高等数学B(二)期末模拟试题参考答案

一、选择题（每小题3分共15分）

1. 设a>0, 则= ( ).

(A) +c； (B) +c； (C) +c； (D) +c.

2. F(x)= , 则 F'(x)= ( ).

(A) xe-x； (B) -xe-x； (C) -xe x； (D) xe-x -1.

3. ( ) .

(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.

4. 级数 ( ) .

(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.

5. 二元函数的定义域为 ( ).

(A) x>1； (B) x≥1；(C) x≥1,y>0； (D) x>1, y≥0.

1 (B)；

2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).

二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）

1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则=F(x). ( ).

2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得=f(ξ)(b-a). ( ).

3. 如果正项级数收敛, 那么也收敛. ( ).

4. 级数收敛. ( ).

5. 如果z=f(x,y)在区域D有二阶导数, 那么=在D成立. ( ).

6.如果z=f(x,y)在区域D可导P0∈D, 在P0处==0, 那么z在P0达到极大值. ( ).

7. <. ( ).

1 (╳)；

2 (√)；

3 (√)；

4 (√)；

5 (╳)；

6 (╳) ；

7 (√).

三、

填空题（每小题3分共18分）

1. = x-x3+c .

2. = -2 .

3. = 1 .

4. 级数 1+的和函数 S(x)= .

5. 级数的收敛半径 = 1 .

6. 设, 则= .

四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）

1. 求级数 的和函数.

解：∵ =

∴ S(x)= ==. 即 S(x)= .

2. 设函数，求

解：∵ ,x≤1; , x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续.

∴ , 其中c为某常数.

3. 求幂级数的收敛半径，并求和函数

解：收敛半径R==2; 显然S(0)=1/2. 当x≠0时

(xS(x))'= = =

xS(x)== -, 故 S(x)=. 总之

4. 把函数展开为x的幂级数，并确定收敛域。

解：=(1+cos2x)/2=

故 f(x)= , .

5. 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q对P的函数关系。(注：需求量Q 对价格P的偏弹性定义为E p=, P331)

解：依题得=-Pln3, 故=-ln3, lnQ=lnc3-P, Q=c3-P. 由于1200=c, 故Q=1200∙3-p.

6.设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为，求需求量Q与价格P的函数关系。

解：∵

题21(7)图

y=-4

x

y

y=x2-8

2x+y+8=0

-8

-4

2

∴+c. Q(0)=1000=+c, c=0,故 .

7. 求曲线与直线2x+y+8=0, y=-4所围成的图形的面积.

解：面积S= =

= 16/3-12+16=28/3.

五、证明题（每小题8分共16分）

1. 如果是f(x) 的一个原函数，试证明：

证明：因为是f(x)的一个原函数，所以 f(x)== ,利用分部积分法, =xf(x)- =-+c =.

即 .

2. 设且, 试证明.

证明：∵ =, =,

∴ x=, y=,

∴ .