平行线的性质(1)资料讲解
平行线的性质和判定
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系•【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等•（简记为：两直线平行，同位角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）•定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）"同位角相等、内错角相等”、"同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1. 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a // b,所以/ 1 = Z 2 （两直线平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （对顶角相等）所以/ 2=/3.2. 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以/ 3=/ 2 （两直线平行，内错角相等）又/ 3+/仁180°（补角的定义），所以/ 2+/仁180° .要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性•要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系•平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1. 如图所示，如果AB// DF, DE// BC,且/ 1 = 65。
第1讲 平行线的性质与判定
∠AMD=∠AGF. 证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）， ∴∠BDF=∠EFC=90°（垂直的性质）
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠CBD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2=∠1（已知）， ∴∠1=∠CBD（等量代换），
∴∠D=∠AHC（_两___直__线__平__行___，__同__位__角__相___等____） ∵∠A=∠D（已知） ∴∠AHC=∠A（__等__量__代__换____________________）
∴___A__B_∥__C__D___（__内__错__角__相__等___，__两__直__线___平__行_____）．
★ 例题精讲
例题5 如图，已知∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，求证：AB∥ED.
解：连接BD， ∴∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°， ∵∠ABC+∠BCD+∠EDC=360° ∴∠ABD+∠EDB=180°， ∴AB∥DE．
★ 例题精讲
练习5 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°。 （1）求证：AB∥DG；（2）求∠AGD.
4. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假： （1）等角的补角相等； （2）两个锐角的和是锐角； （3）负数之和仍为负数.
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等； 真命题 （2）如果两个角是锐角，那么这两个角的和也是锐角；假命题 （3）如果几个数是负数，那么它们的和也是负数. 真命题
∴ CE∥DF（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠BCE=∠BDF（两直线平行，同位角相等） ∠EDF=∠CED（两直线平行，内错角相等）
平行线的性质和判定讲解与判定
平行线的性质和判定精品资料教学过程：一、基础知识点：性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵ AB//CD∴ ∠AMN+∠CNM=180°几何符号语言： （1）∵∠3＝∠2∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）（2）∵∠1＝∠2∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵∠4＋∠2＝180°∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
A BC DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
平行线的性质说课稿
平行线的性质说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是“平行线的性质”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“平行线的性质”是人教版七年级数学下册第五章第三节的内容。
在此之前，学生已经学习了平行线的判定，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫作用。
本节内容是在前一节的基础上，进一步探究平行线的性质，它是空间与图形领域的基础知识，也是后续学习三角形、四边形等知识的重要基础。
平行线的性质在实际生活中也有着广泛的应用，如在建筑设计、测量绘图等方面都有重要的作用。
通过对平行线性质的学习，不仅可以加深学生对几何图形的认识，还能培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、学情分析七年级的学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，但他们的抽象思维能力和逻辑推理能力还相对较弱。
在学习平行线的判定时，学生已经对平行线有了初步的认识，但对于平行线的性质，还需要通过直观感知和实际操作来深入理解。
此外，这个年龄段的学生好奇心强，喜欢动手操作，在教学中可以充分利用学生的这些特点，引导他们通过自主探究和合作交流来获取知识。
三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解平行线的性质，能熟练运用平行线的性质解决相关问题。
（2）经历平行线性质的探究过程，培养学生的观察、分析和推理能力。
2、过程与方法目标（1）通过实际操作、观察、猜想、验证等活动，让学生体会探究数学问题的一般方法。
（2）在探究平行线性质的过程中，培养学生的合作交流意识和创新精神。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在数学活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
（2）通过对平行线性质的应用，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点教学重点：平行线的性质及应用。
教学难点：平行线性质的探究过程以及对性质的理解和运用。
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
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课件说明
学习目标： （1）理解平行线的性质； （2）经历平行线性质的探究过程，从中体 会研究几何图形的一般方法．
学习重点： 得到平行线的性质的过程．
1．梳理旧知，引出新课
结论
平行线的判定
判定方法1 同位角相等，两直线平行.
判定方法2 内错角相等，两直线平行. 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行.
∴D∠C=∠A.
∵∠A= 39º，
∴∠C= 39º．
5．归纳小结
（1）平行线的性质是什么？ （2）你能用自己的语言叙述研究平行线性 质的过程吗？ （3）性质2和性质3是通过简单推理得到的， 在推理论证中需要注意哪些问题？
6．布置作业
教科书 习题5.3 第2、4、6题
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例1 如图，平行线AB，CD被直线AE所截．
（2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？
答：∠3 =110º．因为AB∥CD ，∠1和∠3是同位 角，根据两直线平行，同位角相等，得到 ∠1=∠3．因为∠1=110º，所以∠3 =110º．
C
2
A 1
43 E
B
D
4．巩固新知，深化理解
例1 如图，平行线AB，CD被直线AE所截．
（3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？
答：∠4=70º．因为AB∥CD , ∠1和∠4是同旁内 角，根据两直线平行，同旁内角互补，得到 ∠1+∠4=180º．因为∠1=110º，所以∠4=70º．
C
2
A 1
43 E
B
D
4.巩固新知，深化理解
例2 如图，已知AB∥CD，AE∥CF，∠A= 39°， ∠C是多少度？为什么？
4．巩固新知，深化理解
例1 如图，平行线AB，CD被直线AE所截. （1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？
答：∠2 =110º．因为AB∥CD，∠1和∠2是内错 角，根据两直线平行，内错角相等，得到 ∠1=∠2．因为∠1=110º，所以∠2 =110º．
C
2
A 1
43 E
B
D
4．巩固新知，深化理解
性质1 两条平行线被第三条直线 所截，同位角相等.
3．应用转化，推出性质 两条平行线被第三条直线截得的内错 角会具有怎样的数量关系？
性质2 两条平行线被第三条直线 所截，内错角相等.
3．应用转化，推出性质 两条平行线被第三条直线截得的同旁 内角会具有怎样的数量关系？
性质3 两条平行线被第三条直线 所截，同旁内角互补.
1．梳理旧知，引出新课
条件 结论
两 直
？
线
平
行
1．梳理旧知，引出新课
条件 结论
两条平行线 被第三条直 线所截
同位角？ 内错角？ 同旁内角？
2．动手操作，归纳性质 两条平行线被第三条直线截得的同位 角会具有怎样的数量关系？
如图，已知直线 a∥b ，c是截线.
c
a
21 34b65 Nhomakorabea78
2．动手操作，归纳性质 两条平行线被第三条直线截得的同位 角会具有怎样的数量关系？
E F
A
G
C
B D
4．巩固新知，深化理解
方法一
E
解：∵AB∥CD，
F ∴ ∠C=∠1．
A
G1
∵ AE∥CF， B∴ ∠A=∠1．
C
∴D ∠C=∠A．
∵∠A= 39º，
∴∠C= 39º．
4．巩固新知，深化理解
方法二
E
解：∵AB∥CD，
F ∴ ∠C=∠2.
A
G
2
∵ AE∥CF， B∴ ∠A=∠2.
C