【解析版】2014年上海高考模拟组合试卷(一)(数学理)
【组卷说明】本卷以各地模拟考试和各校的联合考试为主题、根据高考考试要求为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2013年全国新课标试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考。
本套试题有如下的鲜明特点：
1.注重基础知识的考查：填空题的1-10题，选择题重在基础知识的把握；填空中的11-14题，强调基础运算能力，也是高考中必要的得分点。
2.注重新颖试题的筛选和组合：如填空题的12,14，选择题的17,18试题设计新颖，但是难度不大；再如填空题13题，体现在知识的交汇点出题的原则，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.
3.大题难度和新课标高考基本一致，其中22和22体现拔高功能，锻炼学习解题能力：第19题——三角函数与向量的综合问题，考查公式应用能力以及运算能力；第20题——立体几何与空间向量，考查学生的空间想象能力和推理能力，以及空间向量工具的应用；第21题——函数问题，题目的背景新颖，给人耳目一新的感觉，难度虽不大，但要求学生要有较高的抽象水平和对数学符号的理解水平；第22题——以抛物线为背景直线与曲线相交问题，考查逻辑思维能力和计算求解能力；第22题——数列问题，以数列为背景考查学生逻辑推理能力和计算求解能力，题目新颖别致，难度较大。
【名校、考点一览表】
一、填空题（每题4分，满分56分）
1．【长宁区2013届高三上学期期末考试】计算：22342
lim (21)
n n n n →∞+-+= .
2.【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】若
11z i i i
=+（为虚数单位），则
z =___________．
3．【卢湾高级中学2013年高三三模考试】函数()1f x =+的反函数
1()f x -= ．
4．【上海市奉贤区2013届高考二模】在81
()x x
-的二项展开式中,常数项是 。
5.【2013年上海部分重点中学高考模拟考试】设m 是正实数，若椭圆2
22
169
1x y m ++=的焦距为8， m = .
6．【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为_____________．
7. 【闸北区2013年高考模拟试题】在极坐标系中，两曲线θρcos 4=与2)4
cos(=+π
θρ交于B A ,两点，则=AB
8．【建平中学2013年高考预测数学试卷】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为
2
3
π的扇形，则此圆锥的高为 cm ．
9．【江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟】在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数,其和大于积的概率是
_________.
10．【江苏扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，
1
sin sin 3
x y =，则x y -=___ ___．
11．【江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知实数,x y 满足不等式组
0,0,26,312
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨
+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．
12. 【上海市普陀区2013届高考二模】 已知函数⎩⎨⎧<≥=0
,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2
a f a f >-，
则实数a 的取值范围是 .
13. 【上海市虹口区2013届高考二模】设)2(log 1+=+n a n n )(*
∈N n ，称k a a a a 321为整
数的k 为“希望数”，则在(1, 2013)内所有“希望数”的个数为 ．
14. 【上海市徐汇、松江、金山2013届高考二模】如图，对正方形纸片ABCD 进行如下操作：第一步，过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E ，记11CDE α∠=；第二步，作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ，记22ADE α∠=；第三步，作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ，记33CDE α∠=；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到
12,,,,n ααα ，则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+= .
α1
α2
第三步
第二步
第一步
E 3
D
C
B
A
E 2
E 2
A
B
C
D
E 1
E 1D
C
B
A
α1
α3
第14题图
二、选择题(每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
15. 【上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研】若集合
2{|4,}A x y x y R ==∈,1{|
0}2x
B x x
-=≥+,则A B = . [0,1]A . . (2,1]B -. . (2,)C -+∞. . (2,)D -+∞.
16. 【上海市浦东区2013年高考二模数学试题】 “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线
2:(1)40l x a y +++=平行”的
. A 充分不必要条件 . B 必要不充分条件 . C 充分必要条件
. D 既不充分也不必要条件
17. 【上海市闸北区2013年高考二模数学试题】某商场在节日期间举行促销活动，规定： （1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优
惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为
. A 1600元 . B 1800元 . C 2000元 . D 2200元
18．【上海市黄浦区2013年高考二模数学试题】如果函数||2y x =-的图像与曲线
22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是
. A {2}(4,)+∞
. B (2,)+∞ 4}
. D (4,
)+∞
【答案】. A
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．【松江区2013学年度数学(一模）】（本题满分12分）
已知(2cos ,1)a x = ，(cos 2)b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅
，求()f x 的最小正周期、最大值和最
小值．
20．【建平中学2013年高考预测数学试卷】（本题满分14分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角B FC A --的余弦值．
E
C
B
A
D
F
21. 【吴淞中学2013届高三第二学期第二次月考】（本题满分14分）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈，设函数
[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩（13b <<），()(),[1,3]g x f x ax x =+∈，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈。
（1）若函数()g x 在[1,3]上单调递减，求a 的取值范围；
（2）当12
b a -=时，求()h a 关于a 的表达式；
22．【上海市黄浦区2013年高考模拟】 (本题满分16分) 设抛物线2
:2(0)C y px p =>的
焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.
（1）求抛物线C 的方程； （2）若2()OE OA OB =+ (O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线倾斜角；
（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证：
当0k 为定值时，12k k +也为定值.
23. 【2013年上海部分重点中学高考模拟考试】 (本题满分18分) 可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立. 下面尝试推广该命题:
(1) 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有
23331212()n n
a a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; (2) 设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有
23331212()n n
a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S . 求证: 2112n n n a a S ++-=, *n N ∈;
(3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列{}n a , 使得20112009a =? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.。
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4
6．若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结 果用反三角函数表示）。
7．已知曲线 C 的极坐标方程为 3cos 4sin 1 ，则 C 与极轴的交点到极点的
距离为___________。
8．设无穷等比数列 an 的公比为
q ________。
2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．函数 y 1 2 cos2 2x 的最小正周期是______________。
2．若复数
z
1
2i
，其中
i
是虚数单位，则
3．若抛物线 y2 2 px 的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方 95
程为_______________。
4．设
f
x
x
x
2
x a
，若
x a
f
2
5．若实数 x, y 满足 xy 1，则 x2 2 y2 的最小值为______________。
z
lim
n
x
1 z
z
______________。
的取值范围是_______________。
a3
a4
的取值范围为________________。
an
，则
Hale Waihona Puke 上海2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2014年高考上海理科数学试题及答案（解析版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x 的最小正周期是．【答案】2【解析】原式＝cos4x ，242T．（2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z ，其中i 是虚数单位，则1zzz．【答案】6【解析】原式＝211516z z z．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22ypx 的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．【答案】2x 【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)x x a f x xx a ，若(2)4f ，则a 的取值范围为．【答案】2a 【解析】根据题意，2[,)a ，∴2a ．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy ，则222xy 的最小值为．【答案】22【解析】2222222xyx y．（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S 侧底，∴23r R r ，即3Rr ，∴1cos3，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1，则C 与极轴的交点到极点的距离是．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341xy，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列n a 的公比为q ，若134lim n n a a a a L ，则q ．【答案】512【解析】223111510112a a qa qq qqq，∵01q，∴512q．P2P5P 6P7P 8P4P3P1B A（9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x，则满足()0f x 的x 的取值范围是．【答案】(0,1)【解析】2132()f x x x，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)．（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115PC．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab，集合22,,a ba b，则a b ．【答案】1【解析】第一种情况：22,a a b b ，∵0ab ，∴1a b ，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,ab ba ，∴431a a a ，∴210a a ，即1ab ．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a 使方程sin 3cos xxa 在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ．【答案】73【解析】化简得2sin()3x a ，根据下图，当且仅当3a 时，恰有三个交点，即12370233x x x ．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若()4.2E ，则小白得5分的概率至少为．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ，且123451p p p p p ，∴12345444444p p p p p ，与前式相减得：1235320.2p p p p ，∵0ip ，∴1235532p p p p p ，即50.2p ．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线2:4C xy ，直线:6l x ．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ u u u r u uu r r，则m 的取值范围为．【答案】1615【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622PQP x x x m，∵20P x ，∴[2,3]m ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，理15，5分】设,a b R ，则“4a b ”是“2a 且2b ”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a ，1b ；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2,, 8)i AB AP i uu u r u u u rK 的不同值的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】AACBD【解析】根据向量数量积的几何意义，i ABAP u uu ru uu r 等于AB uu u r 乘以i AP u u u r 在AB u uu r 方向上的投影，而i AP uu u r 在AB uu u r方向上的投影是定值，AB u u u r 也是定值，∴i AB AP u uu ru u u r 为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1ykx （k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a xb y的解的情况是（）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解（B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解（D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解【答案】B 【解析】由已知条件111b ka ，221b ka ，11122122a b D a b a b a b 122112(1)(1)0a ka a ka a a ，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.xa xf x xa xx若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[1,2]（B ）[1,0]（C ）[1,2]（D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x 的情况，是一个对称轴为xa 的二次函数，当0a 时，min()()(0)f x f a f ，不符合题意，排除AB 选项；当0a 时，根据图像min ()(0)f x f ，即0a符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ，60ABC，∴11260ABP BAP CBP ，∴160P ，同理2360P P ，∴123PP P 是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以123PP P 边长为4；∴3222123VAB．（20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a，函数2()2x xa f x a ．（1）若4a，求函数()yf x 的反函数1()yfx ；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()yf x 的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a，∴24()24x xf x y ，∴4421xyy ，∴244log 1y x y，∴1244()log 1xyfx x ，(,1)(1,)xU ．……６分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxa a aa ，整理得(22)0xxa ，∴0a ，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxaaa a，整理得210a，∵0a，∴1a，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数．……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为和．（1）设计中CD 是铅垂方向．若要求2，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．BA CP 3P 1P 2解：（1）设CD 的长为x 米，则tan,tan3580x x ，∵202，∴tantan 2，∴22tan tan1tan，∴2221608035640016400x x x xx，解得020228.28x ，∴CD 的长至多为28.28米．……６分（2）设,,DBa DAb DCm ，180123.43ADB，则sinsina AB ADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a∴2280160cos18.4526.93maa ∴CD 的长为26.93米．……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c ．若0，则称点12,P P 被直线l 分割．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线．（1）求证：点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割；（2）若直线ykx 是曲线2241x y 的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B 分别代入1x y ，得(121)(11)40，∴点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割．……3分（2）联立2241xy ykx，得22(14)1k x，依题意，方程无解∴2140k，∴12k或12k．……8分（3）设(,)M x y ，则22(2)1x y x，∴曲线E 的方程为222[(2)]1xy x①当斜率不存在时，直线0x ，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P 为E 上两点，且代入0x ，有10，∴0x 是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx ，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，令2432()(1)441f x kxkx x，则(0)1f ，22(1)143(2)f kkk，22(1)143(2)f kkk，当2k 时，(1)0f ，∴(0)(1)0f f ，即()0f x 在(0,1)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点当2k时，(0)(1)0f f ，即()0f x 在(1,0)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点，∴直线ykx 与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x 是E 的分割线．……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列n a 满足1133nnn a a a ，*n N ，11a ．（1）若2342,,9a a x a ，求x 的取值范围；（2）设n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a L ．若1133nnn S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000ka a a L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ，∴263x ，又343133a a a ，∴327x ，综上可得36x ．……3分（2）由已知得1n na q ，又121133a a a ，∴133q ，当1q 时，n S n ，1133n nn S S S ，即133n nn ，成立；当13q时，11nnq S q ，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qqq q q ，∴111331n nqq ，此不等式即1132032n n n nq q qq，∵1q ，∴132(31)2220n nnnqqq q q ，对于不等式1320n nq q，令1n ，得2320qq ，解得12q ，又当12q 时，30q ，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n nnq qq q q qq q 成立，∴12q ，当113q 时，11nnqS q，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qq q q q，即11320320n n n nq q qq ，310,30q q，∵132(31)2220n nnnq qq q q，132(3)2(3)2(1)(2)n nnqqq q q q q q∴113q 时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q．……10分（3）设公差为d ，显然，当1000,0kd 时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3kdk dkd ，∴(21)2(25)2k d kd，当1000k 时，不等式即22,2125d dk k，∴221dk，12(1) (10002)kk kd a a a k，∴1000k时，200022(1)21k dk kk ，解得10009990001000999000k ，∴1999k ，∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdk k ．……18分。
2014上海高考数学(理)
2014高考数学【上海卷（理）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___. 4. 设()()[)2,,,,,,x x a f x x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()24f =，则a 的取值范围为_________________. 5. 若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为_________________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_____________.（结果用反三角函数值表示）7. 已知曲线C 的极坐标方程为()3cos 4sin 1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_______________.8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim ,n n a a a a →∞=+++则__________q =.9. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则________a b +=.12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=.13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____________.14.已知曲线:C x =直线:6l x =. 若对于点(),0,A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 817. 已知()111,P a b 与()222,Pa b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是 （ ）.A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总有唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解18. 设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. A. []1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. []0,2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .B1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ，记()()1122ax by c ax by cη=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+≤≤∈=N .（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++，若1133n n n S S S+≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 4．2a ≤【解析】由()24f =，可得224=，所以[)2,a ∈+∞得2a ≤，【考点】对分段函数概念的理解5．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 6．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成角为θ.由已知得：233rl r l r ππ=⇒=，则1cos 3r l θ==，所以1arccos 3θ=. 【考点】直线与平面所成角、反余弦函数、解三角形7．13【解析】10313θρρ=⇒=⇒= 【考点】极坐标的基本概念8【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则q =【考点】无穷递缩等比数列的各项和 9．()0,1【解析】首先注意定义域：()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1【考点】幂函数与数形结合10．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 11．-1【解析】由已知可得()()()()()()()()()()222222,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,,,,a a a ba b or a b w w w w b b b a ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩由0ab ≠且互异，21a b w w +=+=-，其中12w =- 【考点】集合相等的含义、复数的运算 12．7π3【解析】三角方程sin x x a =在一个周期(]0,2π内的解至多有两个，所以原方程在闭区间[]0,2π恰有三个解可知，sin 0a =，即a =[]sin 0,2x x x π+=∈，可得12312370,,233x x x x x x πππ===⇒++=【考点】三角函数的图像和性质、三角方程 13．0.2【解析】设小白得1,2,3,5分的概率分别为[][]12351235,,,0,1,0,1p p p p p p p p ∈+++∈则()12312355512323415 4.20.2320.2p p p p p p p p p p p p +++----+=⇒=+++≥当1230p p p ===时等号成立. 【考点】数学期望另解：注意到()()4.24,5E ξ=∈.要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为x ，则()415 4.20.2x x x -+=⇒= 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆. A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --. 因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B.【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．A【解析】()1,2,i AP i =在AB 上的投影为AB ，所以()21,2,1i AB AP i AB ⋅===, 值只有一个.【考点】平面向量的数量积、向量的投影 17．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上，故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元、三元线性方程组解的讨论 18．D【解析】当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，()20f a =，所以[]221,2a a a +≥⇒∈-，当0x ≤时，()()2f x x a =-，二次函数对称轴为x a =，要使得0x =时有最小值，则0a ≥， 综上[]0,2a ∈【考点】分段函数，二次函数的对称轴、单调性、最值，基本不等式 19．在△123PP P 中，13PA P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线， 故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =. 所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ =. ……9分从而，13ABC V S PQ =⋅△. ……12分【考点】椎体体积的计算解析二：解析：（1）因为三棱锥P A B C -为正三棱锥，所以13,,3BAC ABC CBA P AB P AC π∠=∠=∠=∠=∠又因为13133BAC P AB P AC P AB P AC ππ∠+∠+∠=⇒∠=∠=，11,P A PB =故三角形1P AB 为等边三角形，同理可证三角形23,P BC P AC 为等边三角形，故1233PP P π∠=∠=∠=,所以123PP P ∆的各边长12231324PPP P PP AB ====（2）、由（1）易得该三棱锥是棱长为2的正四面体，如右图所示，过点P 作PO ABC ⊥面交平面ABC 于点O ，联结AO 并延长交BC 于H ，因为O 为底面正三角形的中心，所以2233233AO AH AB PO ==⋅===所以三棱锥P ABC -的体积为111233233V sh ==⋅⋅=20．(1) 因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log 1x f x x -+=-，1x <-或1x >. ……6分 (2) 当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分 当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论解析二：解析：（1）若4a =，则2424x x y +=-，()()2244441242421442log log 2111xx x x y y y y y y x y y y +++-=+⇒-=+⇒=⇒==+---所以()y f x =的反函数为()()()()121log 2,11,1x f x x x -+=+∈-∞-+∞-（2）、当0a =时，()()212xx f x x R ==∈，()f x 是偶函数当0a ≠时，则0a >，()22x x af x a+=-，因为220log x a x a -≠⇒≠，所以函数()f x 定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞，当()()0,11,a ∈+∞时，2log 0a ≠，函数()f x 定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，当1a =时，()()21021x x f x x +=≠-，因为()()()()()()()()()()21212121212100212121212121x x x xx x x x x x x xf x f x ------+-+-+++-+=+===------所以函数()f x 为奇函数。
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014年高三联合高考模拟考数学试卷(理科)--含答案
上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。
2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=8．（4分）设无穷等比数列{a．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a=（a3+a4+…a n）1=（﹣a﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求求出S n分别代入不等式S n≤S n+1出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n≤3S n，即，+1∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，≤3S n，即，，S n≤S n+1∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k 的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。
2014年上海市浦东新区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．2．（4分）不等式的解是．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB 的长为．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b 15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．516．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013 17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k＝4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．【解答】解：∵，∴原式＝＝．故答案为：．2．（4分）不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝3n﹣2．【解答】解：在数列{a n}中，由，得，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，又a1＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．故答案为：3n﹣2．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝1．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ＝﹣6，tanα•tanβ＝7．由此可得tan（α+β）＝＝＝1．故答案为：15．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800＝2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝log23．【解答】解：＝1×4x﹣（﹣1）×2x＝4x+2x，令f（x）＝12，即4x+2x＝12，即（2x﹣3）（2x+4）＝0，解得：2x＝3即x＝log23，根据f（a）＝b，则f﹣1（b）＝a，可知f﹣1（12）＝log23．故答案为：log23．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．【解答】解：z1•z2＝（2+i）（a+3i）＝2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a＝0，解得a＝﹣6．∴z2＝﹣6+3i．∴z1+z2＝（2+i）+（﹣6+3i）＝﹣4+4i．∴|z1+z2|＝|﹣4+4i|＝＝．故答案为：．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是﹣126．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x18﹣2r•（﹣1）r•x ﹣r＝（﹣1）r••x18﹣3r，令18﹣3r＝3，求得r＝5，故含x3的项的系数是﹣＝﹣126，故答案为：﹣126．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，∴ab sin C＝3，即sin C＝，∵C为锐角，∴cos C＝＝，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣12＝13，解得：AB＝c＝．故答案为：10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ＝0时，表示没有选到女生；当ξ＝1时，表示选到一个女生；当ξ＝2时，表示选到2个女生，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴Eξ＝0×＝．故答案为：12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为96．【解答】解：∵|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，∴设A∩B＝{x}，B∩C＝{y}，C∩A＝{z}，∵A∩B∩C＝∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×4×6＝72种．②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，∴此时共有4×6＝24种．综上共有72+24＝96个．故答案为：96．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝6．【解答】解：令f（1）＝a，∵对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，故有a≠1，否则，可得f[f（1）]＝f（1）＝1，这与f[f（1）]＝3×1＝3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））＝3，即得f（a）＝3．∵f（x）是增函数，∴f（a）＞f（1）＝a，即a＜3，于是得到1＜a＜3．又a∈N*，从而a＝2，即f（1）＝2．而由f（a）＝3知，f（2）＝3．于是f（3）＝f（f（2））＝3×2＝6，故答案为：6．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b【解答】解：考察指数函数y＝2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．故选：D．15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵log5x＝|sin x|，∴设函数y＝log5x和y＝|sin x|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x＝|sin x|＝1，∴x＝5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．16．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013【解答】解：∵已知函数，∴f（）＝＝，∴f（x）+f（）＝1．则＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]＝+1+1+…+1＝+2013×1＝2013，故选：D．17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，∴不妨取∠AOB＝120°，∠AOC＝∠BOC＝60°，此时四边形AOBC为菱形，则＝+，又∵，∴m＝n＝1，则m+n＝2，从而可排除A，C，D选项，故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．【解答】（1）证明：连接BD，∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD∴AC⊥SD…（4分）又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD∴AC⊥SB．…（6分）（2）解：设SA的中点为E，连接DE、CE，∵SD＝AD，CS＝CA，∴DE⊥SA，CE⊥SA．∴∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角．…（9分）∵SD＝AD＝2，∴DE＝，CE＝，CD＝2，∴CD⊥DE，∴，∴∴所求二面角的大小为．…（12分）19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解答】解：（1）∵D1+2D2＝3D3，∴algI1+b+2（algI2+b）＝3（algI3+b），∴lgI1+2lgI2＝3lgI3，∴I1•＝；（2）由题意得，解得：，∴100＜10lgI+160＜120，解得：10﹣6＜I＜10﹣4，答：当声音能量I∈（10﹣6，10﹣4）时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，，∴∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）又t秒时，…（4分）∴．…（6分）（2）由，B（0，1），得，又，∴，…（8分）∴＝＝…（10分）∵0≤t≤6，∴，∴…（12分）∴，的取值范围是…（14分）21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．（1）a＝1时，…（2分）∴x＝0时，最小值为2．…（4分）（2）a＝1时，∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；…（6分）由于f（x）为偶函数，∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．设0≤x1＜x2＜1，∴，得∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）（3）设，则∵，∴，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．…（11分）①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（12分）②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（13分）③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min＝2，y max＝a+1，由2y min＞y max得，从而；…（14分）④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；…（15分）综上，．…（16分）22．（18分）设项数均为k （k ≥2，k ∈N *）的数列{a n }、{b n }、{c n }前n 项的和分别为S n 、T n 、U n ．已知集合{a 1，a 2，…，a k ，b 1，b 2，…，b k }＝{2，4，6，…，4k ﹣2，4k }． （1）已知，求数列{c n }的通项公式；（2）若（1≤n ≤k ，n ∈N *），试研究k ＝4和k ≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n }，{b n }），并说明理由； （3）若，对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（{a n }，{b n }）有偶数对． 【解答】解：（1）已知，当n ＝1时，c 1＝U 1＝4． 当n ≥2时，，经验证c 1＝4不适合上式， 故；（2），当n ＝1时，a 1﹣b 1＝S 1﹣T 1＝4，当n ≥2时，a n ﹣b n ＝（S n ﹣S n ﹣1）﹣（T n ﹣T n ﹣1）＝（S n ﹣T n ）﹣（S n ﹣1﹣T n ﹣1）＝2n +2n ﹣2（n ﹣1）﹣2n ﹣1＝2+2n ﹣1， 当k ＝4时，a 1﹣b 1＝4，a 2﹣b 2＝4，a 3﹣b 3＝6，a 4﹣b 4＝10， {a 1，a 2，a 3，a 4，b 1，b 2，b 3，b 4}＝{2，4，6，8，10，12，14，16} 数列{a n }、{b n }可以为（不唯一）： ①6，12，16，14；2，8，10，4； ②16，10，8，14；12，6，2，4． 当k ≥6时，＝＝（k﹣1）（k﹣4）+4k＞4k此时a k不存在．故数列对（{a n}，{b n}）不存在；（3）令d n﹣e n＝（4k+2﹣b n）﹣（4k+2﹣a n）＝a n﹣b n＝2n，又{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k}，得{4k+2﹣a1，4k+2﹣a2，…，4k+2﹣a k，4k+2﹣b1，4k+2﹣b2，…，4k+2﹣b k}＝{2，4，6，…，4k}，∴数列对（{a n}，{b n}）与（{d n}，{e n}）成对出现．假设数列{a n}与{d n}相同，则由d2＝4k+2﹣b2＝a2及a2﹣b2＝4，得a2＝2k+3，b2＝2k﹣1，均为奇数，矛盾．故符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．。
2014年上海高考数学文理科卷解析版
李老师作品数学（理）2014 第1页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.12π 2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________.考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 解答：解：复数z=1+2i，其中i 是虚数单位11(12)(12)612z zi i i z ⎛⎫+⋅=++-= ⎪-⎝⎭3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为分析215y +=的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程2 解答215y =，故它的右焦点坐标是（2，0），215y =故P=4∴抛物线的准线方程为x=-2．4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________. 分析：由已知可得y =1=得222222x y x x+=+≥。
得x =答案是6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）3径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．cos θ==得arccos θ=半径的3倍，是解答的关键．7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是____________.∴C 与极轴的交点到极点的距离是13ρ=8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.分析：由已知条件推导出11111a a a a q q=---由此能求出q 的值．411111112(1)lim 111011n x a q aa a a q a a qq qq q q q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--==得或（舍）9. 若32()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.()036621()0,1x x x x f x x -<<==得得；是增函数得x 得解集为10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________（结果用最简分数表示）. 恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有310120C =种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种， 115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________.5}{}22,,a b a b=2201b a b b a b⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩或得：或 ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a 2，a=b 2，则两式相减得a 2-b 2=b-a ， ∵互异的复数a ，b ， ∴b-a ≠0，即a+b=-1， 故答案为：-1．的关键，注意要进行分类讨论． 12. 设常数a 使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123xx x ++=____________.分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数2sin()3y x π=+的图象，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3最后相加即可．123sin 0,,2323x x x x πππ⎛⎫+==== ⎪⎝⎭12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，6 则小白得5分的概率至少为____________.此能求出结果．则由题意知小白得4分的概率为1-x ，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E （ξ）=4.2， ∴4（1-x ）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2．变量的数学期望的合理运用14. 已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为____________. 分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．解答：解：曲线:C x =[]2,0p x ∈-对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈ 故答案为：[2，3]7P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]（ ） (A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.计算可得答案．则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1），8 P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i ==故选择A数量积运算是解题的常用手段．17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组11221,1a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是[答]（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在,,k P P ，使之有无穷多解.111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上且斜率存在。
2014年全国高考上海市数学(理)试卷及答案【精校版】
21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .
如图，某公司要在 A、 B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ，其中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设 A、 B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 .
5. 若实数 x,y 满足 xy=1, 则 x 2 + 2 y 2 的最小值为 ______________.
6. 若圆锥的侧面积是底面积的 值表示） .
3 倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数
7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3cos 4sin ) 1，则 C 与极轴的交点到极点的距离
（ B)无论 k ， P1, P2 如何，总有唯一解
（ C）存在 k ， P1, P2 ，使之恰有两解
（ D）存在 k， P1 , P2 ，使之有无穷多解
(x a)2 , x 0,
18. f ( x)
1
若 f (0) 是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围为（
）.
x
a, x 0,
x
(A)[-1,2]
2014 年上海市高考数学试卷（理科）解析
一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题 共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的
空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1． 函数 y 1 2cos 2(2 x) 的最小正周期是
.
2. 若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则
l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1， P2 被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 . ⑴ 求证：点 A（1,2）， B（ 1，0）被直线 x y 1 0 分隔；
2014年上海市徐汇区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．3．（4分）计算：2（＝．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有项．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b 18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．【解答】解：函数y＝sin2x cos2x＝，∴函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是＝．故答案为：．3．（4分）计算：2（＝．【解答】解：2＝+＝．故答案为：．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sin x＝sin（π﹣x）＝，∴π﹣x＝arcsin，∴x＝π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为＝（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•＝1×1+（﹣a﹣3）×＝0，解得a＝﹣2，∴实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有2k项．【解答】解：∵（n∈N*），∴，，∴f（k+1）﹣f（k）＝＝，∴共有2k项．故答案为：2k．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）＝1．∴f（﹣3+3）＝1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）【解答】解：所有的选法共有＝45种，而选出的2人是同一血型的方法有++＝12种，故选出的2人是同一血型的概率为＝，故答案为：．9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2﹣＝1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2＝4，∴m＝﹣，故答案为﹣．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣8x．【解答】解：∵点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，∴4+（4，0）•（x﹣2，y）＝0，化简可得y2＝﹣8x．故答案为：y2＝﹣8x．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．【解答】解：根据题意G为三角形的重心，∴，＝，＝，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得＝λ，即，∴，消去λ得x+y﹣3xy＝0，∴x+y＝3xy，即＝．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b＝9，d＝7时，a，c，e只能是8；d＝6时，a，c，e可取7，8，共23种；d ＝5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；…，d＝0时，a，c，e可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b＝8时，是1+23+…+73种，b＝7时，是1+23+…+63种，b＝6时，是1+23+…+53种，b＝5时，是1+23+…+43种，b＝4时，是1+23+33种，b＝3时，是1+23种，b＝2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1＝2892．故答案为：2892．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵≥1，实数a＞b，∴≥1，即，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b＝0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1＝，x2＝，把不等式的根排在数轴上，穿根得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣b）+（x2﹣a）＝（x1+x2 ）﹣a﹣b＝（a+b+2）﹣a﹣b＝2，故答案为：2．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的斜截式方程为，斜率k＝，∴tan，则对应的倾斜角为＝，故选：B．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin （），x∈R的图象，故选：B．17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b＝﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）＝2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|＝2b＝0，即a＝b＝0，故函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选：C．18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．【解答】解：∵A+B＝120°，∴C＝60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b＝，ab＝2，＝＝，∴S△ABCAB＝c＝＝＝＝．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）＝x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）＝1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）＝﹣+≤，∴当x＝时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．【解答】解：（1）由题意，f（t）≥8，即≥8，化简可得，，即2﹣t+4≤2﹣2，解得t≥6，故该生物6年后身长可达到或超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，则有f（t0）﹣f（t0﹣1）＝﹣＝（t0≥1），令u＝，则u∈（0，8]，令g（u）＝＝＝，当且仅当2u＝，即u＝，＝，t0＝4.5时取“＝”，又∵t0∈N*，∴t0的值可能为4或5，∵f（4）﹣f（3）＝f（5）﹣f（4）＝，∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，∴＝，所以椭圆C的方程为．其“伴随圆”的方程为x2+y2＝6；（2）设直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4＝0∴由△＝（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝0得t2＝4k2+2①，由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2＝3（k2+1）②由①②可得t2＝6．∵t＜0，∴t＝﹣，∴P（0，﹣）；（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为，∴y＝（m+n）x ﹣mn，∵m+n＝﹣（0，π）），∴，得x cosθ+y sinθ﹣3＝0，∴由于圆心（0，0）到直线x cosθ+y sinθ﹣3＝0的距离为d＝＝3．当a2+b2≥9时，d min＝0，等式不能成立；当a2+b2＜9时，d min＝3﹣，由3﹣＝﹣b得9+6b+b2＝4a2+4b2．因为a2＝b2+2，所以7b2﹣6b﹣1＝0，∴（7b+1）（b﹣1）＝0，∴b＝1，a＝．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．【解答】（1）解：若q＝1，由①得，a1•2k＝0，得a1＝0，矛盾；若q≠1，则由①，，得q＝﹣1，由②得，或，∴q＝﹣1，数列{a n}的通项公式是，或；（2）解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，d＞0，∵a1+a2+…+a2k＝0，∴，∴a1+a2k＝a k+a k+1＝0，∵d＞0，由a1+a k+1＝0得，a k＜0，a k+1＞0，由①②得，，，两式相减得，k2d＝1，∴，又，得．∴数列{a n}的通项公式是a i＝a1+（i﹣1）•d＝＝；（3）证明：记a1，a2，…，a n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，则A+B＝0，A﹣B＝1，得A＝，B＝，（i），即（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使，由前面的证明过程知：a1≥0，a2≥0，…，a m≥0，a m+1≤0，a m+2≤0，…，a n≤0，且，如果{S k}是n阶“期待数列”，记数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）的前k项和为T k，则由（i）知，，∴，而，＝0，从而．∴S1＝S2＝…＝S m﹣1又，则S m+1，S m+2，…，S n≥0．∴|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝S1+S2+S3+…+S n．S1+S2+S3+…+S n＝0与|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝1不能同时成立．∴对于有穷数列a1，a2，…，a n（n＝2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使，则数列{a i}的和数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）不能为n阶“期待数列”．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析版
2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期 2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.【答案】6【解析】61)41(11(∴21=++=+=•++=z z z zz i z 3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】]2,∞-(【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f += 5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=xx x x x xy 6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。