2022年高考数学总复习考点培优——圆的方程

第三节 圆的方程【教材回扣】1．圆的定义及方程点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)的位置关系： (1)若M(x 0，y 0)在圆外，则______________________. (2)若M(x 0，y 0)在圆上，则______________________. (3)若M(x 0，y 0)在圆内，则______________________.【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．确定圆的几何要素是圆心与半径．( )2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为（－a 2，－a ），半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )3．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )4．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )题组二 教材改编1．圆心为C(8，－3)，且过点A(5,1)的圆的方程是( ) A ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝25 D ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝252．圆C 的圆心在x 轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝10 B ．(x －2)2＋y 2＝100 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x ＋2)2＋y 2＝1003．(一题两空)当m ∈______时，方程x 2＋y 2－4x ＋2my ＋2m 2－2m ＋1＝0表示圆，此时半径最大时圆的一般方程为________．题组三 易错自纠1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)2．若点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±43．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．题型一 求圆的方程[例1] (1)已知圆E 经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．(x －32）2＋y 2＝254B ．(x ＋34）2＋y 2＝2516C ．(x －34）2＋y 2＝2516D ．(x －34）2＋y 2＝254(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16 [听课记录]类题通法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.巩固训练1：(1)经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2(2)圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________．题型二 与圆有关的轨迹问题[例2] 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． [听课记录]类题通法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.巩固训练2：设定点M(－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．题型三 与圆有关的最值问题 高频考点角度|斜率型最值问题[例3] 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P(x ，y)为圆上任一点，则y －2x －1的最大值为________．[听课记录]类题通法形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解．如yx ＝y －0x －0表示过坐标原点的直线的斜率.巩固训练3：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx的最大值和最小值．角度|截距型问题[例4] 已知点P(x ，y)在C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值． [听课记录]类题通法求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值，具体方法是： (1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值；(2)把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值.巩固训练4：已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A．(－23，4) B．[－23，4]C．[－4,4] D．[－4,23]角度|距离型最值问题[例5]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．[听课记录]类题通法求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.巩固训练5：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．角度|利用对称性求最值[例6]已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．[听课记录]类题通法形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.巩固训练6：已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17[预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．[预测2]新题型——多选题已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为()A．x2＋y＋332＝43B．x2＋y－332＝43C．(x－3)2＋y2＝4 3D．(x＋3)2＋y2＝4 3第三节 圆的方程 课前基础巩固[教材回扣](x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (a ，b ) r x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（－D 2，－E 2） 12D 2＋E 2－4F(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2 [题组练透] 题组一1．√ 2.× 3.√ 4.√ 题组二1．解析：圆的半径为|AC |＝ (8－5)2＋(－3－1)2＝5故圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 故选D. 答案：D2．解析：由题意知，圆心在AB 的垂直平分线上，其方程为x ＋y －2＝0. 又因为圆C 和圆心在x 轴上，所以两交线的交点就为圆心，即为C (2,0)， 则圆的半径为|AC |＝(2＋1)2＋(0－1)2＝10.故圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝10，故选A. 答案：A3．解析：原方程化为(x －2)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋2m ＋3， 当－m 2＋2m ＋3＞0，即－1＜m ＜3时， 方程表示圆．由－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4知， 当m ＝1时，圆的半径最大，此时圆的方程为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 答案：(－1,3) x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 题组三1．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得（x ＋m 2）2＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞2 2.故选B. 答案：B2．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝9 ∴|a |＝r ＝3， ∴a ＝±3，∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)由题意可设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2a 2＋(0＋1)2＝r2a 2＋(0－1)2＝r2解得a ＝34，r 2＝2516，故所求圆的方程为（x －34）2＋y 2＝2516.故选C.(2)由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离 d ＝|1＋b |1＋b 2＝(1＋b )21＋b 2＝1＋2b1＋b 2≤ 1＋2|b |1＋b 2≤ 2. 当且仅当b ＝1时取等号． 所以半径最大的圆的半径r ＝2， 此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2. 故选B.答案：(1)C (2)B巩固训练1 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)． 又由该圆过点(1,0)， ∴半径为1，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 故选B.(2)设圆C 上的任意一点M (x ，y )，则点M 关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ∵点(－y ，－x )在圆(x －1)2＋y 2＝1上，∴(－y －1)2＋(－x )2＝1即x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(1)B (2)x 2＋(y ＋1)2＝1 题型二例2 解析：(1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)． 巩固训练2 解析：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为（x 2，y2），线段MN 的中点坐标为（x 0－32，y 0＋42）.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点（－95，125）和（－215，285），不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点（－95，125）和（－215，285）.题型三例3 解析：设y －2x －1＝k ，即kx －y －k ＋2＝0，圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值，∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34，∴y －2x －1的最大值为3＋34.答案：3＋34巩固训练3 解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.例4 解析：设x ＋y ＝b ，则当直线x ＋y ＝b 与圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径长2，则3＋3－b 12＋12＝2，即|b －6|＝22， 解得b ＝6±2 2.所以x ＋y 的最大值为6＋22， 最小值为6－2 2.巩固训练4 解析：∵y ≥0， ∴x 2＋y 2＝4为上半圆，如图，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎨⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选B. 答案：B例5 解析：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为 (2＋0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.巩固训练5 解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74例6 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5， 则圆心C (2,1)，半径r ＝ 5.设A 关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2＋b 2＋2＝0b －2a ＝1，∴a ＝－4，b ＝－2，∴B (－4，－2)． ∴|P A |＋|PQ |的最小值是 |BC |－r ＝(2＋4)2＋(1＋2)2－5＝2 5.答案：25巩固训练6 解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标(3,4)，半径为3，由图象可知当P ，C 2，A 三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，(|PM |＋|PN |)min ＝|AC 2|－r 1－r 2＝(3－2)2＋(－3－4)2－4＝50－4＝52－4.故选A.答案：A高考命题预测预测1 解析：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5(|3a ＋4b －26|32＋42－r )，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.答案：15预测2 解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.故选AB.答案：AB。