，5］.【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主. 所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.●对应训练1.求使A =334222+-+-x x x x 为整数的一切实数x.2.已知方程组⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=-=+1117756111282333ny x y x ••y mx y x 与同解，求m 、n 的值. 3.解关于x 的方程：x 4-6x 3-2(a -3)x 2+2(3a +4)x +2a+a 2=0. 4.已知正项数列{a n }中，a 1=1，且S n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n a a 121，求该数列的通项. 5.解方程x 3+(1+2)x 2-2=0.●参考答案1.反客为主，让x 为A 服务. ∵A -1=3312+-+x x x 当A ∈Z 时，亦有A -1∈Z .若x +1=0，则A =1∈Z (x = -1). 若x +1≠0，有：A -1=13312++-x x x ∈Z .这有两种可能.(1)1332++-x x x =±1. x 2-4x +2=0，x =2±2；或x 2-2x +4=0，无实数解，舍去.(2)1332++-x x x 是分子1的真分数. 令x 2-3x +3=1，得x =1或2.故所求实数为x =-1，1，2，2±2.相应的整数为A =1，3，4，2. 2.设两方程组的相同解为(x 0，y 0).由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+12756823000000y x y x y x代入⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-53111561411171112030300n m n n m ny x y nx . 3.反客为主，原方程改写为关于a 的一元二次方程：a 2-(2x 2-6x -2)a+x 4-6x 3+6x 2+8x =0. ［a -(x 2-3x -1)］2 =(x -1)2 a =(x 2-3x -1)±(x -1)有x 2-2x -2-a =0 ① 或x 2-4x -a =0 ② 由①：（x -1）2 = a +3. 当a ≥-3时，x =1±3+a . 由②：(x -2)2=a +4.当a ≥-4时，x =2±4+a . 故a <-4时，原方程无实根；a ∈［-4,-3)时原方程有两解：x =2±4+a ； a ∈［-3，+∞)时，原方程有四解： x =1±3+a ，x =2±4+a .4.反客为主，先求S n 再求a n ，∵2S n =(S n - S n -1)+11--n n S S ，得：2S 2n - 2S n S n -1=S 2n -2S n S n -1+S 2n -1+1.∴S 2n - S 2n -1=1，∵a 1=S 1=1，令n =2，3，…，n ，用叠加法可得S 2n - S 21=n -1. ∴S n =n ,得a n =S n - S n -1=1--n n ，于是 a n =⎩⎨⎧≥--=)2(1)1(1n •n n n ••.5.设a =2，原方程转化为：a 2-ax 2-x (x 2+x )=0，即(a-x 2-x )(a +x )=0, ∴x 2+x =a 或x = -a , ∵a =2. ∴x 2+x -2=0⇒x =21±21241+ 或x =-2.。