自由曲面的空间结构拓扑形态创构60页PPT
合集下载
计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t) azt3 bzt2 czt dz
矢量表示：
p(t)a3tb2tc td
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,d1〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
图7-3逼近曲线
7.1.4连续性条件
通常单一的曲线段或曲面片难以表达 复杂的形状，必须将一些曲线段连接成 组合曲线，或将一些曲面片连接成组合 曲面，才能描述复杂的形状。为了保证 在连接点处平滑过渡，需要满足连续性 条件。连续性条件有两种：参数连续性 和几何连续性。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐 函数方程和参数方程表示：
首先看一下直线的表示形式：已知 直线的起点坐标P1（x1，y1）和终 点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方 程表示为：
yy1yx22 xy11(xx1)
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制 曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样 条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
单击此处添加副标题
自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
图形拓扑的关系的构建课件共28页PPT资料
地图要素可以抽象为点、线、面来表示，这种归纳正好 适合于建立拓扑关系和建立拓扑表示。
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
计算机图形学04：自由曲线和曲面 共65页PPT资料
G
H
M
H
T |t1
GH
M
H
1
2
R1
3
三次Hermite曲线
合并
1 1 0 0
GHMH0 0
1 1
1 0
12P0
P1 R0
取为
R1GH
0 1 0 3
解
1 1 0 01 1 0 3 2
MH
0 0
条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如
Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
§1 参数样条曲线
曲线的三种坐标表示法 直角坐标表示
42
B样条曲线
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称 n次参数曲线
第4讲：自由曲线和曲面
第四章：自由曲线和曲面
参数样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 自由曲面
概述
从计算机对形状处理的角度来看
（1）唯一性 （2）几何不变性：
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状 不变。
（3）易于定界 （4）统一性：
P[x(t),y(t),z(t)T ]
P ( t ) 的 k 阶导数
dk d P k (tt) dd kxk (tt),dd kyk (tt),dd kzk (tt) T,k0,1,
5_1自由曲线与曲面PPT精品文档29页
记为 GC 1
P(t0)P(t0) 0为任一常数
参数曲线基础（6/6）
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t 0处
（1） GC 1
（2）副法矢量方向连续 B(t0)B(t0)
（3）曲率连续
k(t0)k(t0)
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数 如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x)
z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t) y y(t) z z(t)
t [a,b]
t[0,1]
几何矩阵G
基矩阵MT
P1
P0
P0+P1
三次Hermite曲线(1/7)
定义
给定4个矢量 P0,P1,R0,R1 ，称满足条件的三 次多项式曲线P(t)为Hermite曲线
P(0)P0,P(1)P1 P(0)R0,P(1)R1 R0
P1 P0
R1
三次Hermite曲线(2/7)
矩阵表示
参数曲线基础（1/6）
曲线的表示形
z
g(x)
隐式表示
f (x, y) 0
f
(x,
y,
z)
0
参数曲线基础（2/6）
参数表示
x x(t) y y(t) z z(t)
ug建立自由曲面.ppt
• 尽可能采用实体切割、抽空方法建模
自由形状特征应用范围
1. 构造用标准特征方法无法创建的形状。 2. 修剪（Trim）一个实体而获得一个特殊的形状。 3. 将封闭的片体缝合（Sew）成一个实体。
曲面构造基本原则和技巧
• 用于构造曲面的曲线要保证光顺连续，避免产生尖角、交叉、重叠。 • 曲面的曲率半径尽可能大，否则会造成加工困难和复杂。 • 避免构造非参数化特征。 • 如有测量得到的数据点，建议可先生成曲线，再利用曲线构造曲面。 • 尽可能采用修剪实体（Trim Body），再挖空（Hollow）方法建立薄壳零件。 • 面之间的园角过渡尽可能在实体上进行操作。 • 内园角半径应略大于标准刀具半径。
过曲线网格（Through Curve Mesh）
过曲线网格方法使用一系列在两个方 向的截面线串建立片体或实体。构造 曲面时应该将一组同方向的截面线定 义为主曲线（Primary Strings），而 另一组大致垂直于主曲线的截面线则 成为交叉线（Cross Strings）。注意 由于该命令没有对齐选项，在生成特 征时，主曲线上的尖角不会形成锐边 。生成的曲线网格体是双三次多项式 的。这意味着它在 U 向和 V 向的次 数都是三次的（阶次为 3）。
• 在UG系统中，大多数命令所构造的曲面都具有参数化的特征，在Free Form Features中称 为Smart Sheet。这类曲面的共同特点是都由曲线生成，曲面与曲线具有相关性，即当构 造曲面的曲线编辑修改后，曲面会自动更新。
全息片体（Smart Sheet）
构造全息片体应该注意以下几点：
• 简单的（Simple）构造尽可能简单的曲面。
扫描
扫描（Swept）特征使用轮廓曲线沿空间路径曲线扫描而成。 • 扫描路径称为引导线串（Guide Strings） • 轮廓曲线称为截面线串（Section Strings）
自由形状特征应用范围
1. 构造用标准特征方法无法创建的形状。 2. 修剪（Trim）一个实体而获得一个特殊的形状。 3. 将封闭的片体缝合（Sew）成一个实体。
曲面构造基本原则和技巧
• 用于构造曲面的曲线要保证光顺连续，避免产生尖角、交叉、重叠。 • 曲面的曲率半径尽可能大，否则会造成加工困难和复杂。 • 避免构造非参数化特征。 • 如有测量得到的数据点，建议可先生成曲线，再利用曲线构造曲面。 • 尽可能采用修剪实体（Trim Body），再挖空（Hollow）方法建立薄壳零件。 • 面之间的园角过渡尽可能在实体上进行操作。 • 内园角半径应略大于标准刀具半径。
过曲线网格（Through Curve Mesh）
过曲线网格方法使用一系列在两个方 向的截面线串建立片体或实体。构造 曲面时应该将一组同方向的截面线定 义为主曲线（Primary Strings），而 另一组大致垂直于主曲线的截面线则 成为交叉线（Cross Strings）。注意 由于该命令没有对齐选项，在生成特 征时，主曲线上的尖角不会形成锐边 。生成的曲线网格体是双三次多项式 的。这意味着它在 U 向和 V 向的次 数都是三次的（阶次为 3）。
• 在UG系统中，大多数命令所构造的曲面都具有参数化的特征，在Free Form Features中称 为Smart Sheet。这类曲面的共同特点是都由曲线生成，曲面与曲线具有相关性，即当构 造曲面的曲线编辑修改后，曲面会自动更新。
全息片体（Smart Sheet）
构造全息片体应该注意以下几点：
• 简单的（Simple）构造尽可能简单的曲面。
扫描
扫描（Swept）特征使用轮廓曲线沿空间路径曲线扫描而成。 • 扫描路径称为引导线串（Guide Strings） • 轮廓曲线称为截面线串（Section Strings）
FSS_自由曲面设计ppt课件
匹配类型 Analytic或 Approximated : • Analytic； • Approximated； • 选 Auto 模式让系统自动定义
.
显示 : • 通过Quick connect Checker显示
距离、角度和曲率。 • Control Points to check/ modify
同ＧＳＤ 模块
.
9
Offsetting surfaces
.
10
Styling Extrapolate
此任务说明如何通过外插延伸（即， 修改长度）修改曲线或曲面边界。 它可以是正向或负向的外插延伸， 意味着可以实际拉长或缩短该曲线。
选择要外插延伸的曲线。 在离选择点最近的终点边上外插延 伸该曲线。
.
33
使用控制点支持面
.
34
使用控制点扩散法则曲线
.
35
使用控制点交叉扩散法则曲线
.
36
调和控制点
.
37
光顺曲面
使用控制点功能时，可以根据光顺系数对曲面进行光顺 您可以调整光顺系数滑块以符合需要。光顺系数值越大，结果就越平滑。
.
38
使控制点对称
操作步骤
1.选择曲面 2.选择所需的控制点 3.选择参考平面作为对称平面 4.单击“对称 (Symmetry)”图标
以平面对称调整
.
32
选择控制点
允许您在选择控 制点时仅选择点
允许您在选择控制点时 仅选择控制点的网格线
允许您在选择控制点时选择点 或者选择它们的网格线
允许您选择控制点 网格上的所有点
取消控制点网格上 的所有点 选择
1.Shift 键和 Ctrl 键允许将网格线或控制点添加到选择中 2.选择控制点并编辑（上下文选项，右键实现） 3.编辑曲线沿 U，曲面沿 U 和 V 方向的阶数
.
显示 : • 通过Quick connect Checker显示
距离、角度和曲率。 • Control Points to check/ modify
同ＧＳＤ 模块
.
9
Offsetting surfaces
.
10
Styling Extrapolate
此任务说明如何通过外插延伸（即， 修改长度）修改曲线或曲面边界。 它可以是正向或负向的外插延伸， 意味着可以实际拉长或缩短该曲线。
选择要外插延伸的曲线。 在离选择点最近的终点边上外插延 伸该曲线。
.
33
使用控制点支持面
.
34
使用控制点扩散法则曲线
.
35
使用控制点交叉扩散法则曲线
.
36
调和控制点
.
37
光顺曲面
使用控制点功能时，可以根据光顺系数对曲面进行光顺 您可以调整光顺系数滑块以符合需要。光顺系数值越大，结果就越平滑。
.
38
使控制点对称
操作步骤
1.选择曲面 2.选择所需的控制点 3.选择参考平面作为对称平面 4.单击“对称 (Symmetry)”图标
以平面对称调整
.
32
选择控制点
允许您在选择控 制点时仅选择点
允许您在选择控制点时 仅选择控制点的网格线
允许您在选择控制点时选择点 或者选择它们的网格线
允许您选择控制点 网格上的所有点
取消控制点网格上 的所有点 选择
1.Shift 键和 Ctrl 键允许将网格线或控制点添加到选择中 2.选择控制点并编辑（上下文选项，右键实现） 3.编辑曲线沿 U，曲面沿 U 和 V 方向的阶数
拓 扑 空 间ppt课件
为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个子集都
是开集. 5
例2.1.3 设X是一个三元素集合, X {a,b,c},我
们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些
拓扑.
T1 {, X}
T2 {{a},{a,b}, X ,}
T3 {{b},{a,b},{b,c}, X ,} T4 {{b}, X ,}
(2) 设 U,V Ux ,由定义2.2.1则存在开集U0，V0
使得 x U0 U , x V0 U ,因此 x U0 I V0 U I V , 由
于U0 V0 是一个开集,因此U I V Ux . (3) 设U Ux , 且 U V , 则存在开集U 0 使得
x U0 U , 从而有 x U 0 V ,因此 V Ux . (4) 设U Ux , 由定义2.1.1则存在开集 V 使得
的一个拓扑使得对于每一点 x X ,子集族Ux是点x在
拓扑空间(x,T )中的邻域系.
证明: T {U X | 如果x U, 则U Ux }
即 T {U X | U是它的每一点的邻域 }
20
下面验证T 是X的一个拓扑.
(i)显然 T ;对于任意 x X ,由条件(1),Ux , 取 U Ux , 显然有 x U X , 由条件(3)可知 X 是点 x
的邻域,因此 X T.
(ii)设 A, B T,如果 x A I B,因此 x A, x B , 因此
必有 A, B Ux ,由条件. (2)可知 A B Ux ,由 x 的任
意性可知 A I B T .
(iii)设T1 T,对任意x AT1 A,则存在 U T，使得
x U , 由于U T1 T，且 U UAT1 A, 由条件(3)有 21
是开集. 5
例2.1.3 设X是一个三元素集合, X {a,b,c},我
们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些
拓扑.
T1 {, X}
T2 {{a},{a,b}, X ,}
T3 {{b},{a,b},{b,c}, X ,} T4 {{b}, X ,}
(2) 设 U,V Ux ,由定义2.2.1则存在开集U0，V0
使得 x U0 U , x V0 U ,因此 x U0 I V0 U I V , 由
于U0 V0 是一个开集,因此U I V Ux . (3) 设U Ux , 且 U V , 则存在开集U 0 使得
x U0 U , 从而有 x U 0 V ,因此 V Ux . (4) 设U Ux , 由定义2.1.1则存在开集 V 使得
的一个拓扑使得对于每一点 x X ,子集族Ux是点x在
拓扑空间(x,T )中的邻域系.
证明: T {U X | 如果x U, 则U Ux }
即 T {U X | U是它的每一点的邻域 }
20
下面验证T 是X的一个拓扑.
(i)显然 T ;对于任意 x X ,由条件(1),Ux , 取 U Ux , 显然有 x U X , 由条件(3)可知 X 是点 x
的邻域,因此 X T.
(ii)设 A, B T,如果 x A I B,因此 x A, x B , 因此
必有 A, B Ux ,由条件. (2)可知 A B Ux ,由 x 的任
意性可知 A I B T .
(iii)设T1 T,对任意x AT1 A,则存在 U T，使得
x U , 由于U T1 T，且 U UAT1 A, 由条件(3)有 21