基本不等式第一课时公开课课件
合集下载
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一 课件(共14张PPT).ppt
追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式 （均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】 地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长 方形的地
你分这块正 方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】 问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式(第一课时) PPT
(当且仅当 x=y= S 时, “=”成立).
4
2
口诀：“和定积最大”
注意：使用条件： “一正，二定，三相等”
练习：
1、当x>0时，x 1 的最 小 值为 2 ，此时x= 1 . x
变式：当x<0时，x 1 的最 大 值为 -2 ，此时x= -1 . x
若为负数，则添负号变正. 2、已知 x+y=4(x>0,y>0)，求 xy 的最值. 4
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明
此时x,y的值．
(当x=6,y=4时,最小值为48)
提升应用
1.下列函数中，y的最小值为4的是( C )
A、y
x
4 x
C、y 3x 4 3x
2.判断正误：
B、y
sin
x
4 sin
x
(0
x
)
D、y
sin
x
4 cos
x
(0
x
2
(3)ab ( a b )2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”) 2
(4)( a +b )2 a2 +b2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”)
基本不等式第一课时公开课ppt课件
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
编辑版pppt
5
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
编辑版pppt
6
思考：你能给出不等式 a2b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2b22ab(ab)2 当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0 所 以 a2b2≥ 2ab.当且仅当a=b 时等号成立
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
aa bb ①如何用a, b表示OD? OD=___2_2__
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD 演示
a b≥ 2
ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 BC D C DC A C
所 以 D C 2B C A C a b
编辑版pppt
11
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
编辑版pppt
12
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.2 第1课时 基本不等式(课件)
2
1
1
②a＋ab＋b≥4；
1 1
③(a＋b)a＋b≥4；
④a2＋9＞6a.
当堂达标
2 3
1
①②③ 解析：由于 a2＋1－a＝a－2 ＋ ＞0，故①恒成立；
4
1
1
1 b a
1
ba
a＋
b＋
由于
a
b＝ab＋ab＋a＋b≥2 ab·ab＋2 a·b＝4.
>
x＋y
2
2
2
2
2
1
，排除 A.
2x2＋y2
1
1 11 1 3
解法二：取 x＝1，y＝2.则
＝3；4 x＋ y＝8；
x＋y
1
1
1
1
＝
＝ .其中
最小．
2 xy 2 2
8
10
1
1
；
2
2 ＝
2x ＋y
10
经典例题
题型三
用基本不等式证明不等式
例 3 已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
当堂达标
x2＋2
5.若不等式 2
≥2 恒成立，则当且仅当 x＝________时取“＝”号．
x ＋1
0 解析：
x2＋2
x2＋1 ＋1
1
2
＝
＝ x ＋1＋ 2
≥2
2
2
x ＋1
x ＋1
x ＋1
1
x ＋1 2
＝2，
x ＋1
2
1
其中当且仅当 x ＋1＝ 2
1
1
②a＋ab＋b≥4；
1 1
③(a＋b)a＋b≥4；
④a2＋9＞6a.
当堂达标
2 3
1
①②③ 解析：由于 a2＋1－a＝a－2 ＋ ＞0，故①恒成立；
4
1
1
1 b a
1
ba
a＋
b＋
由于
a
b＝ab＋ab＋a＋b≥2 ab·ab＋2 a·b＝4.
>
x＋y
2
2
2
2
2
1
，排除 A.
2x2＋y2
1
1 11 1 3
解法二：取 x＝1，y＝2.则
＝3；4 x＋ y＝8；
x＋y
1
1
1
1
＝
＝ .其中
最小．
2 xy 2 2
8
10
1
1
；
2
2 ＝
2x ＋y
10
经典例题
题型三
用基本不等式证明不等式
例 3 已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
当堂达标
x2＋2
5.若不等式 2
≥2 恒成立，则当且仅当 x＝________时取“＝”号．
x ＋1
0 解析：
x2＋2
x2＋1 ＋1
1
2
＝
＝ x ＋1＋ 2
≥2
2
2
x ＋1
x ＋1
x ＋1
1
x ＋1 2
＝2，
x ＋1
2
1
其中当且仅当 x ＋1＝ 2
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ICM 2002
International Congress of Mathematicians
Bejing
August 20-28,2002
赵爽弦图
D
G
F
C
a +b > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a b
2 2
2
2
A
aH
a 2 b2
E
b
B
D
D
a 2 b2
b
G F
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把
ab 叫做正数a，b的几何平均数。
ab 叫做正数a，b的算术平均数 2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 A B a C O b AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ E 2
ab ab 2
我们一起来分析一下： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b
2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 （ a- b ）
2 2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
通常我们把上式写作：
ab ab (a 0, b 0) 2
②如何用a, b表示CD?
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a b b a ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2 2
a
a
E
C
A
A
H
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我 们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
思考：你能给出不等式 a 2 b 2≥2ab 的证明吗？
2 ( a b ) 证明：（作差法） a b 2ab
2 2
当a b时
b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
y x 2.已知x, y R , 求证 2. x y
证明:
x, y R
y x , R , x y
y x y x 2 2 x y x y
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
演示
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
基本不等式(一)
ab ab 2
武汉睿升学校
欣 情景设置 赏 体 会 丰 富 自 我
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
a,b∈R
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a =b
a =b
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数
.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 3、变形用 2 ab ab a b 2 ab 2
例1:
1.已知a, b, c都是正数, 求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
证明:
a b 2 ab 0,
当a b时
2
(a b) 0
2
2
(a b) 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立
2 2
新课探究
D
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、b
可得
a b 2 ab ,
G
F
C
这个不等式又如何 证明？
A
H
a
E
ab
b
B
从不等式的性质推导基本不等式
变式训练:
1 1 4 1、已知a>0,b>0,求证 (a b)( ) . a b
2、已知a、b、c 为两两不相等的实 2 2 2 数，求证 a b c ab bc ac
小结：
a b ≥2ab
2 2
ab ≥ ab 2
a>0,b>0
适用范围 文字叙述 “=”成立条件
International Congress of Mathematicians
Bejing
August 20-28,2002
赵爽弦图
D
G
F
C
a +b > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a b
2 2
2
2
A
aH
a 2 b2
E
b
B
D
D
a 2 b2
b
G F
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把
ab 叫做正数a，b的几何平均数。
ab 叫做正数a，b的算术平均数 2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 A B a C O b AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ E 2
ab ab 2
我们一起来分析一下： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b
2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 （ a- b ）
2 2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
通常我们把上式写作：
ab ab (a 0, b 0) 2
②如何用a, b表示CD?
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a b b a ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2 2
a
a
E
C
A
A
H
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我 们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
思考：你能给出不等式 a 2 b 2≥2ab 的证明吗？
2 ( a b ) 证明：（作差法） a b 2ab
2 2
当a b时
b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
y x 2.已知x, y R , 求证 2. x y
证明:
x, y R
y x , R , x y
y x y x 2 2 x y x y
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
演示
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
基本不等式(一)
ab ab 2
武汉睿升学校
欣 情景设置 赏 体 会 丰 富 自 我
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
a,b∈R
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a =b
a =b
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数
.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 3、变形用 2 ab ab a b 2 ab 2
例1:
1.已知a, b, c都是正数, 求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
证明:
a b 2 ab 0,
当a b时
2
(a b) 0
2
2
(a b) 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立
2 2
新课探究
D
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、b
可得
a b 2 ab ,
G
F
C
这个不等式又如何 证明？
A
H
a
E
ab
b
B
从不等式的性质推导基本不等式
变式训练:
1 1 4 1、已知a>0,b>0,求证 (a b)( ) . a b
2、已知a、b、c 为两两不相等的实 2 2 2 数，求证 a b c ab bc ac
小结：
a b ≥2ab
2 2
ab ≥ ab 2
a>0,b>0
适用范围 文字叙述 “=”成立条件