人教版高二(上)数学教案
人教版高二（上）数学教案（全册）第六章不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质in。过程：
一、引入新课
1 ?世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2.过去我们已经接触过许多不等式
二、几个与不等式有关的名称
1. "同向不等式与异向不等式”
2. “绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1.从实数与数轴上的点一一对应谈起
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
2.应用:例一
比较
（ a 3)(a 5)与(a 2)( a 4）的大小
解:
（取
差）
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
2
(a 2a 15) (a22a 8) 7 0
??? (a3)( a 5)<(a 2)(a 4)
例二已知x 0,比较(x21)2与 4 x 2 x 1的大小
解:
（取
差）
(x2 2 / 4
1) (x x 2 1)
X4 2x2 1 4 2
x x 1 2 x
??? X 0 ?- x20从而（x21)2 4 >x x2 1
小结：步骤：作差一变形一判断一结论
例三比较大小1 . 一1和.10
、3 2
解:
?/ (、、3 、
2)2
(?10)2 2 6 5、24 .25 0
从而提出课题
（例略）
20
3
1 < 10
2. b 和
b m (a, b,m
R )
a
a m
解：（取差）
b b m m(b
a
a m a(a
???当 b
z b b m
当b
a 时一 >
;
a a m
3.设a
0且a i 1 ,t
0比较
-a) ■/ (a, b, m R ) m) b b m b b m
a 时= ；当
b a 时一 < ----------
a a m a a m
1
t 1 交2 bg a t 与lOg a —厂的大小
解:
四、
1 1 时 ^log a t 三 不等式的性质 log a -
1
a 1 时 log a t >
1 .性质1 :如果a 那么b a ;如果b a ，那么
（对称性）
证：??? a b ?- 0由正数的相反数是负数
(a b) 0 b a 2.性质2：如果a 那么a c （传递性）
证：??? a b , ???两个正数的和仍是正数 ??? (a b) (b c) 由对称性、性质2可以表示为如果c b 且b a 那么 五、小结：1.不等式的概念 2 .一个充要条件 3.性质1、2 六、作业: P5练习P8 习题6.1 1 — 3
补充题: 1 .若 2x 4y 1，比较％2『与2的大小
解: x 1
2 4y 2
x
20
1
> —
2 .比较 2sin
sin2 的大小(0<
<2 )
略解：2sin
sin2 =2sin
(1 cos ) (0,)时 2sin (1 cos ) > 0 2sin > si n2
(,2
)时 2sin (1 cos )<0
2sin
3 ?设a 0且a 1比较log a(a31)与log a(a21)的大小 解：(a3 1) (a2 1) a2(a 1) 当0 a 1 时a3 1 a2 1「.log a(a3 1)>log a(a2 1) 当a 1 时a3 1 a2 1「.log a(a3 1)>log a(a2 1) 二总有log a(a31)>log a(a21) 第二教时 教材：不等式基本性质(续完) 目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2 二、1．性质3 ：如果a b ，那么a e be (加法单调性)反之亦然 证：??? (a e)(b e) a b 0 ?a eb e 从而可得移项法则： a b e a b ( b) e ( b) a e b 推论：如果a b且e d ，那么a e bd (相加法则) ab aeb e 证： a e bd ed beb d 推论：如果a b且e d ，那么a e bd (相减法则) ab 证：??? e d ?'ed ae bd ed 或证：(a e) (b d) (a b) (e d) a b a b0 上式>0 ed e d0 2.性质4：如果a b且c 0, 那么ac be；如果a b 且c 0那么ac bc (乘法单调性) 证：ae be (a b)e ■/ a ba b 0 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得： e 0时(a b)e 0 即：ae be c 0 时(a b)c 0 即：ac be 推论1 如果 a b 0且c d 0，那么ac bd （相乘法则） r a b,c ac bc 证： ac bd c d,b 0 bc bd (n N 且 n 1) 3.性质5：如果a 0，那么 n a 1) 证：（反证法） 假设 n b 则：若：a ； b ； b 这都与a b b 矛盾n 、a n b 、小结：五个性质及其推论 口答P8 练习1、2 习题6.1 4 四、作业 P8 练习3 习题6.1 五、供选用的例题（或作业） 1.已知 求证: 证：a c 2.若 a,b 求不等式 同时成立的条件 1 解: a a ab b ab 0 3.设 a,b,c c 0, abc 求证- a 证：??? a b b 2 2ab 2ac 2bc 又??? abc 0 ? a 2 b 2 2 c >0 / ac bc 0 推论 1'（补充）如果 a b 0且0 c d ，那么- K -（相除法则） c d 证：? 1 d c 0 ?- 1 d a b a b 0 c d 推论2如果a b 那么 0, b n n a 证明：a 2 b 2 2ab (a b)2 当 a b 时,(a b)2 0 2 . 2 _ . , r 2 a b 2ab 当 a b 时,(a b) 0 1 ?指出定理适用范围： a,b R 2 ?强调取“=”的条件a b a b c abc 1 1 1 a b c 4. ab 0,|a 1 |b| 比较 1 与 1 -的大小 a b 1 解:- 1 b a 当a 0,b 0 时?/ |a | |b|即 a a b ab b a 1 1 b a 0 ab 0 ? < — ab a b 当a 0,b 0时?? '|a | |b|即 a b b a 1 1 b a 0 ab 0 0 ?- >_ ab a b 5.若 :a, b 0求证 :b 1 b a a 解： b 1 b a 0 ?/ a 0 ? b a 0 ? a 1 a a a 0 ?/ a 0 ???— a 0 ??? - 1 a 6?若a 0,c log sin b d 证： ?/ 0 sin 1 >1 -lO g sin 又??? a b 0, c d 0 ? a c b d 1 1 ? a c b d ?丿式丿成^立 第三教时 并掌握“平均不等式”及其推导过程。 定理：如果a,b R ，那么a 2 b 2 2ab （当且仅当a b 时取“=”） 1 1 1 b a b 1 b b b a ab be ca , abc 0 ? ab ae be 0 c 教材：算术平均数与几何平均数 目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义, 过程： a b .—— 二、 定理：如果 a,b 是正数，那么 ab (当且仅当a b 时取“=”) 2 证明：??? (.a)2 (.-b)2 2.ab .? a b 2.. ab 即：已丄 .ab 当且仅当a b 时 电丄 ,ab 2 2 注意：1 ?这个定理适用的范围： a R 2?语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、 推广： 定理：如果 a,b,c R , 那么a 3 b 3 c 3 3abc (当且仅当 a b c 时取“=”) 证明 :?/ a 3 b 3 c 3 3abc (a b)3 c 3 3a 2b 3ab 2 3abc (a b 2 c)[(a b) (a b)c c 2] 3ab(a b c) (a b c)[ a 2 2ab b 2 ac bc c 2 3ab] (a b 2 2 2 c)(a b c ab bc ca) 1 _ 2 八 、2 2 - 2(a b c)[( a b) (b c) (c a) ] a,b,c R ???上式》0 从而a 3 b 3 c 3 3abc 指出：这里a, b, c R ?/ a b c 0就不能保证 推论：如果 a,b, c R ，那么 -一b 一C Vabc 3 (当且仅当a b c 时取“=”) 证明：(3 a)3 (3 b)3 (3、c)3 33 a 3 b 3 c a b c 33 abc a b c 3 — abc 3 四、关于“平均数”的概念 1. 如果 a 1, a 2, , a n R ,n 1且 n N 贝y ： n sna 2 a n 叫做这n 个正数的几何平均数 2 ?点题：算术平均数与几何平均数 a n 叫做这n 个正数的算术平均数