刚体 习题课

均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂 直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使 棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒 摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一 A 种说法是正确的? o (A) 角速度从小到大, 角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大, [A] 角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小,角加速度从大到小. (D) 角速度从大到小,角加速度从小到大.
角动量守恒定律：
若M 0, 则L 常量. 即( J )1 ( J ) 2
课堂练习
1.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A 和 B，若 A> B ，但两圆盘的质量与厚 度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴 的转动惯量各为 JA和 JB，则
（A）JA>JB
（B）JB>JA
（C）JA=JB
[B]
（D）JA、JB哪个大，不能确定。
2.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台 上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、 哑铃与转动平台组成的系统的
（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒; （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. [ C ]
A B
解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a
由牛顿第二定律
对滑轮由转动定律:
人 : Mg T 2 Ma
1 1 B : T 1 Mg Ma 2 2
①
②
1 (T 2 T 1) R M 4 附加: a R ④

R
2

联立① ② ③ ④求解 a
7
③ T2 T1 a A B a Mg 1 2 Mg
3. 有一半径为 R 的水平圆转台，可绕通过其中 心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J ，开 始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为 m的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去， 当人到达转台边缘时，转台的角速度为
J 0 2 J mR
4.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的 竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3, 起初杆静止,桌面上有两个质量均为 m 的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着 杆的一端,以相同速率 v 相向运动,当两个小 球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞 后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的 m v 转动角速度应为: L L o v o m
15：阿特伍德机（如图），求绳中张力 滑轮视为圆盘。
解： 对m1（质点）： m1g –T1=m1a
对m2（质点）：T2- m2g=m2a 对m3（刚体）：(T1-T2)r-Mf=Jβ 辅助关系： a=R β
1 J m3 r 2 2
m r 3 T1 T2 T1 T2 m1 m2 m1g m2g
一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角 速度 按图示方向转动,若如图所示的情 况那样,将两个大小相等方向相反但不在 同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘 上,则盘的角速度
F
O
F
（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。 [ A ]
质量为m、长为l的均匀细棒，从静止开始由 a30的角位置绕O点在竖直平面内自由转动， O点离B端的距离为l/3，如图所示。松手后， 求棒在水平位置时的角速度和角加速度.
A
C a C
O
B
3g 2l
3g a 2l
半径分别为rA和rB的圆盘，同轴地粘在一起， 可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定 轴转动，对轴的转动惯量为J，两圆盘边缘 都绕有轻绳，绳子下端分别挂有质量为mA和 mB的物体A和物体B，如图所示。若物体A 以加速度aA上升，证明物体B的质量
3.长为l质量为m匀质细杆可绕通过其上端的水平固 定轴O转动，另一质量也为m的小球，用长为l的轻 绳系于O轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置， 现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后 使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最 大摆角为/3，求小球最初被拉开的角度。 1 2 mv 0 mgl (1 cos ) 2
0 mRv J1
2 2 T mR 2 2 1 2 (1 ) J
v 2 R
40 s 11
5.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数 为 m 的水平桌面上, 设开始时杆以角速 度 0 绕过中心 o 且 垂直与桌面的轴转 动,试求:
0
16.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心 线上，设两轮的转动惯量分别为JA=10kgm2和 JB=20kgm2。开始时，A轮转速为600revmin-1， B 轮静止。 C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽 略不计。 A 、 B 分别与 C 的左、右两个组件相 连，当 C 的左右组件啮合， B 轮得到加速而 A 轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑， 求： （1)两轮啮合后的转速n； （2)两轮各自角动量的变化量。
l
m ho c
l
hc
h’
h=3h0/2
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
v0 2 gh0
令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。 由角动量守恒，有 1 2 mlv0 mlv J ,式中J ml ① 3 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
1 1 1 2 2 mv0 mv J 2 ② 2 2 2
1 1 2 Md ຫໍສະໝຸດ 2 J12 2 26．动能定理 2

1
7．机械能守恒
1 1 2 2 mgh c1 J1 mgh c 2 J 2 2 2
8．刚体的角动量（动量矩）：
角动量定理：
L J
Mdt
0
t
L2
L1
dL L2 L1 ( J ) 2 ( J )1
mB
2 JaA m A rA (g a A ) 2 rA rB g rB a A
rA
O
●
rB
A
B
已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止， l 。 轴光滑， AO 求:杆下摆角后，角速度 ? 4 解：杆+地球系统， ∵只有重力作功，∴ E守恒。 初始： Ek 1 0 令 E p1 0 1 末态：E k 2 J O 2 2 l E P 2 mg sin 4 1 l 2 (1) 则： J O mg( ) sin 0 2 4
g
4
2. 解：dM
m dm g r
l
m 2 M dM mg 2 2r dr dm 2rdr 0 R 2 1 2 mmgR J mR
J0 t M 1 2 0t t
2
Mdt 0 J
0
t
3
2
0
1 动能定理: A J 2 0 2 Md 0 A M
1 l 2 J O mg( ) sin 0 2 4
(1)
由平行轴定理
JO JC md2
1 2 l 2 ml m( ) 12 4 7 ml 2 48
(2)
6 g sin 2 7l
由（1）、（2）得
如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分 别为m和2 m的小球，杆可绕水平光滑轴在竖 直面内转动，转轴O距两端分别为l/3和2l/3。 原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球， 以水平速度v0与杆下端小球作对心碰撞，碰后 以的v0/2水平速度返回，试求碰撞后轻杆所获 得的角速度。
v0 3v0 二式联立解得： v , 2 2l h0 按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 h
1 而杆的质心达到的高度满足 J 2 mghc 2 3h
由此得 h 2hc
0
4
2
典型例1.一轻绳绕过一定滑轮,滑 轮轴光滑,滑轮的质量为 M/4,均 匀分布在其边缘上,绳子 A 端有 一质量为 M的人抓住了绳端,而 在绳的另一端 B 系了一质量为 M /2 的重物,如图。已知滑轮对 o 轴的转动惯量 J=MR2/4 ,设人 从静止开始以相对绳匀速向上爬 时,绳与滑轮间无相对滑动,求 B 端重物上升的加速度？
6、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的转
动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一个
轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。啮 (1/3).0 合后整个系统的角速度
利用J1o=(J1+2J1)
一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1 和 m2 的物体 (m1< m2)，如图所示.绳与轮 之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方 向转动，则绳的张力 o (A) 处处相等. (B) 左边大于右边. m2 m1 (C) 右边大于左边. (D) 无法判断. [ C ]
m,l o
m
若绕一端转动会 如何呢？
（1）作用在杆的摩擦力矩; （2）经过多长时间杆才会停止转动。
解： (1)dM m dm g r m m dr g r m,l o l m m m rdr l m 1 l/2 M dM 20 m rdr mmgl l 4l m M dM m rdr (2)由角动量定理： 0 l Mt J J 0 J 0 J 0 0l t 3mg M
1．
M r F
M
M rFt
2. 定轴转动刚体的内力矩和为零
3．转动定律 M＝J β
r
F
其中J＝∑ mi ri2
为转动惯量
2 r dm
JC d
J m
质量连续分布的刚体 J
C
J＝JC＋md2。
平行
4．力矩的功: A 5．转动动能: