近轴近似亥姆霍兹方程求解matlab偏微分方程

近轴近似亥姆霍兹方程求解matlab偏微分方
程
在Matlab中解决近轴近似亥姆霍兹方程需要使用PDE工具箱。

首先，我们需要编写一个包含方程和边界条件的PDE模型，并将其输入到PDE工具箱中。

假设我们要解决以下的近轴近似亥姆霍兹方程：
$\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} +
\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + k^2 u =0$
其中，$u=u(r,\theta)$是待求解的函数，$k$是一个已知的常数。

为了在Matlab中求解这个方程，我们需要将其转换为PDE工具箱可接受的形式。

具体来说，我们需要将二阶偏微分算子转换为一阶偏微分算子，通过重新定义变量 $u$ 和一些新的变量 $v$ 和 $w$ 。

令 $u(r,\theta) = e^{-ikz}v(r,\theta)$，则方程可以转换为以下形式：
$-\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2} -k^2 v
=0$
现在，我们可以将这个方程输入到PDE工具箱中，定义边界条件并求解该方程：
```
model = createpde();
geometryFromEdges(model,@circleg);
applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',1:'Edge',4,'g', 0);
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',1,'c',1,'a',0,'f',-k*k*v); setInitialConditions(model,v0);
tlist = linspace(0,2*pi/k,20);
results = solvepde(model,tlist);
```
这里，我们使用了circleg几何对象来定义圆形域，并将其应用到了
我们的PDE模型中。

我们还定义了边界条件，其中我们设置了所有边
缘上的法向导数为零。

我们使用specifyCoefficients函数指定了方
程中的各项系数，并使用setInitialConditions函数定义了初始条件。

最后，我们使用solvepde函数求解该方程并将结果存储到results变
量中。

当求解完成后，我们可以使用Matlab内置的PDE解决器绘制结果：
```
u = results.NodalSolution;
pdeplot(model,'XYData',u(:,:,end),'ZData',u(:,:,end));
```
这将绘制出在 $t = 2\pi/k$ 时刻的解。