2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合P={3,log2a}，Q={a,b}，若P∩Q={0}，则P∪Q的子集个数为()A. 8B. 7C. 6D. 42.设i是虚数单位，若复数z=1−i，则|z|2z+z2=()A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是()A. 110B. 710C. 310D. 9104.函数f(x)=ex1−x2的图象大致是()A. B.C. D.5.已知(x+1)5(ax+1)的展开式中x3的系数是−4，则实数a的值为()A. −1B. 1C. 75D. −756.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则原木件的母线与底面所成角正弦值为()A. 12B. √22C. 2√55D. √557. 函数y =cos2x +√3sin2x(x ∈[0,π2])的单调递增区间是( )A. [0,π6]B. [0,π3]C. [π6,π2]D. [π3,π2]8. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a |=|b ⃗ |=√3，a ⃗ ⋅b ⃗ =−32，<a −c ,b ⃗ −c >=30°，则|c ⃗ |的最大值等( ) A. 2√7 B. 3+2√7C. 2√3D. 3+2√39. 若函数f(x)=2sinωx 在区间[−π6,π3]上存在最小值−2，则非零实数ω的取值范围是( )A. [3,+∞)B. (0,3]C. [−32,0)∪(0,3]D. (−∞,−32]∪[3,+∞)10. 已知当m ，n ∈[−1,1]时，msinπm 2−nsinπn 2<n 2−m 2，则以下判断正确的是( )A. m >nB. |m|<|n|C. m <nD. m 与n 的大小关系不确定11. 若不等式组{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0(k <0)所表示的平面区域的面积为2，则z =2x+yx−1的取值范围是( )A. [−2,83]B. [−2,125]C. (−∞,−2]∪[83,+∞)D. (−∞,−2]∪[125,+∞)12. 已知函数f(x)=xe 1−x ，若对于任意的x 0∈(0,e 2]，函数g(x)=lnx −x 2+ax −f(x 0)+1在(0,e 2]内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )A. (1,e 2−3e 2]B. (−∞,e 2−3e 2]C. (e −2e ,e +2e ]D. (1,e −2e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =2asin 2A ，则A =______． 14. 已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 2−a 1b 1的值是______．15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点和点P(3a,b)为某个等腰三角形的三个顶点，则曲线C 的离心率为______．16. 三棱锥S −ABC 中，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一点，给出下列四个命题：①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S −ABC 的四个面都是直角三角形；②若AC =BC =SC =2，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S −ABC 的外接球表面积为12π；③若AC =3，BC =4，SC =√5，S 在平面ABC 上的射影是△ABC 内心，则三棱锥S −ABC 的体积为2；④若AC =3，BC =4，SA =3，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45°． 其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知等差数列{a n }，若a 6=11，且a 2，a 5，a 14成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若a1<2，设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=√5，SB=√7，点E是棱AD的中点，点F在SC上，且CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCS⃗⃗⃗⃗ ，SA//平面BEF．(Ⅰ)求实数λ的值；(Ⅱ)求二面角C−BE−F的余弦值．19.已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1,2√33)在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4√3．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|=2p|AF|⋅|BF|.”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|⋅|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：第一种：选取A，B，C，D，E，F，G，H，I，J共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，91，87，89，90，90；第二种：选取a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，j 共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为81，87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效．(Ⅰ)写出第一种试验方案的10个数据的极差、中位数、方差；(Ⅱ)现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取3只，记其中服药有效的只数为ξ，求ξ的分布列与期望；(Ⅲ)该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中800只为正常白鼠，200只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有t%(0<t <10)变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用n 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为a n ．①求a 1并写出a n+1与a n 的关系；②要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有940只，求最大的正整数t 的值．21. 设函数f(x)=1−mx ，g(x)=lnx ．(Ⅰ)讨论G(x)=f(x)+g(x)+2x 2的单调区间；(Ⅱ)若当0<x <1时，函数y =f(x)⋅g(x +1)的图象恒在直线y =x 上方，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)求证：e >(10011000)1000.4．22. 直角坐标系xOy 中直线l ：y =−x ，圆C 的参数方程为{x =1+2cosθy =−2+2sinθ(θ为参数)． (Ⅰ)求C 的普通方程，写出l 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 与圆C 交于A ，B ，O 为坐标原点，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．23. 已知函数f(x)=x 2+x +1，且m ，n ∈R ．(Ⅰ)若m +2n =2，求f(m)+2f(n)的最小值，并求此时m ，n 的值；(Ⅱ)若|m −n|<12，求证：|f(m)−f(n)|<|n|+34．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵P ∩Q ={0}，∴log 2a =0，且b =0，解得a =1，b =0，则P ={3,0}，Q ={1,0}，∴P ∪Q ={0,1，3}.子集有23=8． 故选：A ．本根据集合交集含有元素0，则0再P ，Q 中，进行判断． 本题考查集合交集，以及元素的判断，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵复数z =1−i ，则|z|2z+z 2=21−i+(1−i)2=(1+i)−2i =1−i ，故选：B ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：D解析：解：五人分成四组，先选两人成一组，余下各自成一组，共有C 52=10种．甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，故甲和乙恰好在同一组的概率是110，甲和乙不在同一组的概率是910． 故选：D ．求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率． 本题考查概率，属于基础题． 4.答案：C解析：解：当x →+∞，f(x)→0，排除B ，D ， 当0<x <1时，f(x)>0，排除A ， 故选：C ．根据函数极限思想以及函数值的符号关系进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键． 5.答案：D解析：解：(x +1)5(ax +1)的展开式中x 3的系数是C 52⋅a +C 53=−4⇒a =−75． 故选：D ．根据二项展开式的特点即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 6.答案：B解析：解：由三视图知圆锥的底面半径为r =√32+(6√32)2=6，圆锥的高为ℎ=√(3√5)2−32=6，所以圆锥的母线为l =√62+62=6√2， 所以sinθ=ℎl=√22． 故选：B ．由三视图求出圆锥的底面半径和高、母线长，再求母线与底面夹角的正弦值． 本题考查了利用三视图求圆锥的结构特征应用问题，是基础题． 7.答案：A解析：解：因为y =cos2x +√3sin2x =sin (2x +π6)， 由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， 所以当k =0时，增区间为[0,π6]． 故选：A ．利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式为y =cos2x +√3sin2x =sin (2x +π6)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式以及正弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题． 8.答案：D解析：解：设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，由题意|a |=|b⃗ |=√3，a ⃗ ⋅b ⃗ =−32， 得cos ∠AOB =−12，∠AOB =120°，AB =3， ∵<a −c ,b ⃗ −c >=30°，∴∠ACB =30°，∴C 在以AB 为弦的圆D 的优弧上运动，∠ADB =60°， ∵AB sin ∠ACB =DC =2R ⇒R =3；AB sin ∠AOB=2r =OD ⇒OD =2√3，当C 点在OD 的延长线与圆D 交点时，|c⃗ |最大为：OD +R =3+2√3．故选：D ．设出向量，画出图形，求出∠AOB ，判断OC 的最大值的情况，利用解三角形转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角形的解法等知识，是中档题． 9.答案：D解析：解：当ω>0时，由x ∈[−π6,π3]得−ωπ6≤ωx ≤ωπ3，题意知−ωπ6≤−π2则ω≥3；当ω<0时，由x ∈[−π6,π3]得ωπ3≤ωx ≤−ωπ6，根据题意知ωπ3≤−π2则ω≤−32；∴ω≥3或ω≤−32． 故选：D ．分两种情况考虑，ω>0时，知−ωπ6≤−π2，当ω<0时知ωπ3≤−π2，是区间集合包含最小值点．进而得出答案本题考查集合中子集的概念，三角函数中最值求法． 10.答案：B解析：解：设f(x)=xsin πx 2+x 2，则它为偶函数，f′(x)=sinπx 2+πx 2cosπx 2+2x ，当x ∈[0,1]时，f′(x)≥0，函数在[0,1]递增，由偶函数对称性知在区间[−1,0]递减． msinπm 2−nsinπn 2<n 2−m 2变形得msinπm 2+m 2<nsinπn 2+n 2即f(m)<f(n)⇒f(|m|)<f(|n|)， ∴|m|<|n|． 故选：B ．由所给的信息构造函数设f(x)=xsinπx 2+x 2，可得为偶函数，求导可判断(0,1)的单调性，再由题意可得|m|，|n|的大小．本题考查用构造函数的方法解决不等关系，属于中档题． 11.答案：C解析：解：图中点A(2,0)，B(−2k ,0)，C(0,2)，故阴影部分的面积为12×(−2k −2)×2=2，解之得k =−12，z =2x+y x−1=2+y+2x−1，设点P(x,y)，m =y+2x−1，则m 的几何意义是点P 与点D(1,−2)连线的斜率，由图可知，m ≤−4或m ≥23，故取值范围是(−∞,−2]∪[83,+∞)．故选：C．画出约束条件的可行域，利用三角形的面积，求出k，然后利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．12.答案：A解析：解：函数g(x)=lnx−x2+ax−f(x0)+1在(0,e2]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx−x2+ax+1=f(x0)在(0,e2]内都有两个不同的根．f′(x)=e1−x−xe1−x=(1−x)e1−x，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1,e2]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，因此0<f(x)≤1．设F(x)=lnx−x2+ax+1，F′(x)=1x −2x+a=−2x2−ax−1x，若F′(x)=0在(0,e2]无解，则F(x)在(0,e2]上是单调函数，不合题意；所以F′(x)=0在(0,e2]有解，且易知只能有一个解．设其解为x1满足2x12−ax1−1=0，当x∈(0,x1)时F′(x)>0，F(x)在(0,x1)上是增函数；当x∈(x1,e2]时F′(x)<0，F(x)在(x1,e2]上是减函数．因为任意的x0∈(0,e2]方程lnx−x2+ax+1=f(x0)在(0,e2]有两个不同的根，所以：②⇒F(e2)=2−e4+ae2+1≤0⇒a≤e2−3e2；①⇒F max(x)=F(x1)=lnx1−x12+ax1+1>1，所以lnx1−x12+ax1>0.因为2x12−ax1−1=0，所以a=2x1−1x1，代入lnx1−x12+ax1>0，得lnx1+x12−1>0．设m(x)=lnx+x2−1，m′(x)=1x+2x>0，所以m(x)在(0,e2)上是增函数，而m(1)=ln1+1−1=0，由lnx1+x12−1>0，可得m(x1)>m(1)，得1<x1<e2．由a=2x1−1x1在(1,e2)上是增函数，得1<a<2e2−12e2．综上所述1<a≤e2−3e2，故选：A．依题意可得，方程lnx−x2+ax+1=f(x0)在(0,e2]内都有两个不同的根，设F(x)=lnx−x2+ ax+1，求导，知F′(x)=0在(0,e2]有解，且易知只能有一个解，进一步分析可得实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，考查等价转化思想与逻辑思维能力及综合分析、运算能力，是难题．13.答案：π4解析：解：∵bcosC +ccosB =asin 2A ，由正弦定理得sinBcosC +sinCcosB =2sin 3A ，∴sin (B +C)=sinA =2sin 3A ，sinA =√22，锐角△ABC 的内角A =π4．故答案为：π4．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求sin A ，进而可求A ． 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．14.答案：±√22解析：解：数列1、a 1、a 2、4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1，∴a 1=2，a 2=3． 数列1、b 1、b 2、b 3、4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4，解得q =±√2，∴b 1=±√2， ∴a 2−a 1b 1=±√22． 故答案为：±√22． 分别设公差为d ，公比为q ，由等差数列和等比数列的通项公式求得d ，q ，可得a 1，b 1，a 2，即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 15.答案：4解析：【分析】本题考查双曲线离心率的求法，考查分类讨论思想，整体思想，属于中档题． 根据条件可得PF 1>PF 2.分类讨论|F 1F 2|=|PF 2|和|F 1F 2|=|PF 1|情况下的e 的值． 【解答】解：设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，显然PF 1>PF 2． 若|F 1F 2|=|PF 2|，则(3a −c)2+b 2=4c 2，得4a 2−3ac −c 2=0，即e 2+3e −4=0，解得e =1，−4∉(1,+∞)舍． 若|F 1F 2|=|PF 1|，则(3a +c)2+b 2=4c 2，即4a 2+3ac −c 2=0，即e 2−3e −4=0，得e =4，−1， 因为e ∈(1,+∞)， 所以e =4． 故答案为：4．16.答案：①②④解析：解：对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥AC ，SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC ⊥SC ，故四个平面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC =4，BC =4，SC =4，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S −ABC 的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，∴2R =2√3，∴表面积为12π，∴②正确； 对于③，设△ABC 内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有SO 2+OC 2=SC 2，又内切圆半径r =12(3+4−5)=1，所以OC=√2，SO2=SC2−OC2=5−2=3，故SO=√3，∴三棱锥S−ABC的体积为V=13×S△ABC×SO=13×12×3×4×√3=√3，∴③不正确；对于④，∵若SA=3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角时，P点与A点重合，在Rt△SCA中，tan∠ASC=33=1，∴∠ASC=45°，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45°，∴④正确．故答案为：①②④．由题意逐个对所给的命题由线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理进行判断它的真假．考查直线和平面的位置关系及命题的真假的判断，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)可设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=11，∴a1+5d=11①，∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2a14，∴(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)化简得6a1d=3d2，若d=0，a1=11，a n=11；若d≠0，2a1=d②，由①②可得，a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1．所以数列的通项公式是a n=2n−1或a n=11；(Ⅱ)若a1<2，可得a n=2n−1，由(Ⅰ)得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n=b1+b2+⋯+b n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：(Ⅰ)可设等差数列{a n}的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得a n=2n−1，b n=12(12n−1−12n+1)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，∵SA//平面EFB，∴SA//FG，∵△GEA∽△GBC，∴AGGC =AEBC=12，∴SFFC =AGGC=12⇒SF=13SC，λ=23；(Ⅱ)∵SA=SD=√5，∴SE⊥AD，SE=2，又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴BE=√3∴SE2+BE2=SB2，∴SE⊥BE，又AD∩BE=E，∴SE ⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，S(0,0，2)，易知平面SEB 的法向量m ⃗⃗ =EA⃗⃗⃗⃗⃗ =1(0,0,1) 设平面EFB 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⊥EB ⇒(x,y,z)⋅(0,√3,0)=0⇒y =0，n ⃗ ⊥GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒n ⃗ ⊥AS⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−1,0,2)=0⇒x =2z ，令z =1，得n ⃗ =(2,0,1)， ∴cos 〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |n ⃗ |=√55，即所求二面角的余弦值是√55．解析：(Ⅰ)利用线面平行的性质可得SA//FG ，由此得到△GEA∽△GBC ，再由相似的性质可得SF =13SC ，进而得到实数λ的值；(Ⅱ)以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面平行的性质，以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)根据椭圆的定义，可得|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ， ∴△AF 1B 的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a ， ∴4a =4√3，a =√3， ∴椭圆E 的方程为x 23+y 2b 2=1， 将P(1,2√33)代入得b 2=2， 所以椭圆的方程为x 23+y 22=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知4c 2=a 2−b 2=1，得F 2(1,0)，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为x =my +1，消去x ，整理得(2m 2+3)y 2+4my −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4m2m 2+3，y 1y 2=−42m 2+3， 不妨设y 1>0，y 2<0，|AF 2|=√(x 1−1)2+y 12=√(my 1+1−1)2+y 12=√m 2+1⋅|y 1|=√m 2+1⋅y 1， 同理|BF 2|=√m 2+1⋅|y 2|=−√m 2+1⋅y 2，所以1|AF 2|+1|BF 2|=√m 2+1⋅y −√m 2+1⋅y =√m 2+1(1y 1−1y 2)，=√m 2+121y y =√m 2+121y y =√m 2+1⋅−√16n 2+16(2m 2+3)2m 2+3−42m 2+3，=√m 2+14√3(m 2+1)4=√3 即|AF 2|+|BF 2|=√3|AF 2|⋅|BF 2|，所以存在实数λ=√3，使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|⋅|BF2|成立．解析：(Ⅰ)利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程．(Ⅱ)求出F2(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理，不妨设y1>0，y2<0，求出|AF2|，|BF2|，化简整理即可求出．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．20.答案：解：(Ⅰ)第一种试验方案的10个数据的极差为92−84=8，中位数为89+902=89.5，平均数为110(84+87+89+91+92+91+87+89+90+90)=89，方差S2=110(25+4+0+4+9+4+4+0+1+1)=5.2；(Ⅱ)在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C30C13C103=724，P(ξ=1)=C31C72C103=2140，P(ξ=2)=C32C71C103=740，P(ξ=3)=C33C7C103=1120．Eξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910；(Ⅲ)①a1=200×90%+800−800×t%=980−8t，a n+1=(1000−a n)90100+a n×(1−t100)=900+10−t100a n(0<t<10)；②a2=900+10−t100a1=900+10−t100(980−8t)，由a2≥940，得f(t)=(10−t)(980−8t)≥4000，∵f(t)在(0,10)单调递减，且f(5)=4700>4000，f(6)=3728<4000，故最大整数t=5．解析：(1)直接由给出的数据求10个数据的极差、中位数、方差；(2)在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，再由超几何分布求出概率，可得分布列，由期望公式求期望；(3)①由题意直接写出a1，再结合已知条件得到a n+1与a n的关系；②由a2≥940结合函数的单调性求得最大的正整数t的值．本题考查样本数据的极差、中位数、平均数及方差的求法，考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)G(x)=f(x)+g(x)+2x2=1−mx+lnx+2x2，G′(x)=1x+4x−m，x>0，1x+4x≥4①当m≤4时，G′(x)≥0，G(x)在(0,+∞)单调递增；②当m >4时，令G′(x)=4x 2−mx+1x>0⇒4x 2−mx +1>0，此时△=m 2−16>0，方程4x 2−mx +1=0有两个正根，因此得0<x <m−√m2−168或x >m+√m2−168，此时G(x)在(0,m−√m2−168)单调递增，在(m−√m2−168,m+√m 2−168)单调递减，在(m+√m2−168,+∞)单调递增；(Ⅱ)令F(x)=f(x)⋅g(x)−x =(1−mx)ln (x +1)−x ，则F′(x)=−mln(1+x)+1−mx 1+x−1，令ℎ(x)=−mln(1+x)+1−mx 1+x−1，x ∈(0,1)，则ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2，x ∈(0,1)①当m ≤−12时，有ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2≥0，于是F′(x)在x ∈(0,1)上单调递增，从而F′(x)>F′(0)=0，因此F(x)在x ∈(0,1)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0，符合题意． ②当m ≥0时ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2<0，于是F′(x)在x ∈(0,1)上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x ∈(0,1)上单调递减，所以F(x)<F(0)=0，不合题意； ③当−12<m <0时，令x 0=min{1,−2m+1m}，则当x ∈(0,x 0]时，ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2<0，于是F′(x)在x ∈(0,x 0]上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x ∈(0,x 0]上单调递减，所以F(x)<F(0)=0，而且仅有F(0)=0，不合题意． 综上所求实数m 的取值范围是(−∞,−12]． (Ⅲ)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式(1+1n)n+25<e 恒成立，即(n +25)ln (1+1n )−1<0恒成立，变形为(1+25n )ln (1+1n )−1n <0恒成立，在(Ⅰ)③中，令m =−25，x 0=12， 则得F(x)=(1+25x)ln (1+x)−x 在x ∈(0,12]上单调遍减，所以F(x)<F(0)=0， 即(1+25x)ln (1+x)−x <0，令x =1n (n ≥2)，则得(1+25n )ln (1+1n )−1n <0成立． 当n =1000时，可得(1+25000)ln (1+11000)−11000<0． 即(1000+25)ln (10011000)−1<0，所以e >(10011000)1000.4成立．解析：(Ⅰ)代入得G(x)，求导，根据导函数讨论m 的值，对求出导数单调性，(Ⅱ)函数y =f(x)⋅g(x +1)的图象恒在直线y =x 上方，则需证F(x)=f(x)⋅g(x)−x >0，求导，求最小值，(Ⅲ)不转化为不等式(1+1n)n+25<e 恒成立，转化求最值．本题考查导数的单调区间，以及用导数求最值、证明，属于难题．22.答案：解(Ⅰ)C 的参数方程为{x =1+2cosθy =−2+2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，得C 的普通方程为(x −1)2+(y +2)2=4．直线l ：y =−x 的极坐标方程为θ=7π4，(ρ∈R)(Ⅱ)直线l ：y =−x 的极坐标方程为θ=7π4，(ρ∈R)，由直线与圆的位置关系设A ，B 的极坐标为A(ρ1⋅7π4)，B(ρ2⋅7π4)，ρ1≥0，ρ2≥0，C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ+4ρsinθ+1=0， 将θ=7π4代入得ρ2−3√2ρ+1=0，ρ1，ρ2为方程的两根，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=ρ1ρ2=1．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(Ⅱ)利用极径的应用一元二次方程根和系数的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)f(m)+2f(n)=(m 2+2n 2)+(m +2n)+3=m 2+2n 2+5，由柯西不等式得：m 2+2n 2=13(m 2+n 2+n 2)(12+12+12)≥13(m +n +n)2=13(m +2n)2=43f(m)+2f(n)=m 2+2n 2+5≥43+5=193，此时m =n =23．(Ⅱ)|m −n|<12，|f(m)−f(n)|=|(m 2−n 2)+(m −n)|=|m −n||m +n +1|<12|m +n +1|， =12|(m −n)+(2n +1)|≤12(|m −n|+|2n +1|)<12(12+|2n +1|)≤12(12+2|n|+1)=|n|+34．解析：(Ⅰ)：f(m)+2f(n)=m 2+2n 2+5，由柯西不等式直接得出结论； (Ⅱ)利用绝对值不等式的性质求证即可．本题考查不等式的综合运用，考查运算求解及推理论证能力，属于基础题．。
2020届湖北省襄阳五中、夷陵中学高三下学期4月线上联合考试数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省襄阳五中、夷陵中学高三下学期4月线上联合考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}23,log P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q U 的子集个数为（ ）． A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A【解析】由于{0}P Q =I ，所以0,0P Q ∈∈，从而得2log 0a =，0b =，得1a =，可得P Q U 中有3个元素，得其子集的个数为8 【详解】∵{0}P Q =I ，∴2log 0a =，且0b =，解得1a =，0b =，则{3,0}P =，{1,0}Q =，∴{0,1,3}P Q ⋃=．子集有328=． 故选：A ． 【点睛】此题考查集合的交集、并集的有关知识，考查了集合的子集个数，属于基础题2．设i 是虚数单位，若复数z 1i =-，则22||z z z+=（ ）． A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】B【解析】将z 1i =-代入化简可得结果 【详解】∵复数1z i =-，则222||2(1)(1)211z z i i i i z i+=+-=+-=--，故选：B ． 【点睛】此题考查复数的运算，属于基础题3．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是（ ）．A ．110B ．710C ．310D ．910【答案】D【解析】由于五人要分成四组，所以有一组是2人，其余各组各一人，因此共有2510C =种，而甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，所以所求的概率为1911010-= 【详解】五人分成四组，先选两人成一组，余下各自成一组，共有2510C =种．甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，故甲和乙恰好在同一组的概率是110，甲和乙不在同一组的概率是910． 故选：D 【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 4．函数2()1exf x x=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】通过函数值的正负可判断函数的图象. 【详解】 因为2()1exf x x=-，故当1x >时，()0f x <， 而当01x <<，()0f x >，结合各选项中的图象可得C 是正确的， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题.5．已知5(1)(1)x ax ++的展开式中3x 的系数是4-，则实数a 的值为（ ）． A ．1- B ．1C ．75D ．75-【答案】D【解析】由题可知3x 的系数是由5(1)x +中的3次项系数与2次项系数的a 倍的和组成，列方程可求出a 的值. 【详解】∵5(1)(1)x ax ++的展开式中3x 的系数是2355745C a C a ⋅+=-⇒=-． 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理，属于基础题.6．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则原木件的母线与底面所成角正弦值为（ ）．A ．12B ．22C 25D 5 【答案】B【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出母线与底面所成的角. 【详解】由三视图知圆锥底面半径为2263362r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，圆锥的高22(35)36h =-=，圆锥母线226662l =+=2sin 2h l θ==故选：B ． 【点睛】此题考查三视图和几何体之间的转换，线面角的计算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.7．函数cos220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ）． A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，然后将内层函数看作整体，放在正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，再给k 取值，使其增区间在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内即可 【详解】因为cos 222sin 26y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，所以当0k =时，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ． 【点睛】此题考查三角函数的化简和三角函数的图像和性质，属于基础题.8．已知向量a r ，b r ，c r 满足||||a b ==r r ，32a b ⋅=-r r ，,30a c b c <-->=︒r r r r，则||c r 的最大值等（ ）．A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】D【解析】若令OA a =u u u rr，OB b =uuu r r ，OC c =u u u rr，则已知可得C 在以AB 为弦的圆D 的优弧上运动，再结合图形，可求出||c r的最大值.【详解】OA a =u u u r r ，OB b =uuu r r ，OC c =u u u r r ，由题意||||a b ==rr 32a b ⋅=-r r ，得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=︒，3AB =，∵,30a c b c <-->=︒r r r r，∴30ACB ∠=︒，∴C 在以AB 为弦的圆D 的优弧上运动，60ADB ∠=︒，3r =，OD =C 点在OD 的延长线与圆D 交点时，||c r最大为3+故选：D【点睛】此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.9．若函数()2sin f x x ω=在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最小值2-，则非零实数ω的取值范围是（ ）． A ．[3,)+∞B ．(0,3]C ．3,0(0,3]2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UD ．3,[3,)2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U 【答案】D【解析】讨论ω的符号，当0>ω时，可得 62ωππ-≤-，当0ω<时，可得32ωππ≤-，然后解出ω的取值范围即可. 【详解】当0>ω时，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得63x ωπωπω-≤≤，题意知62ωππ-≤-则3ω≥；当0ω<时，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得36x ωπωπω≤≤-，根据题意知32ωππ≤-则32ω≤-；∴3ω≥或32ω≤-． 故选：D 【点睛】此题考查了分类讨论的思想方法，正弦函数的最值的求法，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题.10．已知当,[1,1]m n ∈-时，22sin sin22mnm n n m ππ-<-，则以下判断正确的是（ ）．A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】B【解析】由函数的增减性及导数的应用得，设2()sin2xf x x x π=+，[1,1]x ∈-，而此函数为偶函数，求导后可判断函数在[0,1]为增函数，然后利用偶函数的性质结合增减性可得答案. 【详解】 设2()sin2xf x x x π=+，则它为偶函数，()sincos2222xxxf x x πππ'=++，当[0,1]x ∈时，()0f x '≥，函数在[0,1]递增，由偶函数对称性知在区间[1,0]-递减．22sinsin22mnm n n m ππ-<-变形得22sinsin22mnm m n n ππ+<+即()()(||)(||)f m f n f m f n <⇒<，∴||||m n <．故选：B 【点睛】此题考查了函数的增减性及导数的应用，属于中档题.11．若不等式组2020(0)0x y kx y k y +-≥⎧⎪-+≥<⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积为2，则21x yz x +=-的取值范围是（ ）． A ．82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．122,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．8(,2],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U D ．12(,2],5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】C【解析】画出约束条件的可行域，利用可行域的面积求解k ，化简目标函数的表达式，利用几何意义，转化求解取值范围即可. 【详解】图中点(2,0)A ，2,0B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)C ，故阴影部分的面积为122222k ⎛⎫⨯--⨯= ⎪⎝⎭，解之得12k =-，22211x y y z x x ++==+--，设点(,)P x y ，21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率，由图可知，4m ≤-或23m ≥，故取值范围是8(,2],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ．故选：C【点睛】此题考查线性规则的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键，属于基础题.12．已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(200,x e ⎤∈⎦，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．2231,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．223,e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．22,e e ee ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意可知，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的根，利用导数可得，当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数，当(21,x e ⎤∈⎦时，()f x 是减函数，从而可得0()1f x <≤，令2()ln 1F x x x ax =-++，分析得()0F x '=在(20,e ⎤⎦有解，且易知只能有一个解，然后可判断出函数()F x 的增减区间，从而得()()max 12()10F x F x F e ⎧=>⎪⎨≤⎪⎩，由此可求出a 的取值范围 【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的根．111()(1)xx x f x exe x e '---=-=-，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当(21,x e ⎤∈⎦时，()0f x '<，()f x 是减函数，因此0()1f x <≤．设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在(20,e ⎤⎦无解，则()F x 在(20,e ⎤⎦上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在(20,e ⎤⎦有解，且由两根之积为负，可知只能有一个解．设其解为1x 满足211210x ax --=，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在1(0,)x 上是增函数；当(21,x x e ⎤∈⎦时()0F x '<，()F x 在(21,x e ⎤⎦上是减函数．因为任意的(200,x e ⎤∈⎦方程()20ln 1x x ax f x -++=在(20,e ⎤⎦有两个不同的根，所以()()max 12()10F x F x F e ⎧=>⎪⎨≤⎪⎩①② ②()242223210F eeae a e e ⇒=-++≤⇒≤-①()2max 1111()ln 11F x F x x x ax ⇒==-++>，所以2111ln 0x x ax -+>．因为211210x ax --=，所以1112a x x =-， 代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->．设2()ln 1m x x x =+-，1()20m x x x'=+>，所以()m x 在()20,e 上是增函数，而(1)ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()1(1)m x m >，得211x e <<．由1112a x x =-在()21,e 上是增函数，得221122a e e <<-．综上所述2231a e e<≤-，故选：A ． 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想，属于难题.二、填空题13．锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos 2sin b C c B a A +=，则A =__________．【答案】4π 【解析】先由正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数公式化简可求得结果. 【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos 2sin B C C B A +=，3sin()sin 2sin B C A A +==，sin A =，锐角ABC V 的内角4A π=． 故答案为：4π【点睛】此题考查正弦定理和三角函数恒等变形公式，属于基础题.14．已知数列1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则211a ab -的值是__________．【答案】2±【解析】由1，1a ，2a ，4成等差数列先求出公差，从而可求出1a ，2a 的值，再由1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，求出公比，从而可求出1b 的值，再把求得的值代入211a ab -中可得结果. 【详解】数列1、1a 、2a 、4成等差数列，设公差为d ，则413d =+，解得1d =，∴12a =，23a =．数列1、1b 、2b 、3b 、4成等比数列，设公比为q ，则44q =，解得q =∴1b =∴2112a ab -=±．故答案为：2± 【点睛】此题考查了等差数列和等比数列的有关计算，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点和点(3,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则曲线C 的离心率为__________． 【答案】4【解析】若设左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，由于点P 坐标为(3,)a b ，所以12PF PF >；而12PF F ∆为等腰三角形，只需分122F F PF =和121F F PF =进行计算即可. 【详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，显然12PF PF >．若122F F PF =，则222(3)4a c b c -+=，得22430a ac c --=，即2340e e +-=，解得1e =，4(1,)-∉+∞舍．若121F F PF =，则222(3)4a c b c ++=，即22430a ac c +-=，即2340e e --=，得4,1e =-，因为1()e ∈+∞,，所以4e =． 故答案为：4 【点睛】此题考查双曲线的性质及两点间的距离公式，考查双曲线的离心率的范围，属于基础题.三、解答题16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC V 斜边AB 上一点，给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若2AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球表面积为12π；③若3AC =，4BC =，SC =S 在平面ABC 上的射影是ABC V 内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】①②④【解析】对于①，由已知条件可知三棱锥的四个面均为直角三角形，故①正确； 对于②，由已知条件可知三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，从而得2R =12π，故②正确； 对于③，三棱锥S ABC -的体积为11134332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△③不正确；对于④，由已知可得直线PS 与平面SBC 所成的最大角为ASC ∠，而3tan 13ASC ∠==，从而得45ASC ∠=︒，所以④正确. 【详解】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个平面都是直角三角形，∴①正确； 对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，∴2R =∴表面积为12π，∴②正确； 对于③，设ABC V 内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以OC =222523SO SC OC =-=-=，故SO =∴三棱锥S ABC -的体积为11134332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯=△∴③不正确；对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角时，P 点与A 点重合，在Rt SCA △中，3tan 13ASC ∠==，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】此题考查了立体几何中的垂直关系，几何体的外接球问题，线面角问题等，是一道综合题，属于中档题.17．已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-或11n a =（Ⅱ）21n nS n =+ 【解析】（Ⅰ）由611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列这两个条件列出1a 和d 的方程组可求解出1,a d ，从而可得数列的通项； （Ⅱ）把（Ⅰ）解得的21n a n =-代入11n n n b a a +=中，化简得 1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用裂项相消法求和.【详解】解：（Ⅰ）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++化简得2163a d d =，若0d =，11n a =若0d ≠，12a d =②，由①②可得，11a =，2d = 所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a = （Ⅱ）由（Ⅰ）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1211111111112335212122121n n nS b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L 【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题.18．如图，已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在SC 上，且CF CS λ=u u u r u u u r，SA ∥平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角C BE F --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）23λ=（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，通过GEA GBC △∽△，可求解出λ的值； （Ⅱ）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面SEB 的法向量，平面EFB 的法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，则平面SAC I 平面EFB FG =， ∵SA P 平面EFB ，∴SA FG P ， ∵GEA GBC △∽△，∴12AG AE GC BC ==，∴1123SF AG SF SC FC GC ==⇒=，23λ= （Ⅱ）∵5SA SD ==，∴SE AD ⊥，2SE =，又∵2AB AD ==，60BAD ∠=︒，∴3BE =∴222SE BE SB +=，∴SE BE ⊥，∴SE ⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,2)S ，平面SEB 的法向量1(0,0,1)m EA ==u uu r r设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =r，则(,,)3,0)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=r，(,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=u u u r u u ur r r ，令1z =，得(2,0,1)n =r ，5cos ,|||5m n m n m n ⋅〈〉==r r r r r r 5． 【点睛】此题考查空间向量数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.19．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，1AF B △的周长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线22(0)y px p =>的焦点为F 的弦AB 满足2||||||||AF BF AF BF p+=⋅．”那么对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22132x y +=（Ⅱ）存在，λ=【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a =P ⎛ ⎝⎭点坐标代入椭圆方程中可求出b 的值；（Ⅱ）求出2(1,0)F ，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，整理成关于y 的一元二次方程，再利用韦达定理，求出22,AF BF ,通过2211AF BF +转化求解，得到2222AF BF BF +=⋅，求得λ的值. 【详解】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，∴1AF B △的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P ⎛ ⎝⎭代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知22241c a b =-=，得2(1,0)F ，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理得()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 不妨设10y >，20y <，211AF y y ====，同理222BF y y ==，所以22121111AF BF y y ⎛⎫+==-⎪⎭223423m m +===-+==即2222AF BF BF+=⋅，所以存在实数λ=2222AF BF AF BF λ+=⋅成立【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题.20．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第一种：选取A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，91，87，89，90，90；第二种：选取a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，j 共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为81，87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效． （Ⅰ）写出第一种试验方案的10个数据的极差、中位数、方差；（Ⅱ）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取3只，记其中服药有效的只数为ζ，求ζ的分布列与期望；（Ⅲ）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中800只为正常白鼠，200只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有%(010)t t <<变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用n 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为n a ． ①求1a 并写出1n a +与n a 的关系；②要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有940只，求最大的正整数t 的值． 【答案】（Ⅰ）极差为8，中位数为89.5，方差5.2（Ⅱ）见解析，910（Ⅲ）①19808a t =-，110900(010)100n n ta a t +-=+<<②5t = 【解析】（Ⅰ）直接求极差、中位数、方差；（Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列； （Ⅲ）① 根据题意，可得结果；② 结合①，由2940a ≥ 2940a ≥，可得(10)(9808)4000t t --≥，构造函数()(10)(9808)f t t t =--，(0,10)t ∈， 则()f t 在(0,10)单调递减，求出最大值即可.【详解】（Ⅰ）第一种试验方案的10个数据的极差为8，中位数为89.5， 平均数为89，方差21(25404944011) 5.210S =+++++++++=； （Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故ξ的可能值为0，1，2，3，03313107(0)24C C P C ξ===，123731021(1)40C C P C ξ===，21373107(2)40C C P C ξ===，30373101(3)120C C P C ξ===ξ的分布列为：721719012310E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）①19808a t =-，()1901010001900(010)100100100n n n n t t a a a a t +-⎛⎫=-+⨯-=+<< ⎪⎝⎭②211010900900(9808)940()(10)(9808)4000100100t t a a t f t t t --=+=+-≥⇒=--≥()f t 在(0,10)单调递减，且(5)47004000f =>，(6)37284000 f =<，故最大整数5t = 【点睛】此题考查离散型随机变量分布列和期望，方差，同时考查了函数的单调性，数列的递推式等，属于中档题.21．设函数()1f x mx =-，()ln g x x =．（Ⅰ）讨论2()()()2G x f x g x x =++的单调区间；（Ⅱ）若当01x <<时，函数()(1)y f x g x =⋅+的图象恒在直线y x =上方，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证：1000.410011000e ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数m ，得出函数的单调区间；（Ⅱ）令()()()(1)ln(1)F x f x g x x mx x x =⋅-=-+-，求出函数的导数，通过讨论m 的范围，确定函数的单调性，从而确定m 的范围即可；（Ⅲ）问题等价变形2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，取1(2)x n n=≥，都有2111ln 105n n n⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，取1000n =即可.【详解】解（Ⅰ）22()()()21ln 2G x f x g x x mx x x =++=-++，1()4G x x m x'=+-，0x >，144x x+≥ ①当4m ≤时，()0G x '≥，()G x 在(0,)+∞单调递增②当4m >时，令2241()0410x mx G x x mx x -+'=>⇒-+>，此时2160m ∆=->，方程2410x mx -+=有两个正根，因此得08m x -<<或8m x +>，此时()G x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减，在8m ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增 （Ⅱ）令()()(1)(1)ln(1)F x f x g x x mx x x =⋅+-=-+-，则1()ln(1)11mx F x m x x -'=-++-+，令1()ln(1)11mxh x m x x-=-++-+，(0,1)x ∈，则221()(1)mx m h x x ++'=-+，(0,1)x ∈①当12m ≤-时，有221()0(1)mx m h x x ++'=-≥+，于是()F x '在(0,1)x ∈上单调递增，从而()(0)0F x F ''>=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(0)0F x F >=，符合题意．②当0m ≥时221()0(1)mx m h x x ++'=-<+，于是()F x '在(0,1)x ∈上单调递减，从而()(0)0F x F ''<=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，所以()(0)0F x F <=，不合题意； ③当102m -<<时，令021min 1,m x m +⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则当(]00,x x ∈时，221()0(1)mx m h x x ++'=-<+，于是()F x '在(]00,x x ∈上单调递减， 从而()(0)0F x F ''<=，因此()F x 在(]00,x x ∈上单调递减， 所以()(0)0F x F <=，而且仅有(0)0F =，不合题意． 综上所求实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（Ⅲ）对要证明的不等式等价变形如下： 对于任意的正整数n ，不等式2511n e n +⎛⎫+< ⎪⎝⎭恒成立，即21ln 1105n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 变形为2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，在（Ⅰ）③中，令25m =-，012x =， 则得2()1ln(1)5F x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调遍减，所以()(0)0F x F <=， 即21ln(1)05x x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，令1(2)x n n =≥，则得2111ln 105n n n ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． 当1000n =时，可得2111ln 10500010001000⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即210011000ln 1051000⎛⎫⎛⎫+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1000.410011000e ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立． 【点睛】此题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题.22．直角坐标系xOy 中直线:l y x =-，圆C 的参数方程为12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）．（Ⅰ）求C 的普通方程，写出l 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于A ，B ，O 为坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r．【答案】（Ⅰ）22(1)(2)4x y -++=．74πθ=，()ρ∈R （Ⅱ）1 【解析】（Ⅰ）将12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩变形为12cos 22sin x y θθ-=⎧⎨+=⎩，再给两个两边分别平方相加，可消支参数θ，得到C 的普通方程，由直线:l y x =-的直角坐标方程可得其极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R ； （Ⅱ）将74πθ=代入圆C 的极坐标方程22cos 4sin 10ρρθρθ-++=中，得210ρ-+=，然后利用ρ的几何意义可得结果.【详解】（Ⅰ）C 的参数方程为12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)4x y -++=．直线:l y x =-的极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R （Ⅱ）直线:l y x =-的极坐标方程为74πθ=，()ρ∈R ，由直线与圆的位置关系设A ，B 的极坐标为174A πρ⎛⎫⋅⎪⎝⎭，274B πρ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，10ρ≥，20ρ≥，C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ-++=，将74πθ=代入得210ρ-+=，1ρ，2ρ为方程的两根，12||||1OA OB OA OB ρρ⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r【点睛】此题考查将曲线的参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，利用极坐标的几何意义求值，属于基础题.23．已知函数2()1f x x x =++，且,m n ∈R ．（Ⅰ）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时m ，n 的值；（Ⅱ）若1||2m n -<，求证：3|()()|||4f m f n n -<+． 【答案】（Ⅰ）23m n ==（Ⅱ）见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（Ⅰ）先求出()2()f m f n +，然后利用柯西不等式求其最小值； （Ⅱ）利用绝对值三角不等式证明【详解】解：（Ⅰ）()2222()2()2(2)325f m f n m nm n m n +=++++=++ 由柯西不等式得：()()222222222211142111()(2)3333m n m n n m n n m n +=++++≥++=+= 22419()2()25533f m f n m n +=++≥+=， 此时23m n == （Ⅱ）1||2m n -<，()221|()()|()|||1||1|2f m f n m n m n m n m n m n -=-+-=-++<++ 1111113|()(21)|(|||21|)|21|2||1||2222224m n n m n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-++≤-++<++≤++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了柯西不等式和绝对值三角不等式，属于基础题.。
2020届湖北省襄阳五中高考第五次适应性考试数学(理)试卷(有答案)(加精)
普通高等学校招生全国统一考试（模拟五）数学（理科）试题本试题卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
1、若集合A={y|y=32x }，B={x|y=ln(x+1)}，则(∁R A)∩B= A ．(－1,+∞) B ．(－1,0) C ．Φ D ．[0,+∞)2、已知z=(i i -+11)1902+(ii +-11)2017，其中i 为虚数单位，1902是襄阳五中元年，2017是襄阳五中学生的好运年！！！则复数z 的共轭复数z 的虚部是A ．1B ．－iC ．－1D ．i 3、“所有9的倍数的数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错D ．是三段论推理，但大前提错 4、下列关于命题的说法错误的是 A ．“a =2”是“函数f (x)=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 B ．命题“若随机变量X~N(1,4)，P(X ≤0)=m ，则P(0<X<2)=1－2m ”为真命题 C ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2－3x+2≠0” D ．若命题P ：∃n ∈N ，2n >1000，则⌝P ：∀n ∈N ，2n >1000 5、从区域[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，其中两个数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率p 的近似值为 A ．nm2 B ．nm4 C ．mn 2 D ．mn 4 6、某几何体的三视图如图所示，其体积为 A ．32 B ．34 C ．310 D ．387、运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为 A ．－23 B ．0 C ．－1D ．21 8、已知函数f (x)=sin(ωx+6π)+ω (ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是 A ．()()33f x f x ππ-=+ B ．()()13f x f x π+--=C ．7()23f π=D ．||MN π= 9、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接收雨水。
2019-2020学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期4月月考数学试题解析[推荐]
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答案： 6 2
根据向量的加法、减法的坐标运算，结合一个向量在另一个向量的投影，可得结果
.
解：
r
r
Q a 2, 3 ， b
3,4 ，
rr
rr
a b 5, 7 ， a b
1,1 ，
rr rr ab ab 5 1
71
rr a b 2，
12 ，
rr rr a b 在 a b 上的投影的数量为
rr rr ab ab
故有 s ≥t ，
故选 D． 点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣ 判断符号﹣﹣得出结论．
3．已知正实数 a ， b 满足 a b
2 ，则 1
2
的最小值（
）
ab
A． 3 2
B． 3
C． 3 2 2 2
D． 3 2 2
答案： C
1 化简
a
2 b
(1 a
2) 2 1
解：
因为 a2 b2 c2 acosB bcosA abc ，所以
2abcosC sinAcosB sinBcosA absinC ， 2cosC sin A B sinC ，
2cosC 1 ， C
23
,c 2
sin
2
3
3
3
因此
c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab
2
a b 3ab
2
ab 3
.
7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是
则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（
）
30°，
A． 6
B．
4
C． 3
D．
2020年湖北省宜昌市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年湖北省宜昌市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，则A∩B=()A. (−∞,1)B. (−2,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞)2.若复数z满足(1+2i)z=(1−i)，则|z|=()A. 25B. 35C. √105D. √103.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a4.执行如图所示的程序框图，输出的T为()A. 0B. 1C. √3D. 1+√35.设函数f(x)=√22sin2x+√22cos2x，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为2πB. f(x)的图形关于直线x=π8对称C. f(x)的一个零点为x=−π8D. f(x)在区间(0,π4)上单调递减6.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=4，a6=14，则S6=()A. −634B. 634C. ±634D. 6387.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A. 35B. 34C. 12D. 3108.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”则重()A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤9.如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为()A. 64B. 72C. 84D. 9610.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是()A. (√5−2):√5B. 2:√5C. √5:(1+√5)D. 1:2√511.某几何体的三视图如图所示，图中三角形均是边长为2的正三角形，几何体表面上的点M对应正视图中的点A，几何体表面上的点N对应侧视图中的点B，则几何体中线段MN的长度为A. 1B. 2C. √2D. 2√212.设函数f(x)=lnxx，若关于x的不等式f(x)>ax有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为()A. (ln39,ln24] B. [ln39,ln24) C. (ln24,12e] D. [ln24,12e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ 则x=______．14.已知数据x，y的取值如表：x12345y13.2m14.215.416.4从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线ŷ=0.8x+â上，则m的取值为______ ．15.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB且AB=7，AD=3，CD=4，DE=3，若沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，则四棱锥D−ABCE的外接球的体积为______ ．16.已知双曲线x2−y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直3线PF1的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2B=A+C，a+√2b=2c，求sin C．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．20.为了调查民众对“新农村建设”政策的态度，现随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=xln x．(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)=f(x)−a(x−1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)解不等式f(x)−f(2x+4)<2；(2)若f(x)+f(x+3)≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题． 根据题意，求出集合A 、B ，由交集的定义计算可得答案． 解：根据题意，A ={x|x 2−5x +6>0}={x|x >3或x <2}， B ={x|x −1<0}={x|x <1}， 则A ∩B ={x|x <1}=(−∞,1)； 故选A ．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属基础题． 解：由已知得z =1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i 5=−15−35i ，所以|z |=√(−15)2+(−35)2=√105．故选C ．3.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．4.答案：B解析：本题考查了利用程序框图计算三角函数值求和的应用问题，是基础题．由题意知该程序的功能是计算并输出T=1+tanπ3+tan2π3+tan3π3+⋯+tan2018π3的值，根据正切函数的周期性以及特殊角的三角函数值即可求出T的值．解：根据题目中程序框图的运行情况知，该程序的功能是计算并输出T=1+tanπ3+tan2π3+tan3π3+⋯+tan2018π3，T=1+√3−√3+0+⋯+(−√3)=1．故选：B．5.答案：D解析：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：原函数，A.函数的最小正周期为T=2πω=π，f(x)的一个周期为2π，故A正确，B.当时，是最值，所以f(x)的图形关于直线x= π 8对称，故B正确，C.当时，，则f(x)的一个零点为x=− π 8，故C正确，D.当时，，此时函数f(x)不是单调函数，故D不正确．故选D．6.答案：B解析：本题考查等比数列的求和公式，等比数列的通项公式，先由q4=a6a2=116解得q，再求得a1=a2q=8，运用等比数列的求和公式可得S6.解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a2=4，a6=14，所以q4=a6a2=116，即q2=14.因为a n>0，所以q =12.于是a 1=a 2q=8，所以S 6=a 1(1−q 6)1−q=8×(1−126)1−12=634．故选B ．7.答案：C解析：解：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”， 依题意知P(A)=35， P(AB)=35×24=310，∴在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)=31035=12．故选C在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，需要做出第一次取到白球的概率和两次都取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．8.答案：D解析：本题考查了数列的应用，等差数列中项的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由每一尺的重量构成等差数列{a n }，a 1=4，a 5=2，由性质可得2a 3=a 1+a 5=6，解得a 3，又a 2+a 3+a 4=3a 3，即可求出结果．解：由题意，将每一尺的重量构成等差数列{a n }，且a 1=4，a 5=2， ∴2a 3=a 1+a 5=6，即a 3=3， ∴a 2+a 3+a 4=3a 3=9， 即中间三尺共重9斤． 故选D ．9.答案：B解析：本题考查了两个计数原理的实际应用，区域涂色问题注意分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色与A、C同色两大类．解：分两种情况：(1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4×3×2=24种；(2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B、D各有2种，有4×3×2×2=48种．共有24+48=72种，故选：B．10.答案：C解析：本题考查抛物线方程及抛物线的性质，关键是直线斜率及线段之间关系的综合应用，属较难题．先求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−2.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，Rt△MPN中，根据tan∠NMP=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=(√5+1)|PM|，则可得到结果.解：∵抛物线C：y2=4x，∴焦点为F:(1,0)，∵点A:(0,2)，∴抛物线的准线l 方程为：x=1，∴直线AF的斜率为k=−2，过M作MP⊥l，垂足为P，∴|FM|=|PM|，∵RtΔMNP中，tan∠NMP=|k|=2，∴|PN|=2，|PM|∴可得|PN|=2|PM|，∴得|MN|√|PN|2+|PM|2=√5|PM|，∵|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=(√5+1)|PM|，∴|MN|：|FN|=√5:(1+√5)．故选C．11.答案：C解析：本题考查由三视图还原几何体，是基础题．三视图还原的几何体是圆锥，根据所给的数据直接计算即可．三视图还原几何体是圆锥，M、N位置如图：底面半径是1，∴OM=1，ON=1，且OM⊥ON∴MN=√2，故选C．12.答案：B解析：本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题．根据不等式f(x)>ax.分离参数，数形结合即可求解．只有一个整数解，解：∵f(x)>ax只有一个整数解，即a<lnxx2令g(x)=lnx，则g(x)的图象在直线y=a的上方只有一个整数解．x2作出g(x)的图象，由图象可知a的取值范围为g(3)≤a<g(2)即ln39≤a<ln24，故选：B．13.答案：2解析：解：向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ ，则2(x−5)+3x=0，解得x=2，故答案为：2．根据两个向量垂直的坐标表示建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两个向量互相垂直，求参数x的值．着重考查了向量垂直的坐标表示的知识，属于基础题．14.答案：13.8解析：本题考查数据的回归直线方程，属于基础题.第四组数据在回归直线y^=0.8x+a^上，可得15.4= 0.8×4+a∧，求出a∧=12.2，求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程，求出m的值．解：第四组数据在回归直线y^=0.8x+a^上，可得15.4=0.8×4+a∧，∴a∧=12.2，∵x=3，y=59.2+m5，∴代入得59.2+m5=2.4+12.2，解得m=13.8．故答案为13.8．15.答案：125√23π解析：本题考查四棱锥D −ABCE 的外接球的体积，确定四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心是关键，属于中档题．利用平面ADE ⊥平面ABCE 且△ADE 为直角三角形，可得四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心，由正弦定理得四边形ABCE 的外接圆的直径，即可求出四棱锥D −ABCE 的外接球的体积．解：因为平面ADE ⊥平面ABCE 且△ADE 为直角三角形，所以四边形ABCE 的外接圆的圆心即为四棱锥D −ABCE 的外接球的球心， 在△ABC 中，AB =7，BC =3√2，AC =5，∠ABC =π4，由正弦定理得四边形ABCE 的外接圆的直径为ACsin∠ABC =5sin∠ABC =5√2， 即得四棱锥D −ABCE 的外接球的半径为5√22，所以其体积为125√23π． 故答案为：125√23π． 16.答案：47解析：解：∵F 1、F 2分别为双曲线x 23−y 2=1的左、右焦点，∴F 1(−2,0)，F 2(2,0)；又点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，∴点P 的横坐标为2，纵坐标y 0=±√43−1=±√33． ∴P(2,±√33). ∴直线PF 1的方程为：√3x ±12y +2√3=0． ∴F 2到直线PF 1的距离d =√3×2±12×0+2√3|7√3=47．故答案为：47．依题意，可求得点P 的坐标，继而可求得直线PF 1的方程，利用点到直线间的距离公式即可求得答案． 本题考查双曲线的简单性质，考查直线的方程的确定与点到直线间的距离，求得直线PF 1的方程是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．17.答案：解：△ABC 中，∵2B =A +C ，∴B =π3，A +C =2π3．∵a +√2b =2c ，故由正弦定理可得sinA =2sinC −√2sinB =2sin(2π3−A)−√2⋅√32， 即sinA =2×√32cosA −2×(−12)sinA −√62，求得cosA =√22，∴A =π4，∴C =2π3−A =5π12，∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√6+√24．解析：△ABC 中，由条件求得B =π3，A +C =2π3.由a +√2b =2c ，利用正弦定理化简求得cosA =√22，可得A =π4，从而求得C =2π3−A 的值，从而求得sin C 的值．本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， 又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)， 又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)， 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0， 取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)， 又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量，∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t9+18t 2,y 1y 2=−169+18t 2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2 =(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t2−4t 3⋅12t 9+18t2+169=0，所以．因为线段AB 的中点为M ，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题． (Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b =1解得a =√2，故椭圆C 的方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y 1+y 2=12t9+18t 2，y 1y 2=−169+18t 2，可证CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．20.答案：解：(1)2×2列联表如下：K 2=100×(40×20−20×20)260×40×40×60≈2.778<3.841，所以没有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．(2)由题意知X 所有可能的取值为0，1，2，3，4.且观众支持“新农村建设”的概率为60100=35， 因此随机变量X ～B(4,35)，P(X =0)=C 40(25)4=16625，P(X =1)=C 41×35×(25)3=96625，P(X =2)=C 42×(35)2×(25)2=216625，P(X =3)=C 43×(35)3×25=216625， P(X =4)=C 44×(35)4=81625．所以随机变量X 的分布列为：所以X 的期望为E(X)=4×35=125．解析：本题主要考查了独立性检验，二项分布等知识，考查分析数据，分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)将调查表中的数据整理后填入2×2列联表，计算K 2，查表判断即可．(2)确定随机变量X 的所有可能的取值，又随机变量X ～B(4,35)，列出X 的分布列，求其期望即可．21.答案：解：(1)f′(x)=ln x +1，x >0，由f′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,1e )，f′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)，f′(x)>0，所以f (x)在区间(0,1e )上单调递减，在区间(1e ,+∞)上单调递增， 所以x =1e 是函数f (x)的极小值点，极大值点不存在; (2)g(x)=xln x −a(x −1)，则g′(x)=ln x +1−a ，由g′(x)=0，得x =e a−1， 当x ∈(0,e a−1)，g′(x)<0，当x ∈(e a−1,+∞)，g′(x)>0，所以在区间(0,e a−1)上，g(x)为单调递减，在区间(e a−1,+∞)上，g(x)为单调递增， 当e a−1≤1，即a ≤1时，在区间[1,e]上，g(x)为增函数， 所以g(x)的最小值为g(1)=0，当1<e a−1<e ，即1<a <2时，g(x)在区间[1,e a−1]上为减函数， 在区间[e a−1,e]上为增函数，所以g(x)的最小值为g(e a−1)=a −e a−1， 当e a−1≥e ，即a ≥2时，在区间[1,e]上，g(x)为减函数， 所以g(x)的最小值为g(e)=a +e −ae ， 综上，当a ≤1时，g(x)的最小值为0； 当1<a <2时，g(x)的最小值为a −e a−1； 当a ≥2时，g(x)的最小值为a +e −ae ．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究闭区间上函数的最值． (1)先对f (x )求导，由f′(x)=0，得x =1e ，求得f (x)在区间的单调性，从而得出函数f (x )极值点; (2)对g(x)求导，由g′(x)=0，得x =e a−1，求函数g(x)在区间[1,e]上的增减性，最后分类讨论，当a ≤1时，当1<a <2时，当a ≥2时，g(x)的最小值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知不等式f(x)−f(2x +4)<2，即|x −2|−|2x +2|<2， 等价于{x <−1−x +2+2x +2<2, 或{−1≤x ≤2−x +2−2x −2<2, 或{x >2x −2−2x −2<2； 解得x <−2或−23<x ≤2或x >2， ∴原不等式的解集为(−∞,−2)∪(−23,+∞)；(2)由题知f(x)+f(x +3)=|x −2|+|x +1|≥|(x −2)−(x +1)|=3， ∴f(x)+f(x +3)的最小值为3，∴m2+2m≤3，解得−3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[−3,1]．解析：本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．(1)利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f(x)−f(2x+4)<2的解集；(2)由绝对值不等式的意义求出f(x)+f(x+3)的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．。
2020年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={−1,−2,1，2}，则满足{−1,−2}⊆Q⊆P的集合Q的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i是虚数单位，则2−ii=()A. 1+2iB. 1−2iC. −1−2iD. −1+2i3.某公司有包括甲、乙在内的4名员工参加2018年上海进博会的服务，这4名员工中2人被分配到食品展区，另2人被分配到汽车展区，若分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一展区的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 124.函数f(x)=ln(x2+4)−e x−1的图象大致是()A. B. C. D.5.若a<0，(x−2y)(ax+y)5展开式中，x4y2的系数为−20，则a的值为()A. −1B. −32C. −2 D. −526.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值()A. 12B. √63C. √147D. √1057.设ω>0，函数f(x)=sinωxcosωx在区间[−π6,π3]单调递增，则ω的最大值为()A. 32B. 54C. 43D. 348. 若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)分别表示向量a ⃗ 与b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=( )．A. √26B. 25C. 2√2D. 269. 若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，则ω= ( )A. 14B. 13C. 12D. √3210. 下列命题为真命题的是( )①1nπ>√π1n2②π>e√πe ③sin3<sin4④sin1>32sin 12A. ①④B. ②④C. ②③D. ①②④11. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −612. 若f(x)=e x −ax 2+(a −e)x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A. (0,+∞)B. (0,e)C. [1,e)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 14. 若等比数列{a n }满足a n a n+1=9n ，则此等比数列的公比为______ ．15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点B(0,b)，且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线C 的离心率为______．16. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为等腰直角三角形，AB =BC =2，AA 1=1，若E 、F 、D别是棱AB 、CB 、A 1C 1的中点，则下列四个命题： ①B 1E ⊥FD ；②三棱锥A −BCC 1的外接球的表面积为9π； ③三棱锥B 1−DEF 的体积为13； ④直线C 1E 与平面ABC 所成角为π3其中正确的命题有__________.(把所有正确命题的序号填上)三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a2=3，若a1，a3−a1，a8+a1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=4，数列{b n}的前n项和S n，证明：S n<1．a n+1218.如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，点E为AD的中点，若BE=PE.(1)求证：PB⊥BC；(2)若∠PEB=120∘，求二面角A−PB−C的余弦值．19.如图：A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，点F(c,0)为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为12c，且椭圆过点(2√3,1)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数λ，使得λk1=k+12成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．20.编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．21.已知a≥0，函数f(x)=lnx−ax2+x．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)≤xe x−ax2−1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查列举法的定义，子集的定义，属于基础题．根据条件可知，集合Q必须含有元素−1，−2，可能含有1，2，从而得出集合Q的可能情况为：{−1,−2}，{−1,−2,1}，{−1,−2,2}，{−1,−2,1，2}，共4个．解：∵P={−1,−2,1，2}，且{−1,−2}⊆Q⊆P；∴满足条件的集合Q可为：{−1,−2}，{−1,−2,1}，{−1,−2,2}，{−1,−2,1，2}，共4个．故选：D．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题．利用复数的除法运算即可解答．解：2−ii =(2−i)(−i)i×(−i)=−1−2i．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查了古典概型的计算与应用，解答本题的关键在于求出基本事件总数与事件A的数量，再求出其概率即可．解：甲、乙分配到同一展区有2个可能，同在食品展区与同在汽车展区；事件总数：C42·C22=6．P(A)=26=13．故选C．4.答案：A解析：解：函数的定义域为(−∞,+∞)，排除B，f(0)=ln4−1e>0.排除C，当x→+∞，f(x)→0，排除D，故选：A．结合函数的定义域，f(0)的符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，特殊值的符号以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．5.答案：A解析：本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．根据(x−2y)(ax+y)5展开式中x4y2的系数列方程，把A、B、C、D中的数值代入验证可得a的值．解：(x−2y)(ax+y)5展开式中，x4y2的系数为xC52(ax)3y2−2yC51(ax)4y=10a3(1−a)x4y2，则10a3(1−a)=−20，分别把A、B、C、D中的数值代入验证得a=−1满足方程．故选A．6.答案：C解析：本题考查空间几何体的三视图，考查线面角，属于基础题．解题方法是通过三视图还原空间几何体的形状，从而求解．解：由题意，可还原该三棱锥的形状，如图所示：CD⊥平面ABD，E是BD中点，AE⊥平面BCD．且AE=√2，BE=ED=1，CD=2，AB=AD=√3，EC=√5，AC=√7．则∠ABD为AB与平面BCD所成的角，sin∠ABD=AEAB =√2√3=√63．∠ADB为AD与平面BCD所成的角，sin∠ADB=AEAD =√2√3=√63．∠ACE为AC与平面BCD所成的角，sin∠ACE=AEAC =√2√7=√147．因为√63>√147．故侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为√147．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得ω的最大值．解：∵函数f(x)=sin ωxcos ωx=12sin2ωx(ω>0)在区间[−π6,π3]内单调递增，，且，∴0<ω≤34，故选D．8.答案：A解析：根据向量的坐标运算得出a ⃗ +b ⃗ =(−1,5)，利用向量的模的公式求解即可． 本题考查了向量的坐标运算，属于基础题，计算准确即可． 解：∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)分别表示向量a ⃗ 与b ⃗ ， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1,5)，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√1+25=√26， 故选：A ．9.答案：C解析：根据已知判断出ωx ≤π6，再根据已知得到ωx ∈[0,ωπ3]，结合不等式的性质可以得ωπ3=π6，结果可求． 解：∵函数f(x)在区间上的最大值为1，∴sinωx ≤12，∴ωx ≤π6，∵x ∈[0,π3]，∴ωx ∈[0,ωπ3]，∴ωπ3=π6， ∴ω=12． 故选C ．10.答案：B解析：解：(1)令f(x)=lnx −√x ⋅ln2，则f′(x)=1x 2√x=2−√xln22x，∴当0<x <4时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4)上单调递增，∴f(π)<f(4)，即lnπ−√πln2<0，故lnπ<√πln2，故①错误； (2)令f(x)=lnx −√xe ，则f′(x)=1x −2√ex=√e−√x2√ex，∴当0<x <4e 时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4e)上单调递增，∴f(π)>f(e)，即lnπ−√πe >0，即lnπ>√πe ，故π>e √πe ，故②正确；(3)令f(x)=sinx ，则f(x)在(π2,3π2)上单调递减，又π2<3<4<3π2，∴sin3>sin4，故③错误；(4)sin1−32sin 12=sin 12(2cos 12−32)，∵y =cosx 在(0,π2)上是减函数， ∴cos 12>cos π6=√32>34，∴2cos 12−32>0，又sin 12>0，∴sin1−32sin 12>0，即sin1>32sin 12，故④正确． 故选：B ．构造函数f(x)=lnx −√xln2，根据函数单调性判断①，构造函数f(x)=lnx −√xe ，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④． 本题考查了函数单调性的应用，根据要比较的式子构造函数是解题的关键所在，属于中档题．11.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．12.答案：A解析：本题考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题．解：函数f(x)=e x−ax2+(a−e)x，可得f(1)=e−a+a−e=0，即有x=1为f(x)的一个零点，则e x−ax2+(a−e)x=0，即为a=e x−exx2−x有两个不同的实数根．设g(x)=e x−exx2−x，由y=e x−ex的导数为y′=e x−e，当x>1时，y′>0，y=e x−ex递增；当x<1时，y′<0，y=e x−ex递减．即有x=1处，y=e x−ex取得最小值，且为0，即e x−ex≥0，当x<0时，x2−x>0，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0．由g(x)的导数为g′(x)=x 2e x−3xe x+ex2(x2−x)2，可设ℎ(x)=x2e x−3xe x+e x+ex2，显然当x<0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)递增；又ℎ(x)=xe x(x+1x −3+exe)，再令m(x)=x+1x −3+exe x，m′(x)=1−1x2+e(1−x)e x=(x−1)(1x2+e x−exxe x)，即0<x<1时，m(x)递减；x>1时，m(x)递增．则m(x)>m(1)=0，ℎ(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，即有g′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，则g(x)在(0,1)，(1,+∞)递增，画出函数y=g(x)的图象，可得a>0时，函数y=g(x)的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a>0时，f(x)=e x−ax2+(a−e)x有三个不同的零点．故选A．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：3解析：解：当n =1时，可得a 1a 2=9，当n =2时，a 2a 3=81，相除可得a3a 1=q 2=9，q =±3．当q =−3时，由等比数列的定义可得a 1a 2<0，故舍去． ∴公比q =3， 故答案为：3．令n =1，得到第1项与第2项的积为9，记作①，令n =2，得到第2项与第3项的积为81，记作②，然后利用②÷①，求出q 的值，然后把q 的值代入经过检验得到满足题意的q 的值即可． 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．15.答案：√5+12解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：由题意可得A(−a,0)，F(c,0)，B(0,b)， 可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−b)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−b)， 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−ac +b 2=0， 即有b 2=c 2−a 2=ac ， 由e =ca ，可得e 2−e −1=0， 解得e =1+√52(负的舍去)． 故答案为：√5+12．16.答案：①②③解析：本题考查空间线面位置关系和线面角的求法，考查三棱锥的体积和外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．运用勾股定理和线面垂直的性质可得三棱锥B1−DEF为正四面体，由对棱相互垂直可判断①；由三棱锥的体积公式计算可判断③；连接CE，可得∠C1EC为直线C1E与平面ABC所成角，计算可判断④；取AC的中点O，设O′为三棱锥A−BCC1的外接球的球心，连接OC，OC1，运用勾股定理和求得半径，计算可得球的表面积，可判断②．解：根据题意画出如图所示的直三棱柱ABC−A1B1C1：其中，底面为等腰直角三角形，AB=BC=2，AA1=1，E、F、D别是棱AB、CB、A1C1的中点．对于①，取A1B1中点G，连接EG，BG交B1E于点O，连接DG．∵E为AB中点，AB=2，AA1=1，∴四边形BEGB1为正方形，则BG⊥B1E．B1C1．在△A1B1C1中，D，G分别为A1B1，A1C1的中点，则DG//B1C1，且DG=12∵F为BC的中点，且BC//B1C1，∴BF//DG且BF=DG，∴四边形DFBG为平行四边形，∴DF//BG，∴B1E⊥FD，故正确；对于②，易得BC1=√5，则AB2+BC12=4+5=9．∵AC12=AC2+CC12=8+1=9，∴AB2+BC12=AC12，即∠ABC1=π2，∵∠ACC1=π2，∴三棱锥A−BCC1的外接球的球心在线段AC1的中点处，则外接球的半径为32，∴三棱锥A−BCC1的外接球的表面积为4π×(32)2=9π，故正确；对于③，易得B1D=√2，EF=√2．在中，DG=12B1C1=1，EG=AA1=1，DE=√DG2+GE2=√2，同理可得DF=√2，则三棱锥B1−DEF为正四面体，其体积为V=13×12×√2×√2×√32×√63×√2=13，故正确；对于④，直线C1E在平面ABC上的投影为直线CE，则∠CEC1为直线C1E与平面ABC所成的角，在中，tan∠CEC1=CC1CE =√BC2+BE2=√55≠√3，故不正确．故答案为①②③．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d>0)，因为a2=3，若a1，a3−a1，a8+a1成等比数列，可得{a1+d=3a1(2a1+7d)=(2d)2 d>0,解得a1=1,d=2，所以通项公式为a n=1+(n−1)×2=2n−1．(2)证明：由(1)知a n+1=2n+1，所以b n=44n2+4n+1<1n(n+1)=1n−1n+1，所以S n<1−1n+1<1．解析：本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、裂项相消数列求和，考查数列与不等式相结合，属于中档题．(1)由已知可得a 1=1,d =2，故可得通项公式为a n =1+(n −1)×2=2n −1； (2)借助(1)的结论可得b n <1n −1n+1，故可得S n <1−1n+1<1．18.答案：略解析：(1)证明：由BE =PE ，AB =PA ，AE =AE ，得ΔAEP ≅ΔAEB ，从而∠EAB =60∘，且AD ⊥BE ，又∵AD ⊥PE ，∴AD ⊥平面PBE ，而PB ⊂平面PBE ，得AD ⊥PB ，又∵AD//BC ，∴PB ⊥BC.(2)如图，作PO ⊥平面ABCD ，PA =PD ，所以OA =OD ，则OE ⊥AD ，即O,E,B 三点共线，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，x 轴平行于DA ，∠PEB =120∘，则∠PEO =600，设AB =2，则PE =BE =√3，OE =√32,PO =32，P(0,0,32),B(0,3√32,0)，PB 的中点G(0,3√34,34)，连结AG ，又知A(1,√32,0),C(−2,3√32,0)，由此得到：GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√34,−34)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√32,−32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，有GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ等于所求二面角的平面角，∴cosθ=GA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |GA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√77.所以二面角A −PB −C 的余弦值为−2√77． 19.答案：解：(Ⅰ)由题意，得C(0,b)，∴直线CF 的方程为y =−bc x +b ，即bx +cy −bc =0， 又原点O 到CF 的距离为12c ， ∴√b 2+c2=12c ，由b 2+c 2=a 2整理，得a =2b ， 又椭圆过点(2√3,1)，∴124b 2+1b 2=1， 解得a 2=16，b 2=4， ∴椭圆方程为x 216+y 24=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知B(−4,0)，C(0,2)， 故直线BC 的方程为y =12x +2，∵直线AP 的斜率为k ，点A(4,0)，∴直线AP 的方程为：y =k(x −4)，联立{y =k(x −4)x 216+y 24=1，得(4k 2+1)x 2−32k 2x +64k 2−16=0，又点P(x P ,y p )在椭圆上，故有：4⋅x P =64k 2−164k 2+1，∴x P =16k 2−44k 2+1，y p =k(16k 2−44k 2+1−4)=−8k4k 2+1，∴P(16k 2−44k 2+1,−8k4k 2+1)， 故直线CP 的方程为y =2+8k 4k 2+10−16k 2−44k 2+1x +2，即y =1+2k2(1−2k)x +2，又点E 为直线CP 与x 轴交点，令y =0得x =8k−42k+1， ∴E(8k−42k+1,0)，将直线BC 与直线AP 联立，得：{y =12x +2y =k(x −4)，解得{x =8k+42k−1y =8k 2k−1，∴D(8k+42k−1,8k 2k−1)， 故直线DE 的斜率为： k 1=8k2k−1−08k+42k−1−8k−42k+1=2k(2k+1)8k=14(2k +1)=12(k +12)，∴2k 1=k +12， ∴λ=2．解析：(Ⅰ)推导出直线CF 的方程为bx +cy −bc =0，由原点O 到CF 的距离为12c ，椭圆过点(2√3,1)，求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．(Ⅱ)求出直线BC 的方程为y =12x +2，直线AP 的方程为：y =k(x −4)，代入椭圆方程，得(4k 2+1)x 2−32k 2x +64k 2−16=0，求出直线CP 的方程为y =1+2k2(1−2k)x +2，从而得到E(8k−42k+1,0)，将直线BC 与直线AP 联立，得D(8k+42k−1,8k2k−1)，由此能求出λ．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20.答案：解：ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ=0)=2A 33=13；ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ=1)=C 31A 33=12；ξ=3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ=3)=1A 33=16．所以ξ的分布列为E(ξ)=0×13+1×12+3×16=1．D(ξ)=13×(0−1)2+12×(1−1)2+16×(3−1)2=1．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算问题，是中档题．由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出概率分布列；利用期望公式和方差公式计算即可．21.答案：解：(1)由f(x)=lnx −ax 2+x ，得：f′(x)=−2ax 2+x+1x，x >0，当a =0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)=0，则−2ax 2+x +1=0，得x 1=1−√8a+14a，x 2=1+√8a+14a，∵x 1x 2=−12a<0，∴x 1<0<x 2，∴令f′(x)>0得x ∈(0,x 2)，令f′(x)<0得x ∈(x 2,+∞)， ∴f(x)在(0,1+√8a+14a)上单调递增，在(1+√8a+14a,+∞)上单调递减．综上，a =0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，f(x)在(0,1+√8a+14a)上单调递增，在(1+√8a+14a,+∞)上单调递减．(2)要证f(x)≤xe x −ax 2−1，即证lnx −ax 2+x ≤xe x −ax 2−1，即证xe x ≥lnx +x +1， 即证e lnx e x ≥lnx +x +1，即证e lnx+x ≥lnx +x +1， 令t =x +lnx ，即证e t ≥t +1，令g(t)=e t −(t +1)，则g′(t)=e t −1，易知g(t)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增， ∴g(t)≥g(t)min =g(0)=0，∴e t ≥t +1， 故f(x)≤xe x −ax 2−1．解析：【试题解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明e lnx e x ≥lnx +x +1，令t =x +lnx ，即证e t ≥t +1，令g(t)=e t −(t +1)，结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=1，当且仅当a=b=c=13时取等号，即a2+b2+c2≥13；所以f(a)+f(b)+f(c)=(a2+b2+c2)−(a+b+c)+3≥13−1+2=73，即f(a)+f(b)+f(c)的最小值为73．证明：(Ⅱ)因为|x−a|<1，所以|f(x)−f(a)|=|(x2−a2)−(x−a)|=|x−a|⋅|x+a−1|<|x+a−1|=|(x−a)+(2a−1)|⩽|x−a|+|2a−1|<1+(2|a|+1)=2(|a|+1)故结论成立．解析：(Ⅰ)利用柯西不等式进行证明；(Ⅱ)利用绝对值不等式的性质进行证明．。
湖北省襄樊市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析
湖北省襄樊市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为（ ）．AB．CD【答案】A【解析】【分析】直线l 的方程为b x y c a =-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =u u u r u u u r 得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线l 的方程为b x y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =- 将x by c =-代入双曲线方程2221y x b -=中，得到()4234120b y b cy b +--= 设()()1122,,,A x y B x y 则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =u u u r u u u r ，可得122y y =-，故32442242121b c y b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则c ==所以双曲线离心率c e a == 故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.2．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】 本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.3．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358【答案】D【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.4．已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2 【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D【解析】【分析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π2323V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯⨯=163,故该几何体的体积1243π1633V V V =+=+. 故选:D. 【点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.6．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．【点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 7．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解. 【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D. 【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B【解析】【分析】分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：222312A A=；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有122322=12C A A，可能都在A、E的右侧，排列方法有2222=4A A；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧11222222=16C C A A；所以不同的执行方案共有121241644+++=种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．9．设2,(10)()[(6)],(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f=( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】∵f（x）()()()210610x xf f x x⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜，∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．10．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径为5,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．223【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111B A C E -,所以该几何体的体积为：11111111122222221323B AC E ABCD A B C D V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 故选：D【点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.12．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】 画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省襄阳五中、夷陵中学2020届高三4月线上联合考试数学(理科)答案
7．【答案】A【解析】因为 y cos 2x
3 sin 2x sin(2x ) ，由 2k
-
2x
2k
，解
6
2
6
2
得 k
-
x k
，所以当 k 0 时，增区间为 [0,
] ，选 A.
3
6
6
8.答案D解析：OA
a, OB
b , OC
c,由题意 a
b
3,
a
b
3
,
2
得
cos
2
2
变形得 m sin m m 2 n sin n n 2即 f (m ) f (n) f ( m ) f ( n ) m n
2
2
1
11 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 图 中 点 A(2,0), B( 2 ,0),C(0,2) ， 故 阴 影 部 分 的 面 积 为
k
1 ( 2 2) 2 42 ，解之得 k
10
10
4.答案 C
5.答案
D【解析】：∵（x+1）5（ax+1）的展开式中
x3
的系数是
C52
a
C53
4
a
7 5
，
6．【答案】B【解析】由三视图知圆锥底面半径为 r 32 (6 3 )2 6 ，圆锥的高 h (3 5)2 32 6 ，圆锥
2
母线 l 62 62 6 2 ， sin h 2 故选 B. l2
6
, 3
, 得
3
x
6
, 根据题意知 3
- 2
则
-
3 ； 2
3或
-
3 2
10 .答案 B解析：设 f ( x) x sin x x 2 , 则它为偶函数， f ( x) sin x x cos x 2 x,当 x 0,1时,
2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校高考数学适应性试卷(理科)(6月份)-解析版
2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校高考数学适应性试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =1−i1+i +2i ，则|z|=( )A. 0B. 12C. 1D. √22. 已知集合A ={x|x 2<2},B ={x|x−2x+1≤0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−√2)∪[−1，+∞)B. (−1,√2)C. [−1,√2)D. (√2,2]3. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是( )A. 若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥αB. 若a//b ，b ⊂a ，则a//αC. 若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//bD. 若a ⊂β，b ⊂β，a//α，b//a ，则β//α 4. 给出下列结论：在回归分析中(1)可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； (2)可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； (3)可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； (4)可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，不正确的是( )A. (1)(3)B. (2)(3)C. (1)(4)D. (3)(4)5. 已知a =ln0.5，b =e ，c 满足1e c =lnc ，则实数a ，b ，c 满足( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b6. 在(3x +1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64：1，则展开式中常数项为( ) A. 540 B. 480 C. 320 D. 1607. 设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和．若a 2=1，a 10=16且a 6=b 6，则S 11=( ) A. 20 B. 30 C. 44 D. 88 8. 已知实数x ，y 满足{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3.，若z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，则实数a 的取值范围为( )A. [−1,1]B. [−1,2]C. [2,3]D. [−1,3]9. 已知P 是双曲线E ：y 24−x 2m =1上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|+|k 2|的最小值为1，则实数m 的值为( ) A. 16 B. 2 C. 1或16 D. 2或810. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)，将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，则g(x2+π12)=√33是f(x)=13的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的N 95口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的分法种数是( ) A. 21 B. 24 C. 27 D. 3012. 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a =1，bcosA −cosB =1，若A ，B 变化时，sinB −2λsin 2A 存在最大值，则正数λ的取值范围是( )A. (0,√33)B. (0,12)C. (√33,√22)D. (12,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={2−x −1,x ≤0log 2x,x >0，则f(f(12))=______．14. 学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”.评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．15. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A(1,0)，直线FA 与抛物线C 在第一象限内交于点P ，直线FA 与抛物线C 的准线l 交于点Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 到y 轴的距离为______．16. 已知半径为√7的球面上有三点A 、B 、C ，AB =2√3，球心为O ，二面角C −AB −O 的大小为60°，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥O −ABC 的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=14，2a n −a n−1=a n ⋅a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，a n ≠0．(1)证明数列{1a n−1}(n ∈N ∗)为等比数列，求出{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，求证：对任意n ∈N ∗，T n <23．18. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，且BC =BB 1=√2，∠A 1AB =∠A 1AD =60°． (1)求证：BD ⊥CC 1；(2)若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．19. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗=613BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M(1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．20. 某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B.经调查得知，A 考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为13814.5,∑(42i=1y i −y −)2=5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i =1，2，…，42，y 与x 的相关系数r =0.82．(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0.试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由； (2)求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并估计如果B 考生加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)；(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N(μ,σ2).以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y −作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z 的数学期望．附：①回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中，b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n ，a ̂=y −b ̂x ， ②若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544．③√125=11.221. 已知函数f(x)=xsinx +cosx ，g(x)=cosx x．(1)判断函数f(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)设函数g(x)在区间(0,3π)上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，…，x n ，证明g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n )<0成立．22. 已知点A 为圆C ：(x −1)2+y 2=1上的动点，O 为坐标原点，过P(0,4)作直线OA的垂线(当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴)，垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=4，连接OA 并延长交l 于B ，求|OA||OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4−|2x−3|的解集；(2)若正数m、n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)≥8．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简后，然后求解复数的模．【解析】+2i，解：∵z=1−i1+i+2i=−i+2i=i，∴z=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)则|z|=1．故选C．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|−√2<x<√2},B={x|−1<x≤2}，∴A∩B=(−1,√2)．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：A.根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A 错误．B.根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．C.根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D.根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D错误．故选：C．A.利用线面垂直的定义和判定定理判断．B.利用线面平行的判定定理判断．C.利用面面平行的性质判断．D.利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用．4.【答案】B【解析】解：对于(1)，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果时，R2越大，模型的拟合效果越好，所以(1)正确；对于(2)，用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；所以(2)错误；(3)用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，不是r 越大，模型的拟合效果越好，所以(3)错误；(4)用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明综上知，不正确的命题序号是(2)(3)．故选：B．(1)在回归分析中，根据R2越大，模型的拟合效果就越好；(2)用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果就越好；(3)用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好；(4)用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．本题考查了回归分析模型的应用问题，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵ln0.5<ln1=0，∴a<0，∵√e>1，∴0<1√e<1，即0<b<1，函数y=(1e)x与函数y=lnx的图象，如图所示：，由图象可知，c>1，∴c>b>a，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：(3x+1x)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n2n=64，∴n=6，∴(3x+1x)n的展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅36−r⋅x6−2r．令6−2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项等于∁63⋅33=540．故选：A．根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 10=16，得q 8=a 10a 2=16，得q 2=2．∴a 6=a 2q 4=4，即a 6=b 6=4， 又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴S 11=(b 1+b 11)×112=11b 6=44．故选：C ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 10=16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题． 8.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =ax +y 得y =−ax +z ， ∵z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，∴当直线y =−ax +z 经过点B(3,9)时直线截距最大，当经过点A(3,−3)时，直线截距最小． 则直线y =−ax +z 的斜率−a 满足， −1≤−a ≤1， 即−1≤a ≤1， 故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，确定过B 点取得最大值，故A 点取得最小值，利用数形结合确定目标函数斜率的范围，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 9.【答案】A【解析】解：设P(x,y)，M(s,t)，则N(−s,−t)，所以{y 24−x 2m =1t 24−s 2m =1两式相减可得：y 2−t 24=x 2−s 2m， 所以y 2−t 2x 2−s 2=4m ，所以k 1k 2=y−tx−s ⋅y+tx+s =y 2−t 2x 2−s 2=4m ，在双曲线的方程中，m >0，所以|k 1|+|k 2|≥2√|k 1|⋅|k 2|=2√4m =√m，由题意可得4√m =1，解得m =16，y2−t2 x2−s2=4m，求出PM，PN的斜率之积恰好为4m，由均值不等式可得|k1|+|k2|的最小值，再由椭圆可得m的值．本题考查双曲线的性质及均值不等式的应用，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象得到：A=1，3T4=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2．当x=π6时，2×π6+φ=kπ，解得φ=kπ−π3，由于|φ|<π2，所以φ=−π3．故g(x)=sin(2x−π3).把函数g(x)的图象向右平移3π4个单位得到f(x)=sin(2x−3π2−π3)=cos(2x−π3).所以g(x2+π12)=cos(x−π6)，当cos(x−π6)=√33时，解得cos(2x−π3)=2cos2(x−π6)−1=−13当f(x)=13，所以cos(2x−π3)=13，所以2cos2(x−π6)−1=13，所以cos(x−π6)=±√33．则g(x2+π12)=√33是f(x)=13的既不充分也不必要条件．故选：D．首先利用函数的图象求出函数g(x)的关系式，进一步求出函数f(x)的关系式，最后利用四个条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】C【解析】解：根据题意，假设N95口罩用a表示，普通医用口罩用b表示，分情况讨论如下：①5盒口罩分为a、a、3b的三组，有C31=3种分法，②5盒口罩分为2a、b、2b的三组，有A33=6种分法，③5盒口罩分为a+b、a+b、b的三组，有C31=3种分法，④5盒口罩分为2a+b、b、b的三组，有C31=3种分法，⑤5盒口罩分为a+2b、a、b的三组，有A33=6种分法，⑥5盒口罩分为a+b、a、2b的三组，有A33=6种分法，根据题意，假设N 95口罩用a 表示，普通医用口罩用b 表示，按口罩的不同分组方法分6种情况进行讨论，求出每种情况下的分配方法数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分类讨论，属于基础题． 12.【答案】A【解析】解：因为a =1，bcosA −cosB =1，由正弦定理得：sinBcosA −cosBsinA =sinA ，即：sin(B −A)=sinA ，故B −A =A ，或B −A +A =π(舍)，故B =2A ． 因为△ABC 为锐角三角形，所以{0<A <π20<2A <π2A +2A >π2，解得π6<A <π4．因为sinB −2λsin 2A =sin2A −λ(1−cos2A)=sin2A +λcos2A −λ=√1+λ2sin(2A +α)−λ，(tanα=λ)．因为π3<2A <π2，要使sinB −2λsin 2A 取得最大值，只需{α>0π3+α<π2，解得：0<α<π6． 所以tan0<λ<tan π6，即0<λ<√33．故选：A ．先利用正弦定理，由a =1，bcosA −cosB =1得：sin(B −A)=sinA ，从而得B =2A ，再结合△ABC 为锐角三角形，得到A 的范围，然后根据sinB −2λsin 2A 存在最大值，求出λ的范围即可．本题考查解三角形问题的基本思路，利用正弦定理得到A ，B 的关系是本题的突破口．属于中档题． 13.【答案】1【解析】解：∵12>0，∴f(12)=log 212=−1， ∵−1<0，∴f(−1)=2−(−1)−1=2−1=1． ∴f(f(12))=f(−1)=1．故答案为1．利用分段函数在不同的区间内的解析式不同即可求出其相应的函数值． 正确理解分段函数的意义是解题的关键． 14.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 【解答】解：若A 为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B ． 故答案为B ．【解析】解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,p2)，其准线方程为y =−p2， ∵A(1,0)，∴直线AF 的方程为y =−p2(x −1)， 由{y =−p2(x −1)y =−p2，解得x =2，y =−p2，则Q(2,−p2)，∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2−x P ,−p2−y p )=√2(x P ,y p −1)，∴2−x P =√2x P ， ∴x P =2√2−2．故点P 到y 轴距离为2√2−2．故答案为：2√2−2．先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：如图，球O 的半径OA =OB =√7，AB =2√3，要使直线OC 与平面OAB 所成角最大，则AC =BC ，取AB 中点D ，连接OD ，CD ，可得OD ⊥AB ，CD ⊥AB ， 则∠ODC =60°．在△OAB 中，由已知求得OD =2，过O 作OH ⊥CD ，则OH ⊥平面ABC ，可得DH =1，OH =√3．延长OH 交球于M ，N 两点，则NC 2=NH ⋅MN =(√7+√3)⋅2√7=14+2√21， 则CH =√14+2√21−(√7+√3)2=2，则DC =3． ∴三棱锥O −ABC 的体积为V =13×12×2√3×3×√3=3．故答案为：3．由题意画出图形，分析可知，当AC =BC 时，直线OC 与平面OAB 所成角最大，求解三角形得到O 到平面ABC 的距离，再由射影定理求解CH ，则三棱锥O −ABC 的体积可求．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由2a n −a n−1=a n ⋅a n−1，又a n ≠0，可得2a n−1−1a n =1，∴1a n−1=2(1a n−1−1)，∴数列{1a n−1}是首项为1a 1−1=3，公比为2的等比数列．∴1a n−1=3⋅2n−1, ∴a n =13×2n−1+1，n ∈N ∗．(2)a n =13×2n−1+1，∴T n =13+1+13×2+1+13×22+1+⋯+13×2n−1+1<13+13×2+13×22+⋯+13×2n−1=13[1+(12)1+(12)2+⋯+12n−1] =13⋅1−12n1−12=23(1−12n)<23．因此对任意n ∈N ∗，T n <23．【解析】本题考查了数列递推关系，等比数列的通项公式、求和公式，以及利用放缩法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)由2a n −a n−1=a n ⋅a n−1，可得2an−1−1a n=1，变形1a n−1=2(1an−1−1)，即可得出．(2)通过放缩，利用等比数列的求和公式即可证明结论． 18.【答案】解：(1)连接A 1B ，A 1D ，AC ，因为AB =AA 1=AD ，∠A 1AB =∠A 1AD =60°， 所以△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形， 于是A 1B =A 1D .设AC 与BD 的交点为O ，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 而A 1O ∩AC =O ，所以BD ⊥平面A 1AC ． 又AA 1⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥AA 1， 又CC 1//AA 1，所以BD ⊥CC 1．(2)由A 1B =A 1D =√2，及BD =√2AB =2，知A 1B ⊥A 1D ， 于是AO =A 1O =12BD =√22AA 1，从而A 1O ⊥AO ，结合A 1O ⊥BD ，AO ∩AC =O ，得A 1O ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、OA 1两两垂直． 如图，以点O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ， 则A(1,0，0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，A 1(0,0，1)，C(−1,0，0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，由DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，得D 1(−1,−1,1)．设D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1])，则(x E +1,y E +1,z E −1)=λ(−1,1，0)，即E(−λ−1,λ−1,1)，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−1,λ,1)． 设平面B 1BD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{y =0−x +z =0令x =1，得n⃗ =(1,0,1)， 设直线DE 与平面BDB 1所成角为θ，则sinθ=|cos <DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√2×√λ2+(−1−λ)2+1=√714， 解得λ=12或λ=−13(舍去)，所以当E 为D 1C 1的中点时，直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．【解析】(1)连接A 1B ，A 1D ，AC ，则△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形，设AC 与BD 的交点为O ，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ，由四边形ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ，从而BD ⊥平面A 1AC.进而BD ⊥AA 1，由此能证明BD ⊥CC 1．(2)推导出A 1B ⊥A 1D ，A 1O ⊥AO ，A 1O ⊥BD ，从而A 1O ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出当E 为D 1C 1的中点时，直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵A(−a ，0)，设直线方程为y =2(x +a)，B(x 1,y 1) 令x =0，则y =2a ，∴C(0,2a)，-------------------(1分) ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+a,y 1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,2a −y 1) ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =613BC ⃗⃗⃗⃗⃗∴x 1+a =613(−x 1),y 1=613(2a −y 1)，整理得x 1=−1319a,y 1=1219a ------------(2分)∵B 点在椭圆上，∴(1319)2+(1219)2⋅a 2b 2=1，∴b 2a 2=34，∴a 2−c 2a 2=34，即1−e 2=34，∴e =12-------------------(4分)(Ⅱ)∵b 2a 2=34，可设b 2=3t.a 2=4t ，∴椭圆的方程为3x 2+4y 2−12t =0由{3x 2+4y 2−12t =0y =kx +m 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12t =0-------------------(5分) ∵动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ∴△=0，即64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12t)=0整理得m 2=3t +4k 2t ------------------(8分) 设P(x 1,y 1)则有x 1=−8km2(3+4k 2)=−4km3+4k 2，y 1=kx 1+m =3m3+4k 2 ∴P(−4km3+4k 2,3m3+4k 2)又M(1,0)，Q(4,4k +m)若x 轴上存在一定点M(1,0)，使得PM ⊥QM ， ∴(1+4km3+4k 2,−3m3+4k 2)⋅(−3,−(4k +m))=0恒成立整理得3+4k 2=m 2，------------------(10分) ∴3+4k 2=3t +4k 2t 恒成立，故t =1 所求椭圆方程为x 24+y 23=1------------------(12分)【解析】(Ⅰ)设直线AB ：y =2(x +a)，A(−a,0)，C(0,2a)，利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =613BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出B 的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．(Ⅱ)设椭圆方程为3x 2+4y 2−12t =0，联立y =kx +m ，利用y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM ⊥QM 数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程． 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．20.【答案】解：(1)r 0<r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线．(2)由题中数据可得：x −=142∑x i 42i=1=110.5，y −=142∑y i 42i=1=74，所以∑(42i=1x i −x −)(y i −y −)=∑x i 42i=1y i −42x −y −=350350−42×110.5×74=6916．又因为∑(42i=1x i −x −)2=13814.5， 所以b ̂=∑(42i=1x i −x −)(y i −y −)∑(42i=1x i −x −)2=691613814.5≈0.50， â=y −b ̂x =74−691613814.5×110.5≈18.68．所以ŷ=0.50x +18.68． 将x =125代入，得ŷ=0.50×125+18.68=62.5+18.68≈81， 所以估计B 同学的物理成绩为81分; (3)y −=142∑y i 42i=1=74，s 2=142∑(42i=1y i −y −)2=142×5250=125，所以ξ～N(74,125)，又因为√125≈11.2，所以P(62.8<ξ<85.2)=P(74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826， 因为Z ～B(5000,0.6826)，所以E(Z)=5000×0.6826=3413，即该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数的数学期望为3413．【解析】本题主要考查回归直线方程，考查正态分布等相关知识，属于中档题． (1)结合散点图以及相关系数的概念，可得出结论．(2)根据题中所给数据写出回归直线方程，再令x =125，即可算出答案．(3)算出y −，s 2，得到ξ～N(74,125)，√125≈11.2，所以P(62.8<ξ<85.2)=P(74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826，因为Z ～B(5000,0.6826)，即可算出期望． 21.【答案】解：(1)f′(x)=sinx +xcosx −sinx =xcosx ，当x ∈(0,π2)时，f′(x)>0，函数单调递增，f(x)>f(0)=1，f(x)无零点； 当x ∈(π2,3π2)时，f′(x)<0，函数单调递减，f(12π)>0，f(3π2)=−3π2<0，故f(x)有唯一零点；当x ∈(3π2,52π)时，f′(x)>0，函数单调递增， 又f(3π2)=−3π2<0，f(52π)=52π>0，f(x)有唯一零点；当x ∈(5π2,3π)时，f′(x)<0，函数单调递减， 又f(52π)=52π，f(3π)=−1，f(x)有唯一零点； 综上所述f(x)在(0,3π)有3个零点； (2)(i)g′(x)=−xsinx+cosxx 2=−f(x)x 2，由(1)知g(x)在(0,12π)无极值点；在(12π,3π2)有极小值点，即为x 1，在(3π2,5π2)有极大值点即为x 2，在(5π2,3π)有极小值点x 3，又f(12π)=1>0，f(π)=−1<0，f(3π2)=−3π2<0，f(2π)=1>0，f(52π)=52π，f(3π)=−1，所以x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，x 3∈(5π2,3π)， 由x n sinx n +cosx n =0可得−sinx n =cosx n x n，即tanx n =−1x n，因为0<x 1<x 2，所以−1x 1<−1x 2，tan(x 1+π)=tanx 1<tanx 2，而x 1+π∈(3π2,2π)，x 2∈(3π2,2π)，故有x 1+π<x 2， 所以g(x 1)+g(x 2)=cosx 1x 1+cosx 2x 2=−sinx 1−sinx 2=sin(x 1+π)−sinx 2，因为y =sinx 在(3π2,2π)是增函数，sin(x 1+π)−sinx 2<0， 即证明g(x 1)+g(x 2)<0，因为x 3∈(5π2,3π)，所以g(x 3)=−sinx 3<0，所以g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x 3)<0．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，利用函数零点判定定理可求；(2)先对函数求导数，然后结合函数极值存在的条件，利用函数的性质可证． 本题主要考查了函数与导数性质的综合应用，属于中档试题．22.【答案】解：(1)设点M 的极坐标为(ρ,θ)，所以根据题意，在△OPM 中，有ρ=4sinθ， 所以点M 的极坐标方程为：ρ=4sinθ．(2)设射线OA ：θ=α，(α∈(−π2,π2))，圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． 由{ρ=2cosθθ=α得到|OA|=ρ1=2cosα．由{ρsin(θ+π3)=4θ=α得：|OB|=ρ2=4sin(α+π3)，所以|OA||OB|=2cosα4sin(α+π3)=12⋅cosα⋅sin(α+π3)=14sinαcosα+√34cos 2α=14sin(2α+π3)+√38．由于α∈(−π2,π2)， 所以−2π3<2α+π3<3π4，当2α+π3=π2，即α=π12， 故(|OA||OB|)max =2+√38．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)≤4−|2x −3|等价于{x <−1−(x +1)−(2x −3)≤4或{−1≤x ≤32x +1−(2x −3)≤4或{x >32x +1+2x −3≤4， 解得{x <−1x ≥−23或{−1≤x ≤32x ≥0或{x >32x ≤2， 综上，不等式的解集为{x|0≤x ≤2}；(2)证明：∵m >0，n >0，m +2n =mn ， ∴m +2n =12(m ⋅2n)≤12×(m+2n)24，∴m +2n ≥8，当且仅当m =4，n =2时取等号，∴f(m)+f(−2n)=|m +1|+|−2n +1|≥|m +2n|≥8，当且仅当−2n +1≤0时取等号，∴f(m)+f(−2n)≥8．【解析】(1)将所求不等式转化为不等式组求解即可；(2)利用基本不等式可知m +2n ≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式绝对值不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。
襄阳五中、夷陵中学2020届高三4月线上联考数学试卷(理科)答案
数，而 m(1) ln1 1 1 0 ，由 ln x1 x12 1 0 可得 m(x1) m(1) ，得1 x1 e2 ．
由a
2 x1
1 x1
在 (1, e2 )
上是增函数，得1
a
2e2
1 2e2
．
综上所述1
a
e2
3 e2
，故选
A.
13.解析： b cos C c cos B a sin2 A ，由正弦定理得 sin B cos C sin C cos B 2sisni3n3AA ，
k
1 ( 2 2) 2 42 ，解之得 k
2k
1 2
,
z
2x y x 1
2
y2 x 1
，设点 P(x, y) , m y 2 ，
x 1
则 m 的几何意义是点 P 与点 D(1,2) 连线的斜率，由图可知， m≤ 4 或 m 2 ，故 3
的取值范围是 (,2] [8 ,) . 3
12．【答案】A【解析】函数 g(x) ln x x2 ax f (x0) 1 在 (0, e2 ] 内都有两个不同的零点，等价于方程
x (x1, e2 ]时 F '(x) 0 ， F (x) 在 (x1, e2 ] 上是减函数．
因为任意的 x0 (0, e2 ] 方程 ln x x2 ax 1 f (x0) 在 (0, e2 ] 有两个不同的根，所以 FFm(aex2()x) 0 F(x1) 1
① ②
②
F
(e2
)
2
e4
7．【答案】A【解析】因为 y cos 2x
3 sin 2x sin(2x ) ，由 2k
-
2x
2k
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(有答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知实数集R ，集合，集合，则A. B.C. D.2.已知，若，则A. B. C. D.3.若，则A. 0B. 1C.D. 24.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分．节气冬至小寒大雪大寒小雪立春立冬雨水霜降惊蛰寒露春分秋分清明白露谷雨处暑立夏立秋小满大暑芒种小暑夏至晷影长寸135已知易经中记录某年的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，按照上述规律那么易经中所记录的春分的晷影长应为A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为A. B.C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为A. B. C. D.9.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为A. B. 2 C. D.11.一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为A. B. 1m C. D.12.已知函数，，，，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：满足题目条件的实数有且只有1个；满足题目条件的实数有且只有1个；在上单调递增；的取值范围是其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是______．14.某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则______．15.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．求角B的值；若，求的取值范围，18.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M是SA的中点，，，．求证：平面SCD；若直线SD与底面ABCD所成的角为，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19.线段AB为圆M：的一条直径，其端点A，B在抛物线C：上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求面积的取值范围．20.已知函数．求函数的最小值；若函数在上有两个零点，，且，求证：．21.2020年春节期间爆发的新型冠状病毒，是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验n次；混合检验，将其中且份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：，，，22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积．23.已知实数a、b满足．求的取值范围；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，，．故选：C．可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：设．，，，，解得，．则，故选：B．设由，可得，，，解得b，a．本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：因为：，令可得：；令可得：；故．故选：A．令求得，再令即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4.答案：D解析：解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为寸，设为，夏至晷影长为寸，则为，春分的晷影长为；；即春分的晷影长为．由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为寸，设为，夏至晷影长为寸，则为，春分的晷影长为，根据等差数列的性质即可求解．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，设，有，即函数为偶函数，排除A、D；设，则，在区间上，为减函数，且，，其对称轴为，开口向下，在区间上为增函数，上为减函数，在区间上，为减函数，此时，函数为减函数，故函数为增函数，排除C；故选：B．根据题意，设，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数为增函数，排除C；即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．6.答案：D解析：解：，，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：若时，，时，，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“”是“”的充要条件，故选：C．根据等比数列的前n项和为结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．解析：解：，F为BC的中点，，，设，又，，解得．故选：A．可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数，函数的单调性的应用，是中档题．当，即时，由二次函数的图象和性质，可知存在，且，使得成立；当，即时，若存在，且，使得成立，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：函数，存在，且，使得成立，当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，，综上所述：实数a的取值范围是．故选：C．10.答案：B解析：解：如图，因为A为的中点，所以，又因为B在圆上，所以，故，则：，联立，解得，则，整理得：，，即，，．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11.答案：A解析：解：如图，在圆锥SO中，已知，沿SP剪开再展开，由题意可得，可得．设圆锥的底面圆半径为r，则，得故选：A．由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．12.答案：D解析：解：函数，，，，满足的实数有且只有3个，由，可得，，由可得；可得；可得；可得，由，可得，且，解得；故正确；由，可得，由，可得，由在递增，可得在上单调递增，故正确；由都有，可得的极大值为，极小值为，由的图象可得在的极大值有两个，极小值一个，故正确，错误．其中正确的为．故选：D．由，解方程，讨论，0，1，2，由题意可得的取值范围，可判断；由，可得的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断；再由题意可得的极大值为，极小值为，结合余弦函数的图象可判断、．本题考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.答案：解析：解：由题意得，且切线斜率为1．设切点为，则，所以，．故切点坐标为．故答案为：先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.答案：解析：解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以，，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为，所以，即，联立得：．故答案为：．利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．正确使用相互独立事件及对立事件的概率公式进行计算，是解决此题的关键．15.答案：9600解析：解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线经过点时，截距z最小，在可行域的整数点中，点使z取得最小值，即，每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意，，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．16.答案：解析：解：设的内切圆与相切于D，E，F，设，，，则，，，由椭圆的定义，可得，，，即有，，即有：，即，再由，故答案为：．运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于难题．17.答案：解：，解得，可得，可得，，，或．，由可得，由正弦定理，可得，，，，，，解析：由已知利用三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求B的值．由，可求得，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：证明：取BC的中点E，连接DE，设，，依题意，四边形ABED为正方形，且有，，，则．又平面底面ABCD，平面底面，平面SCD；解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，平面底面ABCD，平面底面，，平面SCD，底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，为斜线SD与底面ABCD所成的角，即．由得，，在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，，从而，过点D作，底面ABCD，、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则0，，，，，，设平面MBD的法向量y，，由，取，得；设平面SBC的一个法向量为，由，取，得．．平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．解析：取BC中点E，连接DE，设，，由已知可得，则，又平面底面ABCD，由面面垂直的性质可得平面SCD；过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得，则底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得，从而，过点D作，则底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD 与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：设，，抛物线的焦点为F，则，又，，，抛物线C的方程为：，由，两式相减得：，直线AB的斜率为，圆M方程：化为坐标方程为：，直线AB过圆心，直线AB的方程为：，即；不妨设，，，直线l的方程为，联立方程，消去y得：，，，，抛物线C的方程为，，，抛物线C在的切线方程为：，又点在切线PN上，则，即，同理可得：，故，为一元二次方程的两根，，，又，，，，点N到直线PQ的距离，，当时，的面积取得最小值，最小值为27，面积的取值范围为：．解析：利用抛物线的定义可求出，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：不妨设，，，直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出，再利用导数的几何意义求出抛物线C在的切线方程，把点代入切线PN的方程得，同理可得：，故，为一元二次方程的两根，再次利用韦达定理得，，所以点N到直线PQ的距离，所以，故当时，的面积取得最小值，最小值为27，本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.答案：解：由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求时的最小值即可．因为，所以，当时，设，，显然单调递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，分当，，单减，当，，单增，而，，，，即，，单减，分又当，，，单增，所以；分只需证，其中，，构造函数，，，即单增，所以，，即当时，，而，所以，，又，即，此时，，由第问可知，在上单增，所以，，，即证分解析：由于函数为偶函数，故只需求时的最小值，利用，对x分及，两类讨论，即可求得函数的最小值；只需证，其中，，构造函数，，利用导数结合题意可证得．本题考查利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．21.答案：解：设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；由已知得，可能的取值为1，，所以，，所以，由，所以，即，，得，故p关于k的函数关系式为，，且；由题意，所以，，由，所以，两边取对数得，设，，由，当时，，函数递减，当时，，函数递增；，，，，，，，故满足条件的k最大为8．解析：设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；由已知得，可能的取值为1，，由，求出k的关系式即可；由题意，所以，两边取对数得，设，，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．本题考查了求事件的概率，考查了数学期望与函数求导的综合，考查运算能力和实际应用能力，中档题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：因为，所以．当时，，解得，即；当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；由知，因为当且仅当时取等号，所以．解析：由已知得．当时，，解得，即；当时，，解得，即，得，即，即；由知，可得即．本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。