初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案(完整资料).doc
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初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案
第一章 数
1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +.
2（略）
3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：
为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.
公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.
直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.
4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+.
5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，
15
55555155155
)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=?
（2）解：按照自然数序数理论乘法定义
87)6(])15[()15()25(2535''''
''''
'===+=+=+=+=+
6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
()()()()()()()0
1121,1111111,11110111111
1,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111
112111212222121≥++-+?≥++-++≥+-+-≥++++∴
≥???? ?
?-++???? ??-+???? ??->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=?+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k a a k a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k
a a a a a a k i a k k n ，即要证
由归纳假设，得，且得，，且时，由当。。，且成立，即时假设ΛΛΛΛΛΛΛΛ7证明：?1当8=n 时，命题成立.（538+=）
?2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.
k 角邮资可能是：
（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.
在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.
在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.
综合?1、?2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f
（2）()()()12
1121-=-+++=n n n n f Λ
?1当4,3,2=n 时，命题成立.
?2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()121-=k k k f .那么1+=k n
时，原k 条直线有
)1(21-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]1112
11-++=+=+k k k k f k f . 综合?1、?2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系. 证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |；
（2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；
（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |.
通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证. 10证明：设N M ?，且
①M ∈1
②若M a ∈，则M a ∈'.
若N M ≠.
令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ?矛盾.所以N M =.
11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++，
若d c b a -=-，则c b d a +=+
若c b d a +=+，则d c b a -=-
（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()(
（3）先证bc ac c b a -=-)(
事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)(
可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---， 根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+
显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.
12证明：（1）根据自然数除法定义有c d
c d b a b a =??
=,，两式相乘，得b
a bc d c ad ?=?，所以有：若bc ad =，则d c
b a =；若d
c b a =，则bc a
d = （2）bc ad d
c d b b a b d d c b a bd +=?+?=+)()()(，根据除法定义，（2）成立. （3）ac d
c d b a b d c b a bd =??=?))(()(，根据除法定义，（3）成立. 13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+. 14证明：设N b a ∈?,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.
（1）先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=
于是a a >，与a a =矛盾.
同理可证，任意两种关系均不能同时成立.
（2）再证明三中关系中至少有一个成立.
取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，若1=a ，则b a =成立；若1≠a ，则存在*N k ∈，使得k b k k a +=+==1'，这时b a >成立.因此M ∈1.
假若M b ∈，即三个关系中至少有一个成立.
当b a <时，存在*N m ∈，使得m a b +=，则''')(m a m a b +=+=，即'b a <成立.
当b a >时，存在*N k ∈，使得k b a +=，若1=k ，就有'1b b a =+=； 若1≠k ，就有*N l ∈，且'l k =，使得l b l b l b a +=++=+=''1，即'b a >成立.
综上，M b ∈'，从而*N M =.
15证明：nby nax by ax n n +=+=)(，
bny ab bn ab n a |,|,|∴∴Θ，anx ab an ab n b |,|,|∴∴Θ
n nby nax ab =+∴|
16证明：因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+，
且cd ab c a +-|，))((|c a d b c a ---，所以))((|c a d b cd ab c a ---+-，即bc ad c a +-|
17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p Λ，而有限个奇数的
初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
资料分析精典题型附答案
一、根据所给文字、图表资料回答106―110题。 2010年1月-2011年7月汽车产量及月同比增速 106．2011年7月产量低于上半年月均产量的是（） A.电 B. 钢材 C. 水泥 D. 乙烯 107．2011年7月轿车产量占汽车产量的比重与上年同期相比（） A. 上升了约7个百分点 B. 下降了月7个百分点 C. 上升了约14个百分点 D. 下降了月14个百分点 108．2010年年3-12月中，汽车单月产量超过150万辆的月份有（）个。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
109．下列选项中，汽车产量同比增速最低的是（） A. 2010年4月 B. 2010年5月 C. 2011年4月 D. 2011年5月 110．以下说法与资料相符的是（） A. 表中产品2011年7月产量同比增速均慢于上半年 B. 2011年7月，十种有色金融比上年同期增产9.8万吨 C. 2009年11月，汽车日均产量超过4万辆 D. 2010年汽车产量最低的季度是第一季度 二、根据所给文字、图表资料回答111―115题。 某市2010年全年实现农业增加值124.3亿元，比上年下降1.6%。粮食播种面积22.3万公顷，比上年减少0.3万公顷；粮食产量115.7万吨，比上年下降7.3%。 全市农业观光园1303个，比上年增加9个；观光园总收入17.8亿元，比上年增长16.7%。民俗旅游实际经营户7979户，比上年减少726户；民俗旅游总收入7.3亿元，增长20.7%。种业收入14.6亿元，比上年增长13.5%。设施农业占地面积18323公顷，比上年下降2.3%；实现收入40.7亿元，增长20.1%。2010年主要农副产品产量
课后习题答案
某大学为了了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机 抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据： 已知：36=n ， 当α为0.1、0.05、0.01时，相应的645.121.0=z 、96.1205.0=z 58.2201.0=z 。 根据样本数据计算得：32.3=x ，61.1=s 。 由于36=n 为大样本，所以平均上网时间的90%的置信区间为： 44.032.336 61.1645.132.32 ±=?±=±n s z x α，即（2.88，3.76）。 平均上网时间的95%的置信区间为： 53.032.336 61.196.132.3±=?±=±n s z x α，即（2.79，3.85）。 平均上网时间的99%的置信区间为：
69.032.336 61.158.232.3±=? ±=±n s z x α，即（2.63，4.01）。 7.16一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求的估计误差在200元以内，置信水平为99%。应选取多大的样本？ 解：已知：σ=1000，估计误差E =200，α=0.01，Z α/2=2.58 应抽取的样本量为：167200100058.22 2 22 222≈?== E z n σ α 7.17计算下列条件下所需的样本量。 （1）E =0.02，π=0.40，置信水平为96% （2）E =0.04，π未知，置信水平为95% （3）E =0.05，π=0.55，置信水平为90% 解：（1）已知：E =0.02，π=0.4，α=0.04，Z α/2=2.05 应抽取的样本量为：( )()252202.04.014.005.212 22 22≈-?=-= E z n ππα （2）已知：E =0.04，π未知，α=0.05，Z α/2=1.96 由于π未知，可以使用0.5（因为对于服从二项分布的随机变量，当π取0.5时，其方差达到最大值。因此，在无法得到总体比例的值时，可以用0.5代替计算。这样得出的必要样本容量虽然可能比实际需要的容量大一些，但可以充分保证有足够高的置信水平和尽可能小的置信区间），故应抽取的样本量为： ( )()60104 .05.015.096.112 22 22≈-?=-= E z n ππα
初等数学研究论文
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
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数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系
上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。
2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。
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(完整版)初等数学研究复习汇总
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 资料分析试题 2013年国考行测资料分析每日一练（1） 【例题】根据以下资料，回答1一5题。 2008年，全国共有普通高等学校和成人高等学校2663所。其中，普通高等学校2263所，比上年增加355所，成人高等学校400所，比上年减少13所。普通高校中本科院校1079所，高职(专科)院校1184所。全国共有培养研究生单位796个;其中高等学校479个，科研机构317个。 全国招收研究生44.64万人，比上年增加2.78万人，增长6.64%;其中博士生5.98万人，硕士生38.67万人。在学研究生128. 30万人，比上年增加8.80万人，增长7.36%;其中博士生23.66万人，硕士生104.64万人。毕业研究生34. 48万人，比上年增加3.3万人，增长10.58%;其中博士生4.37万人，硕士生30.11万人。 普通高等教育本专科共招生607.66万人，比上年增加41.74万人;在校生2021.O2万人，比上年增加136. 12万人，增长7.22%;毕业生511.95万人，比上年增加64. 16万人，增长14.33%。成人高等教育本专科共招生202.56万人，在校生548. 29万人，毕业生169. 09万人。全国高等教育自学考试报考988.82万人次，取得毕业证书55.19万人。 普通高等学校学生平均规模为8679人。 普通高等学校教职工205.10万人，比上年增加7.65万人;其中专任教师123. 75万人，比上年增加 6.92万人。生师规模比为1 7.23:1。成人高等学校教职工 8.99万人，比上年减少4.64万人;其中专任教师5.32万人，比上年减少2.7万人。 1.2008年全国本科院校占普通高校和成人高等学校总和的比例为( )。 A.47.7% B.52.3% C.40.5% D.44.5% 2.2007年，全国普通高等学校和成人高等学校的总数为( )所。 A.2675 B.2321 C.2309 D.2250 3.2008年下列数据增幅最大的是( )。 第一章参考答案及解析 一、单项选择题 1. 【答案】A 【解析】英国政府于1844年颁布了《公司法》，规定股份公司必须设监察人，负责审查公司的账目。1845年，又对《公司法》进行了修订，规定股份公司的账目必须经董事以外的人员审计。选项A说法错误。 2. 【答案】C 【解析】1936年发表《独立注册会计师对财务报表的检查》之后，美国注册会计师审计的重点已从保护债权人为目的的资产负债表审计，转向以保护投资者为目的的利润表审计。选项C说法错误。 3. 【答案】B 【解析】尽管财务报表审计在大多数情况下由注册会计师完成，以独立第三者的身份对财务报表发表意见，但政府审计和内部审计有时也会对企业财务报表进行审计。 4. 【答案】D 【解析】在账项基础审计阶段，随着审计范围的扩展和组织规模的扩大，注册会计师开始采用审计抽样技术，只是抽查数量仍然很大，而且在抽查样本的选择上仍然以判断抽样为主，所以选项D错误。 5. 【答案】B 【解析】风险导向审计的核心是对财务报表重大错报风险的“识别、评估和应对”。 二、多项选择题 1. 【答案】ABD 【解析】1980年12月23日，财政部发布《关于成立会计顾问处的暂行规定》，标志着我国注册会计师职业开始复苏，选项C描述错误。 2. 【答案】ABD 【解析】选项C属于经营审计的范畴，选项ABD属于合规性审计。 3. 【答案】ABCD 【解析】选项ABCD均正确。 4. 【答案】ABD 【解析】现阶段我国注册会计师的审计目标是对财务报表发表审计意见，选项C错误。 5. 【答案】AD 【解析】选项AD正确。选项B，虽然注册会计师审计为财务报表使用者做出正确决策提供了一定的基础，但是这并不能代表能提高报表使用者的决策能力，与其能力无关；选项C， 习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即： 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 2019年公务员《资料分析》试题及答案（卷一） 1、房地产开发项目的税后利润是指房地产开发企业缴纳( )之后的利润。 A. 营业税 B. 房产税 C. 土地增值税 D. 企业所得税 标准答案：D 解析：考察房地产开发项目税后利润的含义。房地产开发企业缴纳所得税之后的利润为税后利润。 2、在房地产市场营销中常说的“金九银十”现象，描述的是购房者的( )特征。 A. 消费能力 B. 消费动机 C. 消费行为 D. 消费结构 标准答案：C 解析：考察房地产消费行为调研的内容。房地产消费行为调研就是对消费者购买房地产的模式和习惯的调研。调研内容包括消费者购买房地产的时间分布，消费者在购买房地产的时间分布上有一定的习惯和规律，例如，房地产营销中常说的金九银十。 3、目前在火电领域诞生的新技术很多，联合循环技术就是其中 之一。简单来说，联合循环技术就是“一气两用”;将燃气轮机排出的高温废气，通过余热锅炉回收转换为蒸汽，进入蒸汽轮机后驱动其运转，两台轮机都将动能输送至发电机进行发电;废气再次进入锅炉，进一步将其中蕴含的热能转化为动能，降低最终排出气体的温度。这样不仅环保，还能节省燃料。启动速度快也是一大优点，其工作原理是在开机之初关闭运转较慢的蒸汽轮机，只启动燃气轮机，产生足够的热能后，再切换到联合循环模式。这一特点对于电力应急事件频发的大都市十分实用。 关于联合循环技术，下列说法与上述文字不相符的是： A.明显提高了发电效率 B.高温废气得以循环利用 C.停电时可在短时间内迅速启动 D.蒸汽轮机早于燃气轮机启动 4、在早已对漂亮假花、假树司空见惯的现代人眼里，干枯苍白的植物标本或许难有多少魅力可言。但在标本馆中，每一份看似不起眼的植物标本都代表着它在地球上的_____。它们虽然远离了最光雨露，告别了生长的土地，却在科学殿堂中_____了自己的生命。 依次填入划横线部分最恰当的一项是： A.经历重现 B.同类延续 C.存在超越 D.物种证明 5、2亿个气味受体细胞，而人类只有2000万个，但我们的嗅觉系统也是相当复杂而专业的，气味分子随气流进入鼻子，通过鼻腔顶 2 二 证明题 2. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为?= v dv x t x t p , ,,),()( ρ利用电荷守恒定律0=??+??t J ρ 证明的变化率为?=v dv t x J dt p d ,,),( 解： ?=v dv x t x t p ,,,),()( ρ (T 就是方向符号) ,x 与时间无关，取的)(t p 一个分量为 ????????+??-=???+??-=??-====v i s i i v i i v i i v i i v i i i i v i i dv J s d J x dv J x dv J x dv J x dv t x x t p dt t dp dv x t x t p , , ,,, ,,,,,,,,,, , ,)()()(),()()(),()( ρρ（p 上的乱码为p 上一个点，rou 也是，dv 后都有一小撇） 考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。s d J x s i i ???)(,=0 所以 ??=v i i dv J dt t dp ,) ( 故得 ?=v dv t x J dt p d ,,),( 3.证明： （1） 两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足 12 1 2 tan tan εεθθ= ，其 中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角. （2） 当两种导电介质流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足 12 1 2 tan tan σσθθ= ， 其中2,1,σσ分别为两种介质的电导率。 解：（1）考虑到界面上无自由电荷，故知： 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 语言学的研究历史 1 一些研究者认为，现代人类语言是何时产生的？（A） A、旧石器时代初期 B、旧石器时代晚期 C、新石器时代初期 D、新石器时代晚期 2 下列不属于印欧语系的有（ABC）。 A、 匈牙利语 B、 芬兰语 C、 爱沙尼亚语 D、 英语 3 远古人类语言的研究在美国不太受欢迎。（√） 4 语言和DNA之间没有严格联系。（√） 语言学中的语法和词汇 1 研究两种语言是否有联系及联系紧密程度的方法是（C）。 A、语言相较法 B、语言核心法 C、词汇统计学法 D、词汇重构法 2 盖尔曼认为追溯语言发展史可以使用的方法有（CD）。 A、研究类人猿发音 B、结合人类DNA C、使用文献自己的语言 D、重建始祖语言 3 任何代表某种历史现象的语族都有一种原始语言。（√）语言学中的语系和超语系及其分布 1 下列属于亚非超语系的是（A）。 A、闪族语 B、乌拉尔语系 C、印欧语系 D、汉藏语系 2 下列属于欧亚超语系的是（ABC）。 A、乌拉尔语系 B、印欧语系 C、阿尔泰语系 D、闪族语 3 波伦语是包含四大超语系的超超语系。（√） 4 日耳曼语是印欧语系的一个分支。（√） 各大语系经典词语对比 1 原始闪语中表示山丘的单词为（B）。 A、tul B、tall C、tulv D、twn 2 pidi是表示（C）的单词。 A、河流 B、山谷 C、山丘 D、海洋 3 印欧语表示数字二的单词为duwo。（√） 诺奖路上的生活 1 马普学会最重要的研究部分是（C）。 A、应用数学 B、材料科学 C、基础科学研究 D、应用技术研究 2 克劳斯?冯?克利钦是德国马普学会（B）所长 A、智能系统研究所 B、固体物理研究所 C、生物物理研究所 D、引力物理研究所 3 克劳斯?冯?克利钦因发现（D）获得了诺贝尔物理学奖。 A、相对论 B、X射线 C、物质的拓扑相变和拓扑相 D、量子霍尔效应 4 习题三 1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。 （1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域； （2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r. 2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0. 证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 + 0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若 f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。因此，f (0) = 1. （2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x) 3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 . 解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 . 4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ? 2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 1 3 1 5x ? 1 1 4 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ? 5 ≠ 0 ? ?8 解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ? （2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ? （3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q （4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)]. （5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ? （6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2 （7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 （8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴2013国考资料分析试题及答案
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