初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案(完整资料).doc
初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07（1） 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上 对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈，有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A =123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A ∴⨯=⋅=⨯p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)45++++=+=+==3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅= 313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=−证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯−=−结论成立 假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=− 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==−=−+=−所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d −= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴−=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d −=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+[,][,]a b c d ∴=p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b −−=证明：[,][,]a b b a −= ([,])[,][,]a b b a a b −−=−=p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d −−=−+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d −−=−++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d −+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴−−=−+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c −=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c −=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a c b d αβ∴+=+−+而,a b c d αβ=−=−()()()()a c b d a b c d a b c d +−+=−+−≤−+−αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+−+而,a b c d αβ=−=−()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +−+=−+−=−−=−− αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 2222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++p63—16、已知10p a b −，10p c d −，求证p ad bc −证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps −=，10c d pt −=⇒ 10,10b a ps d c pt =−=−10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴−=−−−=−p ad bc ∴−p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<⇒1r =，22441a q q ∴=++⇒214(1)a q q −=+ 281a ∴−p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+−+++++=+−+++++=++−+++=++−1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++−肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数∴ 1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
初等数学研究参考答案
1、 已知21-=i z ，则150100++z z 的值等于（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -2、 已知53sin =θ，02sin <θ，则2tan θ的值等于（） A 、21B 、21-C 、31D 、3 3、 函数136-+-=x x y 的值域是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-317,B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-1277,C 、(]5,∞-D 、[)+∞,5 4、 若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（）A 、2B 、1C 、3D 、25、 曲线()x x x f -=4在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点坐标为（）A 、()3,1B 、()3,1-C 、()0,1D 、()0,1-6、 设集合{}1>=x x M ，{}12>=x x P ，则下列关系中正确的是（） A 、P M =B 、P P M = C 、M P M = D 、P P M =7、 设α是锐角，2234tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αcos 的值等于（） A 、22B 、23C 、33D 、36 8、 设()x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知()1,0∈x 时，()()x x f -=1log 21，则函数()x f 在()2,1上（）A 、是增函数，且()0<x f ；B 、是增函数，且()0>x fC 、是减函数，且()0<x f ；D 、是减函数，且()0>x f9、 已知锐角βα,满足()21sin ,1tan =-=αβα，则βcos 等于（） A 、426+B 、426-C 、462-D 、426-- 10、分解因式：y x y x 62922-+-(x-3y)(x+3y+2)分解因式：3542322+++++y x y xy x=(x+y)(x+2y)+3(x+y)+(x+2y)+3 =(x+y)(x+2y+3)+(x+2y+3) =(x+y+1)(x+2y+3) 已知200420052004112004--+-=x x y ，则()2004y x +的值是； x=1/2004,y= -2005/2004,代入得1 已知实数m 满足m m m =-+-20082007，则=-22007m 2008 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x x x x x x xx 1111＝1/2x-1 自然数集的两种主要理论是 基数理论 、 序数理论 。
初等数学研究答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈=Q Q （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'Q 又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
初等数学研究课后题
现代远程教育《初等数学研究》课程学习指导书课程学习方法指导1、为什么要学习初等数学研究？作为一个中学数学教师，仅仅具备中学中所涉及到的知识，是远远不够的。
为了更好地掌握并处理好中学数学教材，必须懂得更多的数学。
好比用一桶水去斟一杯水，才显得胸有成竹，游刃有余。
大学里学习那么多高等数学，目的即在于此。
但是高等数学知识怎样和初等数学相结合？如何指导中学数学教学？也就是说怎样用高等数学的方法去处理中学数学问题？怎样使教师的知识更加现代化？怎样用最新的数学观念去理解中学数学中的有关内容？其次，中学数学的重要任务之一，是培养学生运用数学知识解决问题的能力。
因此，教师本身就应具备这方面的较强的能力。
学习高度数学可以提高数学修养，提高解题能力。
但是怎样结合中学实际，运用中学生可以接受的方法，特别是运用初等的方法来处理初等数学中的问题。
这方面有许多技能与技巧，还必须作专门的训练。
这就是我们要学习初等数学研究的目的。
2、怎样阅读教材？阅读教材时，应边阅读边作笔记。
把重要的、不懂的、难理解的记录下来，以便和录像中的讲解进行对比学习。
每天看书不要太多，以免贪多嚼不烂，要循序渐进。
要结合录像看书学习，对每道例题，要亲自动手再作一作，理解了，会了，再向下学习。
学贵有恒，贵在坚持。
3、怎样观看录像？观看录像时，应先看书，后看录像。
对每个例题、定理的证明，要先思考，后看录像，以验证自己的思维。
要充分理解领会每个例题的解证思路与方法，并运用数学方法论思想去审视每道题目的解证方法。
既要理解数学的概念和原理，更要理解数学的本质、数学的价值；既要理解数学的探究过程，又要了解数学发展的历史和方法。
每次观看录像不宜太多，每次观看一节课为宜。
4、怎样解题？学习数学，必须学会解题。
要以波利亚的“怎样解题表”为指南进行解题训练，要注意解后回顾，要注意提炼、总结数学方法。
附波利亚怎样解题表和解题思考步骤、程序表：怎样解题表第一你必须弄清的问题1、未知数是什么？已知数数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？2、画张图，引入适当的符号。
(完整版)初等数学研究(补充版)
初等数学研究1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。
证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。
∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。
OD ⊥BC 于D 。
如图,求证：AH=2OD 。
证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。
∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。
（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。
如图，求证：PQ ∥AB 。
证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。
(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。
求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。
证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK （AAS ） ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG （MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG ）=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. 证明：∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。
数学教学论课后练习答案北京大学出版(主编刘影,程晓亮)课后习题答案
1、数学教学论的研究对象是什么？中学数学教学论是为实现中学数学教学目标，研究中学数学课程的教与学的活动及其规律性的一门学科。
它要解决的主要问题是：为什么教（学）数学（教学目的），教（学）什么样的数学（课程内容），怎样学数学（学生），怎样教数学（教师），以及如何评价教与学的效果。
为了解决以上五个方面的问题，中学数学教学论的研究对象应当包括以下五个方面：１、中学数学课程目标的研究２中学数学课程内容的研究３中学生数学学习心理的实证研究４中学数学教学的研究５中学数学教学评价的研究。
2、数学教学论学科特点有哪些？1．数学教学论是一门综合性很强的独立科学。
2.数学教学论是一门实践性很强的理论学科。
3.数学教学论是一门真在完善的科学.3、学习数学教学论有什么意义？1．数学教学论有助于缩短师范生转为教师的周期 2.学习数学教学论能提高师范生的数学教育理论水平3. 学习数学教学论能使师范生掌握数学课堂教学的基本技能4. 学习数学教学论有利于师范生形成数学教育教学研究能力 5. 学习数学教学论对普及新一轮基础教育改革有特殊意义4、研究数学教学论的方法有哪些？1.历史研究法2.问卷调查法3.实验研究法4.个案研究法5、简述“新数学”运动与国外中学数学教育改革？答：“新数学”运动的指导思想是;增加现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、向量和矩阵。
等等；强调公里方法，提倡布尔巴的结构主义，SMGS数学教材中有一个30条公里组成的系统；废弃欧几里得集合；小件基本运算。
用计算器代替基本技能；提倡发现数学方法，要求学生像数学家发现定理那样去学习数学。
6、如何看待我国数学教育改革？答：近半个世纪以来，我国中学数学教育理念随着国家的发展，科学的几部而不断完善；从注重课堂教学质量的提交，到注重学生数学学习的效果，从注重知识的掌握，到注重能力的形成，素质和观念的发展。
理念的发展意味着人们认识上的飞跃。
7、简述《标准一》和《标准二》的基本理念？答：《标准一》的基本理念：突出体现基础性。
初等数学研究答案1
初等数学研究答案1则ac<bc 。
（3）若a>b，则acmc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若ba b,ab a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若ba b,ab a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若ba b,ab a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+（2）313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+假设当n=k 时的倍数。
是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。
是）（）（918k 451k 154411k 154k1k +--+=-+++ 则对∀N n ∈，1n 154n-+是9的倍数.6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） 当1k n +=时成立。
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（2）解：按照自然数序数理论乘法定义
6证明： 当 时，命题成立.（反证法）
7证明： 当 时，命题成立.（ ）
设 时命题成立.
角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.
在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付 角的邮票.
为了保证在自然数集中除法的封闭性，像 的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.
公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.
11证明：（1）根据自然数减法定义有， ，两式相加得： ，于是 ，
若 ，则
若 ，则
（2）
（3）先证
事实上，由
可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此，为了证明（3），只要证明 ，
根据（1）上式就是
于是只要证明
显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.
12证明：（1）根据自然数除法定义有 ，两式相乘，得 ，所以有：若 ，则 ；若 ，则
直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.
4证明：设集合 两两没有公共元素 分别是非空有限集 的基数，根据定义，若 ，则存在非空有限集 ，使得 ；若 从而必存在非空有限集 ，使得 ，所以 所以集合 的基数 大于集合 的基数 ，所以 .
26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.
27证明：将三次本原单位根 或 分别代入 ：
因此， 含有因式 ，而
所以
28证明（反证法）：若 与3.8的和是有理数 ，即 ，则 .
因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差 仍是有理数，与 是无理数矛盾，所以 与3.8的和是无理数.
29两个无理数的商可能是有理数.例如： 是无理数，易证 也是无理数，
但是 所以 ，所以 不是整数，这与已知条件矛盾，
所以 是无理数.
24证明：假设 ，
所以 ，因为 ，所以
但是当 时，上式明显不成立；当 时，上式与 矛盾.所以， 不是有理数，又可以证明 是实数，所以 是无理数.
25证明：假设方程有有理数根 ，将 其代入方程，可得： ，由此可知 的任何素数因子 必可整除 ，因此 必可整除 ，从而知 为 与 的公因子，但是 ，所以 ，所以 ，这与 矛盾.所以整系数代数方程 的任何非整实根均为无理数.
(加法结合律)
因此， 这个确定的有理数，它与 的和等于 ，
又如果差为 ，则有 ，于是，两边同加 有：
即差只能是 ，定理得证．
20证明：做差， ， .
所以有
21证明：首先证明 当且仅当 .
事实上，若 ，当 时， 且 ，即 ;当 时， ,有 ,且 ,故 .反之，若 ,当 时， ;当 时， .
下面来证明： .
9举例：正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明：（1）（自反性）任意的正整数 ，总有 ；
（2）（反对称性）如果 ，那么 ；
（3）（传递性）如果 ，那么 .
通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.
10证明：设 ，且
①
②若 ，则 .
若 .
令 是所有不属于 的自然数组成的集合，则 是 的非空子集，按照最小数原理， 中有最小数，设为 .由①知 ，于是存在自然数 ，使 ，这样就有 ，所以 ，但根据②有 ，这与 矛盾.所以 .
取定 ，设 是使三个关系中至少有一个成立的所有 的集合，当 时，若 ，则 成立；若 ，则存在 ，使得 ，这时 成立.因此 .
假若 ，即三个关系中至少有一个成立.
当 时，存在 ，使得 ，则 ，即 成立.
当 时，存在 ，使得 ，若 ，就有 ；
若 ，就有 ，且 ，使得 ，即 成立.
综上， ，从而 .
15证明： ，
（2） ，根据除法定义，（2）成立.
（3） ，根据除法定义，（3）成立.
13证明： .
14证明：设 ，下，下面证明 三种关系有且仅有一个成立.
（1）先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立，若令 同时成立，则存在 ，使得：
于是 ，与 矛盾.
同理可证，任意两种关系均不能同时成立.
（2）再证明三中关系中至少有一个成立.
30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如 .
，
16证明：因为 ，
且 ， ，所以 ，即
17证明：因为 ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而 是奇数，
于是 ，同理有 ，
两式相加： ，所以 .
18解：因为 ，所以 和 必为一奇一偶.
若 为偶数，可验证质数 ，则
若 为偶数，可验证质数 ，则
所以 .
19证明：根据减法是加法的逆运算知，设 是有理数， 是这样一个数，它与 的和等于 ．即 ．但是，我们有
事实上，对于 显然有：
故有 .
由上面的讨论知， .
另一方面， .
故 .
22证明:(反证法)设 其中 是正整数,不妨假定 互素,
取自然数 ,用 乘下列级数表达式两边: ,得:
令 ,
于是 ,则 应为正整数, 应为整数.
但是
因为 ,故 ,即 不可能是整数,产生矛盾,所以 是无理数.
23证明：假设
两边 次得 ，
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初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案
第一章 数
1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位 满足 ，和有序实数对 一起组成一个复数 .
2（略）
3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：
在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付 角的邮票.
综合 、 ，命题对于不小于8的所有自然数成立.
8证明：（1）
（2）
当 时，命题成立.
假设 时命题成立，即 .那么 时，原 条直线有 个交点.由条件知，第 条直线与原 条直线各有一个交点，且互不相同.故新增 个交点，所以 .
综合 、 ，命题对于不小于2的所有自然数成立.