点线面位置关系例题与练习(含答案)

。

点、线、面的位置关系

● 知识梳理 （一）.平面

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系 @

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） !

1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b ααα?

????

???

③性质定理：////a a a b b αβαβ??????=? 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈?? 3.面面平行：①定义：//α

βαβ=??；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a

b O a b ααααβ?=?

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥?.

③面面平行的性质：（1）////a a αββα???

??

；（2）////a a b b αβαγβγ?

?

=???=?

\

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥.

②判定：,a b a b O l l l a

l b ααα???=??

??⊥??⊥?

⊥??

③性质：

（1）,l a l a αα⊥??⊥；（2）

,//a b a b αα⊥⊥?；

面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角

范围：[0,180]AOB ∠∈??

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥；

~

（2）判定定理：

a a ααββ??

?⊥?⊥?

（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=?；②a AB a a a AB

αβββα⊥??=?

?⊥???

?⊥?

● 热点例析

【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断

若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ?α，b ?β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与a ，b 分别相交 B ．l 与a ，b 都不相交

C ．l 至多与a ，b 中一条相交

—

D ．l 至少与a ，b 中的一条相交

解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.

热点二 线线、线面平行与垂直的证明

【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.

(1)证明：AA 1⊥BD ；

(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ．

(1)方法一：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . .

又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，

所以AD 2＋BD 2＝AB 2

.所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1.

又AA 1?平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .

方法二：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD (如图)， 所以BD ⊥D 1D .

取AB 的中点G ，连接DG (如图)．

—

在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，

所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ， 故∠DBG ＝∠GDB .

又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，

故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .

!

又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1?平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1.

设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.

因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝1

2

AC .

由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形．

、

因此CC 1∥EA 1.

又因为EA 1?平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .

热点三 面面平行与垂直的证明

【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．

(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；

(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP 若存在，说明理由并确定E 点的位置；若不存在，请说明理由． 《

(1)证明：取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN ， 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD .

C

又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，∴MN ⊥AB . ∵PM ∩MN ＝M ，∴AB ⊥平面PMN . 又PN ?平面PMN ，∴AB ⊥PN .

∵AB 与CD 相交，∴PN ⊥平面ABCD .

又PN ?平面 PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .

>

(2)解：假设存在．在PC ，PB 上分别取点E ，F ，使BF ＝14BP ，CE ＝1

4

CP ，连接EF ，MF ，NE ，

则EF ∥BC 且可求得EF ＝3

4

BC ＝3.

∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴四边形MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又∵FM ?平面PAB ，

∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝1

4

PC .

热点四 折叠问题

)

例4如图所示，在直角梯形ABCP 中，

AP ⊥

221=AP PCD ?⊥PD D EF G --EF 211

?∴?EO ?∴EF CD 1GE 1PB CD EF ∴AB 1

?EG //,,))(),,2,00.

A (=.00???==?=y z x z n ⊥PD AD ⊥∴D CD PD =?⊥∴AD ∴DA DA

()0,0,2()1,0,1=n .2

2

2

22=

=

=

∴D EF G --.450ABCD P -PA ABCD

26PAD ABCD PAD ⊥BD AC ,O PA ABCD 2623PFO ∠PAD ABCD PFO ?3tan ==∠FO PO PFO 3π=∠PFO PAD ABCD

3

π

EO =//PD 21EOD ∠PDO ?2522=+=PO OD PD 4

5=EO BD AO ⊥PO AO ⊥⊥AO PBD EO AO ⊥A C

A C

AOE ?5102tan ==

∠EO AO AEO 5

10

2FO BC G PG H PG GH EH ,ABCD P -F AD G BC PG BC ⊥FG BC ⊥PFG BC 面⊥PBC PFG 面PG PF =3

π

=

∠PFO PFG ?PG

FH ⊥PBC FH 面⊥FK HE //FK HE =HEKF FH KE //PBC KE 面⊥,m n γβα,,m ⊥αn //αn

m ⊥αβ//βγ//m ⊥αm ⊥γm //αn //αm n //αγ

⊥βγ⊥//αβ,,a b c

222

a b c ++2

2212

a b c ++222

2

2

a b c ++2

22

32

a b c ++A BCD

-AC ⊥

,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=C ABD

55a 155a 35a 153

a 1111ABCD A B C D -E 11A C CE AC BD 1A D 11A D P ABC -PH H ABC ABCD AC 21

A CD B

--1213332

3

S ABC -a ,E F SC AB EF SA 090060045030,A B α4cm 6cm AB M

α0601226P ABC -4,8AB PA ==A ,PB PC D E ?ADE

1

C (1)求证：

BE ＝B 1E ；

(2)若AA 1＝A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的大小．

A

C

D

O

P

E

F

G

H

K

》

3如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．

(1)求证：AD ⊥PC ；

(2)求三棱锥A －PDE 的体积；

(3)在AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． {

答案一、选择题

1． A ③若m //α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则2

2

2

2

2

2

2

2

2

,,x y a y z b x z c +=+=+=

得2

2

2

222

1()2

x y z a b c ++=

++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=

4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影

5．C BC PA BC AH ⊥?⊥ .

6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，1,,222EF BE BF =

==cos 3

EF BF θ==

7．C 取SB 的中点G ，则2

a

GE GF ==，在△SFC 中，2EF a =，045EFG ∠= 二、填空题

1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况

2.48 每个表面有4个，共64?个；每个对角面有4个，共64?个

3.0

90 垂直时最大

4. 60 度

5. 11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'

//AA BC

·

三、解答题：略

1．证明：(1)连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，

因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点． 又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO . 因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .

(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，

%

所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .

又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD . 而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .

2[解析] (1)取A 1C 1中点F ，作EG ⊥面AC 1于G ，

?

???

?B 1F ∥EG B 1E ∥面AC 1?BE ∥FG ?B 1EGF 为平行四边形?FG ⊥A 1C 1?G 为A 1C 之中点．

从而E 为BB 1之中点．∴BE ＝B 1E .

(2)由(1)知G 为矩形ACC 1A 1的中心，过G 作直线平行于A 1C 1，交AA 1于点P ，交CC 1于Q 点，连结EP ，EQ ，则平面A 1B 1C 1∥平面PEQ ，即求平面AEC 与平面PEQ 所成的角，

∵交线为EG ，∴其平面角为∠A 1GP ，因AA 1＝A 1B 1，则ACC 1A 1为正方形，则∠A 1GP ＝45°.

3．(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ． 又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD ． 因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ． 又因为PC ?平面PCD ，所以AD ⊥PC ． (2)解：由(1)知AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A －PDE 的高．

因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，

所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×? ??

??12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8

3

.

(3)解：取AC 的中点M ，连接EM ，DM ，

因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM ∥PA ．

又因为EM ?平面DEM ，PA ?平面EDM ，所以PA ∥平面DEM .

此时AM ＝12AC ＝12AD 2＋DC 2

＝1222＋42＝5，

即在AC 上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，且AM 的长为 5.