《数值分析》复习笔记

试对上述方程组作简单调整，使得用 Gauss-Seidel 迭代法求解时，对任意初始向量都收敛，并取初
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )

10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90

1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分

3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
试用抛物插值公式求 x=π/5 处的近似值，并估计误差。 2、 （10 期末）已知 f ( x) 1 ，且有：
4 8.0000
已知上述数据的拟合曲线形如 y ae ，请确定参数 a 和 b。 14、 （11 期末）已知函数值表： x y -2 0 -1 1 0 2
2
1 1
2 0
用最小二乘法拟合这组数据的二次多项式 y a0 a1 x a2 x 。 15、 （03 期末）已知函数值表： x y 用最小二乘法求形如 y ☆ 证明题： 1.00 5.10 1.25 5.79 1.50 6.53 1.75 7.45 2.00 8.46
0 2 4 1
0 x1 6 0 x2 7 , X , b x 2 7 3 4 5 x4
（1）分别写出解上述方程组的雅可比（Jacobi）迭代、高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代和逐次超松弛 迭代（SOR）的迭代公式，并取 x(0) = (0, 0, 0, 0)T，用 SOR 迭代（ω=1.5）求它的一步迭代值； （2）用追赶法求解上述方程组（保留小数点后四位） 。 4、 （08 期末）设线性方程组：
（1）写出解此方程组的 Jacobi 迭代格式，并讨论 a 的取值范围使得该迭代格式收敛； （2）写出解此方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式，并讨论 a 的取值范围使得该迭代格式收敛。 6、 （10 期末）设线性方程组：
x1 8 x2 7 x1 9 x3 8 9 x x x 7 1 2 3

b
a
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ... An f ( xn ) (*)
证明：求积公式（*）具有 n 次代数精度的充分必要条件是其为插值型的。
三、线性方程组与非线性方程（组）的数值解法（§5、6、7 章）
☆ 计算题： 1、 （03 期末）分别用高斯（Gauss）列主元消去法和 LU 分解法求解线性方程组：
0 1 2 1
2 0 4 0
0 x1 5 1 x2 3 , X , b x 3 17 3 3 7 x4
3、 （04 期末）设线性方程组 AX=b：
4 1 A 0 0
2 4 1 0
（1）求 T3(x)，T4(x)； （2）求多项式 f ( x) 2 x x 5 x 1 在[-1, 1]上的三次最佳一致逼近多项式 P3(x)。
4 3 2
9、 （09 期末）求函数 f (x)=arctan x 在[0, 1]上关于φ=span{1, x}带权ρ (x)=1 的最佳平方逼近多项式。 10、 （06 期末）求函数 f (x)=2x3+x2+2x-1 在[-1, 1]上关于φ=span{1, x, x2}带权ρ (x)=1 的最佳平方逼近多项 式。 11、 （08 期末）将 f ( x)
《数值分析》复习笔记
毛主席教导我们：“因为不可抗的压力，被迫处于被动地位的时候，这时的任务就是要努力脱出这种被动。如何脱出，须依情况而定。 在 许多情况下，‘走’是必须的。游击队的会走，正是其特点。走是脱离被动恢复主动的主要方法。往往有这种情形，有利的情况和主动的恢复， 产生于‘再坚持一下’的努力之中。”
1 的拟合曲线。 a bx
pn ( x ) （03 期末） 试证： 在[-1, 1]上的所有最高次项系数为 1 的 n 次多项式中， 勒让德 （Legendre） 多项式 ~
与零的平方误差最小。
二、数值积分与数值微分（§4 章）
☆ 计算题： 1、 （12 期末） （1）确定求积公式

1
-1
f ( x)dx Af (
x1 2 x2 2 x3 1 x1 x2 x3 2 2 x 2 x x 1 1 2 3
写出解上述方程组的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式，并讨论它们的收敛性。 5、 （12 期末）已知线性方程组：
x1 ax2 b1 ax1 2 x2 b2
为插值节点的自然三次样条插值函数。
1 x x3 x [0,1] 2 3 f ( x) a b( x 1) c( x 1) d ( x 1) x [1,2] 4( x 2) 9( x 2) 2 e( x 2) 3 x [2,3]
x 在区间[0, 1]上按 Legendre 多项式展开求一次最佳平方逼近多项式。
4
12、 （07 期末）求函数 f ( x) x 在区间[-1, 1]上的二次最佳平方逼近多项式。 13、 （12 期末）给出离散数据如下表： x y 0 2.0000 1 2.5000
bx
2 4.0000
3 6.0000
3 3 ) Bf (0) Cf ( ) 中的待定参数 A、B、C，使 5 5
其代数精度尽可能高，并指出所得公式的代数精度。该公式是否为高斯型求积公式？（2）用该求积公式 计算

4
0
sin t dt 。 t 1 (3 期末）已知勒让德（Legendre）多项式： P2 ( x) （1）试确定求积公式
2 4 x12 x2 2 x1 x2 x2 2 0 2 2 2 x1 3 x1 x2 x2 3 0

1
-1
f ( x)dx 0 f ( x0 ) 1 f ( x1 ) 中的待定系数 x0、x1、λ0、λ1 的值，使其代数精度
尽可能高，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分

4
0
dx 的近似值。 x6 1 (5 x 3 3 x) ， 2
3、 （06 期末）已知勒让德（Legendre）多项式： P3 ( x) （1）试确定三点高斯-勒让德求积公式
2 2 3 x1 3 4 7 7 x 1 2 2 4 5 x3 7
2、 （09 期末）试用杜利特尔（Doolittle）分解法求解线性方程组 AX=b，其中：
1 0 A 1 0
（1） x 3 1 x 2 ； （2） x 1 1 ； （3） x 1 2 x x 1
试建立相应的简单迭代公式，并分析各迭代公式的收敛性，据此选择一种迭代公式作为计算公式。 8、 （04 期末）应用 Newton 迭代法于方程 x3-a=0，导出求 3 a 的迭代公式。 9、 （03 期末）用 Newton 迭代法求解方程组：
m
x f (x )
0.32 8.08
0.34 3.68
0.36 1.66
（1）求 f (x)的二次拉格朗日（Lagrange）插值多项式； （2）用二次拉格朗日插值多项式求 f (0.33)的近似值（取小数点后三位） ，并计算截断误差。 3、 （08 期末）设 f (x)=x4，取节点为-1，0，1，2， （1）试用拉格朗日基函数写出 f (x)的三次插值多项式； （2）试用余项公式写出 f (x)的三次插值多项式。 4、 （09 期末）已知： x f (x ) -1 1 0 2 0.5 3
1 x
0
1
4
2
dx 的近似值，要求二分三次，结果取 9 位小数。
☆ 证明题： 1、 （05 期末）证明：插值型求积公式

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk ) 的节点 a x0 x1 ... xn b 是高斯点
k 0
n
的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式ωn+1(x)与任何次数不超过 n 的多项式 p(x)正交。 2、 （某考题）已知连续函数 f (x)在区间[a, b]上的数值求积公式为：
7、 （05 期末）求函数 f ( x) 3 x 在区间[-1, 1]上的二次最佳一致逼近多项式（已知切比雪夫多项式