圆的方程(复习课)
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（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
A
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
034圆的方程复习课
034 圆的方程复习课【学习目标】1．掌握圆的定义及标准方程、一般方程．2．会用待定系数法求圆的方程，处理较为简单的有关圆的实际问题．【学习重难点】重点：圆的定义及标准方程、一般方程难点：会用待定系数法求圆的方程【学法指导及要求】熟练记忆并理解两种圆的方程，体会待定系数法和轨迹法求圆的方程的一般方法．【学习过程】一、复习回顾：（或者新课引入）知识点一圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r +=．知识点二圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．二、典型例题:（2-3个例题）例1．已知圆C 经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程．变式训练 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．例2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．变式训练 已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( ) A. 2 B ．2 2 C.233D ．23反思：（也可留白让学生总结）四、课堂反馈：（2-3个题）1．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．2．与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．五、课堂总结：1、2、智慧作业：（30分钟， 2--3个单选+1--2个多选+1--2个填空+1--2个解答）（总共6-8个题）一、单选题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点P (1,3)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1二、多选题4．已知方程x 2+y 2+3ax +ay +52a 2+a -1=0,若方程表示圆,则a 的值可能为( )A.-2B.0C.1D.3三、填空题5．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是________．6．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．四、解答题7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的标准方程．。
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
圆与方程复习课件
所以,
即有a-2b=±1,由此有
或
解方程组得
或
于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是
（x+1）2+（y+1）2=2,或（x-1）2+（y-1）2=2.
∴所求圆的方程为 (x 2 2 6)2 ( y 4)2 42 ，或 (x 2 2 6)2 ( y 4)2 42
例6.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧， 其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到 直线l: x-2y=0的距离为 5 的圆的方程．
圆与方程复习
例1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0 上的圆的 标准方程并判断点 P(2 , 4)与圆的关系．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2
、
．
∵圆心在直线 y 0上，故 b 0
．
∴圆的方程为 (x a)2 y2 r 2
例5.求半径为4，与圆 x2 y2 4x 2y 4 0 相切，
且和直线 y 0 相切的圆的方程．
解：则题意，设所求圆的方程为圆 C：(x a)2 ( y b)2 r 2
圆 C 与直线 y 0 相切，且半径为4，
则圆心 C的坐标为 C1(a , 4) 或 C2(a , 4)
又已知圆 x2 y2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为
(2 ,1) 半径为3．
若两圆相切，则 CA 4 3 7 或 CA 4 3 1
(1)当 C1(a , 4) 时，(a 2)2 (4 1)2 72 或
(a 2)2 (4 1)2 12 (无解) ，故可得a 2 2 10
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
圆的方程复习课
( x 3m )2 ( y 4m )2 5( m 4)
相切,则点A在圆C的______,m的取值范围是_______.
(3)若方程 x 2 y 2 2kx 4 y 3k 8 0
表示一个圆,则实数k的取值范围是_________.
(4)已知圆的方程是 x y 2 x Байду номын сангаас 4 y 3 0 ,
点B(2,0)距离的2倍,求动点P的轨迹方程.
例6 过点Q(2,-4)作的圆O: x y 9
2 2
割线,交圆O于点A,B,求AB中点P的轨迹方程.
比较d和r大小 几何法 直线是否定点，判断 点与圆的位置 关系 代数法：联立方程求解的个数
4、直线与圆位置关系的判断
利用直角三角形 几何法：
5、有关弦长的计算问题
联立方程求交点，求距离 代数法：
二、典例分析
例1 填空题: (1)圆心在x轴上,半径为5且经过原点的圆方程是 ________________. (2)若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C:
必修②
第四章
学习目标
圆与方程
1、掌握圆的标准方程和一般方程的形式； 2、会判断点和圆、直线和圆的位置关系； 3、会求圆的方程； 4、会求切线方程和轨迹方程； 5、会求有关弦长的问题
一、基础知识
1、圆的标准方程:
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆心C(a,b),半径r x 2、圆的一般方程：2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） D E 1 圆心 ( , ) 半径 D2 E 2 4F 2 2 2 3、点与圆位置关系的判断: 将点的坐标代入圆的方程判断
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt
设动点P的坐标为(x，y)， 因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|， 所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2， 所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴 的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02
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题3:m变化时,求圆心的轨迹
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1.求圆x2+y2+2ax-2by=0的圆心与半径.
2.若圆x2+y2+mx+ny+12=0的圆心为(-2,3)
求圆的面积. 3.设P(x,y)为圆C1: x2+(y-1)2=1上一点,若不
等式x+y+c0恒成立,求c的取值范围.
的判定方法
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课本P82
9、10
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数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
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4.已知圆x2+y2+4x+10y+4=0,直线x+2y-3=0,
求圆上的点到直线距离的最大值及最小值.
5.若x,y满足(x-2)2+y2=3,求 最小值.
y 的最大值及 x
6.圆C1: x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 相切，求m的值.
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小结: 1.解决圆的有关问题时要灵活,恰当地选用
标准方程,一般方程或参数方程,特别要熟练
地用配方法把圆的一般方程化为标准方程.
2.若方程系数中含有参数,要注意参数的取 值范围,及利用题设条件求参数的值或范围.
3.要熟悉点与圆,直线与圆,圆与圆位置关系
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例:若方程 x y ( m 1) x ( m 1) y 2m 1 0
2 2
表示圆C,求实数m的取值范围.
围绕例题,请同学们进一步思考如下问题:
l 题1:若圆C的圆心在直线 L:x-y-4=0上, 求圆C的面积 题2:m为何值时,圆C与直线L相割,相切,相 离
>0 圆 =0 点
<0 无
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圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
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圆的参数方程
x a r cos y b r sin
( 为参数)
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2 2
△>0 △=0 △<0
d<r d=r d>r
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圆和圆的位置关系
位置关系 外离 外切
相交 内含 内切
判断方法
d>R+r
d=R+r
R-r<d<R+r 0<d<R-r d=R-r
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点和圆的位置关系
设点P(x0,y0)到圆心的距离为d
d ( x0 a ) ( y0 b) r 点在圆外
2 2 2 2
d ( x0 a ) ( y0 b) r 点在圆上 d ( x0 a ) ( y0 b) r 点在圆内
2 2
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Ax By C 0 设方程组 2 2 2 ( x a ) ( x b ) r
直线和圆的位置关系
圆心到直线Ax+By+C=0距离d 相割 相切 相离
Aa Bb C A B
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数 学 数学第二册（上） 第一册（上） 东莞实验中学
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圆的标准方程
a
D E b 2 2
( x a ) ( y b) r
2 2
2
r
D E 4F 2
2 2
展 开
配 方
D E 4F
2 2