第12讲 等腰三角形,直角三角形,及尺规作图
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等腰三角形ppt课件
新课讲授
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言： ∵∠A=60°，AB=AC， ∴ AB=BC=AC （或△ABC是等边三角形）.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
新知探究 你能说出“等腰三角形的两个底角相等”这个定理条 件和结论吗？请写出它的逆命题。
逆命题:有两个角相等 的三角形是等腰三角形
这个命题是真命题么？你能证明么？
新知探究
活动探究：画△ABC，使∠B＝∠C, 量一量，线段AB与AC的长度.
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
新课讲授
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，
证明 ： ∵ AB=AC，
性质定理
∴ ∠B=∠C（等边对等角）.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴ ∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
判定定理
例题讲解
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
类比探究
等腰三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有两条边相等的三角形是
等腰三角形(定义). 方法二: 从角看
有两个角相等的三角形是 等腰三角形.
等边三角形的判定方法：
方法一: 从边看 有三条边相等的三角形是
等边三角形(定义). 方法二: 从角看
有三个角相等的三角形是 等边三角形.
新课讲授，
三角形的尺规作图
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种 基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形 的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基 本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图.
感悟新知
1.尺规作图的画图工具是( D ) A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器 C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
感悟新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
知2－练
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
感悟新知
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点知C2－. 练
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
感悟新知
总结
知2－讲
由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三 角形全等的条件(SSS，SAS，ASA，AAS)都只能作出 唯一的三角形．
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例 1 【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上 的高的是( B )
分析：过点Ａ作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求.
感悟新知
总结
知1－讲
如图所示(见下页)，在直角坐标系中描出以表中的
等腰三角形性质PPT课件
M
7A
Ｅ
2
10°
1
3
6
4
5
8
O
F
H
B
老师，这个题我明白了，会做了！
第27页/共29页
(1)本节课里你学到了什么？？？
有两边相等的三角形 概念
腰、底、顶角、底角 等腰三角形
性质 等边对等角 三线合一
(2)等腰三角形中常作的辅助线: 作顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线
第28页/共29页
感谢您的观看！
所以这个三角形的边为4 ，4 ，2
第25页/共29页
5.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°， 为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、 MH……，添加的 钢管长度都与OE相等， 添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为___5_0_°_
M
A
Ｅ
10°
O
F
H
B
第26页/共29页
如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°， 为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、 MH……，添加的 钢管长度都与OE相等， 添加这样的钢管4根时，则∠AHB的度数为__5_0_°__
如图，在下列等腰三角形中， 分别求出其它两个角的度数。
A
A
36°
120°
B
30°
72° 72°
B
C
30°
C
第21页/共29页
1.填空题 巩固练习
(1)如果等腰三角形的一个底角为500，则其余 两个角为_8_0_0_和_5_0_0_.
(2)如果等腰三角形的顶角为800，则它的一个 底角为_5_0_0_. (3)如果等腰三角形的一个角为800，则其余两 个角为__8_0_0和__2_0_0___或_5_0_0_和__5_0_0. (4)如果等腰三角形的一个角为1000，则其余两 个角为__4_0_0和__4_0_0_.
等腰三角形和直角三角形
等腰三角形和直角三角形在我们的数学世界中，三角形家族成员众多，其中等腰三角形和直角三角形是非常重要的两类。
它们在几何的大舞台上各自展现着独特的魅力和特性，为解决各种数学问题和实际生活中的测量、设计等提供了关键的理论支持。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形，顾名思义，就是至少有两条边长度相等的三角形。
这两条相等的边被称为腰，而剩下的那条边则被称为底边。
等腰三角形有一个非常重要的性质，那就是两腰所对的角相等，也就是“等边对等角”。
反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这就是“等角对等边”。
在等腰三角形中，还有一个很重要的线段，那就是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高。
这三条线是重合的，我们把它叫做等腰三角形的“三线合一”。
这个性质在解决等腰三角形相关的问题时非常有用。
比如，已知等腰三角形的一个角的度数，要求其他角的度数，就可以利用“等边对等角”和三角形内角和等于 180 度的性质来计算。
再来看一个实际应用的例子。
假设要制作一个等腰三角形的风筝骨架，已知顶角为 80 度，那么底角的度数就可以通过（180 80）÷ 2 ＝50 度计算得出。
这样就能按照准确的角度来裁剪材料，制作出形状标准的风筝骨架。
接下来聊聊直角三角形。
直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
这个90 度的角被称为直角，而构成直角的两条边被称为直角边，剩下的那条边则被称为斜边。
直角三角形有一个非常著名的定理，那就是勾股定理。
它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别用 a 和 b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理就可以写成 a²＋ b²＝ c²。
这个定理在数学和实际生活中的应用极其广泛。
比如，在建筑施工中，工人师傅要确定一个直角墙角是否标准，可以通过测量两条直角边的长度，然后计算它们的平方和是否等于斜边长度的平方来判断。
又比如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过√（3²＋ 4²) ＝ 5 来计算得出。
等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
第 30 页
图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
等腰三角形与直角三角形PPT课件
B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.
八上 等腰三角形、直角三角形、尺规作图
周末补充等腰三角形、直角三角形
有关三角形的重要内容：
（1）等腰三角形中：①等腰对等角；②三线合一（中线、角平分线、高）。
等腰三角形中的易错点：①等腰三角形注意分类讨论思想；②求出腰和底边要检验是否能围成三角形。
（2）直角三角形中：①斜边上的中线等于斜边的一半；
②30°角所对的边（直角边）等于斜边的一半。
1、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC 于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是______．猜想：EF与BE、CF之间的关系是______．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是______．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE ∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
2、如图①，在等边三角形ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．
（1）当点E为AB的中点时（如图②），则有AE DB（填“>”“<”或“=”）．
（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若等边△ABC的边长为1，E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，AE=2，求CD的长．
尺规作图专题
1、按要求作三角形（1）
2、按要求作三角形（2）
3、按要求作三角形（3）
4、尺规作图角平分线
5、过直线AB外一点P作AB的垂线
6、尺规作直角三角形。
等腰三角形ppt课件
何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
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思路分析：先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
对应训练
4．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1= π，S2=2π，则S3是．
分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以 ，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．
A． B．2C． D．4
思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
对应训练
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到得距离相等
2、判定：到角两边距离相等的
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合
A．3B．2C． D．1
2．B
分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
考点三：角的平分线
例3如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2
．
思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
A．45°B．75°C．45°或75°D．60°
1．C
分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
考点二：线段垂直平分线
例2如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
讨论边时应注意保证讨论角时应注意底角只能为角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于
⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴
1、等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】
A．20°B．50°C．60°D．80°
4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
【当堂检测】
1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
第1题图
2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
例题2.已知：线段m、n
(1)用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n(保留作图痕迹，
不写作法、不证明)；
(2)用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)．
例题3.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相
第2题图
3.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角
板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画
图痕迹，写出画法.
第3题图
随堂练习
1.已知：△ABC（如图），求作：△ABC的外接圆和内切圆（要求：用尺
规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．
第1题图
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角是的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】
尺规作图
【知识梳理】
1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．
考点一：等腰三角形性质的运用
例1在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是
分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
对应训练
1．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．16B．15C．14D．13
6．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．2B． C． D．3
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】
2、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半
3、直角三角形的判定：
分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．
三、证明题
1. 如图12-3-6所示，已知AB=AC，BD⊥AC于D，求证： .
课后作业
一、选择题
1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
2．已知实数x，y满足|x-4|+ =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
3．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
·一对一辅导教案
学生姓名
性别
年级
初三
学科
数学
授课教师
上课时间
年月日
第（）次课
共（）次课
课时：3课时
教学课题
教学目标
教学重点与难点
教学过程
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为
A．（2，0）B．（ ，0）C．（ ，0）D．（ ，0）
二、填空题
8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=3
．
10．已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为50°
11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．
对应训练
3．（如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2
．
4．2
分析：过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．
考点四：勾股定理
例4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．
似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
例题4.如图，在下面的方格图中，将 ABC先向右平移四个单位得到△A B1C1，再将 A B1C1绕点A1逆时针旋转 得到△A B2C2，请依次作出 A B1C1和 A B2C直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．
3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
4.了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）．
【例题精讲】
例题1．已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC = a, AC = b、AB = c, (不写作法，保留作图痕迹).
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称
【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等
2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，
对应训练
4．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1= π，S2=2π，则S3是．
分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以 ，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．
A． B．2C． D．4
思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
对应训练
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到得距离相等
2、判定：到角两边距离相等的
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合
A．3B．2C． D．1
2．B
分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
考点三：角的平分线
例3如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2
．
思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
A．45°B．75°C．45°或75°D．60°
1．C
分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
考点二：线段垂直平分线
例2如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
讨论边时应注意保证讨论角时应注意底角只能为角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于
⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴
1、等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】
A．20°B．50°C．60°D．80°
4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
【当堂检测】
1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
第1题图
2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
例题2.已知：线段m、n
(1)用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n(保留作图痕迹，
不写作法、不证明)；
(2)用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)．
例题3.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相
第2题图
3.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角
板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画
图痕迹，写出画法.
第3题图
随堂练习
1.已知：△ABC（如图），求作：△ABC的外接圆和内切圆（要求：用尺
规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．
第1题图
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角是的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】
尺规作图
【知识梳理】
1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．
考点一：等腰三角形性质的运用
例1在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是
分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
对应训练
1．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．16B．15C．14D．13
6．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．2B． C． D．3
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】
2、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半
3、直角三角形的判定：
分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．
三、证明题
1. 如图12-3-6所示，已知AB=AC，BD⊥AC于D，求证： .
课后作业
一、选择题
1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
2．已知实数x，y满足|x-4|+ =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
3．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
·一对一辅导教案
学生姓名
性别
年级
初三
学科
数学
授课教师
上课时间
年月日
第（）次课
共（）次课
课时：3课时
教学课题
教学目标
教学重点与难点
教学过程
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为
A．（2，0）B．（ ，0）C．（ ，0）D．（ ，0）
二、填空题
8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=3
．
10．已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为50°
11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．
对应训练
3．（如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2
．
4．2
分析：过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．
考点四：勾股定理
例4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．
似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
例题4.如图，在下面的方格图中，将 ABC先向右平移四个单位得到△A B1C1，再将 A B1C1绕点A1逆时针旋转 得到△A B2C2，请依次作出 A B1C1和 A B2C直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．
3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
4.了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）．
【例题精讲】
例题1．已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC = a, AC = b、AB = c, (不写作法，保留作图痕迹).
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称
【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等
2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，