2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学试题
2015年四川高考文科数学试卷(word版)和答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）姓名 成绩一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）()A {|13}x x -<< ()B {|11}x x -<< ()C {|12}x x << ()D {|23}x x <<2、设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =（ ） ()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） ()A 抽签法 ()B 系统抽样法 ()C 分层抽样法 ()D 随机数法4、设,a b 为正实数，则"1"a b >>是22log log 0"a b >>的（ ）()A 充要条件 ()B 充分不必要条件 ()C 必要不充分条件 ()D 既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）()A cos(2)2y x π=+ ()B sin(2)3y x π=+ ()Csin 2cos 2y x x =+ ()D sin cos yx x =+6、执行如图所示程序框图，输出S 的值为（ ）()A ()B ()C 12- ()D 127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x ,A B 两点，则||AB =（ ）()A ()B ()C 6 ()D 8、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y e=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）。
2015年高考文科数学四川卷(含详细答案)
13．已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是___________.
14．在三棱柱ABCABC中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
111
俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是棱AB，BC，
BC的中点，则三棱锥PAMN的体积是__________.
__1．设集合A{x|1x2}，集合B{x|1x3}，则AB（）
__
_答
_--------------------x|1x3}B．{x|1x1}C．{x|1x2}D．{x|2x3}
__
名
姓
此
--------------------试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4
至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.
在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
卷第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
第Ⅰ卷共10小题.
准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
（Ⅱ）证明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)0在区间(1,)内有唯一
解.
5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作
图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿
纸上无效.
_--------------------
__
号
考--------------------
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C． 4 D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C． y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C． 6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C． 24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33?（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C． 12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015?四川）lg0.01+log216的值是2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015?四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH?平面ACH，BE?平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG?平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF?平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p ﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、?=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时?+λ?=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，?+λ?=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且?=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时?+λ?=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时?+λ?=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015?四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x ﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C． 4 D．63．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C． 6 D．48．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C． 24小时D．28小时9．（5分）（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C． 12 D．1610．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015?四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015?四川）已知sinα+2cosα=0，则2si nαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015?四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。
四川省高考数学试题及答案【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出loga＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．2解答：解：若loga＞log2b＞0，则a＞b＞1，2故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则1斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）+log216的值是 2 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：+log16=﹣2+4=2．2故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P ﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据na1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S=2a n﹣a1，有na n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客PP2P3P4P51座位号32145324513 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客PP2P3P4P51座位号32145324513241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客 PP2 P3 P4 P51座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△AB C的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= ．12．（5分）（2015•四川）+log216的值是．（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．13．（5分）14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客PP2P3P4P51座位号3214532451（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(四川卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2015四川,文1)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案:A解析:如图所示,把集合A,B在数轴上表示出来.所以A∪B={x|-1<x<3}.2.(2015四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.3.(2015四川,文3)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是()A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法答案:C解析:根据调查的目的,为了解三个年级之间的学生视力是否存在差异,故最合理的抽样方法应是分层抽样.4.(2015四川,文4)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数.故a>b>1⇒log2a>log2b>log21=0.且log2a>log2b>0⇒a>b>1.故a>b>1是log2a>log2b>0的充要条件.5.(2015四川,文5)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sin 2x+πB.y=cos 2x+πC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案:B解析:对于A,y=sin 2x+π2=cos 2x,是最小正周期为π的偶函数;对于B,y=cos 2x+π2=-sin 2x,是最小正周期为π的奇函数;对于C,y=sin 2x+cos 2x=sin 2x+π,是最小正周期为π的非奇非偶函数;对于D,y=sin x+cos x=2sin x+π4,是最小正周期为2π的非奇非偶函数,故选B.6.(2015四川,文6)执行如图所示的程序框图,输出S的值为()A.- 3B. 3C.-1D.1答案:D解析:这是一个循环结构,每次循环的结果依次为:k=2,不满足k>4;k=3,不满足k>4;k=4,不满足k>4;k=5,满足k>4,此时S=sin 56π=sin π6=12.7.(2015四川,文7)过双曲线x 2-y 2=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB|=( ) A.4 3B.2C.6D.4 答案:D 解析:双曲线x2-y 2=1的两条渐近线方程为y=± 3x ,右焦点为F (2,0)如图所示.根据题意,由y = 3x ,x =2,得A (2,2 3). 同理可得B (2,-2 3). 所以|AB|=4 3,故选D .8.(2015四川,文8)某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 答案:C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=e kx+b 图象上的两个点.所以 192=e b ,48=e 22k +b. ①②由②得,48=e 22k ·e b, ③把①代入③得e 22k =48192=14,即(e 11k )2=14,所以e 11k =12.所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y=e 33k+b =(e 11k )3·e b =1×192=24(小时).9.(2015四川,文9)设实数x ,y 满足 2x +y ≤10,x +2y ≤14,x +y ≥6,则xy 的最大值为( )A.252B.492C.12D.16 答案:A解析:作出可行域,如图所示.令t=xy ,则y=t,由图可知,当曲线y=t与线段AB 相切时,t 最大,由 x +2y =14,2x +y =10,得A (2,6), 由 x +y =6,2x +y =10,得B (4,2), 由y=t ,得y'=-t2.设切点坐标为(x 0,y 0),则 2x 0+y 0=10,y 0=t 0,−tx 02=−2, 解得x 0=5∈[2,4],y 0=5,t=25. 所以xy 的最大值为252.10.(2015四川,文10)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M.且M 为线段AB 的中点,若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案:D解析:如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率不存在,即x 1=x 2时,符合条件的直线l 必有两条. 当l 的斜率k 存在,即x 1≠x 2时,有2y 0(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),即k=20. 由CM ⊥AB ,得k CM =y 00=-y0,即x 0=3.因为点M 在抛物线内部,所以y 02<4x 0=12, 又x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0,即0<y 02<12.因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,即r 2=y 02+4.所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D .第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015四川,文11)设i 是虚数单位,则复数i-1= . 答案:2i解析:i-1i=i-(-i)=2i.12.(2015四川,文12)lg 0.01+log 216的值是 .答案:2解析:lg 0.01+log 216=lg 10-2+log 224=-2+4=2.13.(2015四川,文13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 答案:-1解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sin αcos α−cos 2α22=2tan α−12=2×(−2)−1(−2)2+1=−5=-1. 14.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 . 答案:1解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A 1B 1C 1如图所示.其中AB=AC=AA 1=BB 1=CC 1=A 1B 1=A 1C 1=1. ∵M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点,∴MN=12,NP=1.∴S △MNP =1×1×1=1.∵点A 1到平面MNP 的距离为AM=1,∴V P−A 1MN =V A 1−MNP =13×14×12=124.15.(2015四川,文15)已知函数f (x )=2x ,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ). 对于不相等的实数x 1,x 2,设m=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,n=g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m>0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n>0; ③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n ; ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 答案:①④解析:对于①,因为函数f (x )=2x 单调递增,所以m=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0,故该命题正确;对于②,函数g (x )=x 2+ax 的对称轴为x=-a 2,故函数在 −∞,−a 上单调递减,在 −a ,+∞ 上单调递增. 所以当x 1,x 2∈ −∞,−a 时,n=g (x 1)−g (x 2)12<0.所以该命题错误.对于③,若存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n ,即f (x 1)−f (x 2)12=g (x 1)−g (x 2)12,整理得f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2), 设函数h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=f (x )-g (x )=2x -x 2-ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点. h'(x )=2x ln 2-2x-a ,记p (x )=h'(x ),则p'(x )=2x (ln 2)2-2, 令p'(x )=0,解得2x =2(ln2)2,故x=log 22(ln2)2=1-2log 2(ln 2),记为x 0.当x ∈(-∞,x 0)时,p'(x )<0,函数单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,p'(x )>0,函数单调递增,所以p (x )≥p (x 0).显然当p (x 0)≥0时,h'(x )≥p (x 0)≥0,此时函数h (x )在R 上单调,函数h (x )=f (x )-g (x )=2x -x 2-ax 的图象与平行于x 轴的直线只有一个交点,即此时h (x )的图象与平行于x 轴的直线不可能有两个交点.所以该命题错误.对于④,若存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n ,即f (x 1)−f (x 2)12=-g (x 1)−g (x 2)12,整理得f (x 1)+g (x 1)=f (x 2)+g (x 2),设函数h (x )=f (x )+g (x ),则q (x )=f (x )+g (x )=2x +x 2+ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点.q'(x )=2x ln 2+2x+a ,显然q'(x )在R 上单调,设q'(x )=0的解为t ,则当x ∈(-∞,t )时,q'(x )<0,函数q (x )单调递减,x ∈(t ,+∞)时,q'(x )>0,函数q (x )单调递增.所以函数q (x )=2x +x 2+ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点.所以该命题正确. 综上,正确的命题为①④.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015四川,文16)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列 1n的前n 项和为T n ,求T n .解:(1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n .(2)由(1)得1a n =12n. 所以T n =12+122+…+12n=12 1− 12n 1−12=1-12n . 17.(本小题满分12分)(2015四川,文17)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P 1,P 2,P 3,P 4,P 5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P 1坐到了3号座位,其他乘客按规则就坐,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法.请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);(2)若乘客P 1坐到了2号座位,5号座位的概率.解:(1)余下两种坐法如下表所示:(2)若乘客P 1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐, 则所有可能的坐法可用下表表示为:于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A)=4=1.答:乘客P5坐到5号座位的概率是1.18.(本小题满分12分)(2015四川,文18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.(1)解:点F,G,H的位置如图所示.(2)解:平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.19.(本小题满分12分)(2015四川,文19)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.解:(1)由已知,方程x2+3px-p+1=0的判别式Δ=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥2.由韦达定理,有tan A+tan B=- 3p ,tan A tan B=1-p. 于是1-tan A tan B=1-(1-p )=p ≠0, 从而tan (A+B )=tan A +tan B=- 3p =- 3.所以tan C=-tan (A+B )= 所以C=60°.(2)由正弦定理,得 sin B=AC sin C=6sin60°=2,解得B=45°,或B=135°(舍去). 于是A=180°-B-C=75°. 则tan A=tan 75°=tan (45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=1+ 33− 33=2+所以p=-13(tan A+tan B )=-13(2+ 3+1)=-1- 3.20.(本小题满分13分)(2015四川,文20)如图,椭圆E :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率是2,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ·PD =-1.(1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ·OB +λPA ·PB 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ).又点P 的坐标为(0,1),且PC ·PD =-1,于是 1−b 2=−1,c = 2,a 2−b 2=c 2.解得a=2,b= 2. 所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1. (2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立 x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以,x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而,OA ·OB +λPA ·PB =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)] =(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =(−2λ−4)k 2+(−2λ−1)2k 2+1=-λ−12k 2+1-λ-2.所以,当λ=1时,-λ−12k 2+1-λ-2=-3.此时,OA ·OB +λPA ·PB =-3为定值.当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD.此时,OA ·OB +λPA ·PB =OC ·OD +PC ·PD =-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得OA ·OB +λPA ·PB 为定值-3.21.(本小题满分14分)(2015四川,文21)已知函数f (x )=-2x ln x+x 2-2ax+a 2,其中a>0. (1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解. (1)解:由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),g (x )=f'(x )=2(x-1-ln x-a ),所以g'(x )=2-2x=2(x−1)x.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明:由f'(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2x ln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2x ln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-1≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2x ln x>0.故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。
2015年高考文科数学(四川 卷)精校版(含答案)
2015年高考文科数学(四川卷)精校版(含答案)2015年普通高等学校招生全国统一考试四川卷文科数学一、选择题1.设集合$A=\{x|-1<x<2\}$，集合$B=\{x|1<x<3\}$，则$A\cup B=$A) $\{x|-1<x<3\}$B) $\{x|-1<x<1\}$C) $\{x|1<x<2\}$D) $\{x|2<x<3\}$2.设向量$a=(2,4)$与向量$b=(x,6)$共线，则实数$x=$A) 2B) 3C) 4D) 63.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A) 抽签法B) 系统抽样法C) 分层抽样法D) 随机数法4.设$a$，$b$为正实数，则“$a>b>1$”是“$\log_2 a>\log_2 b$”的A) 充要条件B) 充分不必要条件C) 必要不充分条件D) 既不充分也不必要条件5.下列函数中，最小正周期为$\pi$的奇函数是A。
$y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$B。
$y=\cos(2x+\frac{\pi}{2})$C。
$y=\sin^2 x+\cos^2 x$D。
$y=\sin x+\cos x$6.执行如图所示的程序框图，输出$S$的值是A) $-1133$B)C)D) $2222$7.过双曲线$x^2-\frac{y^2}{9}=1$的右焦点且与$x$轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于$A$，$B$两点，则$AB=$A) $\frac{4}{3}$B) $\frac{2}{3}$C) $6$D) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$8.某食品的保鲜时间$y$（单位：小时）与储藏温度$x$（单位：°C）满足函数关系$y=e^{kx+b}$（$e=2.718\cdots$为自然对数的底数，$k$，$b$为常数）．若该食品在$C$的保鲜时间是$192$小时，在$23$°C的保鲜时间是$48$小时，则该食品在$33$°C的保鲜时间是A) $16$小时B) $20$小时C) $24$小时D) $21$小时9.设实数$x$，$y$满足$\begin{cases}2x+y\leq 10\\x+y\geq 6\end{cases}$，则$xy$的最大值为A) $\frac{49}{25}$B) $12$C) $14$D) $22$10.设直线$l$与抛物线$y^2=4x$相交于$A$，$B$两点，与圆$(x-5)^2+y=r$（$r>0$）相切于点$M$，且$M$为线段$AB$的中点.若这样的直线$l$恰有$4$条，则$r$的取值范围是A) $(1,3)$B) $(1,4)$C) $(2,3)$D) $(2,4)$二、填空题：11.设i是虚数单位，则复数i-的值是-1.12.lg0.01+log2 16的值是-2.13.已知sinα+2cosα=1/i，则2sinαcosα-cos2α的值是-1/2.14.三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P-A1MN的体积是1/24.15.已知函数f(x)=2，g(x)=x+ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m=x2-x1f(x1)-f(x2)，n=x2-x1g(x1)-g(x2)，现有如下命题：n＞0.三、XXX：16.（本小题满分12分）Ⅰ）设等差数列为d，则有a3=a1+2d，a2=a1+d+1，代入S3=2a3-a1得到S3=5a1+9d，代入S2=2a2-a1得到S2=3a1+3d+2，两式相减得到a1=3d-2，代入a2=a1+d+1得到a2=4d-1，代入a3=a1+2d得到a3=5d-2，所以数列{an}的通项公式为an=(n+2)d-n-2.Ⅱ）记数列{Tn}的前n项和为Sn，则有Tn=5!/[(5-n)!n!]-Tn-1，即Tn=Tn-1*(5-n+1)/n，T1=1，代入递推公式得到T2=4，T3=10，T4=20，T5=35，所以Tn的通项公式为Tn=C(5,n-1)+C(5,n-2)+。
2015四川高考数学试题(文科解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，选A.2.设向量(2,4)a =与向量(,6)bx =共线，则实数x =(A)2 (B)3 (C) 4 (D)6【答案】B【解析】由共线向量()11,a x y =，()22,b x y =的坐标运算可知12210x y x y -=， 即26403x x ⨯-=⇒=，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 （A)抽签法 （B ）系统抽样法 （C ）分层抽样法 （D ）随机数法 【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。
4.设a ，b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log a b >”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由已知当1a b >>时，22log log 0a b >>∴，“1a b >>”是“22log log a b >”的充分条件。
反过来由22log log 0a b >>，可得1a b >>，∴“1a b >>”是“22log log a b >”的必要条件，综上，“1a b >>”是“22log log a b >”的充要条件，选A.5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是A.sin(22y x π=+B.cos(22y x π=+C.sin 2cos 2y x x =+D.sin cos y x x =+ 【答案】A【解析】A. cos(2)sin 22y x x π=+=-,可知其满足题意;B. sin(2cos 22y x x π=+=,可知其最小正周期为π，偶函数;C. sin 2cos 2)4y x x x π=+=+,最小正周期为π，非奇非偶函数;D. sin cos )4y x x x π=+=+,可知其最小正周期为2π，非奇非偶函数.选A6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是(A) 2- (B) 2(C)-12 (D) 12【答案】D【解析】易得当k =1,2,3,4时执行的是否，当k =5时就执行是的步骤， 所以51sin62S π==，选D. 7.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（A（B） （C ）6 （D）【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A ，B (2,-，∴||AB =,选D. 8. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx by e+=（ e=2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，k ，b 为常数）。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题四川卷和答案
![[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题四川卷和答案](https://img.taocdn.com/s3/m/63cabc5502768e9951e738eb.png)
2015年高考四川卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}【答案】A【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.【名师点睛】集合的运算通常作为试卷的第一小题，是因为概念较为简单，学生容易上手，可以让考生能够信心满满的尽快进入考试状态.另外，集合问题一般与函数、方程、不等式及其性质关联，也需要考生熟悉相关知识点和方法.本题最后求两个集合的并集，相对来说比较容易，与此相关的交集、补集等知识点也是常考点，应多加留意.属于简单题.2、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法【答案】C【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件，一般地，抽签法和随机数表法适用于样本总体较少的抽样，系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n 个部分，从每一部分中按规则抽取一个个体；分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时，在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于分层抽样的条件，故应选用分层抽样法.属于简单题.4、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题.5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π)(C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx【答案】B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )(A )－B (C )－12 (D )12【答案】D【考点定位】本题考查循环结构形式的程序框图，考查特殊角的三角函数值，考查基本运算能力.【名师点睛】在算法的考点上，四川省以程序框图的考查为主，而考查程序框图，必定是以循环结构形式出现，它可以包括程序框图的所有结构类型.本题只需对循环后的k 值进行判定，最后输出相应的三角函数值即可，属于简单题.7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )3(B C )6 (D【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.8、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系kx be=为自然对数的底数，,k b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是=( 2.718...y e+192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k和b的准确值，而只需求出e b和e11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.9、设实数x，y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为( )(A)252 (B)492(C)12 (D)14 【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.10、设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.二、填空题11、设i是虚数单位，则复数1i＝_____________.i【答案】2i【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i的运算，容易误解为＝i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而＝i－1＝－i.属于容易题12、lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若a b＝N，则log a N＝b”，因此，要求log a N的值，只需看a的多少次方等于N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：两个对数的底数是不相同的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于简单题.13、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 14、在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【答案】124【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.15、已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m，n的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n .【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n与a n关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率.【考点定位】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.【名师点睛】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P1，P2，P3，P4，P5的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(Ⅲ)证明：直线DF 平面BEG【解析】(Ⅰ)点F，G，H的位置如图所示【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举(推证)出所有必备的条件，如在(Ⅱ)中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，(Ⅲ)中证明线面垂直，也不能忘掉“EG∩BG＝G”这个条件.属于中档题.19、(本小题满分12分)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2－p＋1＝0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小p的值(Ⅱ)若AB＝1，AC【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题. 20、(本小题满分13分)如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD⋅＝－1(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第(Ⅰ)问根据“离心率是，且＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第(Ⅱ)问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入中化简整理.要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高.属于较难题.21、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝
(A){x|－1＜x ＜3} (B){x|－1＜x ＜1} (C){x|1＜x ＜2} (D){x|2＜x ＜3}
2、设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显
著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法
是
(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数
法
4、设a,b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
(A)y ＝sin(2x ＋2π) (B)y ＝cos(2x ＋2
π) (C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx
6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为
(A)－2 (B) 2
(C)－
12 (D) 12
7、过双曲线2
2
13y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝
(A)3
8、某视频保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e tx (e ＝2.718…为自然对数的
底数，t,b 为常数)。
若该食品在6℃的保鲜时间是？？？小时，在72℃的保鲜时间是41小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
9、设实数x,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
，则xy 的最大值为 (A)252 (B) 492 (C)12 (D)14 10、设直线l 与抛物线y 2＝4x 相较于A,B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中
点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设i 是虚数单位，则复数1i i -＝_____________.
12、lg0.01÷log 216＝_____________.
13、已知sin α＋2cos α＝0，则2sin.a.cos α－cos 2α的值是______________.
14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.
15、已知函数f(x)＝2x ,g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x 1,x 2，设m ＝1212
()()f x f x x x --，n ＝1212
()()g x g x x x --，现有如下命题： (1)对于任意不相等的实数x 1,x 2，都有m ＞0；
(2)对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2，都有n ＞0；
(3)对于任意的a ，存在不相等的实数x 1,x 2，使得m ＝n ；
(4)对于任意的a ，存在不相等的实数x 1,x 2，使得m ＝－n 。
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列{}n a （n=1,2,3…）的前n 项和n S 满足n S =2n a -3a ，且1a ，2a +1，3a 成等差数列。
（I ）
求数列的通项公式； （II ） 设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T .
17、(本小题满分12分)
为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。
如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（I ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。
下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
（II ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I ） 请按字母F,G,H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II ） 判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系。
并说明你的结论。
（III ） 证明：直线DF ⊥平面BEG
19、(本小题满分12分)
已知A 、B 、C 为ABC 的内角，tanB 是关于方程210x p -+=（p ∈R ）两个实根.
（I ）
求C 的大小
（II ） 若AB=1，p 的值
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆E 1PC PD =-
(I) 求椭圆E 的方程；
(II) 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点。
是否存在常数λ，OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求
21、(本小题满分14分)
已知函数f （x ）=222ln 2x x x ax a -+-+，其中a>0. (I)
设g （x ）为f （x ）的导函数，讨论g （x ）的单调性； (II) 证明：存在a ∈（0,1），使得f （x ）≥g （x ）。