行程问题带解析

行程问题☞题型1“行程问题单线型”例1. A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是180米．答案: 解：由题意可得，甲的速度为：（2380﹣2080）÷5=60米/分，乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60=70米/分，则乙从B到A地用的时间为：2380÷70=34分钟，他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟，∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米，故答案为：180．巩固1. 甲，乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，乙车到达A地后未作停留，继续保持原速向远离B地的方向行驶，而甲车到达B地后修整了1个小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数图象如图所示，则A，C两地相距420千米．答案: 解：由图象可得：当x=0时，y=300，∴AB=300千米．∴甲车的速度=300÷5=60千米/小时，又∵300÷3=100千米/小时，∴乙车的速度=100﹣60=40千米/小时，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得：60（t﹣1）﹣40t=300，解得t=18，∴B，C两地的距离=40×18=720千米，则A，C两地相距：720﹣300=420千米，故答案为：420．巩固2. 小兵早上从家匀速步行去学校，走到途中发现数学书忘在家里了，随即打电话给爸爸，爸爸立即送书去，小兵掉头以原速往回走，几分钟后，路过一家书店，此时还未遇到爸爸，小兵便在书店挑选了几支笔，刚付完款，爸爸正好赶到，将书交给了小兵．然后，小兵以原速继续上学，爸爸也以原速返回家．爸爸到家后，过一会小兵才到达学校．两人之间的距离y（米）与小兵从家出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．则家与学校相距1740米．答案: 解：观察图象可知小兵爸爸的速度为=90米/分，设小兵的速度为x米/分，由图象可知10（90+x）=1500，解得x=60米/分，60×4=240，1500+240=1740米．故答案为1740．巩固3. 5月13日，周杰伦2017“地表最强”世界巡回演唱会在奥体中心盛大举行，1号巡逻员从舞台走往看台，2号巡逻号从看台走往舞台，两人同时出发，分别以各自的速度在舞台与看台间匀速走动，出发1分钟后，1号巡逻员发现对讲机遗忘在出发地，便立即返回出发地，拿到对讲机后（取对讲机时间不计）立即再从舞台走往看台，结果1号巡逻员先到达看台，2号巡逻员继续走到舞台，设2号巡逻员的行驶时间为x（min），两人之间的距离为y（m），y与x的函数图象如图所示，则当1号巡逻员到达看台时，2号巡逻员离舞台的距离是米．答案: 解：由图象可得2号巡逻员的速度为1000÷12.5=80m/min，1号巡逻员的速度为（1000﹣800）÷1﹣80=200﹣80=120m/min，设两车相遇时的时间为xmin，可得方程：80x+120（x﹣2）=800+200，解得：x=6.2，∴a=6.2，∴2号巡逻员的路程为6，.2×80=496m，1号巡逻员到达看台时，还需要=min，∴2号巡逻员离舞台的距离是1000﹣80×（6.2+）=m，故答案为：m．巩固4. ．甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开汽车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到B地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为小时．答案: 解：20÷1=20（千米/小时），20÷（﹣1）+20=20÷+20=80+20=100（千米/小时），30÷（100﹣20）+（﹣1）=30÷80+=+=（小时）．答：乙从A地到B地所用的时间为小时．故答案为：．巩固5. ．小鹏早晨到校发现作业忘带，就打电话叫爸爸立即把作业送到学校，小鹏也同时往家赶，两人相遇后，小鹏以原速度返回学校，爸爸则以原速度的返回家．设爸爸行走的时间为x分钟，小鹏和爸爸两人之间的距离为y米，y与x的函数关系如图所示，则当小鹏回到学校时，爸爸还需要 2.5分钟才能到家．答案: 解：设爸爸从家到与小明相遇的过程中的速度为a米/分钟，由题意和图象可得，，解得，a=120，∴当小鹏回到学校时，爸爸还需要：=2.5（分钟），故答案为：2.5．巩固6. ．快车和慢车同时从甲地出发以不同的速度匀速前往乙地，当快车到达乙地后停留了一段时间，立即从原路以另一速度匀速返回，在途中与慢车相遇，相遇后两车朝各自的方向继续行驶，两车之间的距离y（千米）与慢车行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图所示，则甲乙两地的距离是390千米．答案: 解：由题意慢车为60km/h，设快车是速度为xkm/h，由题意4x﹣4×60=150，解得x=km/h，所以甲乙两地的距离4×=390km，故答案为390．巩固7. ．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，大楼C位于AB 之间，甲与乙相遇在AC中点处，然后两车立即掉头，以原速原路返回，直到各自回到出发点．设甲、乙两车距大楼C的距离之和为y（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），y与t的函数图象所示，则第21小时时，甲乙两车之间的距离为1350千米．答案: 解：设AC中点为E．观察函数图象可知：乙车从B到C需用4小时，从C到E需用=8小时，甲从A到E需要12小时，∵点E为AC的中点，乙的速度不变，∴AE=CE=2BC（如图所示）．∵2CE=1440，∴AE=720，BE=1080，∴甲的速度为720÷12=60（千米/小时），乙的速度为1080÷12=90（千米/小时）．第21小时时，甲乙两车之间的距离为（60+90）×（21﹣12）=1350（千米）．故答案为：1350．巩固8. ．甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地，乙车先出发匀速行驶，一段时间后，甲车出发匀速追赶，途中因油料不足，甲到服务区加油花了6分钟，为了尽快追上乙车，甲车提高速度仍保持匀速行驶，追上乙车后继续保持这一速度直到B地，如图是甲、乙两车之间的距离s（km2），乙车出发时间t（h）之间的函数关系图象，则甲车比乙车早到11.5分钟．答案: 解：由题意可得，乙车的速度为：40÷0.5=80km/h，甲车开始时的速度为：（2×80﹣10）÷（2﹣0.5）=100km/h，甲车后来的速度为：=120km/h，∴乙车动A地到B地用的时间为：250÷80=h，甲车从A地到B地的时间为：=2h，∴==11.5分钟，故答案为：11.5．巩固9. ．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中的折线表示y与x之间的函数关系．当两车之间的距离首次为300千米时，经过3小时后，它们之间的距离再次为300千米．答案: 解：（480﹣440）÷0.5=80km/h，440÷（2.7﹣0.5）﹣80=120km/h，所以，慢车速度为80km/h，快车速度为120km/h；由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，解得x=1.2（h），相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）=300，解得x=4.2（h），4.2﹣1.2=3（h）所以当两车之间的距离首次为300千米时，经过3小时后，它们之间的距离再次为300千米故答案为：3．巩固10. ．“欢乐跑中国•重庆站”比赛前夕，小刚和小强相约晨练跑步．小刚比小强早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇．两人寒暄2分钟后，决定进行跑步比赛．比赛时小刚的速度始终是180米/分，小强的速度是220米/分．比赛开始10分钟后，因雾霾严重，小强突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到他们再次相遇．如图所示是小刚、小强之间的距离y（千米）与小刚跑步所用时间x（分钟）之间的函数图象．问小刚从家出发到他们再次相遇时，一共用了分钟．答案: 解：小刚比赛前的速度v1=（540﹣440）=100（米/分），设小强比赛前的速度为v2（米/分），根据题意得2×（v1+v2）=440，解得v2=120米/分，小刚的速度始终是180米/分，小强的速度开始为220米/分，他们的速度之差是40米/分，10分钟相差400米，设再经过t分钟两人相遇，则180t+120t=400，解得t=（分）所以小刚从家出发到他们再次相遇时5+10+=（分）．故答案为．巩固11. ．欢欢和乐乐骑自行车从滨江路上相距10600米的A、B两地同时出发，先相向而行，行驶一段时间后欢欢的自行车坏了，她立刻停车并马上打电话通知乐乐，乐乐接到电话后立刻提速至原来的倍，碰到欢欢后用了5分钟修好了欢欢的自行车，修好车后乐乐立刻骑车以提速后的速度继续向终点A地前行，欢欢则留在原地整理工具，2分钟以后欢欢再以原速返回A地，在整个行驶过程中，欢欢和乐乐均保持匀速行驶（乐乐停车和打电话的时间忽略不计），两人相距的路程s（米）与欢欢出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则乐乐到达A 地时，欢欢与A地的距离为2000米．答案: 解：欢欢和乐乐初始速度和为（10600﹣1800）÷16=550（米/分钟），乐乐提速后的速度为（1800﹣1000）÷（18﹣16）=400（米/分钟），乐乐的初始速度为400÷=300（米/分钟），欢欢的速度为550﹣300=250（米/分钟），欢欢坏车的地方离A地的距离为250×16=4000（米），修好车后乐乐到达A地所需时间为4000÷400=10（分钟），乐乐到达A地时，欢欢与A地的距离为4000﹣250×（10﹣2）=2000（米）．故答案为：2000．巩固11. ．甲、乙两人同时从各自家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练．乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙，此时乙将速度提高到原来的2倍，又经过15分钟，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度．甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x （分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到自己家时，甲离自己的家还有﹣300米．答案: 解：设乙的速度为v米/分钟，则甲的速度为（v+20）米/分钟，根据题意得：5v+15×2v+100=23（v+20）+（23﹣5﹣15）v，解得：v=40，v+20=60．乙的家离公园的距离5v+15×2v=35v=1400．乙回到家的时间为5+15+1400÷40=55（分钟），此时甲离自己的家的距离为2×（1400+100）﹣55×60=﹣300（米）．故答案为：﹣300巩固12. ．如图，小明和小亮同时从学校放学，两人以各自速度匀速步行回家，小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果小明比小亮晚回到家中．如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图．则小明的家和小亮的家相距2975米．答案: 解：由图象可知，设FG段两人之间的距离为x米，则有=，解得x=2100米，∵小明回到家的时间比小亮到达学校的时间多用了10分钟，由OE段可知10分钟小明正好从家步行到学校，∴FG段两人之间的距离正好是家到学校的距离，∴小明家与学校相距2100米，因为十分钟内两人走的距离之和是1400米，G点代表小明正好到达学校，小亮正好同时到家．从追上之后到学校这段路程，小明用了15分钟，小亮用了25分钟，得出速度比为5：3，小明家到学校距离为1400×=875米．所以两家相距2100+875=2975米故答案为2975．巩固13.（中）．如图所示的图象反映的过程是：甲乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲先到B地停留半小时后，按原路以另一速度匀速返回，直至与乙相遇．乙的速度为60km/h，y（km）表示甲乙两人相距的距离，x （h）表示乙行驶的时间．现有以下4个结论：①A、B两地相距305km；②点D的坐标为（2.5，155）；③甲去时的速度为152.5km/h；④甲返回的速度是95km/h．以上4个结论中正确的是①②③④．答案: 解：设甲去时的速度为xkm/h，根据题意得2（x﹣60）=185，解得：x=152.5，由于152.5×2=305，故A、B两地相距305千米；所以选项①③正确；∵甲车先到达B地，停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，∴D的横轴应为2.5；∵乙车的速度为每小时60千米，∴半小时后行驶距离为30km，故纵轴应为185﹣30=155；∴点D的坐标（2.5，155）；所以选项②正确；∵甲车去时的速度为152千米/时；设甲车返回时行驶速度v千米/时，∴（v+60）×1=155，解得v=95．故甲返回的速度是95千米/时．所以选项④正确，故答案为：①②③④．☞题型2“行程问题双线型”例1. ．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是②③④（填写所有正确结论的序号）．答案: 解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=2（h），∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4﹣3.5）=40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．巩固1. 快、慢两车分别从相距480km的甲，乙两地同时出发，匀速行驶，相向而行，途中慢车因故停留了1小时，然后继续以原速驶向甲地，到达甲地后即停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（调头时间忽略不计）．如图是快、慢两车距乙地路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数图象，则当两车第一次相遇时，快车距离甲地的路程是320千米．答案: 解：由题意，得慢车的速度为：480÷（9﹣1）=60千米/时，∴a=60×（7﹣1）=360．则5×60=300，∴D（5，300），设y OD=k1x，由题意，得300=5k1，∴k1=60，∴y OD=60x．∵快车的速度为：（480+360）÷7=120千米/时．∴480÷120=4小时．∴B（4，0），C（8，480）．设y AB=k2x+b，由题意，得，解得：，∴y AB=﹣120x+480∴，解得：．∴480﹣160=320千米．答：快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是320千米；故答案为：320．巩固2. 周末小明和爸爸从家里出发到野外郊游，小明骑自行车出发0.3小时后爸爸开始骑摩托车追赶，爸爸在追上小明前停留了0.1小时与碰到的朋友聊天，聊天完毕后以原来的速度继续追赶．在整个过程中，他们离家的路程y（千米）与爸爸出发的时间x（小时）之间的关系如图所示，则爸爸出发0.7小时后与小明相遇．答案: 解：爸爸的速度为36÷（1﹣0.1）=40（千米/小时），小明的速度为36÷（1.2+0.3）=24（千米/小时）．设爸爸出发t小时后与小明相遇，此时，小明出发了（t+0.3）小时，根据题意得：40（t﹣0.1）=24（t+0.3），解得：t=0.7．答：爸爸出发0.7小时后与小明相遇．故答案为：0.7．巩固3. ．某天早晨，小刚从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小刚跑到体育场后发现要下雨，立即以另一速度按原路返回，遇到妈妈后，妈妈立即以小刚返回的速度和小刚一起回家（妈妈与小刚行进的路线相同）．如图是两人离家的距离y（米）与小刚出发的时间x（分）之间的函数图象，则小刚第一次和妈妈相遇时，妈妈离家的距离为2000米．答案: 解：3000÷30=100（米/分），3000÷（50﹣30）=150（米/分），150×（50﹣45）=750（米），（3000﹣750）÷45=50（米/分），3000÷（100+50）=20（分），3000﹣50×20=2000（米）．答：小刚第一次和妈妈相遇时，妈妈离家的距离为2000 米．故答案为：2000．巩固4. ．某周末，小明到彩云湖公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5千米，步行20分钟后，在家的小明妈妈发现小明画画的某工具没拿，立即通知小明等着自己把工具送过去，小明妈追上小明把工具给了小明后立即返回，同时小明以原来1.5倍的速度前往目的地，如图是小明与小明妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，则小明到达目的地比小明妈返回家晚5分钟．答案: 解：由图象可知，小明开始的速度为=70m/min，小明原地休息15min后，以105m/min的速度前往目的地，需要的时间==20min，20+15+20﹣50=5min，所以小明到达目的地比小明妈返回家晚5min，故答案为5巩固5. ．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，乙车匀速前往A地，中途与甲车相遇后休息了一会儿，然后以原来的速度继续行驶直到A地．设甲、乙两车距A 地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时）．y与x之间的函数图象如图所示，则乙车到达A地时甲车距B地的路程为150千米．答案: 解：180÷1.5=120（千米/时），300÷120=2.5（小时），300÷（5.5﹣2.5）=100（千米/时），（300﹣180）÷1.5=80（千米/时），300÷80+（1.75﹣1.5）=3.75+0.25=4（小时），（4﹣2.5）×100=1.5×100=150（千米）．答：乙车到达A地时甲车距B地的路程为150千米．故答案为：150．巩固6. ．已知A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，则当甲车到达B市时乙车已返回A市的时间为小时．答案: 解：甲车没坏前的速度为80÷2=40（千米/小时），甲车修好后的速度为40×1.5=60（千米/小时），修好车时甲车出发的时间为4﹣（4﹣2﹣）÷2=（小时），甲车到达B市时甲车出发的时间为+（260﹣80）÷60=（小时），当甲车到达B市时乙车已返回A市的时间为﹣4=（小时）．故答案为：巩固7. ．一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以v1的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以v2的速度匀速跑至终点C；乙以v3的速度匀速跑至终点C，甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象如图所示，则AB长为15千米，v1﹣v2=5千米/小时．答案: 解：由题意AB=15千米，V1==15千米/小时，V2==10千米/小时，∴v1﹣v2=15﹣10=5千米/小时，故答案为15，5千米/小时．巩固8. ．在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图所示．在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图中的虚线所示，在行驶的过程中，经过 1.2或4.8小时时邮政车与客车和货车的距离相等．答案: 解：v客=360÷6=60千米/时，v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，90t﹣360﹣（480﹣40t）=60t﹣（90t﹣360）解得t=7.5，当客车和货车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等满足条件，即60t+40t=480，解得t=4.8综上所述，经过1.2或4.8小时或7.5小时邮政车与客车和货车的距离相等，故答案为：1.2或4.8。