七年级上册数学压轴题(提升篇)(Word版 含解析)

七年级上册数学压轴题（提升篇）（Word 版 含解析）

一、压轴题

1．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．

利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．

()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．

()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．

()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到

达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．

2．一般情况下

2323

a b a b ++=+是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ．我们称使得2323

a b a b

++=

+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ． （1）若()1,b 为“相伴数对”，试求b 的值；

（2）请写出一个“相伴数对”(),a b ，其中0a ≠，且1a ≠，并说明理由； （3）已知(),m n 是“相伴数对”，试说明91,4m n ??

??+?

-

也是“相伴数对”． 3．如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．

（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决）

（2）如图二，点A 和B 在数轴上表示的数分别是20-和40，点C 是线段AB 的巧点，求点C 在数轴上表示的数。 （应用拓展）

（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 处，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿BA 向点A 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A 、P 、Q 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()t s 的所有可能值．

4．如图，点A 、B 是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2-和1． 点A 与点B 之间的距离表示为AB ． （1）AB= ．

（2）点P 是数轴上A 点右侧的一个动点，它表示的数是x ，满足217x x ++-=，求x 的值．

（3）点C 为6． 若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC AB -的值是否随着运动时间t （秒）的变化而改变？ 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

5．如图，相距10千米的A B 、两地间有一条笔直的马路，C 地位于A B 、两地之间且距A 地

4千米，小明同学骑自行车从A 地出发沿马路以每小时5千米的速度向B 地匀速运动，当

到达B 地后立即以原来的速度返回，到达A 地停止运动，设运动时间为(时)，小明的位置为点P .

(1)当0.5=t 时，求点P C 、间的距离

(2)当小明距离C 地1千米时，直接写出所有满足条件的t 值 (3)在整个运动过程中，求点P 与点A 的距离(用含的代数式表示)

6．（1）如图，已知点C 在线段AB 上，且6AC cm =，4BC cm =，点M 、N 分别是

AC 、BC 的中点，求线段MN 的长度；

（2）若点C 是线段AB 上任意一点，且AC a =，BC b =，点M 、N 分别是AC 、

BC 的中点，请直接写出线段MN 的长度；（结果用含a 、b 的代数式表示）

（3）在（2）中，把点C 是线段AB 上任意一点改为：点C 是直线AB 上任意一点，其他条件不变，则线段MN 的长度会变化吗？若有变化，求出结果． 7．如图1，点A ，B ，C ，D 为直线l 上从左到右顺次的4个点．

(1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有条；

②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；

(3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当

AQ+AE+AF=3

2

AD时，请直接写出t的值．

8．如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，-6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）

（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=_______;

（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0

①当t=1时，α=_________;

②猜想∠BCE 和α的数量关系，并证明；

（3）如图3，开始∠D 1C 1E 1与∠DCE 重合，将∠DCE 沿数轴正半轴向右平移t （0

9．(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；

②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PB

PC

+的值不变.

10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板（其中∠P ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一边OQ 在射线OA 上，另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方．将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图2，经过t 秒后，OP 恰好平分∠BOC ． ①求t 的值；

②此时OQ 是否平分∠AOC ？请说明理由；

（2）若在三角板转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠POQ ？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC 平分∠POB ？（直接写出结果）．

11．已知点O 为直线AB 上的一点,∠EOF 为直角,OC 平分∠BOE ， (1)如图1,若∠AOE=45°,写出∠COF 等于多少度；

(2)如图1,若∠AOE=()090n n ?＜＜，求∠COF 的度效(用含n 的代数式表示)； (3)如图2,若∠AOE=()90180n n ?＜＜，OD 平分∠AOC,且∠AOD-∠BOF=45°,求n 的值．

12．一般地，n 个相同的因数a 相乘......a a a ?，记为n a ， 如322228??==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8 (即2log 83=) ．一般地，若(0n

a b a =>且

1,0)a b ≠>， 则n 叫做以a 为底b 的对数， 记为log a b (即log a b n =) ．如4381=， 则

4叫做以3为底81的对数， 记为3log 81 (即3log 814=) ．

（1）计算下列各对数的值：2log 4= ；2log 16= ；2log 64= ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，222log 4,log 16,log 64之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?

（4） 根据幂的运算法则：n m n m a a a +=以及对数的含义说明上述结论．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）2412--；

；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226

,33

． 【解析】 【分析】

()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P

从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数

242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数

24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=，

PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点

Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后． 【详解】

()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ．

x 24=，x 0<

∴x 24=- 又

y x 12-=

y 241212.∴=-+=-

故答案为24-；12-．

()2由题意可知：

t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C

表示数12

()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-．

故答案为2t ；362t -．

()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+．

①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则

()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7，

当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P 表示的是2-或2；

②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--，

则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33

或=， 当m=293时，-12+2m=223， 当m=

313时，-12+2m=263

， 此时点P 表示的数是

2226

33

或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226

,33

． 【点睛】

本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（1）94b =-；（2）92,2?

?- ??

?（答案不唯一）；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据“相伴数对”的定义，将()1,b 代入2323

a b a b ++=+，从而求算答案； （2）先根据“相伴数对”的定义算出a 、b 之间的关系为：94a b =-，满足条件即可；

（3）将将,a m b n == 代入

2323a b a b ++=+得出4

9m n ，再将4

9

m n 代入91,4m n ?

? ??+?-得到491,94n n -+-?? ???

，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可． 【详解】

解：（1）∵()1,b 为“相伴数对”，将()1,b 代入

2323

a b a b

++=+得： 112323

b b ++=+ ，去分母得：()151061b b +=+ 解得：94

b =- （2）

2323

a b a b ++=+化简得：94a b =- 只要满足这个等量关系即可，例如：92,2??

- ???

（答案不唯一） （3）∵(),m n 是“相伴数对” 将,a m b n == 代入2323

a b a b ++=+： ∴

2323

m n m n ++=+ ，化简得：49

m n 将49m

n 代入91,4m n ?

? ??+?-得到：491,9

4n n -+-?? ???

将：491,94

a n

b n =-

+=- 代入2323a b a b

++=+

左边=49

149942336n n n -+--+

= 右边=49149942336

n n n -++--=+

∴左边=右边

∴当(),m n 是“相伴数对”时， 91,4m n ??

??+?

-也是“相伴数对” 【点睛】

本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键．

3．（1）是；（2）10或0或20；(3) 152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454

t =． 【解析】 【分析】

（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；

（2）由题意设C 点表示的数为x ，再根据新定义列出合适的方程即可；

（3）根据题意先用t 的代数式表示出线段AP ，AQ ，PQ ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t 的值． 【详解】

解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是；

（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60， 根据“巧点”的定义可知： ①当AB=2AC 时，有60=2（x+20）， 解得，x=10；

②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20）， 解得，x=0；

③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ）， 解得，x=20．

综上，C 点表示的数为10或0或20；

（3）由题意得()()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤??==-=?

-≤??

，，＜， （i ）、若0≤t ≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有 ①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，15

2

t =

， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ， 解得，t=6；

③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607

t =

； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152t =

；t=6；607

t =； （ii ）、若10＜t ≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有 ①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ）， 解得，t=12；

②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ），

解得，907

t =

； ③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454

t =

． 综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454

t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454

t =． 【点睛】

本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 4．（1）3.（2）存在．x 的值为3.(3)不变，为2. 【解析】 【分析】

（1）根据非负数的性质和数轴上两点间距离即可求解；

（2）分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解；

(3)先确定运动t 秒后，A 、B 、C 三点对应的数，再根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解． 【详解】

解：（1）∵点A 、B 是数轴上的两个点，它们分别表示的数是2-和1 ∴A，B 两点之间的距离是1-（-2）=3． 故答案为3．

（2）存在．理由如下： ①若P 点在A 、B 之间， x+2+1-x=7，此方程不成立； ②若P 点在B 点右侧， x+2+x-1=7，解得x=3． 答：存在．x 的值为3．

（3）BC AB -的值不随运动时间t （秒）的变化而改变，为定值，是2.理由如下： 运动t 秒后，A 点表示的数为-2-t,B 点表示的数为1+2t,C 点表示的数为6+5t. 所以AB=1+2t-(-2-t)=3+3t. BC=6+5t-(1+2t)=5+3t. 所以BC-AB=5+3t-3-3t=2. 【点睛】

本题考查了一元一次方程、数轴、非负数、两点之间的距离，解决本题的关键是数轴上动点的运动情况． 5．（1）1.5k ；（2）

317

,1,3,55

h h h h ；（3）5，20-5t

【分析】

(1)根据速度，求出t=0.5时的路程，即可得到P 、C 间的距离；

(2)分由A 去B ，B 返回A 两种情况，各自又分在点C 的左右两侧，分别求值即可； (3)PA 的距离为由A 去B ，B 返回A 两种情况求值. 【详解】

(1)由题知: 5/,4, 10v km h AC km AB km ===

当0.5t h =时,50.5 2.5s vt kom ==?=，即 2.5AP km =

425 1.5PC AC AP k ∴=-=-=

()2

当小明由A 地去B 地过程中： 在AC 之间时， 413

55

t -==（小时）， 在BC 之间时， 41

15

t +=

=（小时）， 当小明由B 地返回A 地过程中：

在BC 之间时， 10241

35t ?--==（小时）， 在AC 之间时， 102(41)17

55t ?--=

=（小时），

故满足条件的t 值为：

317,1,3,55

h h h h (3)当小明从A 运动到B 的过程中，AP=vt= 5, 当小明从B 运动到A 的过程中，AP= 20-vt= 20- 5t. 【点睛】

此题考查线段的和差的实际应用，掌握题中运用的行程题的公式，正确理解题意即可正确解题.

6．（1）5cm ；（2）2a b +；（3）线段MN 的长度变化，2a b MN +=，2a b -，

2

b a

-. 【解析】 【分析】

（1）根据点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，先求出CM 、CN 的长度，则

MN CM CN =+；

（2）根据点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，12CM AC =

，1

2

CN BC =，所以()122

a b

MN AC BC +=

+=

； （3）长度会发生变化，分点C 在线段AB 上，点B 在A 、C 之间和点A 在B 、C 之间三种情况讨论.

（1）

6AC cm =，M 是AC 的中点， ∴1

32

CM AC ==（cm ），

4BC cm =，N 是CB 的中点，

∴1

22

CN CB ==（cm ），

∴325MN CM CN =+=+=（cm ）； （2）由AC a =，M 是AC 的中点，得

11

22

CM AC a ==，

由BC b =，N 是CB 的中点，得

11

22CN CB b ==，

由线段的和差，得

222

a b a b

MN CM CN +=+=+=；

（3）线段MN 的长度会变化.

当点C 在线段AB 上时，由（2）知2

a b

MN +=，

当点C 在线段AB 的延长线时，如图：

则AC a BC b =>=，

AC a =，点M 是AC 的中点，

∴11

22

CM AC a ==，

BC b =，点N 是CB 的中点，

∴11

22

CN BC b ==，

∴222

a b a b

MN CM CN -=-=-=

当点C 在线段BA 的延长线时，如图：

则AC a BC b =<= ， 同理可得：11

22

CM AC a =

=， 11

22

CN BC b =

=，

∴222

b a b a MN CN CM -=-=

-=， ∴综上所述，线段MN 的长度变化，2a b MN +=

，2a b -，

2

b a

-. 【点睛】

本题主要是线段中点的运用，分情况讨论是解题的难点，难度较大. 7．(1) ①6条；②10；(2)11

22

MN AD BC =-，证明见解析；(3) 1t =. 【解析】 【分析】

（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA +PD 最小，即P 为AD 的中点，求出AD 的长即可；

(2) 根据M ，N 分别为AC ，BD 的中点，得到1

2MC AC =

，12

BN BD =，利用MN MC BN BC =+-代入化简即可；

(3) 根据C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，得到3AC =，6CD =，并可得到2EC t =，FD t =，6

2t EQ +=，代入AQ+AE+AF=32

AD ，化简则可求出t . 【详解】

解：(1) ①线段有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条； ②∵BD =6，BC =1， ∴CD=BD-BC=6-1=5，

当PA +PD 的值最小时，P 为AD 的中点， ∴5510PA PD AD AC CD +==+=+=； (2)11

22

MN AD BC =

-. 如图2示：

∵M ，N 分别为AC ，BD 的中点， ∴1

2MC AC =

，12

BN BD = ∴MN MC BN BC =+-

11

22AC BD BC =+- ()1

2

AC BD BC =

+-

()1

2

AB BC BD BC =++- 11

22

AD BC =

-； (3)如图示：

∵C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ， ∴3AC =，6CD =，

根据E ，F 两点同时从C ，D 出发，速度是2cm/s ，1cm/s ，Q 为EF 的中点，运动时间为t ， 则有：2EC t =，FD t =，6

222

EF AD AE FD t EQ --+=== 当AQ+AE+AF=

3

2

AD 时， 则有：3

2

AE EQ AE AD FD AD +++-= 即是：()()69

32329922

t t t t +-++-+-=? 解之得：1t =. 【点睛】

本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程． 8．（1）45°；（2）①30°；②∠BCE=2α，证明见解析；（3）α=45-15t ，β=45+15t ，

3

t 2

=

【解析】 【分析】

（1）根据角平分线的定义即可得出答案；

（2）①首先由旋转得到∠ACE=120°，再由角平分线的定义求出∠ACF ，再减去旋转角度即可得到∠DCF ；

②先由补角的定义表示出∠BCE ，再根据旋转和角平分线的定义表示出∠DCF ，即可得出两者的数量关系；

（3）根据α=∠FCA-∠DCA ，β=∠AC 1D 1+∠AC 1F 1，可得到表达式，再根据|α-β|=45°建立方程求解. 【详解】

（1）∵∠ACE=90°，CF 平分∠ACE ∴∠AOF=

1

2

∠ACE=45° 故答案为：45°；

（2）①当t=1时，旋转角度为30° ∴∠ACE=90°+30°=120° ∵CF 平分∠ACE

∴∠ACF=60°，α=∠DCF=∠ACF-30°=30° 故答案为：30°； ②∠BCE=2α，证明如下： 旋转30t 度后，∠ACE=(90+30t)度 ∴∠BCE=180-(90+30t)=(90-30t)度 ∵CF 平分∠ACE

∴∠ACF=

1

2

∠ACE=(45+15t)度 ∠DCF=∠ACF-30t=(45-15t)度

∴2∠DCF=2(45-15t)= 90-30t=∠BCE 即∠BCE=2α （3）α=∠FCA-∠DCA=

1

2

(90+30t)-30t=45-15t β=∠AC 1D 1+∠AC 1F 1=30t+

1

2

(90-30t)=45+15t ||45βα-=?

|30t|=45°

∴3t 2=

【点睛】

本题考查了角平分线，角的旋转，角度的和差计算问题，熟练掌握角平分线的定义，找出图形中角度的关系是解题的关键.

9．（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）由关于x 的方程()46n x n -=-无解．可得4n -=0，从而可求得n 的值； （2）根据线段中点的定义可知PN=12AP ，PM=12PB ，从而得到MN=12（PA+PB ）=1

2

AB ，于是可求；

（3）设AB=a ，BP=b ．先表示PB+PA 的长，然后再表示PC 的长，最后代入计算即可． 【详解】

解：（1）①∵关于x 的方程()46n x n -=-无解． ∴4n -=0， 解得：n=4．

故AB=4．

②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下： ∵M 为线段PB 的中点， ∴PM=

1

2

PB ． 同理：PN=

1

2

AP ．． ∴MN=PN+PM=

12（PB+AP ）= 12AB= 1

2

×4=2． ∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a ，BP=b ， 则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∵C 是AB 的中点，

1122

BC AB a ∴=

= 1

2

PC PB BC a b ∴=+=

+ 2212

PA PB a b

PC a b ++∴

==+， 所以

PA PB

PC

+的值不变. 【点睛】

本题主要考查的是中点的有关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键．

10．（1）①5；②OQ 平分∠AOC ，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC 平分∠POQ ；

（3）t ＝70

3

秒．

【解析】 【分析】

（1）①由∠AOC ＝30°得到∠BOC ＝150°，借助角平分线定义求出∠POC 度数，根据角的和差关系求出∠COQ 度数，再算出旋转角∠AOQ 度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ 和∠COQ 度数比较判断即可；

（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ ＝3t ，∠AOC ＝30°+6t ，根据角平分线定义可知∠COQ ＝45°，利用∠AOQ 、∠AOC 、∠COQ 角之间的关系构造方程求出时间t ； （3）先证明∠AOQ 与∠POB 互余，从而用t 表示出∠POB ＝90°﹣3t ，根据角平分线定义再用t 表示∠BOC 度数；同时旋转后∠AOC ＝30°+6t ，则根据互补关系表示出∠BOC 度数，同理再把∠BOC 度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC 的式子相等，构造方程求解． 【详解】

（1）①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝1

2

∠BOC＝75°,

∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝1

2

∠POQ＝45°．

设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，

当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；

（3）设经过t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝1

2

∠BOP，

∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝1

2

（90﹣3t），

解得t＝70 3

．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键.

11．（1）22.5° (2)1

2

n° (3) 120

【解析】

【分析】

（1）由∠AOE=45°，可以求得∠BOE=135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE=67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF=∠EOF-∠EOC=22.5°；

（2）由（1）的方法即可得到∠COF=

1

2

n°； （3）先设∠BOF 为x°，再根据角的关系得出方程，解答后求出n 的值即可． 【详解】

解：（1）∵∠AOE=45°， ∴∠BOE=135°， ∵OC 平分∠BOE ， ∴∠COE=67.5°， ∵∠EOF 为直角，

∴∠COF=∠EOF-∠EOC=22.5°， （2））∵∠AOE=n°， ∴∠BOE=180°-n°， ∵OC 平分∠BOE ，

∴∠COE=

1

2

（180°-n°）， ∵∠EOF 为直角，

∴∠COF=∠EOF-∠EOC=90°-

12（180°-n°）=1

2

n°， （3）设∠BOF 为x°，∠AOD 为（x+45）°，∠EOB 为（90-x ）°，OC 平分∠BOE ， 则可得：∠AOD+∠DOC+∠EOB=∠AOB+∠EOC ． x+45+x+45+90-x=180+1

2

（90-x ）， 解得：x=30，

所以可得：∠EOB=（90-x ）°=60°， ∠AOE=180°-∠EOB=180°-60°=120°， 故n 的值是120． 【点睛】

本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 12．（1）2，4，6；（2）4×16=64，222log 4+log 16log 64=；（3）

log m+log log a a a n mn =；（4）见解析

【解析】 【分析】

（1）根据对数的定义求解可得；

（2）观察三个数字及对应的结果，找出规律； （3）将找出的规律写成一般形式；

（4）设log m=x a ，log a n y =，利用n m n m a a a +=转化可推导． 【详解】

（1）∵224=,4 216=,6 264= ∴2log 4=2，2log 16=4，2log 64=6 （2）4、16、64的规律为：4×16=64 ∵2+4=6，∴2log 4+2log 16=2log 64

（3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为：log m+log log a a a n mn = （4）设log m=x a ，log a n y = 则x a m =，y a n = ∴x

y x y a a mn a +==

∴log mn=x+y a

∴log mn=log m+log n a a a ，得证 【点睛】

本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相应规律．