2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1 若1)(lim 2120=++→x x x bx ax e ,则 A 1,21-==
b a B 1,2
1-=-=b a C 1,21==b a D 1,21=-=b a 2下列函数中不可导的是（）
A. )sin()(x x x f =
B.)sin()(x x x f =
B. x x f cos )(= D.)cos()(x x f =
3设函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<--≤-=⎩⎨⎧≥<-=0011,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)()(x g x f +在R 上连续，则（） A
1,3==b a B 2,3==b a C 1,3=-=b a D
2,3=-=b a 4 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)(1
0=⎰dx x f 则
A 当0
)(<'x f 时，0)21(<f B 当0)(<''x f 时，0)21(<f
C 当0210)(<>'）（时，f x f
D 当0)21(0)(<>''f x f 时， 5 dx x K dx e x N dx x x M x ⎰⎰⎰---+=+=++=22222
222)cos 1(,1,1)1(ππππππ则M,N,K 大小关系为（） A.K N M >> B.N K M >>
C.N M K >>
D.M N K >>
6 ⎰⎰⎰⎰=-+-----10220122)1()1(dy xy dx dy xy dx x x x x A 35 B 65
C 37
D 67
7 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100110011相似的为（）
A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111
B.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-100110101
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111.C D.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-100010101
8设A,B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵x 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则
A.)()(A r AB A r =
B.)()(A r BA A r =
C.{})(m ax )(A r B A r =
D.)()(T T B A
r B A r =
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。
9 =-++∞
→]arctan )1[arctan(lim 2x x x x 10 曲线x x y ln 22+=在其拐点处的切线方程是 11=+-⎰+∞
dx x x 52341
12 曲线4t sin cos 33π=⎪⎩⎪⎨⎧==在t y t x 对应点处的曲率为
13设函数),(y x z z =由方程xy e z z =+-1ln 确定，则=∂∂)
21,2(|x z 14设A 为3阶矩阵，321,,ααα为线性无关的向量组，若3233223211,2,2αααααααααα+-=+=++=A A A ，则A 的实特征值为
三、解答题：15~23小题，共94分。
请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（本题满分10分） 求不定积分dx e e x x ⎰-1arctan 2
16（本题满分10分）
已知连续函数)(x f 满足201
0)()(ax dt t x tf dt t f x
=-+⎰⎰
（1）求)(x f
（2）若)(x f 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值
17（本小题10分）
设平面区域D 由曲线)20(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 与x 轴围成，计算二重积分⎰⎰+D
dxdy y x )2( 18（本小题10分）
已知常数12ln -≥k 证明：0)1ln 2ln )(1(2
≥-+--x k x x x
19（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值
20（本小题10分） 已知曲线）（），点（点1,00,0),0(9
4:2A O x x y L ≥=设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 与曲线L 所围图形的面积 ，若P 运动到点（3,4）时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t 的变化率。
21（本小题11分）
设数列{}n x 满足：)2,1(1,011 =-=>+n e e
x x n n x x n 证明{}n x 收敛，并求n n x lim +∞
→ 22（本小题11分）
设实二次型231232232132,1)()()(),(ax x x x x x x x x x f +++++-=，其中a 为参数。
（1）求0),(32,1=x x x f 的解
（2）求),(32,1x x x f 的规范形
23（本小题11分） 已知a 是常数，且矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a A 7203121可经初等列变换化为矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a a B 7203121
（1）求a
（2）求满足B AP =的可逆矩阵p。
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018考研数学二真题和答案及解析
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2018 年考研数学二真题及答案解析
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及标准答案
(总分：150.00，做题时间：180分钟)
一、单项选择题
选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(总题数：8，分数：32.00)
1. （分数：4.00）
A.a=1/2，b=-1
(1) 求f(x1,x2,x3) = 0 的解
(2) 求f(x1,x2,x3) 的规范型（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(
）
解析：
12.曲线 对应点处的曲率为__________。（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
2/3
）
解析：
13.设函数z = z(x，y)由方程l __________。
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
1/4
）
正确答案：(
)
解析：
19.将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
2
）
解析：
三、解答题
解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2018考研数二真题答案
2018考研数二真题答案（正文开始）2018考研数二真题答案一、选择题部分1. A2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. C11. B 12. A 13. D 14. C 15. B 16. D 17. A 18. C 19. D 20. B二、计算题部分21. 设正方体的边长为x。
则从正方体底面上任一点到正对面上的点的距离为2x。
根据题意，有：2x = 12 => x = 6则正方体的体积为 V = x^3 = 6^3 = 21622. 记事件A为甲同学物理考试及格，事件B为甲同学数学考试及格，事件C为甲同学英语考试及格。
根据题意，有：P(A) = 0.9P(B) = 0.8P(C) = 0.7P(A∩B) = 0.4P(A∩C) = 0.5P(B∩C) = 0.6根据两两事件的交集关系，有：P(A∩B∩C) = P(A) + P(B) + P(C) - (P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C)) = 0.9 + 0.8 + 0.7 - (0.4 + 0.5 + 0.6) = 1.3所以甲同学三门课程都及格的概率为1.3。
三、解答题部分23. 解：设随机变量X为硬币朝上的次数。
根据题意，有：P(X = 0) = (1/2)^10 = 1/1024P(X = 1) = 10 * (1/2)^10 = 10/1024P(X = 2) = C(10, 2) * (1/2)^10 = 45/1024P(X = 3) = C(10, 3) * (1/2)^10 = 120/1024P(X = 4) = C(10, 4) * (1/2)^10 = 210/1024所以P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = (120 + 210) / 1024 = 330 / 1024 ≈ 0.32224. 解：根据题意，A、B交换座位等价于把A、B按照某种顺序排列在一起。
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
2018考研数学二真题及答案
1
，所以 0
1
1 与0
1
1
相似
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1
故选（A）
8.设 A, B 为 n 阶矩阵，记 r(X ) 为矩阵 X 的秩， (X ,Y ) 表示分块矩阵，则
A. r(A AB) r(A).
B. r(A BA) r(A).
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
1
1.若 lim ex ax2 bx x2 1，则 x0
A. a 1 ,b 1 2
若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J 相似，从而 r E Q r E J ，故选（A）
方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）
1 1 0
1 1 0
令 P 0 1 0 ， P1 0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1
P1 0 1 1 P 0 1
A.当
f
x
0
时，
f
1 2
0
B.
当
f x 0 时，
f
1 2
0
C.
当
f x 0 时，
f
1 2
0
【答案】D 【解析】
D.
当
f x 0 时，
f
1 2
0
A
错误：
f
x
x
1 2
1
, 0
f
xdx
1 0
x
1 2
2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
（完整版）2018考研数学二真题
（完整版）2018考研数学二真题2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,x x x e ax bx →++=若则（） (A)112a b ==-， (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-?-<<+??≥??-≥?设函数若在上连续，则（）(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =?设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1()0,()02f x f ''<<当时(C) 1()0,()02f x f '><当时 (D) 1()0,()02f x f ''><当时（5）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===++则（）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（6）22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=（）(A)53 (B) 56 (C) 73 (D) 76（7）下列矩阵中与矩阵110011001??相似的为（）(A) 111011001-??(B) 101011001-??(C) 111010001-?? ? ? ???(D) 101010001-?? ? ? ???（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =(D) ()(),T T r A B r A B =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是（11）25143dx x x +∞=-+? （12）33cos 4sin x t t y tπ?==?=?曲线，在对应点处的曲率为（13）()1,ln ,1(2,)2z z z x y z e xy x -?=+==?设函数由方程确定则（14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A 的实特征值为 .三、解答题：15~23小题，共94分。
2018考研数学二真题及答案解析-文都版
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应选(D). 方法二： 因为 f ( x) cos
x , f (0) 1 cos x x 1 1 x 2 不存在 x
lim
x 0
f ( x) f (0) lim x 0 x
lim
x 0
f ( x) 在 x 0 处不可导，选（D）
N 2
1 x x 1 dx ，因为 e x x 1 ，所以 x 1 x e 2 e
3
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K 2 1 cos x dx ， 1 cos x 1
2
即
所以由定积分的比较性质 K M N ，应选（C）. 6.
A. M N K . C. K M N . 答案：（C） 解析： M
B. M K N . D. K N M .
2 2
1 x
1 x2
2
dx =
2 2
2x 1 2 1 x
2 dx 1dx ， 2
4.设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导，且
1
0
f ( x)dx 0, 则
2
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1 2 1 C.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
A.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 答案：（D）
1 2 1 D.当 f "( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
（B） lim
x 0
1 2 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （C） lim = lim = lim 2 = 0 ，可导 x 0 x 0 x 0 x x x 1 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （D） lim = lim = lim 2 不存在，不可导 x 0 x 0 x 0 x x x