平行线的性质

教学内容

【平行线的性质】

性质1. 两直线平行，同位角相等.

性质2. 两直线平行，内错角相等.

性质3. 两直线平行，同旁内角互补.

一、基础过关:

1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（ A ）

A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等

C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行

2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（ B ）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定

3．如图2，AB∥CD，那么（ D）

A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5

4．如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ D ）

A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°

C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°

5．如图4，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（ B ）A．30° B．60° C．90° D．120°

6．如图5，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．

180°点拨：∵AB∥EF，∴∠B=∠CFG．

∵BC∥DE，

∴∠E+∠BFE=180°．

∵∠GFC=∠BFE，

∴∠B+∠E=180°．

7．如图，AB∥CD，AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线，AE与DF平行吗？•为什么？

解．

∵AB∥CD，

∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）．

∵AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的平分线，

∴∠EAD=1

2

∠BAD，∠FDA=

1

2

∠CDA．

∴∠EAD=∠FDA．

∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．

8．如图，已知∠AMB=∠EBF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．

．证明：∵∠AMB=∠DMN，又∠ENF=∠AMB，∴∠DMN=∠ENF，

∴BD∥CE．∴∠BDE+∠DEC=180°．

又∠BDE=∠BCN，∴∠BCN+∠CED=180°，

∴BC∥DE，∴∠CAF=∠AFD．

9．（应用题）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，

问∠C是多少度？说明你的理由．

．解：∠C=150°．

理由：如答图，过点B作BE∥AD，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角

相等）．

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°．

∵BE∥AD，CF∥AD，

∴BE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行）．

∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．

10．（创新题）（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？

（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．

解：（1）如答图5-3-2，过点C作CF∥AB，

则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵CF∥AB，DE∥AB，

∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．

∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°．

（2）∠B+∠C+∠D=360°．

理由：如答图5-3-2过点C作CF∥AB，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．

∵CF∥AB，DE∥AB，

∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°．

即∠B+∠BCD+∠D=360°．

选择题：

1.如图所示，如果AD//BC，则：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠1+∠3=∠2+∠4；上述结论中一定正确的是( A)

A．只有①

B．只有②

C．①和②

D．①、②、③

说明：因为∠1与∠2是AD、BC被BD所截而成的内错角，所以由AD//BC可

知∠1 =∠2成立；而AB与CD不一定平行，所以②、③难以确定是否正确；

答案为A．

2．下列命题中，错误的命题的个数是( )

①互余的两个角都是锐角；

②互补的两个角一定不能都是钝角；

③邻补角的角平分线互相垂直；

④同旁内角的角平分线互相垂直；

⑤同位角的角平分线互相平行；

⑥一个角的邻补角一定只有一个

A．0个 B．2个 C．3个 D．以上答案都不

说明：由互余的概念可得①正确；而若两角都为钝角，则和一定大于180º，所以互补的两角一定不能都是钝角，

②也正确；不难说明，邻补角的角平分线互相垂直这个命题正确；而只有在两直线平行时，同旁内角的角平分线才互相垂直、同位角的平分线才互相平行，所以④、⑤都是错误的命题；当两条直线相交时，其中任一角的邻补角有两个，⑥也是错误的命题，答案为C．

3．如图，已知∠1 = 90º+nº，∠2 = 90º−nº，∠3 = mº，则∠4等于( )

A．mº

B．90º−nº

C．180º−nº

D．90º+nº

说明：如图，因为∠1 = 90º+nº，∠2 = 90º−nº，所以∠1+∠2 = 180º；而∠1与∠5为对顶角，所以有∠5+∠2 = 180º，因此，得到a//b，所以∠3 =∠4，即∠4 = mº，答案为A．

4．如图，AB//CD则∠α等于( )

A．50º

B．80º

C．85º

D．95º

说明：如图，过点E作EF//AB，因为AB//CD，所以EF//CD；因此，有∠ABE+∠BEF = 180º，∠FEC =∠ECD，则∠BEF = 60º，∠FEC = 25º，所以∠α=∠BEF+∠FEC = 85º，答案为C．

5．如图，已知AB//CD，∠1 =∠2，∠E = nº，则∠F = ( )

A．nº

B．2nº

C．90º−nº

D．40º

说明：因为AB//CD，知∠ABC =∠DCB，再由∠1 =∠2，得∠EBC =∠FCB，由此得到

EB//FC，所以∠F =∠E = nº，答案为A．

解答题：

1．如图所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．

求证：∠1+∠2=90°．

证明：因为AB∥CD，

所以∠BAC+∠ACD=180°，

又因为AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

所以∠1 =∠BAC，∠2 =∠ACD，

故∠1+∠2 =(∠BAC+∠ACD) =×180º = 90º．

即∠1+∠2=90°．