高等数学B(二)期末模拟试题参考答案
0809高等数学B(二)试题答案 济南大学
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
3.
点(0,0)是z xy的 (
B
).
z
（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点； （C）是极值点但不是驻点;（D）以上都不对 分析:
O
y
z x y 0, 得驻点 (0,0). 令 zy x 0
x
D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y ) 0 x a, x y a}, 则 ( x y cos x sin y ) dx d y A
当 x 2 1, 2 当 x 1,
时级数收敛 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
收敛域为 1,1.
4.
解:
x 求幂级数 的收敛域及和函数. n 1 2 n
2n
在( 1,1)内, 有
2n
x1 2n x 2 n 1 t dt t dt 0 s ( x) 0 t n 1 2 n n 1 n 1 x
tn
(x 1) n
(1)( x 1) n .
n 0
x 1 1
即 2 x 0.
一．选择题(每小题3分,共15分) xy ，则极限 lim f ( x, y ) ( 1. f ( x, y ) 2 2 x0 x y y 0
高等数学2B期末模拟题及参考答案2021-2版
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
北京交通大学高等数学B(Ⅱ)期末考试试卷(B卷及其答案文档
北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．函数 y x z -=的定义域为 ________________________．2．设二元函数()y x z z ，=由方程()0ln 22=+-xyz xyz xz 所确定，则=∂∂xz_____________．3．交换累次积分的顺序()()=+⎰⎰⎰⎰--4121xx xxdy y x f dx dy y x f dx，，_____________．4．若0>a ，0>b ，则级数()()()()()()∑∞=++++++111211121n nb b b na a a 在 __________ 时发散．5．设方程()x f y y y =-'-''32有特解*y ，则它的通解为________________．答案：⒈ y x ≥，0≥y ； ⒉ xz-； ⒊()⎰⎰-+2122y y dx y x f dy ，；⒋1≥ba； ⒌ *321y e C e C y x x ++=-． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点()121，，-处的切线一定平行于_____ ． （A ）．x O y 平面； （B ）．y O z 平面； （C ）．z O x 平面； （D ）．平面0=++z y x ．2．已知L ：()()⎩⎨⎧==ty t x ψϕ ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰Ldx y x f ， _________ ．（A ）．()()[]⎰βαψϕdt t t f ，； （B ）．()()[]⎰αβψϕdt t t f ，； （C ）．()()[]()⎰'βαϕψϕdt t t t f ，； （D ）．()()[]()⎰'αβϕψϕdt t t t f ，． 3．设k x j z i y A++=，则=A rot ______________ ．（A ）．k j i ++ ； （B ）．()k j i ++- ； （C ）．k j i +-； （D ）．k j i-- ．4．函数()⎰=xdt t tx f 0sin 在0=x 处的幂级数展开式为___________ ． （A ）．()()()∑∞=++--01212!121n n nx n n ()+∞<<∞-x ；（B ）．()()()∑∞=++--01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，； （C ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<∞-x ；（D ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00， ． 5．设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解．（A ）．两个不同的解 ； （B ）．任意两个解； （C ）．两个线性无关的解 ； （D ）．两个线性相关的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （D ）； ⒊ （B ）； ⒋ （C ）； ⒌ （C ）． 三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，+=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求yx z ∂∂∂2．解：21f y f x z'+'=∂∂ ……3 所以，2221212112f xy f y f f x f yx z''+''+'+''+''=∂∂∂ ()2221211f f xy f y x f '+''+''++''= (7)四．（本题满分7分） 计算⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211 ，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 解：作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则有⎰⎰⎰⎰+-=++--1222022221111rdr r r d dxdy y x y x Dπθ (2)⎰--=142112r d rrr π⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎰⎰143104112dr r r dr rrπ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎰⎰10441241114111212r d r r d r π ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=104102121a r c s i n 212r r π ……5 ()28-=ππ (7)五．（本题满分8分）证明：曲面3a xyz =（0≠a 为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数 ． 解：令 ()3a xyz z y x F -=，， (2)则yz F x =' ，xz F y =' ，xy F z ='设()000z y x ，，为曲面3a xyz =上的任意一点，则在该点处的切平面方程为()()()0000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y (4)化为截距式，有1333000=++z z y y x x 所以，所求四面体的体积为3000000292933361a z y x z y x V ==⋅⋅=……8 即所求体积为常数 ．六．（本题满分8分）求微分方程 ()x y y dxdyxln ln -= 的通解． 解： 原方程化为xy x y dx dy ln =， 这是一个齐次方程，令ux y =，则dx du x u dx dy +=，代入原方程，得 u u dxdux u ln =+ (3)分离变量，得()xdxu u du =-1ln积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-，即Cx u =-1ln (6)代回原变量，得 1+=Cx e xy，因此所求通解为 1+=Cx xe y (8)七．（本题满分8分） 求函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002222242y x y x yx yx y x f ， 的全微分，并研究在点()00，处该函数的全微分是否存在？解：当()()00，，≠y x 时， ……3 dy yf dx x f dz ∂∂+∂∂=()()()224226422yxdyy x x dx x y xy +-+-= (3)在原点()00，处，()()()00lim 0000lim 0000=∆=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ，，，()()()00lim 0000lim0000=∆=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ，，， ()()()()()()2420000y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆，，， ()()22y x ∆+∆=ρ则有 ()()()()()()()()22242001lim 0000limy x y x y x y f x f z y x ∆+∆⋅∆+∆∆∆=∆'-∆'-∆→→ρρρ，， ，令x y ∆=∆，则有 ()()()()()∞=∆⋅⋅∆+∆∆=∆'-∆'-∆→∆→∆xx x x yf x f z x y x x 21lim 0000lim24300ρ，， 所以，函数()y x f ，在点()00，处不可微． (8)八．（本题满分8分） 求三重积分()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x I 22其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面4=z 所围成的立体．解：作柱坐标变换z z r y r x ===，，θθsin cos ， ……1 则有 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++=Ω4228020222r dz z r dr d dxdydz z y xI πθ (4)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=805385842dr r r r π π3256= (8)九．（本题满分8分）求幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛域（端点情形要讨论）．解： 设n n nn a !=， 则 ()()!1!1lim lim 11n n n n a a nn n nn n ⋅++=+∞→+∞→e n n n 1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→， 所以，收敛半径为e R =， (4)当e x =时，级数为∑∞=1!n n nn e n而()()111!1!111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++++nnnn n n e e n n n e n所以， 0!lim≠→∞nnn n e n因此，级数∑∞=1!n n nne n 发散． (6)同理，当e x -=时，级数()∑∞=-1!1n n nnn e n 也发散． (7)所以幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛区间为()e e ，- ． (8)十．（本题满分8分）设()1=πϕ，试确定函数()u ϕ，使得曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx xy x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，并求由点()01，A 到()ππ，B 的上述积分 ．解：因为()[]x yx x P ϕ-=sin ， ()x Q ϕ= 由于曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx x yx x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，因此()[]()x xQx x x y P ϕϕ'=∂∂=-=∂∂s i n 所以得微分方程 ()()x xx x x s i n 1=+'ϕϕ解此方程，得通解 ()xxC x cos -=ϕ (4)代入()1=πϕ，得1-=πC所以，所求函数为()xxx cos 1--=πϕ (5)又()[]()()()⎰+-ππϕϕ，，01sin dy x dx x yx x()[]()()()()[]()()()⎰⎰+-++-=ππππϕϕϕϕ，，，，0001s i n s i ndy x dx x yx x dy x dx x y x xπππππ=--+=⎰c o s10dy (8)十一．（本题满分8分）利用Gauss （高斯）公式计算曲面积分()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222，其中+∑为球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧． 解：yz x P -=2，zx y Q -=2，xy z R -=2所以，()z y x zR y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂2 所以，由Gauss 公式，得 ()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x 222()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dxdydz z y x dxdydz z R y Q x P 2其中Ω为空间区域()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，， (4)而()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，，的重心为()c b a ，，，又设Ω的体积为V ，则 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz Va 1，⎰⎰⎰Ω=ydxdydz Vb 1，⎰⎰⎰Ω=zdxdydz Vc 1因此，()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩxdxdydz ydxdydz xdxdydz 2 ()cV bV aV ++=2()c b a R ++=338π ． (8)。
12级高数(ii)期末考试题b卷及答案.doc
西南财经大学本科期末考试试卷（B）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第2学期专业：全校各专业学号：年级：2012级姓名:考试时间：2013年月日（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［v ］开卷［］（_______ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用甜中除纸、笔、尺了外，可另带的用貝有：计算器［］字典［］____________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩）考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空口页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题両请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
一、 填空题：(共10小题，每小题2分，共20分)1・微分方程xy^y = 0满足初始条件X0 = 2的特解为 ^ = 2. 2. y n= sin y 经过变换y'= p,可化为一阶微分方程血=也丄・------- 心 p3. 将xOy 坐标而的圆疋+于二4绕兀轴旋转一周，所生成的旋转曲而的方程为 %2+ y 2+z 2= 4 ・4. 设二元函数z = j4 —兀2一)，+很2 +才_2,其定义域是£> = {(x,y) 2<x 2 + y 2 <4 }.单项选择：(共5小题，每小题2分，共10分)1.若X 和儿是二阶齐次线性方程y /f+P(x)y+Q(x)y = 0的两个特解，则 y = Cj+G” (其中G ，G 为任意常数)( C ) 5. 设函数m 沪令则(『)宀护6. 7."TO x 2 + V 3 )'T1 丿设z = tl + xyY ,则尖=y 2(\ + xy)y ~l.OX --------------------------------8、 2设 z = ln(x 2 + y 2),则 dz = — -- (xdx + ydy).x + y9、 交换二次积分的次序J ； dyj, /(兀，刃血二J ：d 吐7(兀刃dy ・ oonn+110、幕级数Y 缶的收敛半径是一 2,和函数S(x)二—右/i=0(A) 是该方程的通解； (C)是该方程的解2.下列关于函数的结论屮正确是( (A)驻点一定是可微分的极值点 (C)有极大值一定有最大值(B) 是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解B ).(B)可微分的极值点一定是驻点 (D)有最大值一定有极大值（A） /（x0o?）在）, = ）5处的导数等于零（B）/（X0O?）在歹=y°处的导数大于零（C）/（x0o;）在），=儿处的导数小于零（D） f（x09y）在歹=儿处的导数不存在3•设可微函数f（x^y）在点（心儿）取得极小值，贝IJ下列结论正确的是（A ）•4、［代（兀刃内=（C）./（x, y）dx（C）f（x, y）dx5、下列级数中，条件收敛的是（W =I川+1(D))•三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1 .求一阶微分方程为V = /严’ —2y满足条件儿=（）二0的特解.解：移项可得微分方程为y + 2y = A~2x（1 分）故y = x2e-2x e^dx dx + C） = （-x3 + C）e~2x（C为任意常数）.（4 分）将条件y仁=o代入通解,得c = o.即满足条件），仁=0的特解是.y = ^e~2x（7分）2.证明:/(x, y) = < x2 + y20, 证明：因为x "在点（o,o）处不连续但偏导数存在. x2 + y2 = 0lim/(x,y) XT O尸0limx->0y->0令y = kxkx2映(1+wk1+P0, k = 0所以lim /UoO 不存在，所以f （x,y ）在点（0,0）处不连续，（4分）XT O y-»（）但 /（X, 0） = /（0,刃=0 ,则 £（0,0） = f y （0,0） = 0 故/（x, y ）在点（0,0）处偏导数存在.（7分）3•求函数z = xlnfx+ >9的二阶偏导数4. 设函数加）可微，且广（0）=丄,求z = /（4兀2 —y2）在点（1,2）处的全微分dz,2解： 方法一：因为 || | （b2） = f （4x 2 - y 2） • 8x （12） = 4 , （2分）血|（】,2）=瓠）如亂,2）® =4dx-2dy.（7 分）5. 设£>:|x| + | y |<1 ,求二重积分□（卜| + 卜|）加/y.D解：利用对称性，得解:dzlnfx+ y ） + --x+ ydz _ x dy x + yd 2z _ x + 2y d 2z _ x時=（兀+刃2 '頑"（X+）沪（2分）（6分）dzdy （1,2）=广（4十-尸）・（-2创（］,2）=-2 , （4分）所以［［（卜|+卜|）如尸町&广 xdyD&°e\4= 8J （）X （1-X ）6te（4分）（7dxdy dydx （兀6.计算二重积分jjln（l + x2 + y2）t/a, K中D为x2 + y2 < 1的圆域. D解：jjln(l + x 2 + y 2)da =dO^ ln(l + p 2)pdp D& *(4分) = %(21n2-l)(7分)7、讨论级数£需的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛.OO首岛且 n > n =丄. n 2 +1 n 2 4-n 2 2n '8OO 8由于 工1发散，所以申工丄也发散，因此》甘一［也发散;/1=1 /7=1 /?=! “ 十丄77=1又因为井I< —L =〃 +1 n 2 + n n 2+1lim — = 0 川T8矿+ 1曲交错级数判别法知，匚也 收敛; /|=1 n +1综上知级数条件收敛.（2分）（4分）（6分）（7分）四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）1.求由曲线『=丄和直线y = 4x,x = 2所围成的平面图形的面积以及所围成的图形 X 绕X 轴旋转一周所形成的旋转体积. 解：求交点\y=l ，得2丄（1分）. 2 y = 4x 则所求的平而图形的而积是S = f! （4x ——）dx =——21n2（4 分）h x 2所求绕X 轴旋转一周所形成的旋转体体积.2.某厂家生产的一种产品同吋在两个市场销售，售价分别为卩和D ，销售量分别为⑺和色，需求函数分别为4=24-0.2门，q 2 = 10-0.05p 2 ；总成本函数为C = 35 + 40（4+%）。
大一高数b下期末考试题及答案
大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。
答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。
答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。
答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。
因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。
答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。
已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。
因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。
4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学(B2)期末模拟试卷及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。
高等数学(二)答案B
A.（1,3）
B. 1,3
C. 1,3)
D. (1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3） ，半径为 4 的球面方程为 ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16 。
2、方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 2 = 0 表示的图形是圆心在（-1,0， -1 ） ，半径为 2 的球面。 。
n=1
1 n2
D.
(−1)
n =1
n
n
3.若幂级数 an xn 在 x = 3 处收敛，则该级数在 x = 1 处必定（
n =1
C
）
A．发散 4.下列命题（
B. 条件收敛 A ）正确
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定
A.
u
n =1
n
收敛， un 必定收敛。B． un 收敛， un 必定收敛
n =1 n =1
n =1
C.
un 发散， un 必定发散，
n =1
D.
n =1
un 发散， un 未必发散
n =1
n =1
1
（共 5 页）
2013 年 4 月
中国地质大学（北京）继续教育学院
2014 年
5. z = ln x 2 − y 2 的定义域是（
2 2
D
）
A． x 2 − y 1
3、二元函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 ( x, y ) : x 2 + y 2 16 。
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数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）
课程考核
参考答案及评分标准
考试课程：高等数学B(二) 学年学期：2011-2012-2 试卷类型：A 考试时间：120分钟 适用专业：经济与工商管理学院11级财务管理 层次：本科
一、选择题（每小题3分共15分）
1 (B)；
2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).
二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分） 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√). 三、填空题（每小题3分共18分）
1. dx )x 31(2
⎰
-= x-x 3
+c . 2.
dx x x ⎰
--1
1
2
3)3(= -2 .
3. 0
x lim
→x
tdt cos x
2
⎰
= 1 .
4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)=
2
)
x 1(1-.
5. 级数∑
∞
=-1
n n
)
n 2)(1n 2(x
的收敛半径 = 1 .
6. 设2
2
y x z =, 则
y
z ∂∂= y
x 22
.
四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题） 1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7
538642x x x x 的和函数. 解： ∵ (x)
...x x 1n
242+++++=
2
x
11-
∴ S(x)= ...)'x
...x x 1(n
24
2
+++++='x 112
⎪⎭
⎫
⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨
⎧>≤+=1
x x
21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f
第 2 页 解：∵
12
c x x
2
1dx )1x (++=
+⎰,x ≤1;
22
c x xdx 2+=⎰
, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 2
1dx )x (f 22
, 其中c 为某常数.
3. 求幂级数
1
n 1
n n
x 2
n 1-∞
=∑
的收敛半径，并求和函数
解：收敛半径R=n
)
1n (n 2
n 2
)1n (lim
+∞
→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时
(xS(x))'=1
n 1n n
x 2
1-∞
=∑
=
1
n 1n )2
x (21
-∞
=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2
/x 11
21
x
⎰
-= -)2
x 1ln(-
, 故 S(x)=)2
x 1ln(x
1-
-
. 总之
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-∈≠--=0x 2
1)2,2[x 0x )2
x 1ln(x 1
)x (S 且 4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。
解：x cos )x (f 2
==(1+cos2x)/2=
∑
∞
=-+
n n
2n )!
n 2(2)x 2()1(2
1
故 f(x)= ()∑∞
=+
1
n n
2n
)!
n 2(2x 21-1）
（, +∞<<∞-x .
5. 某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q 对P 的函数关系。
(注：需求量Q 对价格P 的偏弹性定义为E p =Q
P P Q P P /Q
Q lim
P ∂∂=∆∆→∆, P331)
解：依题得
Q
P dP dQ =-Pln3, 故
dP
Q ln d =-ln3,
lnQ=lnc3-P
, Q=c3-P
. 由于 1200=c, 故 Q=1200∙3-p
.
6. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为P
31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=，求
需求量Q 与价格P 的函数关系。
解：∵P
)31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
第 3 页 共 3 页
∴P )3
1(1000Q =+c. Q(0)=1000=0)3
1(1000+c, c=0,故 P )3
1
(1000Q =.
7. 求曲线82-=x y 与直线2x+y+8=0, y=-4所围成的图形的面积. 解：面积
S=48
(y /24))dy ----⎰ =
= 16/3-12+16=28/3.
五、证明题（每小题8分共16分） 1. 如果
x
x sin 是f(x) 的一个原函数，试证明：c x
x
sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰ 证明： 因为x
x sin 是f(x)的一个原函数，所以 f(x)=)'x
x sin (
=
2
x
x
sin x cos x - ,
利用分部积分法, dx )x ('xf ⎰=xf(x)-
dx )x (f ⎰=
x
x
sin x cos x --
x
x sin +c =c x
x sin 2x cos +-
.
即
c x
x sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰.
2. 设)y x ln(z n
n +
=且2≥n , 试证明n
1y
z y
x
z x
=
∂∂+∂∂.
证明：∵
x
z ∂∂=
n
n
1
n
1
y x x
n
1+-,
y
z ∂∂=
n
n
1
n
1y
x y
n
1+-,
∴ x
x
z ∂∂=
n
n
n
y
x x
n
1+, y y
z ∂∂=
n
n
n
y
x y
n
1+
, ∴ n
1y
z
y
x
z x =
∂∂+∂∂.。