锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角三角函数课件
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
第24讲 锐角三角函数
考点三
三角函数之间的关系
1．同角三角函数之间的关系
sin2α＋cos2α＝
1
；tan
α＝csions
α α.
2．互余两角的三角函数之间的关系
若∠A＋∠B＝90°，则 sin A＝cos B，
sin B＝cos A，
tan A·tan B＝1．
3．锐角三角函数的增减性 当 α 为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，且 sin α，tan α 的值都随 α 的增大而 增大 ；cos α 的值随 α 的增大而 减小 ． 温馨提示： 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式．
Rt△ABD 中，cos A＝AD＝2 2＝2 5.故选 D．
【答案】D
AB 10 5
3．把△ABC 三边的长度都扩大到原来的 3 倍，则
锐角 A 的正弦值( A )
A．不变
B．缩小为原来的13
C．扩大到原来的 3 倍 D．不能确定
4．在锐角三角形 ABC 中，若sin A－ 23＋(1－
tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )
＝ 5
5＋1.故选 C． 4
【答案】C
5．(2016·福州)如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧 交坐标轴于 A，B 两点，P 是 AB 上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( )
A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α) C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)
考点三
三 角函数的增减性
例 3 如图，若锐角
△ABC 内接于⊙O，点 D 在
⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
锐角三角函数公式
• 利用正弦函数和余弦函数，计算电场强度和磁场强度 • 利用正切函数和余切函数，计算电场强度和磁场强度
04
锐角三角函数的计算器法与编程实现
计算器法求解锐角三角函数
利用科学计算器直接计算锐角三角函数的值
• 输入角的大小，直接计算正弦值、余弦值、正切值和余切值 • 利用计算器的其他功能，进行角度的转换和运算
角度和差公式
• 通过角度和差公式，将任意角与锐角联系起来 • 利用锐角三角函数的性质，推导出角度和差公式的三角函数表达式
03
锐角三角函数的应用
测量问题中的应用
测量高度
• 利用正切函数，计算物体的高度 • 利用余切函数，计算物体的高度
测量距离
• 利用正弦函数和余弦函数，计算物体的距离 • 利用正切函数和余切函数，计算物体的距离
解题技巧
• 利用三角函数的性质，简化计算过程 • 通过角度的转换，将复杂问题转化为简单问题
锐角三角函数的学习方法与建议
学习方法
• 理解锐角三角函数的定义与性质，掌握公式的推导过程 • 熟练掌握锐角三角函数的应用，解决实际问题
学习建议
• 多做练习，提高计算能力和解题技巧 • 注重归纳总结，形成完整的知识体系
余弦函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：[-1, 1] • 特殊值：cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = -1
余切函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：实数集 • 特殊值：cot(0) = ∞, cot(π/2) = 0, cot(π) = -1
02
锐角三角函数的公式推导
正弦公式与余弦公式的推导
正弦公式的推导
• 利用单位圆的性质，将圆周角与弧度制联系起来 • 通过正弦函数的定义，将正弦值与单位圆上的点联系起 来
三角函数的计算
三角函数的计算一、锐角三角函数的概念与计算方法1.正弦（sine）函数：正弦函数是指在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。
其计算公式为：sinθ = 对边 / 斜边。
2.余弦（cosine）函数：余弦函数是指在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。
其计算公式为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3.正切（tangent）函数：正切函数是指在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。
其计算公式为：tanθ = 对边 / 邻边。
二、钝角三角函数的概念与计算方法1.余切（cotangent）函数：余切函数是指在直角三角形中，钝角的对边与邻边的比值的倒数。
其计算公式为：cotθ = 邻边 / 对边。
2.余弦（secant）函数：余弦函数是指在直角三角形中，钝角的邻边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：secθ = 斜边 / 邻边。
3.正割（cosecant）函数：正割函数是指在直角三角形中，钝角的对边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：cscθ = 斜边 / 对边。
三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值：sin30°= 1/2，cos30° = √3/2，tan30°= 1/√3，cot30° = √3，sec30° = 2/√3，csc30° = 2。
2.45°角的三角函数值：sin45° = cos45° = tan45° = 1，cot45° = 1，sec45° = √2，csc45° = √2。
3.60°角的三角函数值：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3，sec60° = 2，csc60° = 2/√3。
四、三角函数的周期性1.正弦函数的周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。
《锐角三角函数》课件
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
第01讲 锐角三角函数和特殊角的三角函数(知识解读+真题+巩固)(学生版)
第01讲锐角三角函数和特殊角的三角函数1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识点1锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B bB B a∠==∠的对边的邻边．注意：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．ACa(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0知识点2锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.知识点2特殊角的三角函数值锐角注意：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．知识点3锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【题型1锐角三角函数的概念】【典例1】（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sinA＝B．cosA＝C．tanA＝D．cotA＝【变式1-2】（2022秋•晋江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（）A．10B．8C．5D．4【变式1-3】（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（）A．sinB＝B．cosA＝C．tanB＝D．cosB＝【题型2锐角三角函数的增减性】【典例2】（2022秋•兴隆县期中）如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A．0°＜α≤30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α≤90°【变式2-1】（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【变式2-2】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【变式2-3】（2022春•洪泽区校级月考）比较大小：sin80°sin50°（填“＞”或“＜”）．【题型3特殊角三角函数值】【典例3】（2023•红桥区二模）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．【变式3-1】（2022秋•云州区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式3-2】（2023秋•莘县校级月考）在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式3-3】（2023•江都区模拟）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°【题型4同角三角函数的关系】【典例4】（2023秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（）A．B．C．D．8【变式4-1】（2023•泉州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（）A．B．C．D．【变式4-2】（2022秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（）A．B．C．D．【变式4-3】（2022秋•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（）A．B．C．D．【题型5互余两角三角函数的关系】【典例5】（2023秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022秋•磴口县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023春•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022秋•太康县期末）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A．B．C．D．【题型6三角函数的计算】【典例6】（2023秋•聊城月考）计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【变式6-1】（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【变式6-2】（2022秋•济南期末）计算：sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．【变式6-3】（2023•虹口区一模）计算：cos245°﹣+cot230°．1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．802．（2021•天津）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．23．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．5．（2022•广东）sin30°＝．6．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．1．（2022秋•大名县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（）A．B．C．D．2．（2022秋•泰兴市期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小D．不能确定3．（2023•西陵区模拟）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A．B．C．D．4．（2023•南岗区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（）A．8B．9C．10D．125．（2022秋•阜平县期末）计算：sin60°•tan30°＝（）A．1B．C．D．26．（2023•偃师市模拟）计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．7．（2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（）A．cscB•sinA＝1B．C．cscA•cosB＝1D．csc2A+csc2B＝18．（2022秋•清水县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．9．（2022秋•蚌埠月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∠B等于（）A．60°B．30°C．45°D．无法确定10．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（）A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cos30°＝11．（2022秋•路北区校级期末）已知6cosα＝3，且α是锐角，则α＝（）A．75°B．60°C．45°D．30°12．（2022秋•内乡县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是．13．（2023•新邵县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．14．（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．15．（2022秋•新城区期末）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．。
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
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锐角、钝角等三角形的三角函数
三角函数是数学中的一门重要学科，它研究三角形中各个角的关系。
在三角形中，角度的大小有时会影响角的性质和三角函数的值。
其中，锐角三角形、钝角三角形和直角三角形是三种不同类型的三角形，它们的角度性质也不同，因此它们的三角函数值也不同。
对于锐角三角形，它的三个角都小于90度，因此它的正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)函数的值都是正数。
对于钝角三角形，它的一个角大于90度，因此它的正弦(sin)、余弦(cos)的值是正数，而正切(tan)的值是负数。
对于直角三角形，它的一个角为90度，因此它的正弦(sin)或余弦(cos)函数值为1或-1，而正切(tan)函数的值则不存在。
值得注意的是，在计算三角函数时，我们通常会用到各种公式和方法，如诱导公式、三角函数的周期性等等。
同时，还需要注意单位的转换，如角度转弧度等。
总之，掌握锐角、钝角等三角形的三角函数对于学习数学、物理等学科都是至关重要的。
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