专题06 整式的乘除重难点题型分类(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
部编数学七年级上册专题06整式的加减(11个题型)章末重难点题型(解析版)含答案
专题06 整式的加减（11个题型）章末重难点题型一、经典基础题题型1. 代数式的书写规范问题题型2. 根据要求列代数式题型3.整式的相关概念题型4.利用整式的相关概念求字母的取值题型5.利用同类项的概念求值题型6 . 添括号与去括号题型7. 整式“缺项”及与字母取值无关的问题题型8.整式的加减混合运算题型9.整式的化简求值题型10. 求代数式的值与整体思想题型11.整式的实际应用二、优选提升题题型1. 代数式的书写规范问题【解题技巧】代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.例1．（2022·河北保定·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：（1）a×5，应写成_______ ；（2）S÷t应写成_________；（3）123a a b´´-´，应写成______；（4）413x, 应写成______.变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）下列各式书写符合要求的是（ ）A ．1a b-¸-B ．132xy C ．ab ×5D ．22x y -变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）A ．a8B ．s tC ．m ﹣1元D ．125x 【答案】B【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进题型2. 根据要求列代数式【解题技巧】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例1．（2022·山西临汾·七年级期末）某商品的售价为每件a元，为了参与市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时该商品的售价为___________元．a-【答案】(0.940)【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】商品的售价为每件a元，商店按售价的九折再让利40元销售，a-元．现在的售价：(0.940)a-．故答案为：(0.940)【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意以及掌握代数式的书写规则是本题的关键．变式1．（2022·山东烟台·期末）阿宜跟同学到西餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为12份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．12-x-y B．12-y C．12-x+y D．12-x【答案】D【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐12−x．【详解】解：x 杯饮料则在B 和C 餐中点了x 份意大利面，∴点A 餐为12−x ，故选D ．【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．变式2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）一辆快递货运车，运送快递到山上的菜鸟驿站，上山的速度是km/h m ，沿原路下山，下山的速度是km/h n ，则这辆快递货运车上山、下山的平均速度是_________km/h ．题型3.整式的相关概念（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式。
整式的乘除知识点总结及针对练习题
思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+【基础过关】1．下列计算正确的是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．下列计算中，错误的是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
重难点 整式综合解答题(13种题型60题专练)(解析版)2023年新七年级数学核心知识点与常见题型
整式综合解答题(13种题型60题专练)【考点剖析】一．多项式(共1小题)1(2021秋•浦东新区校级期中)已知代数式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关，求a b的值．【分析】根据题意可得x的二次项和一次项的系数均为0，据此求出a、b的值，然后代入求解．【解答】解：由题意得，2-2b=0，a+3=0，解得：a=-3，b=1，则a b=-3．【点评】本题考查了多项式的知识，解答本题的关键是理解题目中字母x的取值无关的意思．二．整式的加减(共2小题)2(2022秋•浦东新区期中)已知关于x的多项式4x2-5kx-9减去(k3x+3)(k3x-3)的差是一个单项式，求-k2+3k-1的值．【分析】根据题意列出算式，先去括号，再合并同类项，根据其差是单项式求出k的值，进一步代入计算可得．【解答】解：(4x2-5kx-9)-(k3x+3)(k3x-3)=4x2-5kx-9-k29x2+9=(4-k29)x2-5kx，∵其差是单项式，∴4-k29=0或-5k=0，解得k=±6或k=0．当k=-6时，原式=-36-18-1=-55；当k=6时，原式=-36+18-1=-19；当k=0时，原式=-0+0-1=-1．综上所述，-k2+3k-1的值为-55或-19或-1．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．3(2022秋•宝山区校级月考)化简：5(a2b-3ab2)-2(a2b-7ab2)．【分析】先去括号，再合并同类项即可．【解答】解：原式=5a2b-15ab2-2a2b+14ab2=3a2b-ab2．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．三．整式的加减-化简求值(共3小题)4(2022秋•浦东新区期中)已知A=3x2+ax-3y+2，B=bx2-23x-2y+4，且A与B的3倍的差的值与x 的取值无关，求代数式-ab [a +12(4b -a +6)]-3(2ab 2-16a 2b -13ab )的值．【分析】由A 与B 的3倍的差的值与x 的取值无关可求出a 、b 的值，将所求式子化简后，再代入即可得到答案．【解答】解：∵A -3B =3x 2+ax -3y +2-3(bx 2-23x -2y +4)=3x 2+ax -3y +2-3bx 2+2x +6y -12=(3-3b )x 2+(a +2)x +3y -10，∵A 与B 的3倍的差的值与x 的取值无关，∴3-3b =0，a +2=0，∴b =1，a =-2，-ab [a +12(4b -a +6)]-3(2ab 2-16a 2b -13ab )=-a 2b -3ab -2ab 2+12a 2b -6ab 2+12a 2b +ab=-2ab -8ab 2，把b =1，a =-2代入得：原式=-2×(-2)×1-8×(-2)×12=4+16=20．【点评】本题考查整式化简及求值，涉及非负数和为0，代数式的值与x 无关等知识，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则．5(2022秋•浦东新区校级期中)先化简，再求值：(x +y )2-2x (x +2y )+(x +3y )(x -3y )，其中x =-1，y =2．【分析】首先去括号，合并同类项，将代数式化为最简式，然后把x 、y 的值代入，求出算式(x +y )2-2x (x +2y )+(x +3y )(x -3y )的值是多少即可．【解答】解：当x =-1，y =2时，(x +y )2-2x (x +2y )+(x +3y )(x -3y )=x 2+2xy +y 2-2x 2-4xy +x 2-9y 2=-8y 2-2xy=-8×22-2×(-1)×2=-32+4=-28【点评】此题主要考查了整式的加减-化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．6(2019秋•闵行区校级月考)已知：|x +3|+(2x +y )2=0，先化简：34x 2-(3y -14x 2)+y ，再求值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=34x 2-3y +14x 2+y =x 2-2y ，∵|x +3|+(2x +y )2=0，∴x +3=0且2x +y =0，解得：x=-3，y=6，则原式=9-12=-3．【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四．幂的乘方与积的乘方(共3小题)7(2022秋•奉贤区期中)已知a m=3，a2m+n=5，求a2n的值．【分析】首选把所求的式子化成(a2m+n)2÷(a m)4的形式，然后代入求解即可．【解答】解：a2n=a2(2m+n)-4m=(a2m+n)2÷(a m)4=52÷34=2581．【点评】本题考查了幂的运算，正确对所求的式子进行变形是关键．8(2021秋•徐汇区校级月考)若(9m+1)2=316，求正整数m的值．【分析】由(9m+1)2=92m+2=32(2m+2)=316，可得方程：2(2m+2)=16，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵(9m+1)2=92m+2=32(2m+2)=316，∴2(2m+2)=16，解得：m=3．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．9(2021秋•嘉定区期中)计算：-a•(-a)3•(-a)6+(-a2)5．【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行运算．【解答】解：原式=(-a)1+3+6-a10=a10-a10=0．【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，准确运用公式是解题的关键．五．单项式乘单项式(共2小题)10(2020秋•浦东新区校级期中)计算：2x3⋅x3-2x33+4x-1 2 x42．【分析】根据运算顺序先算乘方运算，第一项利用积的乘方运算法则计算，第二项、三项根据幂的乘方运算法则计算，然后合并同类项后即可得到结果．【解答】解：原式=2x6-8x9+x9=2x6-7x9．【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法运算，积的乘方及幂的乘方运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．11(2021秋•青浦区月考)(-2y3)2+(-4y2)3-(-2y)2•(-3y2)2．【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，再合并同类项即可求解．【解答】解：(-2y3)2+(-4y2)3-(-2y)2•(-3y2)2=4y6-64y6-4y2•(9y4)=4y6-64y6-36y6=-96y6．【点评】考查了积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．12(2019秋•闵行区校级期中)阅读理解题阅读材料：两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位(数位不足的两位，用零补齐)．比如47×43，它们的乘积的前两位是4×(4+1)=20，它们乘积的后两位是7×3=21．所以47×43= 2021；再如62×68，它们乘积的前两位是6×(6+1)=42，它们乘积的后两位是2×8=16，所以62×68=4216．又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位；1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609．该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，(a，b表示1到9的整数)则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+(10-b)．两数相乘可得：(10a+b)[10a+(10-b)]=100a2+10a(10-b)+10ab+b(10-b)=100a2+100a+b(10-b)=100a(a+1)+b(10-b)．(注：其中a(a+1)表示计算结果的前两位，b(10-b)表示计算结果的后两位．)问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如44×73、77×28、55×64等．(1)探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．(2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10-b)．(a，b表示1~9的正整数)(3)请针对问题(1)，(2)的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．如：100a(a+1)+b(10-b)的运算式．【分析】(1)根据阅读材料的速算过程即可求解；(2)根据两位数的确定过程即可求解；(3)模仿阅读材料中的方法即可写出．【解答】解：(1)∵4×7+4=32，4×3=12，∴44×73=3212．(2)十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a，另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10-b)．故答案为10a+a、10b+(10-b)．(3)设其中一个因数的十位数字为a，个位数字也是a则该数可表示为10a+a，设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10-b)(a，b表示1到9的整数)．两数相乘可得：(10a+a)[10b+(10-b)]=100ab+10a(10-b)+10ab+a(10-b)=100ab+100a+a(10-b)=100a(b+1)+a(10-b)．【点评】本题考查了单项式乘以多项式、速算、两位数的确定，解决本题的关键是理解阅读材料．13(2022秋•长宁区校级期中)若关于x的多项式2x+a与x2-bx-2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a、b的值．【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于a、b的方程，求解即可．【解答】解：(2x+a)×(x2-bx-2)=2x3-2bx2-4x+ax2-abx-2a=2x3+(a-2b)x2-(4+ab)x-2a．∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，∴a-2b=0，-2a=10，∴a=-5，b=-2.5．【点评】本题主要考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．14(2019秋•静安区月考)探索题：(x-1)(x+1)=x2-1，(x-1)(x2+x+1)=x3-1，(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1，(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1．(1)观察以上各式并猜想：①(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；②(x-1)(x n+x n-1+x n-2+⋯+x3+x2+x+1)=x n+1-1；(2)请利用上面的结论计算：①(-2)50+(-2)49+(-2)48+⋯+(-2)+1②若x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】(1)①②根据已知式子进行探寻规律即可；(2)①将原始乘以(-2-1)后除以(-2-1)，再运用公式计算即可；②将原始乘以(x-1)后除以(x-1)，再运用公式计算即可．【解答】解：(1)①(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1，②(x-1)(x n+x n-1+x n-2+⋯+x3+x2+x+1)=x n+1-1，故答案为x7-1，x n+1-1；(2)①(-2)50+(-2)49+(-2)48+⋯+(-2)+1==(-2-1)×[(-2)50+(-2)49+(-2)48+⋯+(-2)+1]÷(-2-1)=[(-2)51-1]÷(-3)=(-251-1)÷(-3)=，②x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=(x-1)•(x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1)÷(x-1)=(x1008-1)÷(x-1)，∴x1008-1=0，x1008=1，∴x2016=(x1008)2=1．【点评】本题看出来探寻数列规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．八．完全平方公式(共5小题)15(2021秋•浦东新区期中)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如表，此表揭示了(a+b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定(a+b)0=1；那么(a+b)0=1，它只有一项，系数为1；(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，(a+b)4展开式共有五项，系数分别为1，4，6，4，1；根据以上规律，写出(a+b)5的展开式：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．【分析】观察阅读材料中的杨辉三角规律，确定出展开的系数以及展开式．【解答】解：根据以上规律，(a+b)4展开式共有五项，系数分别为1，4，6，6，4，1；根据以上规律，写出(a+b)5的展开式：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．故答案为：1，4，6，6，4，1；a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【点评】此题考查了完全平方公式，数学常识，规律型：数字的变化类，多项式，熟练弄清题中的展开式规律是解本题的关键．16(2021秋•长宁区校级期中)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：(a+b)0=1，它只有一项，系数为1；(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：(1)(a+b)5展开式的系数和是32；(a+b)n展开式的系数和是2n ．(2)当a=2时，(a+b)5展开式的系数和是243；(a+b)n展开式的系数和是3n ．【分析】(1)根据杨辉三角找出系数和的规律求解．(2)特殊值法求解．【解答】解：(1)由杨辉三角得：(a+b)2的系数和为：1+2+1=4=22，(a+b)3的系数和为：1+3+3+1=8=23，•••，(a+b)5展开式中各项的系数和为：25=32，(a+b)n的展开式中各项的系数和为：2n．故答案为：32，2n．(2)当a=2时，(a+b)2=(2+b)2=4+4b+b2，系数和为：4+4+1=9=32，当a=2时，(a+b)3=23+3×22×b+3×2×b2+b3，系数和为：8+12+6+1=27=33，∴依此类推：当a=2，(a+b)5=35=243，(a+b)n展开式的系数和是3n．故答案为：243，3n．【点评】本题考查多项式系数的概念，通过归纳规律解决问题，正确归纳规律，利用系数的概念解题是求解本题的关键．17(2022秋•静安区校级期中)阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50-47=3；第二步：取50的一半25，25-3=22；第三步：32=9第四步：把第二、三步综合起来，472=(25-3)×100+32=2209．(1)依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50-49=1；第二步：取50的一半25，25-1=24；第三步：12=1第四步：把第二、三步综合起来，492=(25-1)×100+12=2401．(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．(50-n)2=(25-n)×100+n2．(3)利用乘法运算说明第(2)小题中这个公式的正确性．(4)写出利用这个公式计算562=3136的过程．(5)计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×(6+1)=42；第二步：3×7=21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式 (10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b) ．(6)利用乘法运算说明第(5)小题中这个公式的正确性．【分析】(1)根据材料中的方法计算即可；(2)同理可得结论；(3)根据乘法运算分别计算(2)中等式的左边和右边，从而得结论；(4)代入(2)中的公式可得结论；(5)根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；(6)根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：(1)依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50-49=1；第二步：取50的一半25，25-1=24；第三步：12=1；第四步：把第二、三步综合起来，492=(25-1)×100+12=2401．故答案为：25，1，1；(2)(50-n)2=(25-n)×100+n2．故答案为：25，n，n；(3)∵左边=2500-100n+n2，右边=n2-100n+2500，∴左边=右边，∴(50-n)2=(25-n)×100+n2；(4)562=(50+6)2=(25+6)×100+62．(5)写出上述过程所依据的计算公式：(10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b)；故答案为：(10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b)；(6)∵左边=(10a+b)[10a+(10-b)]=(10a+b)(10a-b+10)=100a2-10ab+100a+10ab-b2+10b=100a2+100a+10b-b2，右边=a(a+1)×100+b(10-b)=100a(a+1)+b(10-b)=100a2+100a+10b-b2，∴(10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b)．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．18(2020秋•上海期末)计算：(x+2)(x-3)-2(x+1)2．【分析】根据多项式乘以多项式，完全平方式运算即可．【解答】解：(x+2)(x-3)-2(x+1)2=x2-3x+2x-6-2x2-4x-2=-x2-5x-8．【点评】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方式，解题的关键是-2与完全平方式相乘时，①符号的变化，②时不漏项．19(2019秋•浦东新区期中)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角(贾宪是北宋时期的数学家)”就是一例．如图1，这个三角形中的数字给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按字母a的降幂排列)的系数规律．例如：如图2，在三角形中第三行的三个数是1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．(1)请根据上面的规律，写出(a+b)4的展开式(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ；(2)利用上面的规律计算：24-4×23+6×22-4×2+1=1．【分析】(1)根据图中数据的规律即可写出结果；(2)根据(1)中的规律即可求解．【解答】解：(1)(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4故答案为a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；(2)24-4×23+6×22-4×2+1=(2-1)4=1故答案为1．【点评】本题考查了完全平方公式、数学常识、多项式，解决本题的关键是分析图中规律写出展开式．九．完全平方公式的几何背景(共5小题)20(2019秋•徐汇区校级月考)如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．(1)用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1=4b2-4ab+a2 S2=a2-2ab+b2 ，S3=2b2-ab．(2)若a+b=10，ab=24，求2S1-3S3的值；(3)若S1=12，S2=10，S3=18，求出图③中的阴影部分面积．【分析】(1)按照题目准确写出图①、图②中阴影部分图形的边长，再求面积；(2)化简整理2S1-3S3，使其能用a+b和ab的代数式来表示即可；(3)构造以a为宽，(a+b)为长的矩形，使用割补法求出图中阴影部分的面积即可．【解答】解：(1)由题意得：S1=(2b-a)2=4b2-4ab+a2S2=(a-b)2=a2-2ab+b2S3=(2b-a)b=2b2-ab故答案为：4b2-4ab+a2，a2-2ab+b2，2b2-ab．(2)2S1-3S3=2(4b2-4ab+a2)-3(2b2-ab)=8b2-8ab+2a2-6b2+3ab=2(a2+b2)-5ab=2(a+b)2-9ab把a+b=10，ab=24代入上式：2(a+b)2-9ab=-16答：2S1-3S3的值是-16．(3)阴影部分面积：S=a(a+b)-12a2-12b(a+b)-12b(a-b)=12a2，∵S1=(2b-a)2=12，S2=a2-2ab+b2=10，S3=(2b-a)b=18，∴a2=76，b2=34，ab=50，∴S=a(a+b)-12a2-12b(a+b)-12b(a-b)=12a2=12×76=38．答：图③中的阴影部分面积是38．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景和应用．理解完全平方公式的几何背景，灵活应用完全平方公式是解决这类题目的关键．21(2020秋•浦东新区期中)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，又因为ab=1所以a2+b2=7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y2=40，求xy的值；(2)填空：①若(4-x)x=3，则(4-x)2+x2=10．②若(4-x)(5-x)=8，则(4-x)2+(5-x)2=17．(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2 =18，求图中阴影部分面积．【分析】(1)根据完全平方公式的变形，即可求出xy的值；(2)①将(4-x)看作y，根据(1)中的方法可求出答案；②将(4-x)=a，(x-5)=b，利用题目提供的方法可求出答案；(3)设AC=a，BC=b，将问题转化为a+b=6，a2+b2=18，求出12ab的值即可．【解答】解：(1)∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即，x2+2xy+y2=64，又∵x2+y2=40，∴2xy=24∴xy=12；(2)①(4-x)2+x2=(4-x+x)2-2(4-x)x=16-2×3=10，故答案为：10；②∵(4-x)(5-x)=8，∴(4-x)(x-5)=-8，∴(4-x)2+(5-x)2=(4-x)2+(x-5)2=[(4-x)+(x-5)]2-2(4-x)(x-5)=1-2×(-8)=1+16=17，故答案为：17；(3)设AC=a，BC=b，则S1=a2，S2=b2，由S1+S2=18可得，a2+b2=18，而a+b=AB=6，而S阴影部分=12 ab，∵a+b=6，∴a2+2ab+b2=36，又∴a2+b2=18，∴2ab=18，∴S阴影部分=12ab=184=92，即，阴影部分的面积为9 2．【点评】本题考查多项式乘以单项式，多项式乘多项式以及完全平方公式等知识，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键．22(2019秋•黄浦区校级期末)若x满足(9-x)(x-4)=4，求(4-x)2+(x-9)2的值．解：设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(5-x)(x-2)=2，求(5-x)2+(x-2)2的值(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【分析】(1)设(5-x)=a，(x-2)=b，根据已知等式确定出所求即可；(2)设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【解答】解：(1)设(5-x)=a，(x-2)=b，则(5-x)(x-2)=ab=2，a+b=(5-x)+(x-2)=3，∴(5-x)2+(x-2)2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5；(2)∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴MF=DE=x-1，DF=x-3，∴(x-1)•(x-3)=48，∴(x-1)-(x-3)=2，∴阴影部分的面积=FM2-DF2=(x-1)2-(x-3)2．设(x-1)=a，(x-3)=b，则(x-1)(x-3)=ab=48，a-b=(x-1)-(x-3)=2，∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+4×48=196．∴a+b=14．∴a=8，b=6，a+b=14，∴(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．23(2018秋•徐汇区校级月考)如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形．(1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为(2a2+4a+4)平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为(a2+4a+4)平方厘米，这个大正方形的边长为(a+2)厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？(计算说明)(2)A型12块，B型12块，C型4块．从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为(2a+1)cm．【分析】(1)由于1块A型的面积为a2cm，1块B型的面积为acm2，1块C型的面积为1cm2，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为(2a2+4a+4)cm2；①把2a2+4a+4减去a2，然后根据完全平方公式得到a2+4a+4=(a+2)2，由此得到正方形的边长；②把2a2+4a+4减去2，然后根据完全平方公式得到2a2+4a+2=2(a+1)2，由此得到正方形的边长，所以从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板满足要求；(2)从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求，因为12a2+12a+4-1=12a2+12a+3=3 (2a+1)2，此时正方形的边长为(2a+1)cm．【解答】解：(1)1块A型的面积为a2cm，1块B型的面积为acm2，1块C型的面积为1cm2，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为(2a2+4a+4)cm2；①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为2a2+4a+4-a2=a2+4a+4，而a2+4a+4=(a+2)2，则此正方形的边长为(a +2)cm；②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下：2a2+4a+4-2=2a2+4a+2=2(a2+2a+1)=2(a+1)2，此时正方形的边长为(a+1)cm；(2)12a2+12a+4-1=12a2+12a+3=3(2a+1)2，此时正方形的边长为(2a+1)cm．故答案为：(2a2+4a+4)，(a2+4a+4)，a+2；(2a+1)cm．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．24(2017秋•闵行区校级月考)如图，有一个大正方形ABCD，两个小正方形AEFG、FHCM，两个长方形BHFE、DGFM．用a、b的代数式完成下列填空：(1)大正方形ABCD的边长是a+b，面积是(a+b)2 ；(2)两个小正方形AEFG、FHCM的面积和是a2+b2 ；(3)两个长方形BHFE、DGFM的面积和是2ab；(4)由(1)，(2)，(3)可得(a+b)2=a2+b2+2ab；(5)根据(4)的结论计算：(x+25)2．【分析】(1)(2)(3)(4)根据正方形的面积公式，矩形的面积公式，正方形的面积的两种求法可得结论．(5)利用(4)中结论解决问题即可．【解答】解：(1)大正方形ABCD的边长是a+b，面积是(a+b)2；(2)两个小正方形AEFG、FHCM的面积和是a2+b2；(3)两个长方形BHFE、DGFM的面积和是2ab；(4)由(1)，(2)，(3)可得(a+b)2=a2+b2+2ab，；(5)根据(4)的结论计算：(x+25)2=x2+50x+625．故答案为：(1)a+b，(a+b)2；(2)a2+b2；(3)2ab；(4)a2+b2+2ab；【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．一十．平方差公式(共6小题)25(2022秋•黄浦区期中)计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．【分析】首先将原式变为：[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]，然后利用平方差公式，即可得到a2-(2b-3c)2，继而求得答案．【解答】解：(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2+12bc-9c2．【点评】此题考查了平方差公式的应用．此题难度适中，注意首先把原式变形为：[a-(2b-3c)][a+ (2b-3c)]是解此题的关键．26(2022秋•青浦区校级期末)计算：(2x-1)2-2(x+3)(x-3)．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据合并同类项法则合并即可．【解答】解：(2x-1)2-2(x+3)(x-3)=4x2-4x+1-2(x2-9)=4x2-4x+1-2x2+18=2x2-4x+19．【点评】本题考查了整式的混合运算，难度不大，注意将整式展开后合并．27(2022秋•虹口区校级期中)(a-2b+c)(a+2b-c)．【分析】把(2b-c)当成一个整体，利用两数的和与这两数的差的积，等于它们的平方差计算．【解答】解：(a-2b+c)(a+2b-c)，=[a-(2b-c)][a+(2b-c)]，=a2-(2b-c)2，=a2-(4b2-4bc+c2)，=a2-4b2+4bc-c2．【点评】本题主要考查平方差公式，把(2b-c)看成一个整体当作相反项是利用公式求解的关键．28(2020秋•虹口区期末)计算：(x-2y+4)(x-2y-4)．【分析】先用平方差公式计算，得到一个完全平方形式，再用完全平方公式计算．【解答】解：原式=[(x-2y)+4][(x-2y)-4]=(x-2y)2-42=x2-4xy+4y2-16．【点评】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．29(2019秋•徐汇区校级月考)阅读下文，回答问题：已知(1-x)(1+x)=1-x2．(1-x)(1+x+x2)=1-x3 ；(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4 ；(1)计算上式并填空；(2)猜想：(1-x)(1+x+x2+⋯+x n)=1-x n+1 ；(3)你能计算399+398+397⋯+32+3+1的结果吗？请写出计算过程(结果用含有3幂的形式表示)【分析】(1)利用多项式乘以多项式法则，计算得结论；(2)由(1)猜想得结论；(3)变形要计算的式子，套用(2)猜想得结论．【解答】解：(1)(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3；(1-x)(1+x+x2+x3)=1+x+x2+x3-x-x2-x3-x4=1-x4；故答案为：1-x3；1-x4(2)猜想：(1-x)(1+x+x2+⋯+x n)=1-x n+1故答案为：1-x n+1(3)原式=-1(1-3)(1+3+32+⋯+398+399)2(1-3100)=-12【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则及不完全归纳法．解决(3)的关键是式子(399+398+397⋯(1-3)，套用猜想．+32+3+1}乘以-1230(2018秋•浦东新区月考)观察下列各式：(x-1)(x+1)=x2-1；(x-1)(x2+x+1)=x3-1；(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1⋯(1)根据以上规律，则(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1．(2)由此归纳出一般性规律：(x-1)(x n+x n-1+⋯+x+1)=x n+1-1；(3)根据(2)求出1+2+22+⋯+22017+22018的结果．【分析】(1)归纳总结得到一般性规律，写出所求即可；(2)归纳总结得到一般性规律，表示出来即可；(3)原式变形后，利用得出的规律计算即可．【解答】解：(1)(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1．(2)(x-1)(x n+x n-1+⋯+x+1)=x n+1-1；(3)1+2+22+⋯+22017+22018=(2-1)(22018+22017+⋯+22+2+1)=22019-1．故答案为：x7-1；x n+1-1．【点评】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．一十一．平方差公式的几何背景(共2小题)31(2022秋•闵行区期中)如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积．【分析】设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得b2-a2=6．再根据图形写出S的表达式，将b2-a2=6整体代入计算即可．阴【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：b2-a2=6．由图形可得：S 阴=12a(b-a)+(12b2-12ab)=12ab-12a2+12b2-12ab=12(b2-a2)=12×6=3．故阴影部分的面积为3．【点评】本题考查了整式的乘法在几何图形面积计算中的应用，根据图形正确列出算式是解题的关键．32(2020秋•宝山区期末)数学业余小组在活动中发现：(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=a6-b6；⋯(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2⋯+a2b n-3+ab n-2+b n-1)=a n-b n．；(1)请你在答题卡中写出(补上)上述公式中积为a5-b5的一行；(2)请仔细领悟上述公式，并将a3+b3分解因式；(3)请将a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5分解因式．【分析】(1)将n=5代入公式中即可求出结论；(2)根据a3+b3=a3-(-b3)，然后利用条件中公式因式分解即可；(3)将多项式乘(a-b)再除以(a-b)，多项式的值不变，构造公式的形式，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可．【解答】解：(1)将n=5代入(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2⋯+a2b n-3+ab n-2+b n-1)=a n-b n中，得(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5-b5；(2)a3+b3=a3-(-b3)=[a-(-b)][a2+a(-b)+(-b)2]=(a+b)(a2-ab+b2)；(3)a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5=(a-b)a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5a-b=a6-b6a-b=a3+b3a3-b3a-b=a+b(a2-ab+b2)a-b(a2+ab+b2)a-b=(a+b)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)．【点评】本题主要考查了因式分解，根据已知条件中的公式因式分解是解题的关键．一十二．整式的混合运算(共12小题)33(2022秋•静安区校级期中)我们规定一种运算：a b c d =ad -bc ．例如2435=2×5-3×4=-2，x -335 =5x +9．按照这个规定，当x 取何值时x +1x +2x -2x +1=0．【分析】根据新定义运算可得方程(x +1)2-(x -2)(x +2)=0，根据多项式乘多项式的法则将方程展开，再移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：∵a b c d=ad -bc ，x +1x +2x -2x +1=0，∴(x +1)2-(x -2)(x +2)=0，x 2+2x +1-(x 2-4)=0，x 2+2x +1-x 2+4=0，2x +5=0，x =-52故当x 等于-52时，x +1x +2x -2x +1=0．【点评】本题考查了新定义和多项式乘多项式，解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x =a 形式转化．34(2021秋•奉贤区期中)图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形(长方形AEFD 和长方形EBCF )的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a 和2b (即DF =a ，BE =2b )，且b >a >0．当遮阳帘没有拉伸时(如图1)，窗户的透光面积就是整个长方形窗户(长方形ABCD )的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a 至GH ．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b 时，恰好与GH 在同一直线上(即点G 、H 、P 在同一直线上)．(1)求长方形窗户ABCD 的总面积；(用含a 、b 的代数式表示)(2)如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b 至PQ 时，求此时窗户透光的面积(即图中空白部分的面积)为多少？(用含a 、b 的代数式表示)附加题：(3)如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC 的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．【分析】(1)根据题意，可以用a 、b 的代数式表示出AB 、AD ，然后即可计算出长方形窗户ABCD 的总面积；(2)根据题意，可以计算出AE 、AG 、CF 、CP ，然后即可计算出窗户透光的面积；(3)根据题意和图形，可以分别计算出窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积，然后作差比较即可．【解答】解：(1)由题意可得，AD=2a+2b，AB=a+2b，∴长方形窗户ABCD的总面积是AD•AB=(2a+2b)(a+2b)=2a2+6ab+4b2，即长方形窗户ABCD的总面积是2a2+6ab+4b2；(2)由图3可得，AG=2b，AE=a，CF=2b，CP=(2a+2b)-(2b+b)=2a-b，则窗户透光的面积是：AG•AE+CF•CP=2b•a+2b(2a-b)=2ab+4ab-2b2=6ab-2b2；(3)当上面窗户的遮阳帘保持不动，下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，窗户透光的面积是：2b•a+2b(a+b)=2ab+2ab+2b2=4ab+2b2，被遮阳帘遮住的面积是：(2a2+6ab+4b2)-(4ab+2b2)=2a2+6ab+4b2-4ab-2b2=2a2+2ab+2b2，(4ab+2b2)-(2a2+2ab+2b2)=4ab+2b2-2a2-2ab-2b2=-2a2+2ab=2a(b-a)，∵b>a>0，∴b-a>0，∴2a(b-a)>0，即窗户的透光的面积大于被遮阳帘遮住的面积．【点评】本题考查整式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应代数式，利用数形结合的思想解答．35(2020秋•普陀区期中)解方程：(1-3x)2+(2x-1)2=13(x-1)(x+1)【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对方程化简，然后移项、合并同类项、系数化成1即可求解．【解答】解：原式即1-6x+9x2+4x2-4x+1=13(x2-1)，1-6x+9x2+4x2-4x+1=13x2-13，移项，得9x2+4x2-13x2-6x-4x=-13-1-1，合并同类项，得-10x=-15，系数化为1得x=3 2．【点评】本题考查了整式的混合运算和一元一次方程的解法，正确对方程进行化简，理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．36(2019秋•虹口区期中)小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案(阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形)．问(1)这块白铁皮的总面积是多少？(2)这个长方体盒子的表面积是多少？(3)这个长方体盒子的体积是多少？。
(完整word版)整式的乘除知识点及题型复习
的长方形,则需要A类卡片________张,B类卡片_______张，C类卡片_______张.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征,如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解。
1、
2、已知 ，求 的值。
3、
三、课后作业
1、 （1） （2）
（3） (4） （运用乘法公式）
2、（5分）先化简，再求值: ，其中 .
所以：
练习：
1、已知 与 的和是单项式,则 的值是______.
经典题目：
1、已知整式 ,求 的值。
考点2、整式的乘法运算
例:计算： =．
解： ＝ ＝ .
练习：
8、若 ，求 、 的值。
9、已知 ， ，则 的值为（ ）。
A． B． C． D．
10、代数式 的值（ )。
A．只与 有关 B．只与 有关
C．与 都无关 D．与 都有关
考点4、利用整式运算求代数式的值
例:先化简，再求值： ，其中 ．
分析:本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用。
解：
当 ， 时， 。
1、 ，其中 ， .
2、若 ,求 、 的值.
3、当代数式 的值为7时,求代数式 的值.
4、已知 ， ， ，求：代数式 的值.
5、已知 时，代数式 ，求当 时，代数式 的值。
练习：
1、已知一个多项式与单项式 的积为 求这个多项式。
2、已知一个多项式除以多项式 所得的商式是 ，余式是 ，求这个多项式。
方法总结:①乘法与除法互为逆运算.
(完整版)整式的乘除较难题
整式的乘除较难题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．123456787，试比较x、y的大小．123456786，y=123456788×例：若x=123456789×解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a .∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！2.69-1.3453-1.345×0.34520.345×问题：计算 1.345×解：设 1.345=x，那么：原式=x（x-1）?2x-x3-x（x-1）2，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.345．读作“ｎ的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠０时，4、我们把符号“n!”n!=n?（n-1）?（n-2）…2?1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”．按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？12. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”…亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）吗？2、一个单项式加上多项式9（x-1）2-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．3、化简：（1）；（2）多项式x2-xy与另一个整式的和是2x2+xy+3y2，求这一个整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2）（2x2+xy+3y2）-（x2 -xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2．∴这个整式是x2+2xy+3y2．点评：（1）关键是去括号．①按5、设，求整式的值．6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）的值．解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，因为它们的差与字母x的取值无关，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=1．2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=7．8。
整式的除法-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
整式的除法【知识梳理】一：单项式除以单项式1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 二：多项式除以单项式1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项． （2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．【考点剖析】 题型一：单项式除以单项式 例1．计算：（1）527398b b ÷；（2）645242x y x y −÷； （3）362424a b a b ÷；（4）()22153ab b ÷−．【答案】（1）35627b ；（2）22xy −；（3）212ab ；（4）5a −． 【解析】（1）52523737356989827b b b b −⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭；（2）()64526542242422x y x y x y xy −−−÷=−÷=−；（3）()362432642124242a b a b a b ab −−÷=÷=；（4）()()()22221531535ab b ab a−÷−=÷−=−．【总结】本题考查了单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【变式1】计算：（1）()226ab ab ÷=；（2）()()2515xy xy ÷−=；（3）()231255a x a ÷=；（4）()32243a b ab ÷=−．【答案】（1）2312a b ；（2）2375x y −；（3）325ax ；（4）28a b −．【解析】（1）2236212ab ab a b ⋅=；（2）22351575xy xy x y −⋅=−； （3）233125525a x a ax ÷=；（4）()3222438a b ab a b÷−=−．【总结】本题考查了单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，注意法则的准确运用． 【变式2】计算：()2233310.52x y z x y ⎛⎫−÷− ⎪⎝⎭．【答案】3212xy z −．【解析】()()22333462332311120.50.524x y z x y x y z y z x xy ⎛⎫−÷−=÷−= −⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式．【变式3】计算：()()4312282x y y x ⎡⎤+÷−+⎣⎦．【答案】332x y −−．【解析】()()()()443312282128232x y y x x y x y −⎡⎤+÷−+=÷−+=−−⎡⎤⎣⎦⎣．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式． 【变式4】若32144m n x y x y x ÷=，求2531335m n mn ÷的值．【答案】259．【解析】33121444mnm n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得 原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【总结】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算． 【变式5】计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−． 【解析】()()()56423333523633413123212322a b c a b c a b c ab c −−−−−−÷−÷=÷−÷=−⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 题型二：多项式除以单项式 例2．计算：（1）()3286x x x −÷；（2）()()2101055x x −−÷−．【答案】（1）286x x −；（2）2221x x −++．【解析】（1）()32322868686x x x x x x x x x−÷=÷−÷=−；（2）()()()()()22210105510510555221x x x x x x −−÷−=÷−−÷−−÷−=−++．【总结】本题考查了多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 【变式1】计算：()22642xy x y xy −÷． 【答案】32y x −．【解析】()2222642624232xyx y xy xy xy x y xy y x−÷=÷−÷=−．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式2】计算：（1）()324222a a a a −+÷；（2）()643396123a a a a −+÷．【答案】（1）221a a −+；（2）3324a a −+．【解析】（1）()32322422242222221a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+； （2）()64336343333961239363123324a a a a a a a a a a a a −+÷=÷−÷+÷=−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式． 【变式3】计算：（1）()312273ax ax ax −÷；（2）()2322224822x y x y xy xy +−÷．【答案】（1）249x −；（2）241xy x +−．【解析】（1）()3321227312327349ax ax ax ax ax ax ax x −÷=÷−÷=−；（2）()232222232222224822428222x y x y xy xy x y xy x y xy xy xy +−÷=÷+÷−÷241xy x =+−．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式4】计算：()()33232222181263x y x y x y x y −+−÷−． 【答案】642xy y −+．【解析】()()33232222181263x yx y x y x y −+−÷−()()()33222322222218312363x y x y x y x y x y x y =−÷−+÷−−÷−642xy y =−+．【总结】本题考查了多项式除以单项式．【变式5】计算：()()755364523521287x y x y x y x y −+÷−．【答案】232534x y y xy −+−．【解析】()()755364523521287x yx y x y x y −+÷−()()()755253526452357217287x y x y x y x y x y x y =÷−−÷−+÷−232534x y y xy =−+−． 【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时注意商的符号．【变式6】计算：()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦．【答案】13b ．【解析】()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤−−−÷⎣⎦()3223222233a b a b a b a ba b =−−+÷222133a b a b b =÷=．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式7】计算：()()()22342343223x x x x x x x x ++⋅−++÷−．【答案】543223321x x x x x ++−−−．【解析】()()()22342343223xx x x x x x x ++⋅−++÷−()345232123x x x x x =++−++543223321x x x x x =++−−−．【总结】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式． 【变式8】已知一个多项式与单项式22x y −的积是32212x y x y −，求这个多项式． 【答案】1124x y−+．【解析】()32221112224x y x y x y x y ⎛⎫−÷−=−+ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了多项式除以单项式，计算时要准确理解题意．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·七年级单元测试）计算（﹣6xy 2）2÷（﹣3xy ）的结果为（ ） A ．﹣12xy 3 B ．2y 3 C ．12xy D ．2xy 3【答案】A【分析】先算积的乘方，再进行除法计算 【详解】原式＝36x2y4÷（﹣3xy ）＝﹣12xy3， 故选：A ．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的除法，掌握计算方法和计算顺序是解题关键．2．（2023·上海·七年级假期作业）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab ＝4a 2b +2ab 3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ） A ．（2a +b 2） B ．（a +2b ） C ．（3ab +2b 2） D ．（2ab +b 2）【答案】A【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算即可． 【详解】∵（4a2b+2ab3）÷2ab ＝2a+b2， ∴被墨汁遮住的一项是2a+b2． 故选：A ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．3．（2020秋·七年级校考课时练习）计算()()42357153x y x y −÷−的结果为（ ） A ．55xy B ．355x yC ．5xD ．35x【答案】B【分析】根据单项式除以单项式除法的运算法则进行计算即可． 【详解】()()()423578125785127351531531535x y x y x yx y x y x y −−−÷−=÷=÷=，故选：B ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握运算法则是解题关键． 4．（2023·上海·七年级假期作业）下列运算中正确的是（ ）． A ．()()632632x x x ÷= B ．()()826842x x x ÷= C ．()()233xy x y ÷=D ．()()222x y xy xy ÷=【答案】B【分析】根据积的乘方和单项式的除法法则逐项计算判断即可．【详解】解：A 、()()633632x x x ÷=，故本选项计算错误；B 、()()826842x x x ÷=，故本选项计算正确； C 、()()22333xy x xy ÷=，故本选项计算错误；D 、()()2221x y xy ÷=，故本选项计算错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查积的乘方和单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】B【分析】把被除式、除式里的系数、同底幂分别相除可得解． 【详解】解：211131344a b c ac −−⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）A ．＋B ．－C ．×D ．÷【答案】D【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解． 【详解】解：∵332x 与4x 不是同类项，不能进行加减计算，∴A 、B 选项不符合题意；∵34324128x x x ⨯=，∴C 选项不符合题意；∵323248÷=x x x ，∴D 选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）如果一个单项式乘以3x 的积是3x 2y ，那么这个单项式是 ___． 【答案】xy【分析】根据单项式的除法求解即可．【详解】解：由题意可得，这个单项式为233x yxy x =故答案为xy【点睛】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握单项式除法的运算法则．【答案】﹣8x3y【分析】单项式除以单项式：把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数一起作为商的一个因式，根据运算法则直接计算即可． 【详解】解：原式＝﹣8x3y ． 故答案为：﹣8x3y ．【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解本题的关键. 9．（2019秋·上海青浦·七年级校考阶段练习）计算：232-93a b b ÷=_____________ 【答案】-3a2b【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算可得．【详解】解：23293a b b −÷=-3a2b故答案为-3a2b ．【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．【答案】29a b【分析】先根据除数=被除数÷商，可知A=32133a b ab÷，再根据整式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵32133a b A ab÷=， ∴A=32133a b ab ÷=29a b ． 故答案为：29a b ．【点睛】本题考查整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 11．（2020秋·七年级校考阶段练习）计算：4262÷=a b a _________．【答案】23a b【分析】利用单项式除以单项式的法则计算即可【详解】解：422623b ÷=a b a a故答案为：23a b【答案】24168x y −+【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】()322322223181264x yx y x y x y ⎛⎫−+−÷− ⎪⎝⎭()()32222322222233318126444x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−÷−+÷−+−÷− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32232222222218126333444x y x y x y x y x y x y −−=++−−− 24168x y =−+，故答案为：24168x y −+．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．【答案】13n ab+−【分析】根据单项式的乘法和除法法则从左到右依次计算即可.【详解】原式=3221124n n a b a b −−÷=13n ab +−.故答案为13n ab+−.【点睛】本题考查了单项式的乘法和除法，熟练掌握单项式的乘法和除法是解答本题的关键. 14．（2021秋·上海·七年级期末）计算：8x 2y 4÷（﹣2xy 2）＝_____． 【答案】﹣4xy2【分析】根据单项式除以单项式运算法则，本题只需要把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，计算得出答案即可．【详解】解：8x2y4÷（﹣2xy2）＝21424x y −−−=﹣4xy2．故答案为：﹣4xy2．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 15．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：4a 3÷2a ＝_____． 【答案】2a2【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【详解】解：4a3÷2a ＝312a − =2a2．故答案为：2a2．【点睛】本题考查同底数幂的除法法则，正确使用法则是重点 16．（2022秋·上海·七年级校考期中）计算：446x x ÷=_____． 【答案】323x /323x【分析】根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：432463x x x ÷＝． 故答案为：323x ．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式运算法则是解答本题的关键．【答案】3x2y【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可. 【详解】原式=3x2y ，故答案为3x2y ．【点睛】本题考查整式的运算有关知识，根据整式的运算法则即可求出答案. 18．（2019秋·上海黄浦·七年级统考期末）计算：（2xy ）2÷2x ＝_____． 【答案】2xy2【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出（2xy ）2的值是多少；然后用它除以2x 即可． 【详解】（2xy ）2÷2x ＝4x2y2÷2x ＝2xy2 故答案为：2xy2．【点睛】此题主要考查了整式的除法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．三、解答题19．（2020·七年级上海市建平中学西校校考期中）计算：()()322563−÷a b a a【答案】22523a b a −【分析】根据整式的除法法则，用多项式的每一项去除单项式，应用单项式除以单项式的除法法则计算，再把所得的商相加即可得出答案．【详解】解：()()322563−÷a b a a 3225363=÷−÷a b a a a 22523=−a b a ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 20．（2021·上海奉贤·七年级校联考期末）计算：（6x 3+3x 2﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2． 【答案】﹣4x2+52x ﹣3【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】原式＝6x3÷（﹣2x ）+3x2÷（﹣2x ）+（﹣2x ）÷（﹣2x ）﹣（x ﹣2）2 ＝﹣3x2﹣32x+1﹣（x2﹣4x+4）＝﹣3x2﹣32x+1﹣x2+4x ﹣4＝﹣4x2+52x ﹣3．【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−．【答案】22x【分析】先算除法和乘法，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：()342(2)(12)(12)x x x x x −÷−−+−324(2)2(2)(14)x x x x x =÷−−÷−−−222114x x =−+−+22x =【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．【答案】9【分析】根据单项式除以单项式法则将等式左边化简，再根据左边等于右边，列出等式求得m 、n 的值，再根据单项式除以单项式法则将原式化简，代入数据计算即可．【详解】解：∵33121444m n m n x y x y x y x −−÷==，∴3210m n −=⎧⎨−=⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，∴253215321313535359m n mn m n mn −−⎛⎫÷=÷= ⎪⎝⎭，把51m n =⎧⎨=⎩代入得，原式2552551999mn ==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，以及幂的运算．利用法则将代数式进行化简是解决此题的关键．23．（2023·上海·七年级假期作业）计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷．【答案】2−【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可．【详解】解：()()564233331232a b c a b c a b c ÷−÷()5236334131232a b c −−−−−−=÷−÷⎡⎤⎣⎦2=−．【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式的运算，注意先确定符号，再去计算． 24．（2022秋·七年级单元测试）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M 和N 表示），污染后的习题如下：()()422223012632x y M x y x y N xy y ++÷−=+−．(1)请你帮小伟复原被污染的M 和N 处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式2x y xy y ++相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．【答案】(1)3218M x y =−；25N x y =−；2532x y xy y −+−(2)能，()221y x −−【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可（2）先求正确答案与2x y xy y ++的和，再因式分解即可． 【详解】（1）()2323618M xy x y x y =−=−，()42223065N x y x y x y =÷−=−，∴原题为())32422221830126x y x y x y x y +÷−−. 则答案为：2532x y xy y −+− （2）()22253244x y xy y x y xy y x y xy y −+−+++=−+−，能因式分解：()()2224444121x y xy y y x x y x −+−=−−+=−−【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键．【答案】44x y −【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式即可得．【详解】解：原式22211164444x xy y xy y x ⎛⎫−++−÷ ⎪⎝⎭=()21634x xy x −=÷344x y =−．【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．【答案】(1)21600− (2)53225a a +(3)264【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；（3）将2a =代入（2）中结论即可求解．【详解】（1）解：243 1.2−2314832 1.23421600=−⨯−÷=−； （2）解：()()()()86323386168626216822a a a a a a a a a a a a −+=+−−−−()53534242a a a a =+−−53534242a a a a =+−+ 53225a a =+；（3）解：2−的相反数是2，当2a =时，386621682a aa a a a +−−535322522252264a a =+=⨯+⨯=．【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．【答案】2223x x −+− 【分析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．【详解】解：()43222423x x x x ⎛⎫−+÷− ⎪⎝⎭211223x x =−+− 【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．【答案】5【分析】根据整式的运算法则，幂的运算法则处理．【详解】解：∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++−+⎛⎫−⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴22232311915x y z m x y z ⋅=．∴3232221131595m x y z x y z xz =÷=．∵正整数x 、z 满足：1223723x z −⋅==，∴3x =，12z −=．∴3x =，3z =，∴3273355m =⨯⨯=． 【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的混合运算，掌握相关法则是解题的关键．。
整式的乘除考点(题型)归纳
整式的乘除学习目标：1、熟练运用幂的运算法则，发展抽象概括能力和符号感。
2、能熟练的用科学记数法表示绝对值小于1的非零数。
3、理解整式乘法的算法，会进行简单的整式乘法的运算。
进一步发展观察、归纳、类比、概括的能力，发展有条理的思维和语言表达能力。
4、熟练掌握完全平方公式、平方差公式，为初中后续的学习打好基础。
重点：整式的运算法则 难点：整式的运算法则的应用知识网络：同底数幂的乘法 同底数幂的除法 零指数幂的意义负整数指数幂意义积的乘方幂的乘方单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 完全平方公式平方差公式形式考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方 【知识归纳】同底数幂相乘：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．【考情分析】【典型例题】例1.1（☆） 计算：m 2•m 3= ．例1.2（☆） 若3m a =，2n a =，则23m n a +=______________．【过关训练】1.1（☆） 已知35m =，910n =，则23n m -=______．1.2（☆）若2530x y +-=，求432x y .1.3（☆） 计算242a a ⋅=（ ） A ． 82a B ． 62a C ． 23a D ． 33a考点二：幂的乘方 【知识归纳】幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）【考情分析】一般和同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方结合起来考，一般为一道选择题（3分）。
【典型例题】例1（☆） 计算（﹣a 3）2结果正确的是（ ） A ． a 5B ． ﹣a 5C ． ﹣a 6D ． a 6例2 （☆） 已知,,m nx a x b ==则32m n x +可以表示为（ ） A ． 32a b + B ． 32a b - C ． 32a b + D ． 32a b例3 （☆☆） 已知128x y +=，993y x -=，则1132x y +的值为______________．例4 （☆☆） 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系．【过关训练】1 （☆☆） 比较503，404，305的大小.2 （☆☆）计算22x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ． 42x yB ． 42x y -C ． 4x y -D ． 4x y3 （☆☆）已知22n a =，求3222(2)3()n n a a -的值.4 （☆☆）已知232122192x x ++-=，求x .考点三：积的乘方 【知识归纳】积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）． 【考情分析】一般和同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方结合起来考，一般为一道选择题（3分）。
整式乘除的典型难题及解法
整式乘除的典型难题及解法整式乘除是初中代数中的一个重要部分，也是很多同学比较困难的部分。
在此，本文将介绍整式乘除中的典型难题和解法。
一、分配律运用不准确在整式乘法中，经常需要运用到分配律，也就是(a+b)×c=ac+bc 这个公式。
但是，在实际运用中，很多同学因为对分配律的理解不准确，导致得出的结果错误。
解决方法：加强对分配律的理解即可。
分配律实际上是两个乘法之间的互相作用。
在运用分配律时，要注意将其中的各项依次相乘，并将结果分别相加即可。
例如：(a+2b)(c+d)=a(c+d)+2b(c+d)=ac+ad+2bc+2bd二、因式分解不熟练因式分解也是整式乘除中常见的难题。
很多同学往往不熟悉因式分解的方法，导致出现错误的结果。
解决方法：掌握常用的因式分解公式并熟练运用。
比如：①a²-b²=(a+b)(a-b)②a²+2ab+b²=(a+b)²③a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)当然，在掌握公式的基础上，还要多做一些练习，加强因式分解的熟练程度。
三、分母有分式整式除法中分式的存在也可能成为一道典型难题。
分式对式子的整体运算和结果的计算都有影响，因此，分式的存在很容易导致出现错误。
解决方法：将分式化简为整式。
在整式除法中，通常可以先将分式化简为整式，再进行求解。
比如：将分式化简为整式：$\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}=\frac{(x+1)-2x}{x(x+1)}=\frac{1-x}{x(x+1)}$四、多项式相除不准确多项式相除也很常见，但是其中涉及的长除法过程，很容易出错。
解决方法：掌握多项式长除法的步骤和方法。
在实际运用中，要注意保持耐心，严格按照步骤进行计算。
总的来说，想要解决整式乘除中的难题，首先要加强基础知识的掌握，比如分配律运用、因式分解、分式化简和多项式长除法等。
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专题06 整式的乘除重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《整式的乘除与因式分解》这一章除因式分解之外的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含十类题型：幂的运算选择题、幂的逆运算、负指数幂的计算、幂的混合运算、平方差公式、完全平方公式与面积问题、整式的先化简后求值、完全平方公式的配方、完全平方公式的整体代入法、整式乘法的中档文字题与应用题、整式乘除的压轴题。
题型一：幂的运算选择题1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a2C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝6a4【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；B．a3÷a＝a2，故此选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；D．（3a2）2＝9a4，故此选项不合题意；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（2a）2＝2a2C．（a3）2＝a9D．（﹣2×102）3＝﹣8×106【解答】解：（A）原式＝a7，故A错误；（B）原式＝4a2，故B错误；（C）原式＝a6，故C 错误；故选：D．3．下列计算正确的是（）A．（a3）2÷a5＝a10B．（a4）2÷a4＝a2C．（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3D．（﹣a3b）3÷b【解答】解：A、（a3）2÷a5＝a，故此选项错误；B、（a4）2÷a4＝a4，故此选项错误；C、（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3，正确；D、（﹣a3b）3÷a2b2＝﹣2a7b，故此选项错误；故选：C．题型二：幂的逆运算4．已知x m＝3，x n＝2，则x3m+2n的值是（）A．31B．C．23D．108【解答】解：原式＝（x m）3•（x n）2＝33•22＝27×4＝108．故选：D．5．（长郡）已知40248162a a a a ⋅⋅⋅=，则a 的值为 ．【解答】解：原式＝4010432222222==⋅⋅⋅a a a a a ，所以4=a ．6．（长郡梅溪湖）已知：23m =，86n=，2312m n ++= ．【解答】解：原式＝1082632)2(2232=⋅⋅=⋅⋅n m ）（． 题型三：负指数幂的计算7．（雅礼）计算：()21272321301-+--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--. 【解答】解：原式＝2612312+-=-+-⨯-．8.（青竹湖）计算：(20122π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 【解答】解：原式＝3432314-=-+-+．9.（长郡）2332132827-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+ 【解答】解：原式＝3343223+=+---）（． 题型四：幂的混合运算10．（长郡郡维）计算：2322432222(4)()(2)()a b bc a b c a b c -⋅-⋅-⋅【解答】解：原式＝456456264c b a c b a +-=45662c b a -．11.（长郡梅溪湖）计算：()()()2323337335xx x x x ⋅-+⋅ 【解答】解：原式＝99925273x x x +-=9x ．12.（中雅）计算：()32248222a a a a a -+⋅-÷ 【解答】解：原式＝66628a a a -+-=67a -．题型五：平方差公式、完全平方公式与面积问题13．如图，边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2右边梯形面积为所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故选：A．14．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（）【解答】解：由题意得：AB＝AD＝a，CG＝FG＝b，BG＝BC+CG＝a+b，∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECGF﹣S直角△ABD﹣S直角△FBG＝AB•AD+CG•FG﹣AB•AD﹣BG•FG＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，∵a+b＝18，ab＝60，∴S阴影＝×（182﹣3×60）＝72．故选：B．题型六：先化简后求值16.先化简，再求值（a+2b）（a﹣2b）﹣（a+2b）2+4ab，其中a＝1，b＝．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2﹣4ab﹣4b2+4ab＝﹣8b2，当b＝时，原式＝﹣8×＝﹣．17.先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝9×4＝36．18．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．其中x＝﹣1，y ＝2021．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x＝﹣x﹣y，当x＝﹣1，y＝2021时，原式＝﹣（﹣1）﹣2021＝﹣2020．题型七：完全平方公式的配方19．若多项式9x2﹣mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，则m的值为【解答】解：∵9x2﹣mx+1是一个完全平方式，∴﹣mx＝±2•3x•1，∴m＝±6，故答案为：±620.多项式x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+9＝x2﹣2（m﹣1）x+32，∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•3，解得m＝﹣2或4．故答案是：﹣2或4．21．已知代数式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值是．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．22．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵﹣8x＝﹣2×4•x，∴m2＝42＝16，解得m＝±4．故选：A．题型八：完全平方公式的整体代入法23．已知m+n＝﹣6，mn＝4，则m2﹣mn+n2的值为．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．24．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为．【解答】解：因为m+n＝﹣6，mn＝4，所以m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（﹣6）2﹣3×4＝36﹣12＝24．故答案为：24．25．已知：（a﹣b）2＝4，ab＝，则（a+b）2＝．【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2，∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3，故答案为：326．若x2y+xy2＝30，xy＝6，求下列代数式的值：（1）x2+y2；（2）x﹣y．【解答】解：（1）∵x2y+xy2＝30，∴xy（x+y）＝30，∵xy＝6，∴x+y＝5，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+12＝25，∴x2+y2＝13．（2）∵x2+y2＝13，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，∴x﹣y＝±1．27．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，∴由①﹣②得：4xy＝4，∴xy＝1；（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，∴x2+y2＝10，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．28．已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值．【解答】解（1）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2×（﹣3）＝31；（2）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝1﹣y﹣x+xy＝1﹣（x+y）+xy＝1﹣5+（﹣3）＝﹣7．题型九：整式乘法的中档文字题与应用题Ⅰ不含二次项、三次项类29．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（）A．p＝5，q＝18B．p＝﹣5，q＝18C．p＝﹣5，q＝﹣18D．p＝5，q＝﹣18【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）＝x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7p﹣5q）x+7q，又∵展开式中不含x2与x3项，∴p﹣5＝0，7﹣5p+q＝0，解得p＝5，q＝18．故选：A．30．要使（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，则a的值为（）A．5B．﹣5C．13D．﹣13【解答】解：（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）＝6x4+2ax3﹣4x2﹣3x3﹣ax2+2x+9x2+3ax﹣6＝6x4+（2a﹣3）x3+（9﹣4﹣a）x2+（2+3a）x﹣6．∵（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，∴9﹣4﹣a＝0．∴a＝5．故选：A．31．已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，求m n．【解答】解：（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）＝x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n＝x4+（﹣2+m）x3+（n﹣2m+1）x2+（mn﹣2）x+n，∵（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，∴，得，∴m n＝21＝2．Ⅱ利用整式乘法解决几何面积32．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，（1）求绿化的面积是多少平方米；（2）并求出当a＝5，b＝3时的绿化面积．【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab ﹣b2＝5a2+3ab（米2），则绿化的面积是（5a2+3ab）米2；（2）当a＝5，b＝3时，原式＝125+45＝170（米2），则此时绿化面积为170米2．33．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．Ⅲ小马虎类问题34．小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求a，b的值；（2）细心的你请计算这道题的正确结果；（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．【解答】解：（1）根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，所以，，联立得：；（2）由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；（3）当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6．35．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式；（2）将（1）中的二次三项式分解因式．【解答】解：（1）3（x﹣1）（x﹣9）＝3x2﹣30x+27，3（x﹣2）（x﹣4）＝3x2﹣18x+24，根据题意得：原来的多项式为3x2﹣18x+27；（2）原式＝3（x2﹣6x+9）＝3（x﹣3）2．题型十：整式乘除的压轴题36．阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，然后利用4、16、64之间的数量关系猜想log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？答：log24、log216、log264关系式为．（3）由（2）的结果，请你能归纳出：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，∴log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2，4，6；（2）由（1）知，∵2+4＝6，∴log24+log216＝log264＝log2（4×16），故答案为：log24+log216＝log264；（3）设log a M＝x，log a N＝y，则a x＝M，a y＝N，∴MN＝a x•a y＝a x+y，∴x+y＝log a MN，即log a M+log a N＝log a MN故答案为：log a M+log a N＝log a MN．37．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；故答案为：﹣i，1．（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝1﹣4i；当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝4﹣i．故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为4﹣i或者1﹣4i．38．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是“神秘数”；（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，∵2k+1是奇数，∴它是4的倍数，不是8的倍数；（3）∵2020＝505×4，∴2020是“神秘数”，2020＝5062﹣5042，（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．39．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），∴神秘数是4的倍数；（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：2[（2n+2）+2n]＝8n+4，∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，∴该长方形的周长一定为神秘数；②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，∴n（n+1）＝2k+1，∵n为正整数，∴n（n+1）必为偶数，而2k+1为奇数，∴n（n+1）＝2k+1不成立，∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，故该长方形的面积不为“神秘数”．40．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b 为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．（1）8（填“是”或“不是”）完美数；10（填“是”或“不是”）完美数；13（填“是”或“不是”）完美数；（2）求F（48）；（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．【解答】解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），∴8是完美数；∵10不能写成两个正整数和与差乘积的形式，∴10不是完美数；∵13＝（7﹣6）×（7+6），∴13是（填“是”或“不是”）完美数．故答案为：是，不是，是；（2）a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2 或48＝12×4 或48＝8×6，，解得：，∵132+112＞82+42＞72+12∴F（n）＝132+112＝290（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．∵x+y能够被8整除且1≤x≤y≤9，∴x+y＝8或x+y＝16①当x+y＝8时，1≤x≤y≤9，∴x＝1或2或3或4，即n＝17或26或35或44，而26不是“完美数”或，解得：或．F（17）＝92+82＝145，F（35）＝182+172＝613，F（44）＝122+102＝244②当x+y＝16时，1≤x≤y≤9，∴x＝7或8，∴n＝79或88∴或或，解得或或，∴F（79）＝402+392＝3121，F（88）＝232+212＝970，∴F（n）的最小值为145．41．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．（1）当x＝时，代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．（2）当x＝时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x＝1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；（2）代数式﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x+4）+7＝﹣（x﹣2）2+7，则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：1；大；3；2；大；7．。