小学数学5年级培优奥数讲义 第14讲-组合图形的面积(教师版)

第14讲 组合图形的面积 掌握三角形的面积计算公式； 学会使用拆补法求解三角形面积； 通过题目中给定比例关系求解面积比。

计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。

例1、已知图12－1中,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE＝ED,BD=23 BC,求阴影部分的面

积。 【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。

因为BD=23 BC,所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED,所以S△ABF

＝S△BDF＝2S△DCF。因此,S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米,所以S△DCF＝8÷5＝1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为： 1.6×2＝3.2(平方厘米)。

例2、在△ABC中(图12-2),BD=DE=EC,CF：AC=1：3。若△ADH的面积比△HEF的面积多24平方厘米,求三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 【解析】△ADH的面积比△HEF的面积多24平方厘米,

教学目标 知识梳理

典例分析 A B C

F E

D 12－1 则三角形ADE的面积比三角形FDE的面积多24平方厘米, 又因三角形FDE和三角形FEC的面积相等, 也就是说三角形AEC比三角形FEC的面积多24平方厘米, 又因多出的24平方厘米,是三角形AEC的面积的23, 所以三角形AEC的面积是24÷2/3=36平方厘米, 则三角形ABC的面积是36÷1/3=108(平方厘米), 答：三角形ABC的面积是108平方厘米。

例3、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图12－3所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？ 【解析】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知：BO＝2DO；

从S△ABD与S△ACD相等(等底等高)可知：S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为： 6÷2＝3。 答：△AOD的面积是3。

例4、四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图12－4所示)。 【解析】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。 15×3＝45(平方厘米) 答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。

例5、如图12－5所示,BO＝2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【解析】因为BO＝2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA

＝4,类推可得每个三角形的面积。所以：

12-2 B C D A O

12-3 12 6

12－4 A B C

D E F

B A D C O

E 12－5 S△CDO＝4÷2＝2(平方厘米)

S△DAB＝4×3＝12平方厘米

S梯形ABCD＝12+4+2＝18(平方厘米)

答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。

例6、如图18－17所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。 【解析】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。 由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(16÷2)＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷2＝2.5,所以,三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。

例7、如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分。△AOB的面积是2平方千米,△COD的面积是3平方千米,公园陆地面积为6.92平方千米,那么人工湖的面积是多少平方千米？ 【解析】由△BOC与△DOC等高h1,△BOA与△DOA等高h2,

利用面积公式：11BOh22,1

1

DOh32,得BO：DO=2：3,

即3DOBO2,又21BOh12

得2211323DOhBOhBOh22232。 则湖的面积为：31236.920.582(平方千米)

➢ 课堂狙击 1、如图所示,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的

面积。

实战演练

12－6 OD

CBA【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。 由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 30÷5×2＝12平方厘米

2、如图所示,DE＝12 AE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC

的面积。 【解析】

5×3÷23 ＝2212 平方厘米 3、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少？ 【解析】 4÷2＝2 8÷2＝4

4、如图所示,已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积。 【解析】 15×4＝60平方厘米

5、如图所示, AD=6,CG=4；求阴影部分的面积。(ABCD为正方形) 【解析】 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米 (6+3)×6÷2＝27平方厘米

6、如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO。求梯形面积。

A B C

F D E

C B D

A E F

B C D A O

8 4

C B

D A

E

F · G

G A B C D E 6

4 【解析】 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米

16+8+8+4＝36平方厘米

7、如图18－18所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。 【解析】 20÷2－7＝3

3×12 ＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5

➢ 课后反击 1、如图所示,AE=ED,DC＝13 BD,S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。 由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 21÷7×3＝9平方厘米

2、已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。 【解析】 15×3＝45 15+5+15+45＝80

3、已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO,求梯形的面积(如图所示)。

A B C

F E

D

B C

D A

O

B A D C O

A B C D

E F 【解析】 6×(3+1)＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32

4、如图18－19所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE＝4平方厘米,S△AFD＝6平方厘

米,求三角形AEF的面积。 【解析】 20÷2＝10

(10－4)×10－610 ＝225 20－6－4－225 ＝735

5、底边长为6厘米,高为9厘米的等腰三角形20个,迭放如下图： 每两个等腰三角形有等距离的间隔,底边迭合在一起的长度是44厘米．回答下列问题： (1)两个三角形的间隔距离； (2)三个三角形重迭(两次)部分的面积之和； (3)只有两个三角形重迭(一次)部分的面积之和； (4)迭到一起的总面积． 【解析】 (1)从图中可看出,有(20-1=)19个间隔,每个间隔距离是(44-6)÷19=2(厘米)．

(2)观察三个三角形的迭合．画横行的两个三角形重叠画井线是三个

D B A

C O

A B C D

F

E

96

44