高三文科数学第一轮复习及练习：第9章平面解析几何 第8讲
[学生用书P271(单独成册)]一、选择题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y236＝1B ．x 236＋y227＝1C ．x 227＋y218＝1D ．x 218＋y29＝1解析：选D ．因为直线AB 过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D ．2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M(－1，m)，若MA →·MB →＝0，则m 等于( ) A ． 2 B ．22C ．12D ．0解析：选B ．由题意可得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），8x 2－20x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝12，则A(2，22)，B(12，－2)．点M(－1，m)， 由MA →·MB →＝0，可得(3，22－m)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2－m ＝0． 化简2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22．故选B ． 3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2解析：选A ．将直线与椭圆方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ， x 24＋y23＝1，化简整理得(3＋4k 2)x 2＝12，(*) 因为分别过A ，B 向x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1， 代入方程(*)，得k ＝±32，故选A ．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．2 2解析：选C ．设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cos θ，|BF|＝21＋cos θ，则|AF|·|BF|＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4．二、填空题5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则1|AB|＋1|CD|等于________． 解析：抛物线y 2＝4x ，可知2p ＝4，设直线l 1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l 2的倾斜角为π2＋θ，AB ，CD 为过焦点的弦，|AB|＝2psin 2θ，|CD|＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ，所以1|AB|＋1|CD|＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝12p ＝14． 答案：146．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m的值为________．解析：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，MN 的中点P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1，② x 1＋x 2＝2x 0，③ y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2．所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， 因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以k MN ＝－1，因为y 0＝－3x 0．又因为y 0＝x 0＋m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．答案：0或－8 三、解答题7．已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解：(1)设M(x ，y)，因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)．当直线l⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x≠±1)得 2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0．8．(2018·甘肃张掖一诊)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 为椭圆短轴的端点，且△PF 1F 2的面积为25．(1)求椭圆的方程；(2)点Q 是椭圆上任意一点，A(45，6)，求|QA|－|QF 1|的最小值；(3)点B ⎝⎛⎭⎪⎫1，423是椭圆上的一定点，B 1，B 2是椭圆上的两动点，且直线BB 1，BB 2关于直线x ＝1对称，试证明直线B 1B 2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c ＝5， S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×b ＝25，所以b ＝2，求得a ＝3，故椭圆的方程为x 29＋y24＝1．(2)由(1)得|QF 1|＋|QF 2|＝6，F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 那么|QA|－|QF 1|＝|QA|－(6－|QF 2|)＝|QA|＋|QF 2|－6，而|QA|＋|QF 2|≥|AF 2|＝（45－5）2＋（6－0）2＝9，所以|QA|－|QF 1|的最小值为3．(3)设直线BB 1的斜率为k ，因为直线BB 1与直线BB 2关于直线x ＝1对称，所以直线BB 2的斜率为－k ，所以直线BB 1的方程为y －423＝k(x －1)，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －423＝k （x －1），x 29＋y 24＝1，可得(4＋9k 2)x 2＋6k(42－3k)x ＋9k 2－242k －4＝0， 因为该方程有一个根为x ＝1， 所以x 1＝9k 2－242k －44＋9k 2， 同理得x 2＝9k 2＋242k －44＋9k ， 所以kB 1B 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x 1－1）＋423－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k （x 2－1）＋423x 1－x 2＝k （x 1＋x 2）－2k x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 2－242k －44＋9k2＋9k 2＋242k －44＋9k 2－2k 9k 2－242k －44＋9k 2－9k 2＋242k －44＋9k2＝26， 故直线B 1B 2的斜率为定值26．1．已知拋物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN|的最小值．解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py(p>0)，则p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．(2)易知直线AB 的斜率存在．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4．从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1，又y 1＝x 214，所以x M ＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1． 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2．所以|MN|＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|．令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34． 当t>0时，|MN|＝2 225t 2＋6t＋1>22． 当t<0时，|MN|＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥852． 综上所述，当t ＝－253，即k＝－43时，|MN|取得最小值852．2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆C 截直线y＝1所得线段的长度为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m(m≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b 2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2， 因此椭圆方程为x 24＋y22＝1．(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 由Δ>0得m 2<4k 2＋2． (*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1， 又N(0，－m)，所以|ND|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2k 2＋1＋m 2，整理得|ND|2＝4m 2（1＋3k 2＋k 4）（2k 2＋1）2， 因为|NF|＝|m|，所以|ND|2|NF|2＝4（k 2＋3k 2＋1）（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2．令t ＝8k 2＋3，t ≥3． 故2k 2＋1＝t ＋14，所以|ND|2|NF|2＝1＋16t （1＋t ）2＝1＋16t ＋1t ＋2． 令y ＝t ＋1t ，所以y′＝1－1t 2．当t≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND|2|NF|2≤1＋3＝4，由(*)得－2<m<2且m≠0． 故|NF||ND|≥12， 设∠EDF＝2θ，则sin θ＝|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6．从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0．综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3．。
2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-8 抛物线课件 文
其数学表达式： |MF|＝d(其中 d 为点 M 到准线的距离)．
[温馨提示 ] (1)抛物线的定义实质上可归结为 “一动三
定”，一个动点设为 M；一定点 F(焦点)；一条定直线 l(准线)；
一个定值(点 M 到点 F 的距离和它到定直线 l 的距离比等于 1)
(3)一个易错点：忽略定义中的限制条件：定点在定直线外．利 用抛物线的定义求解时要注意判断．如：若动点 P 到定点 F(1,1) 的距离与它到直线 l：3x＋y－4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹 方程为 x－3y＋2＝0 .
提示：设 P(x，y)，则 x－12＋y－12＝|3x＋1y0－4|，整理得 P 轨迹方程为 x－3y＋2＝0.
A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x [解析] 由－p2＝－2，∴p＝4，则方程为 y2＝8x.
[答案] B
3．若抛物线 y2＝4x 上一点 M 到该抛物线的焦点 F 的距离|MF| ＝5，则点 M 到 x 轴的距离为( )
A．1 B．2 3 C．2 6 D．4
[解析] 根据题意可知抛物线的准线方程为 x＝－1，∵点 M 到该抛物线的焦点 F 的距离为 5，∴点 M 到准线的距离为 5，设 点 M 的坐标为(xM，yM)，即 xM＋1＝5，∴xM＝4，代入抛物线方 程求得 yM＝±4，∴点 M 到 x 轴的距离为 4.故选 D.
[小题速练] 1．(2016·四川卷)抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0)
[解析] 因为抛物线 y2＝2px 的焦点为p2，0，所以抛物线 y2 ＝4x 的焦点为(1,0)．故选 D.
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 指点迷津(八)
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2
+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第9章平面解析几何章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示直线的方程❶在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．❷理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．❸掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．两直线的位置关系❶能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．❷能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．❸掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．直线、圆的位置关系❶能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．❷能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．❸初步了解用代数方法处理几何问题的思想．椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．圆锥曲线的简单应用❶了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．❷理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用．一、点在纲上，源在本里考点考题考源圆的标准方程与点到直线的距离(20xx·高考全国卷Ⅱ，T4，5分)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )A．－43B．－34C． 3 D．2必修2P132A组T5椭圆的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅰ，T12，5分)设A、B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)选修11P35例3双曲线的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅲ，T14，5分)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________．选修11P51例3抛物线的几何性质(20xx·高考全国卷Ⅰ，T10，5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10选修11P61例4抛物线与圆的方程、直线方程的应用(20xx·高考全国卷Ⅰ，T20，12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．(1)求|OH||ON|；选修11P62例5(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．圆与椭圆的定义、标准方程及其应用(20xx·高考全国卷Ⅰ，T20，12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．选修11P42A组T7曲线与方程、椭圆几何性质(20xx·高考全国卷Ⅱ，T20，12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→．(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．选修11P34例2、P43B组T1二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△PAB的面积为10，则|OP|＝( )A．9 B．10C．11 D．12解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，因为|AB|＝＝2，由S△PAB ＝10得1×2×d＝10．所以d＝5．2又直线AB的方程为x－y＋1＝0，所以＝5．解得m＝－11或m＝9(舍去)，所以|OP|＝|m|＝11．选C．2．(必修2 P133A组T8改编)Rt△ABC中，|BC|＝4，以BC边的中点O为圆心，半径为1 的圆分别交BC于P，Q，则|AP|2＋|AQ|2＝( )A．4 B．6C．8 D．10解析：选D．法一：特殊法．当A在BC的中垂线上时，由|BC|＝4，得|OA|＝2．所以|AP|2＋|AQ|2＝2|AP|2＝2(12＋22)＝10．选D．法二：以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)，P(－1，0)，Q(1，0)设A(x0，y0)，由AB⊥AC得y0·＝－1．x0＋2即x＋y＝4．所以|AP|2＋|AQ|2＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y20＝2(x＋y)＋2＝2×4＋2＝10．即|AP|2＋|AQ|2＝10．故选D．3．(选修11 P35例3改编)如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为 ( )A ．B ．32C ．D ．63解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为＋＝1(a>b>0)．则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝(x ＋a)，y ＝－x ＋a ．联立解得M 的坐标为，所以＋＝1，化简得a2＝3b2＝3(a2－c2)，所以＝，所以＝．故选D ．4．(选修11 P61例4改编)过抛物线y2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB|＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α．则BE ＝m|cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m(1－|cos α|)， 所以|cos α|＝AD AC＝．解得|cos α|＝．由抛物线焦点弦长公式|AB|＝得|AB|＝＝9．故选B ． 或：由|cos α|＝得tan α＝±2．所以直线l 的方程为y ＝±2(x－2)，代入y2＝8x 得 8(x2－4x ＋4)＝8x ，即x2－5x ＋4＝0．所以xA ＋xB ＝5，则|AB|＝xA ＋xB ＋4＝9．故选B ． 二、填空题5．(选修11 P54B 组T1改编)与椭圆＋＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆＋＝1的焦点为(±5，0)， 所以可设双曲线方程为x2a2－＝1(a>0，b>0)， 所以a2＋b2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得ba＝，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为－＝1． 答案：－＝16．(选修11 P68A 组T5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x2＋y2 cos α＝1的离心率为，则α＝________．解析：由题意知，曲线C 为椭圆，所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上． 所以a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1． 由e ＝得＝，即＝．所以cos α＝，所以α＝． 答案：π3三、解答题7．(选修11 P36练习T3改编)已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆的左，右顶点，若直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的一个动点，直线AQ交l于点M，过点M垂直于QB的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF1|＋|EF2|＝2a，|FF1|＋|FF2|＝2a，又已知△EFF2的周长为8，所以4a＝8，故a＝2．又e＝＝，故c＝，所以b2＝2，故椭圆C的方程为＋＝1．(2)由题意A(－2，0)，B(2，0)，直线l：x＝2，显然直线AQ的斜率存在且不为0，设为k，则直线AQ的方程为y＝k(x＋2)．联立方程组可得点Q．联立方程组可得点M(2，4k)．又B(2，0)，则kBQ＝＝－，所以km＝2k，故直线m的方程为y－4k＝2k(x－2)，即y＝2kx，所以直线m过定点(0，0)．8．(选修11 P64A组T2(1)、P41练习T3(1)改编)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝．(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF．解：(1)由已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，可得抛物线C的方程为x2＝4y．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c．由已知得：解得所以椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)证明：显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意．故可设直线l的方程为y＝kx＋1，A (x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，由消去y并整理得x2－4kx －4＝0，所以x1x2＝－4．因为抛物线C的方程为y＝x2，求导得y′＝x，所以过抛物线C上A，B两点的切线方程分别是y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，即y＝x1x－x，y＝x2x－x，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，所以·＝·(x2－x1，y2－y1)＝(x－x)－2－\f(1,4)x))＝0．所以AB⊥MF．。
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第9章 平面解析几何 9-8
设 P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴ （x＋1）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2， 整理得 x2＋y2－130x＋1＝0， 即x－532＋y2＝196. ∴动点 P 的轨迹方程为x－532＋y2＝196. 【答案】 x－532＋y2＝196
【反思·升华】 (1)直接法求曲线的轨迹方程时，建立适当的坐标系非常重要．建立 适当的直角坐标系一般应遵循两原则：①对称性原则：坐标轴为曲线的对称轴，坐标原 点为曲线的对称中心；②过原点原则：在优先满足①的情形下，尽量让曲线经过原点， 这样方程可减少一个常数项．(2)直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关 系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、 化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建 系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
高频考点 2 直接法求曲线的轨迹方程 【例 2.1】 已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹方程为________． 【解析】 如图 1 所示，以线段 AB 的中点 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立如图所 示的平面直角坐标系，则 A(－1，0)，B(1，0)．
3．求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、 代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明． (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其 待定系数． (4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0) 又在某已知曲线上，首先用 x，y 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得到要求的轨迹 方程．
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第9章 平面解析几何 9-7
点 O，F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36π，则抛物线的方程为________．
解析：(1)设 M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p，由抛物线定义知 x＋p2＝2p， 所以 x＝32p，所以 y＝± 3p， 又△MFO 的面积为 4 3， 所以12×p2× 3p＝4 3，解得 p＝4(p＝－4 舍去)． 所以抛物线的方程为 y2＝8x.
【例 2.1】 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，
若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
【解析】 抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F 的坐标为a4，0，则直线 l 的方程为 y＝
[强化训练 3.1] (1)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①该抛物线的方程为________；
②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，则 λ 的值为________．
因此最小值为 F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离， 即 dmin＝ 4|24＋－（0＋－63|）2＝2.故选 A.
答案：A
图3
[强化训练 1.2] F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________．
(3)设 AB 的中点为 M，点 M 到准线的距离为 d， 则 d＝|AA1|＋2 |BB1|＝|AF|＋2 |BF|＝|A2B|， ∴以 AB 为直径的圆与准线相切． (4)当直线 AB 的斜率不存在时， |A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2＝1p＋1p＝2p； 当直线 AB 的斜率存在时， ∵x1＋x2＝yk1＋p2＋yk2＋p2＝y1＋k y2＋p＝2kp2 ＋p，x1x2＝p42，
高考数学一轮复习第九章 平面解析几何
第九章 平面解析几何1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________.②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝.3.直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注：截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例.(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________.自查自纠：1.(1)|x2－x1|(2)①()x2－x12＋()y2－y12②x1＋x22y1＋y222.(1)正向平行重合0°≤α<180°(2)正切值tanα90°＝> < 90°(3)y2－y1x2－x13.(1)横坐标a纵坐标b不是(2)①y－y0＝k(x－x0) ②y＝kx＋b③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa＋yb＝1 ⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)①x＝x1②y＝y1③x＝0 ④y＝0过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A.1B.12C.2D.13解：由4－mm＋2＝1，得m＝1.故选A.直线3x－3y＋1＝0的倾斜角是( )A.30°B.60°C.120°D.135°解：直线方程可变形为y＝3x＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是( )A.2x＋y－12＝0B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C.x－2y－1＝0D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0解：当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a＝6，对应方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0，故选B.若直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为________.解：∵|k|＝|tanα|＝3，α∈[0，π).∴tanα＝±3，α＝π3或2π3.故填π3或2π3.下列四个命题中真命题有______个.①经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过定点(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.解：①当k不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k可能不存在，不正确.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)已知直线l经过A(cosθ，sin2θ)和B(0，1)不同的两点，求直线l倾斜角的取值范围.解：当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B重合.∴cosθ≠0.∴k＝1－sin2θ0－cosθ＝－cosθ∈[－1，0)∪(0，1].因此倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.(2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________.解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系.②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题.(1)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0 解：由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－a b＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.(2)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程.(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线.求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°.∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是：y＋1＝tan30°(x－3)，即3x－3y－6＝0.(2)所求直线方程为：y＝33x－5，即3x－3y－15＝0.类型三直线方程的应用已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求||PA＋||PB的最小值.解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴||P0A1＝||P0A，||PA1＝||PA.∴||PA＋||PB＝||PA1＋||PB≥||A1B＝||A1P0＋||P0B＝||P0A＋||P0B.当P点运动到P0点时，||PA＋||PB取到最小值||A1B.∵点A，A1关于直线l对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，y1＝3，即A1(0，3).∴(||PA＋||PB)min＝||A1B＝82＋（－1）2＝65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )A.2B.1C.83D.43解：以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心D⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设P(m，0)，m∈(0，4)，则点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4，4－m)，P2(－m，0)，由于D，P1，P2三点共线，∴kP1D＝kP2D，即43－（4－m）43－4＝4343＋m，解得m＝43或0.又∵m∈(0，4)，∴m＝43.故选D.1.直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象(如图)来解决.这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距可能为0.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单.4.对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解.5.求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，从而写出直线方程.1.下列命题中，正确的是( )A.直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对.故选D.2.已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－3x －2D.y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.4.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为( )A.3x －4y －8＝0B.3x ＋4y －8＝0C.3x ＋4y ＋8＝0D.3x －4y ＋8＝0解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故选D.5.若A (a ，b )，B (c ，d )是直线y ＝mx ＋n 上的两点，那么A ，B 间的距离为( )A.||a －c 1＋m 2B.||a －c (1＋m 2) C.||a －c 1＋m2D.||a －c ·||m 解：||AB ＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝（a －c ）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －d a －c 2 ＝（a －c ）2（1＋m 2）＝||a －c ·1＋m 2.故选A.6.(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7.直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________.解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解：在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ，则PA ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥AC ＋BD ，当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号，此时点P 到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小.易知直线AC 的方程为y ＝2x ，直线BD 的方程为y ＝－x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即所求点P 的坐标为(2，4).故填(2，4).9.设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是1.解：(1)令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意知2m －6＝－3，解得m ＝32.(2)∵直线l 的斜率存在， ∴m ≠0.于是直线l 的方程化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意知－1m＝1，解得m ＝－1.10.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值.解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a＋1b ＝12. 11.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b.又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值.解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7).易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________.(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________.2.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________.3.距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________.4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程.自查自纠：1.(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 22.相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3.(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C1－C 2A 2＋B 2若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝23x垂直，则直线l 的方程是( )A.3x ＋2y －1＝0B.3x ＋2y ＋7＝0C.2x －3y ＋5＝0D.2x －3y ＋8＝0解：由条件知，直线l 的斜率k ＝－32，∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )A.12B.－12C.13D.－13解：因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”，则(－1)×1a＝－1，解得a ＝1，必要性也成立.故选C.点A (4，5)关于直线l 的对称点为B (－2，7)，则l 的方程是____________.解：由题意得k AB ＝7－5－2－4＝－13，∵k l ⊥k AB ，∴k l ＝3.又线段AB 的中点在直线l 上，∴直线l 过点(1，6).∴直线l 的方程为y －6＝3(x －1)，即3x －y ＋3＝0.故填3x －y ＋3＝0.已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________.解：l 2可以化为3x ＋4y ＋12＝0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7－125＝32.故填32.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0或2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m 3，解得m ＝－1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m ，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解.∴l 1与l 2相交.(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解. ∴l 1与l 2平行.(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解.∴l 1与l 2重合.点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零.当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形.解：记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解之得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形.类型二 两条直线垂直直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y＝2，以及与x ，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值.解：结合图形分析，如图所示，由直线l 1，l 2及x ，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补.∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°， 即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3.点拨：(1)给定两直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(或y ＝k 1x ＋b 1)；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(或y ＝k 2x ＋b 2).直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0(或k 1k 2＝－1).认识此充要条件请把握好以下两点：①k 1k 2＝－1是A 1A 2＋B 1B 2＝0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；②A 1A 2＋B 1B 2＝0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补.(2013·北京一模)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：当a ＝－2时，l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：x －2y ＋2＝0，k 1＝－2，k 2＝12，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，充分性成立；反之，由l 1⊥l 2得a ·1＋(a ＋1)·a ＝0，解得a ＝－2或0，必要性不成立.综上知，故选A.类型三 对称问题求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程.解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y ).由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程.点拨：利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l ′，此解法适用于求曲线F (x ，y )＝0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义.有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，求BC 边所在直线的方程.解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题已知点A (－2，0)，B (0，4)到直线l的距离均为5，求直线l 的方程.解：当点A ，B 在直线l 的同侧时，有AB ∥l ， 易得直线AB 的方程为2x －y ＋4＝0，则可设直线l 的方程为2x －y ＋t ＝0，∵两平行直线间的距离为5，∴d ＝|t －4|5＝5，解得t ＝9或－1.直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0. 当点A ，B 分居直线l 的两侧时，线段AB 的中点在直线l 上，即点(－1，2)在直线l 上，且直线l 的斜率存在，可设直线l ：y ＝k (x ＋1)＋2，由点到直线的距离公式得d ＝|k －2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.综上，直线l 的方程为2x －y ＋9＝0或2x －y －1＝0或x ＋2y －3＝0.点拨：两点到直线的距离相等，可分为两点在直线同侧和两侧，其中位于直线两侧的情形极易遗漏，应引起注意.对于A ，B 两点在直线l 的两侧，若由|AB |＝25，发现直线l 即线段AB 的中垂线，则更易求解.(2013·武汉四月调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )>0，且||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C ，则直线l ( )A.与直线P 1P 2不相交B.与线段P 2P 1的延长线相交C.与线段P 1P 2的延长线相交D.与线段P 1P 2相交解：由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，设d 1＝||Ax 1＋By 1＋C A 2＋B 2，d 2＝||Ax 2＋By 2＋C A 2＋B 2，由||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C 得d 1<d 2，即点 P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离，数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交.故选B.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标.证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A.证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A (－1，2).点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ).(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0).已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点.证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2).1.无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.2.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合.3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决.4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题.5.运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.6.点(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b (即y －kx －b ＝0)的距离公式d ＝||y 0－kx 0－b 1＋k2记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.7.对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.1.过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A.x －2y ＋4＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y ＋3＝0D.x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2.(2013·山东模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A.1或－3B.－1或3C.1或3D.－1或－3解：∵直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，∴a＋2≠0，直线3x －(a ＋2)y ＋1＝0可化为y ＝3a ＋2x＋1a ＋2.∵两条直线平行，∴3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或－3.故选A.3.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2).故选B.4.(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C.8D.2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5.如果直线(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2与y 轴平行，则m ＝( )A.－1或－2B.－1C.－1或2D.－2 解：∵直线与y 轴平行， ∴m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或－2. 当m ＝－1时，直线方程为x ＝1；当m ＝－2时，方程(m ＋2)x ＋(m 2＋3m ＋2)y ＝m ＋2不表示直线，舍去.综上知m ＝－1.故选B.6.已知直线l 1：ax ＋4y ＝2与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0垂直，点(1，c )为垂足，则a ＋b ＋c 等于( )A.－4B.20C.0D.24解：∵l 1⊥l 2，∴2a －20＝0，a ＝10.∴直线l 1的方程为5x ＋2y －1＝0.又∵点(1，c )为垂足，∴点(1，c )在直线l 1，l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋2c －1＝0，2－5c ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，c ＝－2.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选A. 7.过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________.解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8.(2013·北京模拟)l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________.解：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，两平行线的斜率为k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故填x ＋2y －3＝0.9.已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，求顶点A 的坐标.解：设顶点A 的坐标为(x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，y －1x －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5x ＋33，y ＝3x －5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.∴A 的坐标为(－19，－62).10.设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程.解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0， ∴C (1，0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，①∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)11.证明直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1对任意a ∈R 都通过第一象限，并求出直线不通过第二象限时a 的取值范围.证明：原直线方程可变形为x －2y ＋1＋a (y －3x )＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y －3x ＝0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35. ∴方程①表示恒过点(15，35)的一条直线.又点(15，35)在第一象限，∴无论a 为何实数，此直线均过第一象限.解：当a ≠2时，直线方程可化为：y ＝3a －1a －2x－1a －2. 若要此直线不通过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2＞0，－1a －2＜0，解得a ＞2. 又当a ＝2时，原方程可化为：x ＝15，也不经过第二象限.∴当a ≥2时，直线不通过第二象限.(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A.无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B.无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C.存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D.存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解：∵点P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)在直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上且斜率存在，∴k ＝b 2－b 1a 2－a 1(a 1≠a 2)，b 1＝b 2－b 1a 2－a 1·a 1＋1，得a 2b 1－a 1b 2＝a 2－a 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝b 2－b 1，即 (a 1－a 2)x ＝b 2－b 1.∴方程组总有唯一解.故选B.§9.3 圆的方程1.圆的定义 在平面内，到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________.2.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，__________为半径长的圆的标准方程.(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程.注：将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，(1)点M 在圆上：________________________； (2)点M 在圆外：_______________________； (3)点M 在圆内：_________________________.自查自纠：1.定点 定长 集合 圆心 半径长2.(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F3.(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A.－1B.1C.3D.－3解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，∵直线经过圆的圆心(－1，2)，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，得a＝1.故选B.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A.a <－2或a >23B.－23<a <0C.－2<a <0D.－2<a <23解：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D 2＋E 2－4F >0，即a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.故选D.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径长为5的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D. x 2＋y 2－2x －4y ＝0 解：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0变形得y －2＝(a －1)(x ＋1)，∴该直线恒过点C (－1，2).∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y＝0.故选C.(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________.解：∵点(1，0)关于直线y ＝x 的对称点为(0，1)，∴圆心为(0，1).∴圆C 的标准方程为x 2＋(y－1)2＝1.故填x 2＋(y －1)2＝1.圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________.解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故填x 2＋(y －2)2＝1.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外.解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b＝9＋32＝6.再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r ＝|CP 1|＝（4－5）2＋（9－6）2＝10.因此所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
近年高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第九章平面解析几何学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第九章平面解析几何1。
(原创)设m为常数，则过点A（2，－1），B（2，m）的直线的倾斜角是Ｗ。
答案：90°解析：因为过点A（2,－1），B（2，m）的直线x＝2垂直于x轴,故其倾斜角为90°。
2。
（必修2P80练习1改编)若过点M（－2，m)，N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为Ｗ.答案：1解析：由1＝错误!，得m＋2＝4－m,解得m＝1.3。
（原创）若直线l的斜率k的变化范围是［－1，错误!］，则它的倾斜角的变化范围是Ｗ。
答案：错误!∪错误!解析:由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴α∈错误!∪错误!。
4。
（必修2P80练习6改编）已知两点A(4，0），B(0，3），点C（8,a)在直线AB上，则a＝Ｗ.答案：－3解析:由k AB＝k BC得错误!＝错误!,解得a＝－3。
5。
（必修2P80练习4改编）若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后,又回到原来的位置，则直线l的斜率为Ｗ.答案：－错误!解析：设直线上任一点为（x，y)，平移后的点为（x－2，y＋3），利用斜率公式得直线l的斜率为－错误!.1。
直线倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范围是［0，π）Ｗ。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。