河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)+数学(理)含答案
式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 S△ABC
＝ p p a p b p c ，其中 p＝ a b c ，若 a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”
2
可求得△ABC 的内切圆半径 r 的值是
。
15.已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 sinA＋sinB－3sinC＝0，a＋b＋c
21.(本小题满分 12 分)
设△ABC 内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且三个内角 A，B，C 依次成等差数列。
(1)若 sin2B＝sinAsinC，求角 A；
(2)若△ABC 为钝角三角形，且 a>c，求 3 sin A cos A cos 2 C 1 的取值范围。
22
22
22.(本小题满分 12 分)
-3-
已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且当 n≥2，n∈N*时满足 nan＋1＝(n＋1)an。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
bn＝
2n
1 a n1
，若对任意的
n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围。
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
-9-
- 10 -
- 11 -
2.在△ABC 中，∠ABC＝ ，AB＝ 2 ，BC＝3，则 sin∠BAC＝
4
10
A.
10
10
B.
5
3 10
C.
10
5
D.
5
1
3.在数列{an}中，a1＝ ，an＝1－
1
(n≥2，n∈N*)，则 a2020＝
2
a n1
1
A.
B.1 C.－1 D.2
2
4.已知△ABC 中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中 A，B，C 为△ABC 的内角，a，
b，c 分别为 A，B，C 的对边，则 C＝
2
3
5
A.
B.
C.
D.
3
3
4
6
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a4＝6，2a5＝9，则 S7＝
35
49
A.
B.21 C.
D.28
2
2
a
6.在锐角△ABC 中，已知 A＝2C，则 的范围是
c
A.(0，2) B.( 2 ，2) C.( 2 ， 3 ) D.( 3 ，2)
已知△ABC
的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，且
bsinA＝acos
B
6
。
(1)求角 B 的大小；
(2)若 a，b，c 依次成等比数列，求 1 1 的值。 tan A tan C
19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 btanA＝(2c－b)tanB。 (1)求 A 的大小；
三、解答题(本题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an}中，a1＝1，且 a2 是 a1 和 a3－1 的等差中项。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝2n＋an(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 18.(本小题满分 12 分)
B.2020
C.2021
D.2022
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则 Sn 取得最大值时 n
＝
。
14.海伦(Heron，约公元 1 世纪)是古希脂亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公
4
a
A.(0，2)
B.(0， 3 )
C.( 3 ，＋∞)
D.(2，＋∞)
-1-
10.已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2asinC＝ 3 c，a＝1，则△
ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为
3
A.
B. 2
C. 3
D.4
4
11.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。我国明代
2020－2021 学年上期第一次联考
高二数学(理)试题
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝15，则 a11＝
A.39 B.38 C.35 D.33
(2)若 a＝2 13 ，且△ABC 的面积为 12 3 ，求 b＋c 的值。
20.(本小题满分 12 分)
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2，a2＝2a1＋1。 (1)求数列{an}的通项公式；
2
(2)设数列{bn}满足 bn＝
an 1 4n
，求数列{bn}的前 n 项和 Rn。
-2-
2ab
a2 b2
＝4，S△ABC＝9Fra bibliotek，则＝
a sin A b sin B
。
16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，满足 a1＝1，3Sn＝(n＋m)an(m∈
R)，且 anbn＝ 1 。若对任意 n∈N*，λ>Tn 恒成立，则实数λ的最小值为
。
5
7.已知数列{an}为等比数列，an>0，且 amam＋1am＋2＝26m，若 p＋q＝6，则 ap·aq＝
A.27
B.28
C.29
D.210
n
8.若数列{an}满足 an＋1＝(2|sin |－1)an＋2n，则 a1＋a2＋…＋a8＝
2
A.136 B.120 C.68 D.40
9.若△ABC 的面积为 3 (a2＋c2－b2)，且∠C 为钝角，则 c 的取值范围是
A.F B.G C.G D.A
12.设数列{an}满足
a1＝2，a2＝6，a3＝12，数列{an}前
n
项和为
Sn，且
Sn2 Sn1 1 Sn1 Sn 1
＝3(n∈
N*且
n≥2)。若[x]表示不超过
x
的最大整数，bn＝
(n
1) an
2
，数列{bn}的前
n
项和为
Tn，则
T2020＝ A.2019
数学家、音乐理论家朱载填创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人。十二平
均律的方法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是
常数，如下表所示，其中 a1，a2，…，a13 表示这些半音的频率，它们满足 log2( ai1 )12＝1 ai
(i＝1，2，…，12)。若某一半音与 D 的频率之比为 3 2 ，则该半音为
2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级上学期第一次月考数学试卷 (含解析)
2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝24004．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm26．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是cm，面积是cm2．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是；②线段AD、BD、DE的数量关系是；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解：A．矩形的对角线相等且平分，故A原说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．四条边相等的四边形是菱形，故C原说法错误；D．对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故D原说法错误；故选：B．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．解：∵2x2﹣4x＝3，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝，故选：C．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400解：由图可得，（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，故选：D．4．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意列表如下：1253361544820661230∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，∴转得的两个数之积为偶数的概率为；故选：C．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝xcm，得到：解得：x＝4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．故选：B．6．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，解得：a＜，∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a＜且a≠0．故选：A．7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BC＝BE，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；故选：D．9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，则＝＝．故答案为：．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是k≤且k≠0．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝1：2．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，则FC＝2DM根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是3米．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝或时，△CMN为直角三角形．解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图，∵B点是CH的中点，∴BH＝CH＝6，∵AH＝OC＝8，∴由勾股定理可求：AB＝10，∵AN＝t，∴BN＝10﹣t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴＝，∴＝，∴EN＝（10﹣t），∴FN＝8﹣EN＝t，当∠CMN＝90°，由勾股定理可求：AF＝t，∴MF＝AM﹣AF＝12﹣t﹣t＝12﹣t，∵∠OCM+∠CMO＝90°，∠CMO+∠FMN＝90°，∴∠OCM＝∠FMN，∵∠O＝∠NFM＝90°，∴△COM∽△MFN，∴＝，∴＝，∴t＝，当∠MNC＝90°，∵FN＝t，∴EN＝（10﹣t），∵MF＝12﹣t，∴CE＝OF＝OM+MF＝12﹣t，∵∠MNF+∠CNE＝90°，∠ECN+∠CNE＝90°，∴∠MNF＝∠ECN，∵∠CEN＝∠NFM＝90°，∴△CEN∽△NFM，∴＝，∴＝，∵0＜t＜10，∴t＝，当∠NCM＝90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t＝或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？解：（1）100﹣＝92（辆），（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．（2）40.4万元＝404000元设上涨x个100元，由题意得：（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000整理得：x2﹣64x+540＝0解得：x1＝54，x2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元，∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是15cm，面积是cm2．解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，解得，t＝3，故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得，t＝，故当t＝时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，故答案为：15；．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE；②线段AD、BD、DE的数量关系是DE2＝BD2+AD2；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，DE2＝BD2+．解：（1）①如图1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE，如图2，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∵AD＝BE，∴DE2＝BD2+AD2；故答案为：AD＝BE；DE2＝BD2+AD2；（2）①由（1）得∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∵∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝n，∴AD＝nBE；②∵△ACD∽△BCE，∴∠A ＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∴DE2＝BD2+．故答案为：DE2＝BD2+．。
专题05空间中的平行关系与垂直关系(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系1．在正四棱锥S ABCD -中，SO ⊥面ABCD 于O ，2SO =,P Q 分别在线段,BD SC 上移动，则,P Q 两点的最短的距离为（）A B C ．2 D ．1【答案】B,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小；四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SOAC O =，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴. 故选：B.2．【广西河池市2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．5B C ．5D ．5【答案】D连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则BE DE ===1122OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，sin5OD OED DE ∠===． 故选：D.3．【广西桂林市2020-2021学年高一上学期期末】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α.B ．若直线m 、n 与平面α所成角相等，则//m n .C ．若m α⊂，n ⊂α且//m β，βn//，则//αβ.D ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥. 【答案】DA. 由题得//n α或n ⊂α，所以该选项错误；B. 由题得//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以该选项错误；C. 由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；D. 由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确.故选：D4．【河南省天一大联考2020-2021学年高一上学期期末】在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．5．【河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期期末】将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）A ．//AB CD ，AB EF ⊥ B ．AB CD ⊥，AB EF ⊥C ．//AB CD ，AB 与EF 所成的角为60 D ．AB CD ⊥，AB 与EF 所成的角为60【答案】D作出翻折后的正方体如下图所示：在正方体ANBF MCED -中，四边形MCED 为正方形，则CD ME ⊥，AM ⊥平面MCED ，CD ⊂平面MCED ，CD AM ∴⊥，AM ME M =，CD 平面ABEM ，AB CD ∴⊥，在正方体ANBF MCED -中，//AF CE 且AF CE =，所以，四边形ACEF 为平行四边形，所以，//AC EF ，所以，异面直线AB 与EF 所成的角为BAC ∠， 易知ABC 为等边三角形，所以，60BAC ∠=， 因此，AB 与EF 所成的角为60. 故选：D.6．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】A对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.7．【河南省焦作市2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．8．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得平面CDEF ⊥平面ABEF ，则异面直线BD 与AE 所成角的正弦值为（）AB．10C．10D【答案】D如图，连接BF 交AE 于点O ，取DF 的中点G ，连接OG ，AG ，则OG BD ∥且12OG BD =，所以AOG ∠(或其补角)为异面直线BD 与AE 所成的角.由在矩形ABCD中，AB =2BC =，则1DF FA ==，2AE BF ==，所以112AO AE ==. 平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =，DFEF ，DF ⊂平面DCEF ，所以DF ⊥平面BAFE ，又BF ，AF ⊂平面BAFE ，所以DF BF ⊥，DF FA ⊥，所以BD =所以12OG BD ==1122GF DF ==，所以AG ==在AOG中，112cos AOAOG GO ∠===sin 5AOG ∠=．所以异面直线BD 与AE. 故选：D ．9．【贵州省思南中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A解：如图所示：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//EG AB ，//FG CD ，EF ∴与CD 所成的角为EFG (或其补角)， EF AB ⊥，EF EG ∴⊥，又112EG AB ==，122FG CD ==， ∴在Rt EFG 中，1sin 2EFG ∠=， EF ∴与CD 所成的角为30．故选：A ．10．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（） A ．1θθ≥ B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤【答案】A设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ===2DC =，∴1cos 3θ==，233AO CO CE ===，∴13cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A .11．如图（1），Rt ABC，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD△折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'【答案】C设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C.12．在正方体1111ABCD A BC D -中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线1BA 和11B D 所成的角均为o 70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条C ．4条D ．无数条【答案】C因为11//B D BD ，过点C 做直线l 可以转化为过B 做直线l 与直线1BA 和BD 所成的角均为o 70，由于1BA 与BD 所成的角都等于o 60，所以当直线l 是1A BD ∠的角平分线时与1A B BD 、都成o 30，然后直线l 绕着点B 转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理在1A BD ∠的对顶角中也有一条直线l 与两条直线都成o70， 因为1A BD ∠的补角是o 120，角平分线与两条直线都成o 60，当直线l 绕着点B 从1A BD ∠一侧的补角角平分线开始转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条. 故选：C.13．【山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末】我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立【答案】B解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ， 又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ==假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.14．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．MN 与1AC 垂直B ．MN 与平面11ACC A 垂直 C ．MN 与平面1C BD 平行 D ．MN 与平面1A BD 平行【答案】C对于选项A ，连接1BC ，11B D ，由三角形中位线知识即可证得11//MN BD ，由选项B 可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与1AC 垂直 对于选项B ，由三角形中位线知识即可证得11//MN B D ， 正方体中，易得1111B D AC ⊥及1AA ⊥平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111B D AC ⊥所以11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与平面11ACC A 垂直对于选项C ，因为M ∈1BC ，1BC ⊂平面1C BD ，所以MN 与平面1C BD 至少有一个公共点M ，MN 与平面1C BD 不可能平行.对于选项D ，由B 选项的证明可得11//MN B D ，又11//BD B D ， 所以//MN BD ，又MN ⊄平面1A BD 所以MN 与平面1A BD 平行 故选：C15．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 可证明BC ⊥平面AOC ， 则BC AC ⊥． 则cos BOABO AB ∠=， cos BCABC AB ∠=，cos BCOBC BO∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=， 即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点1D 作1D O ⊥平面ABC ， 过点B 作BO '⊥平面1ACD ， 连接OB .过O '作1O H CD '⊥， 连接BH ，如图：则1D BO ∠为直线1BD 与平面ABC 所成角， 即1D BO β∠=， 由BO '⊥平面1ACD ， 则1BO CD '⊥， 又1O H CD '⊥， 且BO O H O '''⋂= 所以1D C ⊥平面BO H '， 则1CD BH ⊥所以BHO '∠为二面角1A CD B --的平面角， 即BHO γ'∠=， 又11D ABC B AD C V V --=， 即111133ABC AD C S OD S O B '⨯⨯=⨯⨯△△， 且112AD C ABCDS ABC S S ==矩形△△， 所以1BO D O '=. 由sin ,BO BHO BH''∠=111sin D OD BO BD ∠=， 由1BH BD <，所以sin BHO '∠>1sin D BO ∠，即BHO '∠>1D BO ∠， 也即γβ>. 又在平面1AD C 内，111,AD DC O H DC '⊥⊥， 所以1//AD O H '.所以α等于直线O H '与BC 所成的角，BHO '∠也为直线O H '与平面1BCD 所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>， 故选：B.16．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______. 【答案】60°如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°17．【河南省濮阳市2020-2021学年高一上学期期末】空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条. 【答案】无数在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A D ''， 作一个平行六面体ABCD A B C D -''''，如图所示在c 上，即在直线A D ''上取一点P ，过a 、P 作一个平面β 平面β与'DD 交于Q 、与CC '交于R ，则 由面面平行的性质定理，得//QR a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交，得直线PR 是与a ，b ，c 都相交的一条直线．根据点P 的任意性，得与a ，b ，c 都相交的直线有无穷多条． 故答案为：无数18．【河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末】如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF所成的角的余弦值为______．设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos OE OEF EF ∠==故答案为：3．19．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=， 即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：⎣⎦.20．【辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末】已知：平面l αβ=，∈A l ，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．【答案】5如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==， 因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin60CE =⨯︒=CD ．故答案为：521．【云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A D ，1AA ，AB 的中点.下列四个结论：①1//CD FG ；②//AC 平面EFG ；③平面BAC ⊥平面EFG ；④1B D EG ⊥.其中正确结论的编号是___________.【答案】①②④对于①，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CD BA ，1//BA FG ，所以1//CD FG ，故①正确；对于②，延长EF 交DA 的延长线于H ，连HG ，则1AH A E AG ==，所以//HG AC ，又HG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故②正确；对于③，平面BAC 与平面EFG 不垂直；故③不正确；对于④，在正方体中，因为11B D CD ⊥，1//CD FG ，所以1B D FG ⊥， 因为1B DAC ，//AC HG ，所以1B D HG ⊥，因为FG HG G ⋂=，所以1B D ⊥平面FHG ，又EG ⊂平面FHG ，所以1B D EG ⊥，故④正确. 故答案为：①②④22．如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.解：设点1B 到平面1D BC 的距离为d ， 1111B BCD D BCB V V --=，∴11111133BCD BCB Sd SA B =．∴111111123232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯．d ∴=．． 23．【黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年度高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②平面EFC//平面1A BD③异面直线,AE BF 所成的角为定值； ④三棱锥A BEF -的体积为定值， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④①设AC 与BD 相交与G .根据正方体的性质可知1,AC BD AC BB ⊥⊥，而1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//A B D C ，1A B ⊂/平面11B CD ，1D C ⊂面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD .同理可证//BD 平面11B CD ，而1A B BD B ⋂=，所以平面1//A BD 平面11B CD ，也即平面//EFC 平面1A BD .故②正确.③由于正方体的边长为1，所以112BD B D BG ===，而EF =性质可知//EF BG ，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角，所以tan AGAEG GE∠=，其中AG 为定值，GE 长度不固定，所以AEG ∠不是定值，所以③错误. ④由①可知AC ⊥平面11BDD B ，所以111113322212A BEFBEF V S AG -⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭为定值，所以④正确.故答案为：①②④24．已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.如图，结合题意绘出图像，AEF 即ABC 在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G ，连接AG ，设BE a =，CF b =，2AB AC BC ===，则AD =， 因为AEF 即ABC 在平面α上的投影，D 为BC 的中点，所以点G 在线段EF 上且点G 是线段EF 的中点，22BE FCa bDG ， 因为AEF 是以A 为直角顶点的三角形，所以12GAEF ， 因为DG ⊥平面α于点G ，所以DG AG ⊥，DAG ∠即直线AD 与平面α所成角， 因为22224AE AB BE a ，22224AF AC CF b ，222EF AE AF =+，所以222228EF AE AF a b ，因为22222322EF a b AG AD DG ，即2212EFa b ，联立()22222128EF a b EF a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab =， 则323262sin 26633a b DGDAGa aADaa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， 25．【辽宁省大连市2019-2020学年高一（下）期末】在正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别为棱1AD ，1BC 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点P 异于点A 时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；②BPQ 的面积为定值；③P ，Q 运动过程中，均有BC PQ ⊥；④P ，Q 运动过程中，线段PQ 在面11BB C C 内射影所形成的区域面积是四边形11BB C C 面积的一半. 【答案】①③④ 对①，如图所示：当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面， 与题意矛盾，所以直线1PB 与直线AQ 一定异面，故①正确； 对②，当点P 在A 处时，点Q 与1B 重合，如图所示：设正方体边长为1，111122BPQ S =⨯⨯=△. 当点P 在1AD 中点时，此时点Q 在1BC 的中点，如图所示：设正方体边长为1，11224BPQ S =⨯⨯=△， 故BPQ 的面积不是定值，故②错误；对③，过P 做PH AD ⊥，过Q 做QK BC ⊥，连接HK ，如图所示：因为1//PH DD ，1//QK BB ，1AP B Q =，11AD B C =，AD BC =， 所以11AP AH BQ BKAD AD B C BC===，即AH BK =. 所以四边形ABKH 为矩形，即BC HK ⊥. 又因为BC QK ⊥，QKHK K =，所以BC ⊥平面PHKQ .PQ ⊂平面PHKQ ，所以BC PQ ⊥，故③正确.对④，P 点在平面11BCC B 内的射影点的轨迹为线段1BC ， 设11BC B C O =，如图所示：线段PQ 在平面11BB C C 内射影所形成的区域为1B OB △和1C OC △，111112B OBC OCBB C C SSS +=四边形，故④正确. 故答案为：①③④26．在长方体1111A BCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，1AD ，的中点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，1D H ．（I ）求证：平面//EFG 平面ACQ（II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得//DQ 平面1D PH ？若存在，求出P 点的位置若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）当13DP DC =时，满足条件，证明见解析. 连接111,AC BC ,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点 所以11//AC GF ,1//EF BC由11//AD BC ,所以1//AD EF ,又1AD ⊂平面ACQ , EF ⊄平面ACQ 所以//EF 平面ACQ又11//AC AC ,所以//GF AC ,又AC ⊂平面ACQ , GF ⊄平面ACQ 所以//GF 平面ACQ ,又GF EF F ⋂= 所以平面//EFG 平面ACQ（2）线段CD 上存在一点P ，当13DP DC =时，满足//DQ 平面1D PH . 证明如下：连接PH 并延长交AB 于点M ,连接1D M ，则平面1D PH 与平面1D PM 为同一平面.由H 为AC 的中点，则AMH 与CPH △全等.则2233AM AB CD == 取线段1D M 的中点N ，连接QN .由,Q N 分别为11,AD D M 的中点，所以111233QN AM AB DC ===且//QN AM又//DP AM 且13DP DC =, 即//QN DP 且QN DP = 所以四边形QDPN 为平行四边形，故//QD NP又QD ⊄平面1D PH ，NP ⊂平面1D PH ，所以//DQ 平面1D PH .27．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明：连接AE ．四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点， 又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；（2）证明：四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，BE ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC BE ∴⊥，AC BC AB ==，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， BCBE B =，AC ∴⊥平面BEC .28．【河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期期末】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，点M ，N 分别是线段PC ，AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥A NBM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）14. （1）∵PA AD =，N 为AD 中点∴PNAD∵底面ABCD 为菱形，∴60BAD ∠=︒，∴三角形ABD 为等边三角形， ∴BN AD ⊥， ∵PNBN N ，∴AD ⊥面PNB（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PNAD∴PN面ABCD又∵2PA PD AD ===，3PN NB，1AN =，∴AD NB ⊥∴11122ABNSAN BN =⋅=⨯=∵M 为PC 中点，∴点M 到面ABN 的距离等于P 到面ABN 距离的12又∴1132A NBM M ANB ABNV V PN S --==⨯⋅∴111324A NBM V -=⨯= 29．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11AC ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，OH ∴==即点O 到平面11DA C30．【宁夏银川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB∆的重心，D 是P A 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥， 底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面P AB ，AB 平面P AB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=， ∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)+数学(文)含答案
2020－2021学年上期第一次联考高二数学(文)试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，则a 11＝ A.39 B.38 C.35 D.332.在△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB 2BC ＝3，则sin ∠BAC ＝ 10 10 310 53.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝a 7＋1，a 4＋a 7＝4，则a 10＝A.113 B.4 C.133 D.1434.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形5.已知数列{a n }满足a 1＝28，n 1n a a n +-＝2，则n an的最小值为 A.293 B.71 C.485D.2746.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形而积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a 2sinC ＝5sinA ，(a ＋c)2＝16＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 A.12B.32 3 D.27.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a n >0，q>1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝ A.48 B.42 C.36 D.31 8.已知各项均为正数的等比数列{a n }，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则4567a a a a ++的值是A.19 B.16C.6D.9 9.若数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝A.136B.120C.68D.4010.若△ABC (a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则ca的取值范围是A.(0，2)B.(2，＋∞)C.(0 ，＋∞)11.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2asinC c ，a ＝1，则△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为D.412.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csin(B ＋3π)a ，CA CB ⋅＝20，c ＝7，则△ABC 的内切圆的半径为A.1 D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝－6，S 9－S 4＝75，则S n 取得最大值时n ＝ 。
河南省豫南九校2024_2025学年高二语文上学期第四次联考试题
河南省豫南九校2024-2025学年高二语文上学期第四次联考试题(考试时间: 150分钟试卷满分: 150分)一、现代文阅读(36分)(一)论述文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1～3题。
回溯史学史,可以看到,史学进步发展的动力,是学科自身强大而主动的反省、修复实力，是开放包涵和兼收并蓄的学术精神。
在不同的发展阶段,历史学都曾遭受过不同程度的冷遇和低谷,但随着新材料、新理论和新方法的引入，古老的历史学得以不断地迸发出新的活力。
历史学发生的“数字转向”,便是已知的诸多新变更之一。
自19世纪以来,历史学建立了一整套较为严格缜密的探讨方法、学科体系和职业规范。
仅以对历史资料的收集、整理和考证为例,史料的范围从一般的档案、文献、典籍等,渐渐拓展到考古、图像、数据、口述等文字之外的形式。
最近20年来,历史资料的数字化与数字化原生史料的大量出现,成为历史学“数字转向”的重要标记之一。
关于传统史料的数字化转换,自古以来,就始终存在史料在不同介质和载体之间的转换,如由口述传统向文字书写的过渡，干脆带来了传统史学的诞生;再如碑刻铭文的拓印,文稿的誊写、抄录与印刷，还有一度特别盛行的微缩胶片等，都在肯定程度上推动了历史探讨的进步。
其中,文字书写与近代印刷的独创和应用,对人类的学问生产和传播产生过革命性的影响。
现代数码技术的发展,使得文件的存储、携带、阅读、检索和传播等各方面都发生了质的变更。
单就史料本身而论,数字化使得历史探讨者有可能尽量多地获得、占有和运用史料,并且全面细致地驾驭相关的探讨状况。
但是,海量的史料超出了人类自然的阅读实力,这是之前任何时代都不行想象的新问题。
于是文本、数据库和网络范围内的电子检索，成为今日每一个探讨者日常的基本操作技能;而利用计算机、人工智能和统计学等方法的“数据挖掘”,以及在此基础上绽开的“大数据”模型分析也应运而生。
再来看原生的数字史料,也就是运用数码技术干脆制造产生的各类电子文档、信息和记录。
吉林省松原市前郭县南部学区2024~2025学年度九年级上期中测试.名校调研 物理(含答案)
九 年 · 物 理 ( 省 命 题 ) ( 六 十 ) 九年 ·物理(省命题) (六十)学 校姓 名班 级考 号名校调研系列卷 ·九年级期中测试物理(人教版) 题 号 二三四五 总 分得 分一、单项选择题(每题2分，共12分)1.一般情况下，下列物体中容易导电的是 ( )A.玻璃杯B.塑料尺C.铅笔芯D.橡胶轮胎2.植物油燃料是一种新型燃料，可用来替代传统燃料。
它不易燃、不易爆、无烟无异味，在节能方面比传统燃料更胜一筹，进行同样的工作消耗的燃料更少，这是因为该燃料具有 较大的 ( ) A. 热值 B.比热容 C.内能 D. 质量3.下列用电器正常工作时，所需电压最小的是 ( ) A.电饭锅 B.电子计算器 C. 电冰箱 D.电熨斗4.如图是一款热销的仿真猫咪玩具，其工作原理为：闭合开关S, 电源指示灯 亮，当触摸玩具猫咪头部时，开关S ₂ 闭合，玩具猫咪就会吐舌头(电动机工 作)开启撤娇卖萌模式；当断开开关S ₁ 时，电源指示灯不亮，无论是否触摸 其头部，玩具猫咪都不会吐舌头。
下列电路设计符合上述要求的是( )A B C D5.两只定值电阻，甲标有“1000.8A”字样，乙标有“1500.4A”字样，把它们串联起来， 两端允许加的最大电压是 ( ) A.14V B.10V C.8V D.6V6.小晨同学准备用如图所示的电路测量两个电阻的阻值，但当开关S 闭合时，他发现电流表有示数，电压表V ₁ 、V ₁ 有 示 数 且 示 数 相 同 ， 则电路故障的原因可能是 ( ) A.R ₁ 短路 B.R ₁ 断 路 C.R ₂ 短路 D.R ₁ 断路二、填空题(每空1分，共18分)7.在暗朗无风的天气，小明的爸爸给爷爷家的院门刷油漆时，在院子里玩的小明闻到了油漆 的气味儿，这是 现象；油漆能附着在院门上，这利用了分子间的 8.腊月，东北农村有蒸粘豆包的习俗。
将蒸熟的粘豆包放在寒冷的室外晾凉，这是通过的方式来 粘豆包的内能。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第二次联考试题 化学 含答案
豫南九校2020－2021学年上期第二次联考高二化学试题(考试时间：90分钟试卷满分：100分)可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 S32 K39 Cr52 Ag108一、选择题(本大题共16题，每小题3分，共48分。
每个小题只有一个选项符合题意)1.Pd－Co－硅藻土可作NaBH4释氢时的催化剂，则向释氢反应NaBH4＋2H2O4H2↑＋NaBO2△H＝－75 kJ·mol－1中加入该催化剂后△H将A.增大B.减小C.不变D.无法判断2.一种利用蓝绿藻制氢贮氢及氢气应用的图示如下。
下列说法正确的是A.能量的转化方式只有2种B.氢气液化过程吸收能量C.蓝绿藻分解水产生H2，同时释放能量D.能量利用率：燃料电池比H2直接燃烧高3.某反应A＋B＝C＋D在低温下能自发进行，在高温下不能自发进行，对该反应过程△H、△S的判断正确的是A.△H<0，△S>0B.△H>0，△S>0C.△H<0，△S<0D.△H>0，△S<04.《本草纲目·29卷·杏》中对药物浸出过程有如下叙述：“药液釜盛之，釜上安盆，盆上钻孔，用弦悬车辖至釜底，以纸塞孔，勿令泄气，初着糠火，一日三动车辖，以衷其汁”下列实验与文中叙述最接近的是5.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.0.1 mol·L－1 NaHSO4溶液：Mg2＋、K＋、Cr2O72－、NO3－B.滴入酚酞呈红色的溶液：Na＋、Cu2＋、HCO3－、NO3－C.0.1 mol·L－1 KNO，溶液：H＋、K＋、SO42－、I－D.0.1 mol·L－1 Na2S2O3溶液：H＋、Na＋、Cl－、SO42－6.H2与ICl的反应分①、②两步进行，其能量曲线如图所示，下列有关说法错误．．的是A.反应①、反应②均为放热反应B.反应①、反应②均为氧化还原反应C.反应①比反应②的速率慢，与相应正反应的活化能无关D.反应①、反应②的焓变之和为△H＝－218 k·mol－17.在一个不传热的恒容密闭容器中，可逆反应N 2(g)＋3H2(g)2NH3(g)达到平衡的标志是①反应速率v(N2)：v(H2)：v(NH3)＝1：3：2 ②各组分的物质的量不变③体系的压强不再发生变化④混合气体的密度不变(相同状况)⑤体系的温度不再发生变化⑥2v正(N2)＝v逆(NH3)⑦单位时间内3 mol H－H键断裂的同时2 mol N－H键也断裂A.①②③⑤⑥B.②③④⑤⑥C.②③⑤⑥D.②③④⑥⑦8.25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热为57.3 kJ·mol－1，辛烷的燃烧热为5518 kJ·mol－1。
化学反应原理化学平衡状态
时间(min)
0 20 40 60 80
100
HI(g)的物
0.5 0.6 0.7 0.8 T1 0
0860
0.80
质的量分数 T2
0.6 0.7 0.7 0.7 0
0255
0.75
下列说法正确的是 ( ) A.T1 温度下,0~20 min 之间,H2 的平均反应速率为 0.025 mol·L-1·min-1 B.在 T1 温度下,该反应有可能在 70 min 时已达到平衡状态 C.T2 温度下,20 min 时的正反应速率大于 40 min 时的逆反应速率 D.由表中数据可知,温度越高,H2(g)与 I2(g)的反应限度越大 13.(2021 山西实验中学高二上月考, )一定温度下,向一容积为 2 L 的
恒容密闭容器中充入 2 mol A 与 3 mol B,在一定条件下反
应:A(g)+B(g) C(g) ΔH>0,达到平衡后容器内压强是开始时的 84%。
若加入某种催化剂后反应的能量变化如图所示。下列说法正确的是
mol,反应过程中 A、B 的物质的量浓度随时间的变化关系如图所示。
下列说法正确的是 ( )
A.前 12 s 内,A 的平均反应速率为 0.025 mol·L-1·s-1 B.12 s 后,A 的消耗速率等于 B 的生成速率 C.化学计量数之比 b∶c=1∶2 D.12 s 内,A 和 B 反应放出的热量为 0.2Q kJ 10.(2021 河北邢台高二上联考, )一定条件下,向 2 L 恒容密闭容器中 加入 3 mol A 和 1 mol B,发生反应 3A(g)+B(g) xC(g)+2D(s)。2 min 末该反应达到平衡状态,生成 0.8 mol D,并测得 C 的浓度为 0.4 mol·L-1。 下列判断错误的是 ( ) A.x=2 B.0~2 min 内,A 的平均反应速率为 0.3 mol·L-1·min-1 C.B 平衡时的物质的量为 0.4 mol D.混合气体的密度不再变化时,该反应达到了平衡状态 11.( )在 373 K 时,把 0.5 mol N2O4 通入容积为 5 L 的恒容真空密闭 容器中,立即出现红棕色气体。反应进行到 2 s 时,NO2 的浓度为 0.02 mol·L-1。在 60 s 时,体系达到平衡状态,此时容器内的压强为开始时 的 1.6 倍。下列说法错误的是 ( ) A.前 2 s 以 N2O4 的浓度变化表示的平均反应速率为 0.005 mol·L-1·s-1 B.在 2 s 时体系内的压强为开始时的 1.1 倍 C.平衡时体系内含 N2O4 0.2 mol
高考数学一轮复习专题一集合与常用逻辑用语1集合综合集训含解析新人教A版
专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。
高中数学第4章数列3、1等比数列的概念3、2等比数列的通项公式、提升训练苏教版选择性必修第一册
等比数列的概念等比数列的通项公式基础过关练题组一等比数列的概念及其应用1.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.32.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是()A.a≠1B.a≠0或a≠1C.a≠0D.a≠0且a≠13.(2021湖北黄石第二中学高三一模)已知函数f(x)=log k x(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{a n}为等比数列的是(填序号).①数列{f(a n)}是首项为2,公比为2的等比数列;②数列{f(a n)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(a n)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.题组二等比数列的通项公式4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二期中)在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q为()A.±2B.2C.±3D.35.(2021江苏镇江四校高三第一次联考)在正项等比数列{a n}中,若a6,3a5,a7依次成等差数列,则{a n}的公比为.6.(2020江苏南通高三考前模拟)已知等比数列{a n}的公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=1,则a3·a6·a9·…·a30=.7.(2020湖北宜昌示范高中协作体高二期末)已知数列{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且a n b n+1=a n b n+a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n.题组三等比中项8.(2020四川广元高一期末)两数√2+1与√2-1的等比中项是()A.1B.-1C.±1D.129.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于()A.6B.4C.3D.-110.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.±6D.±1211.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2y=1的离心率可能为()A.√22B.√32C.√62D.√3题组四等比数列的性质12.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ()A.5√2B.7C.6D.4√213.(2021浙江十校联盟高三联考)已知数列{a n}为等比数列,则“a1<0,q>1”是“{a n}为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.(2020四川外国语大学附属学校阶段检测)已知等比数列{a n}是递减数列,且满足a1+a4=18,a2a3=32,则a5= ()A.32B.16C.2D.115.在正项等比数列{a n}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{a n}的通项公式.能力提升练题组一等比数列的通项公式及其应用1.(2020河北保定高一期末,)已知数列a1,y2y1,…,y yy y-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2a n= ()A.n(n+1)B.y(y-1)4C.y(y+1)2D.y(y-1)22.(2021河南豫南九校高二联考,)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音的频率之比为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2(y y+1y y)12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D8的频率之比为√23,则该半音为()A.F8B.GC.G8D.A3.(2020江苏南京师大附中高三高考模拟,)各项均正且公差不为0的等差数列{a n}的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{b n}的连续三项(顺序不变),设S n=1y1y2+1y2y3+…+1y y y y+1,若对一切的n∈N*,S n≤1y1恒成立,则a1的最小值为.4.(2021江苏徐州新沂第一中学高二月考,)在各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.(1)若a1=4,q=32,则d=;(2)若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.5.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校高三联考,)从①前n项和S n=n2+p(p∈R),②a6=11且2a n+1=a n+a n+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中n∈N*.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1,a n ,a m 构成等比数列,其中m ,n ∈N *,且m >n >1,求m 的最小值.题组二 等比数列的性质及综合应用 6.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研,)已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1= ( )A.n (2n -1)B.(n +1)2C.n 2D.(n -1)27.(2021安徽示范高中培优联盟高二联赛,)已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=3√3,b 1+b 6+b 11=-3π4,则tan y 3+y 91-y 4·y 8的值是 ()A.-√3B.√22 C.-√22 D.18.(2020重庆第一中学高一月考,)正项数列{a n }满足:a n +a n +1+a n +2=a n a n +1a n +2,a 1+a 3=6,若前三项构成等比数列且满足a 1<a 2<a 3,S n 为数列{a n }的前n 项和,则[S 2 020]([x ]表示不超过x 的最大整数)的值为(参考数据:√5≈2.236) ( ) A.4 040 B.4 041 C.5 384 D.5 385 9.(2021江苏苏州高二期中,)已知等比数列{a n }为递增数列,若a 1+a 4=7,a 2+a 3=6,则a 1+a 2= .10.(2020广西南宁第三中学高三月考,)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,其中a 1,a 3,a 9成等比数列,且数列{a n }不是常数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=1,b n的前n项和为T n,求证:T n<2.y y11.(2020山西太原第五中学高二阶段测试,)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.12.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1 000 km的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2 kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3的水量,即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)答案全解全析基础过关练1.B对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不能为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数列的各项均不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.2.D由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,所以需同时满足a≠0,1-a≠0,所以a≠0且a ≠1.3.答案②解析①中,f(a n)=2n,即log k a n=2n,得a n=y2y,∵y y+1y y =y2y+1y2y=y2y≠常数,∴数列{a n}不是等比数列;②中,f(a n)=4+(n-1)×2=2n+2,即log k a n=2n+2,得a n=k2n+2,且a1=k4≠0,∵y y+1y y =y2(y+1)+2y2y+2=k2,且k2为非零常数,∴数列{a n}是以k4为首项,k2为公比的等比数列;③中,f(a n)=2n+y(y-1)2×2=n2+n,即log k a n=n2+n,得a n=k n(n+1),∵y y+1y y =y(y+1)(y+2)y y(y+1)=k2(n+1)≠常数,∴数列{a n}不是等比数列.4.D若使这4个数成等比数列,则81=3q3,解得q=3.故选D.5.答案 2解析设正项等比数列{a n}的公比为q,q>0,由a6,3a5,a7依次成等差数列,可得6a5=a6+a7,即有6a1q4=a1q5+a1q6,化简,得q2+q-6=0,解得q=2(q=-3舍去),则{a n }的公比为2. 6.答案 1024解析 因为{a n }为等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=1,所以a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q 29=y 130q1+2+3+…+29=y 1302435=1,所以y 110=2-145,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=y 110q 155=y 1102155,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=2-145×2155=210=1024.7.解析 (1)将n =1代入已知等式,得a 1b 2=a 1b 1+a 2,∴a 2=a 1b 2-a 1b 1=3a 1. ∴{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,∴a n =1·3n -1=3n -1. (2)由(1)及已知得b n +1-b n =y y +1y y=3,∴{b n }是首项为2,公差为3的等差数列,∴b n =2+3(n -1)=3n -1, ∴S n =y (y 1+y y )2=y (2+3y -1)2=3y 2+y2.解题模板关于a 1和q 的求法通常有以下两种:(1)根据已知条件,建立关于a 1,q 的方程组,通过解方程组求出a 1,q ,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q 后,再求a 1,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.8.C 设两数的等比中项为x ,则x 2=(√2+1)·(√2-1)=1,∴x =±1,故等比中项为±1. 9.B 依题意得y 32=a 1a 7,∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B.10.C 由题意可得a =1+22=32,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b =±4,∴ab =±6.11.AD 由1,a ,4成等比数列,得a =±2. 当a =2时,曲线x 2+y 22=1表示焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率为√2-1√2=√22; 当a =-2时,曲线x 2-y 22=1表示焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率为√2+11=√3.故选AD.12.A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9成等比数列,所以a 4a 5a 6=5√2. 13.A 若等比数列{a n }满足a 1<0,q >1,则数列{a n }为递减数列, 故“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分条件;因为当等比数列{a n }满足a 1>0,0<q <1时,数列{a n }也是递减数列, 所以“a 1<0,q >1”不是“{a n }为递减数列”的必要条件.综上所述,“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分不必要条件,故选A.14.D 设等比数列{a n }的公比为q.由a 2a 3=32可得a 1a 4=32,又a 1+a 4=18,且等比数列{a n }为递减数列,所以a 1=16,a 4=2,所以q 3=y 4y 1=18,故q =12,所以a 5=a 4×12=1,故选D .15.解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0).因为数列{a n }为等比数列,所以a 1a 5=y 32,a 3a 7=y 52,所以由题意可得y 32-2a 3a 5+y 52=36. 同理,得y 32+2a 3a 5+y 52=100.所以{(y 3-y 5)2=36,(y 3+y 5)2=100,因为a n >0, 所以{y 3-y 5=-6,y 3+y 5=10或{y 3-y 5=6,y 3+y 5=10,解得{y 3=2,y 5=8或{y 3=8,y 5=2,易得{y 1=12,y =2或{y 1=32,y =12.所以a n =12×2n -1=2n -2或a n =32×(12)y -1=26-n.能力提升练1.D 由题意可得yy y y -1=1×2n -1=2n -1(n ≥2),而a n =a 1×y 2y 1×y 3y 2×…×y y y y -1=1×21+2+…+(n -1)=2y (y -1)2(n ≥2), 当n =1时,a 1=1也满足该式,故a n =2y (y -1)2(n ∈N *),所以log 2a n =y (y -1)2,故选D .2.答案 B信息提取 (1)把八度分成13个半音;(2)相邻两个半音的频率之比是常数;(3)log 2(y y +1y y)12=1(i =1,2,…,12). 数学建模 本题是以音乐中音律的划分为背景的实际问题,由“相邻两个半音的频率之比为常数”可构建等比数列模型.实际问题可转化为已知yy y 4=√23求a n ,进而求出a n 对应的半音.根据log 2(y y +1y y)12=1可得y y +1y y=2112,即数列{a n }是公比为2112的等比数列,利用等比数列的通项公式即可求解. 解析依题意可知a n >0(n =1,2,…,12,13).由于a 1,a 2,…,a 13满足log 2(y y +1y y )12=1(i =1,2,…,12),则(y y +1y y )12=2⇒yy +1y y=2112,所以数列{a n }(n =1,2,…,12,13)为等比数列,设其公比为q ,则q =2112,D 8对应的频率为a 4,又所求半音与D 8的频率之比为√23=213=(2112)4,故所求半音对应的频率为a 4·(2112)4=a 8,其对应的半音为G. 3.答案 13解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由题意得y 22=a 1a 6,即(y 1+y )2=a 1(a 1+5d ), 因为d ≠0,所以d =3a 1,所以a n =a 1+(n -1)d =(3n -2)a 1,则S n =1y 1y 2+1y 2y 3+…+1y y y y +1=13y 11y 1-1y 2+1y 2-1y 3+…+1y y -1yy +1=13y 1·3yy 1y 1·(3y +1)y 1=y(3y +1)y 12,所以y(3y +1)y 12≤1y 1,则a 1≥y3y +1.因为y 3y +1=13(1-13y +1)<13,所以a 1≥13,故a 1的最小值为13. 4.答案 (1)4 (2){53,87}解析 (1)若a 1=4,q =32,则a 2=4+d ,a 3=4+2d ,y 3y 2=4+2y 4+y =32, 解得d =4.(2)根据题意,设这个数列的四项分别为a 1,a 1+d ,a 1+2d ,a 1+88,其中a 1和d 均为正偶数,根据后三项依次成等比数列,可得(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+88), 整理得a 1=4y (22-y )3y -88,由a 1>0,可得(d -22)(3d -88)<0,所以22<d <883,则d 的可能值为24,26,28. 当d =24时,a 1=12,a 2=36,a 3=60,q =53;当d =26时,a 1=2085(舍);当d =28时,a 1=168,a 2=196,a 3=224,q =87.综上所述,q 的所有可能的值构成的集合为{53,87}. 方法总结判断数列{a n }是不是等比数列的方法:(1)定义法:判断y y +1y y是不是常数; (2)等比中项法:判断y y +1y y =y y y y -1(n ≥2,n ∈N *)是否成立. 5.解析 选择条件①:(1)当n =1时,由S 1=a 1=1,得p =0,故S n =n 2. 当n ≥2时,有S n -1=(n -1)2,所以a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2). 经检验,a 1=1符合此式,所以a n =2n -1(n ∈N *). (2)由a 1,a n ,a m 构成等比数列,得y y 2=a 1a m , 由(1)得a n =2n -1(n ∈N *),故有(2n -1)2=1×(2m -1), 化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12.因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5. 选择条件②:(1)由2a n +1=a n +a n +2,得a n +1-a n =a n +2-a n +1, 所以数列{a n }是等差数列,设其公差为d. 因为a 1=1,a 6=a 1+5d =11,所以d =2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1(n ∈N *).(2)因为a 1,a n ,a m 构成等比数列,所以y y 2=a 1a m ,即(2n -1)2=1×(2m -1),化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12. 因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5.6.C 因为{a n }为等比数列,所以a 1·a 2n -1=a 2·a 2n -2=…=a 5·a 2n -5=22n,所以log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=log 2(a 1a 2n -1)y2=log 2(22y)y2=log 22y 2=n 2.故选C.7.D 在等差数列{b n }中,b 1+b 6+b 11=3b 6=-3π4,∴b 6=-π4,∴b 3+b 9=2b 6=-π2,在等比数列{a n }中,a 1·a 6·a 11=3√3,即y 63=3√3,∴a 6=√3,∴1-a 4a 8=1-(√3)2=-2,则tan y 3+y 91-y 4·y 8=tan -π2-2=tan π4=1.故选D .8.C 依题意得a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3,a 1+a 3=6,y 22=a 1·a 3, 故6+a 2=y 23,即(a 2-2)[(a 2+1)2+2]=0,解得a 2=2.联立{y 1+y 3=6,y 1·y 3=4,结合a 1<a 2<a 3,可解得a 1=3-√5,a 3=3+√5.依题意得a 2+a 3+a 4=a 2·a 3·a 4⇒a 4=3-√5,a 3+a 4+a 5=a 3·a 4·a 5⇒a 5=2,a 4+a 5+a 6=a 4·a 5·a 6⇒a 6=3+√5,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,且a 1+a 2+a 3=8,故S 2020=S 673×3+1=673×8+a 1=5387-√5,又√5≈2.236,所以[S 2020]=5384.故选C . 9.答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,得{y 1(1+y 3)=7,①y 1y (1+y )=6,②②①,得y 1y (1+y )y 1(1+y 3)=y (1+y )(1+y )(1-y +y 2)=y 1-y +y 2=67, 解得q =32或q =23,经验证可知当q =23时,{a n }不是递增数列,故q =32,所以a 1+a 2=a 1(1+q )=6y =4. 10.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0). 因为a 1,a 3,a 9成等比数列, 所以y 32=a 1·a 9, 即32=(3-2d )(3+6d ), 解得d =1或d =0(舍去), 所以a n =a 3+(n -3)·1=n.(2)证明:由(1)知,a 1=1,所以S n =na 1+y (y -1)2×d =y (y +1)2,所以b n =1y y=2y (y +1)=2(1y -1y +1),则T n =b 1+b 2+…+b n =211-12+12-13+…+1y -1y +1 =2(1-1y +1)<2.11.解析 (1)由S n =2a n -2可得a 1=2. 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,a n =S n -y y -1=2a n -2y y -1,即a n =2a n -1,所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n(n ∈N *). (2)由(1)知a n =2n,所以b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n =y (y +1)2.所以(n -8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立等价于(y -8)(y +1)2≥k 对任意n ∈N *恒成立,等价于k ≤[(y -8)(y +1)2]min.设c n =12(n -8)(n +1),n ∈N *,则当n =3或n =4时,c n 取得最小值-10,所以k ≤-10.12.解析 (1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1000m 3的水混合后,黄河的含沙量为2×2000+20×10003000=8(kg/m 3),又从黄河流入1000m 3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为8×1000+20×10002000=14(kg/m3).(2)设在第n个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m3,洮河的含沙量为b n kg/m3,由题意有a1=2,b1=20,且a n+1=1000y y+2000y y3000=2y y+y y3,b n+1=1000y y+1000y y+12000=y y+1+y y2=y y+2y y3,所以b n+1-a n+1=13(b n-a n),又b1-a1=18≠0,所以{b n-a n}是首项为18,公比为13的等比数列,∴b n-a n=18×(13)y-1.根据题意,有18×(13)y-1<0.01,即3n-1>1800,n∈N*,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.。
河南省豫南九校2024_2025学年高二英语上学期第二次联考试题
河南省豫南九校2024-2025学年高二英语上学期其次次联考试题(考试时间：100分钟试卷满分：120分)第一部分听力(略)其次部分阅读理解(共两节，满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的四个选项(A、B、C、和D)中，选出最佳选项。
AShows, Events and Festivals for Outdoor Lovers28 June-8 JulyGrahamstown National Arts FestivalGrahamstown, ECUndoubtedly Africa's most important arts and culture event, the National Arts Festival is the highlight (最精彩的部分)of many South African's events calendar, turning the sleepy university center of Grahamstown into a hive of activity(热闹繁忙的场所). It's a beautiful, honest and diverse celebration of South African art, with a little international talent thrown in the mix for added variety. Don't miss out on the market, either!nationalartsfestical.co.za13-15 JulyCanimambl Free Form Music & Arts FestivalGraskop, MPCalling all free spirits: pack your tent, guitar and paintbrushes and head for Graskop. The Canimambo Festival is a celebration of art that breaks the rules-free expression is the order of the day! There will be plenty of food and activities, and young children will be kept entertained by a swimming pool, art competition and jumping castle. The event will be held at Graskop Holiday Resort, so campers of all sorts are welcome. Search for the festival on Facebook for more information.29 June-1 JulyKirkwood WildsfeesPort Elizabeth, ECTaking place in the Sundays River Valley, this weekend-long festival promises three days of "born to be wild" fun to start off the school holidays. Tickets allow you access to live entertainment, the Agri Expo and plenty of good food and尽rink. Confirmed artists include Locnville, Snotkop and Kurt Darren. Why not set up a tent in one of the nearby campsites and join the fun?wildsfees.co.za5-7 JulyEllisras BosveldfeesLephalale, LPHead up north this month for the festival fun you can handle. From cattle contests and dog shows to a beer tent and traditional food, your entire weekend will be covered in Lephalale. There's even a three-day 4×4 competition for all the off-road(越野)enthusiasts!. Why not have some fun in the heart of the bushveld(南非草原)? Search for the festival on Facebook for more information.21. What can we know from the text?A. No international ails are on show at Grahamstown National Arts FestivalB. Kids activities are provided at Canimambl Form Music & Arts FestivalC. Many artists from around the world will attend Kirkwood WildsfeesD. There is a beer competition at Ellisras Bosveldfees22. Which event will you go to if you want to see live entertainment?A. Grahamstown National Arts Festival.B. Canimambl Free Form Music & Arts Festival.C. Kirkwood Wildsfees.D. Ellisras Bosveldfees.23. When can you see an animal show in Lephalale?A. On 28 June.B. On 14 July.C. On 29 June.D. On 6 July.BWe know that smartphone addiction is real, and that it can affect lives in negative ways. While some people have tried going cold turkey(快速戒掉坏习惯) or even punishing themselves for their mobile phones, an app is made available in the UK that rewardspeople for staying away from their devices.The app, called Hold, was created by Norwegians Maths Mathisen, Florian Winder, and Vinoth Vinaya while they are studying at Copenhagen's Business school, to help break fellow students' attachments to their devices.The three college students found that positive reinforcement(强化)was the best way of beating smartphone addiction. Hold allows students to collect points for staying off their devices between the hours of 7 am and 11 pm; they get 10 points for every 20 minutes.Through partnerships with universities and businesses, points can be used for discounts on everything from cinema tickets to Amazon goods to cafe food and drink.A half price cinema ticket, for example, costs 60 points, or 2 hours away from a phone. And a￡5($ 6.88)Amazon voucher (代金券) needs 1,000 points, or 33 hours off your smartphone.Students can also use their points to buy school books and stationery(文具), which are then donated to schools partnered with children's charity Unicef.Over 120, 000 people use the app in Scandinavia, including 40 percent of higher education students in Norway, where Hold first came onto market in February 2024. It's now available to students from over 170 universities in the UK.A 2024 University of Texas study claimed that merely placing a smartphone in someone's line of sight slowed down their productivity, response time, and reduced their grades. An earlier study from the London School of Economics found students who didn't use smartphones on school grounds saw their test scores increase 6. 4 percent.24. The app Hold was created mainly to .A. promote online sales of goodsB. earn discounts on goods or servicesC. find new uses of mobile phonesD. help students put down their smartphones25. How long should a student stay off the mobile phone to get 300 points?A. 6 hours.B. 10 hours.C. 15 hours.D. 30 hours.26. What is the main purpose of the text?A. To tell the story of Hold creationB. To present people's opinions of HoldC. To give a brief introduction of HoldD. To attract potential customers to Hold27. Where is the text most likely to appear?A. A newspaper advertisementB. A computer textbookC. A science magazineD. An official documentCThe dancer put a cardigan sweater over her leotard. Then she sat down to eat a sandwich. Cardigan, leotard, sandwich-where did these words come from? Did you know that each of them was a person's name? Words that come from proper names are called eponyms(名祖名词), and there are many eponyms in English.The sandwich, for example, was named for John Montagu, the Earl(伯爵)of Sandwich. He lived from 1718-1792. He loved to play cards and did not want to stop a game even to eat. By putting cold meat between two pieces of bread, he could eat while he played.The cardigan sweater was named for an officer in the British army. In the 1800s, James Thomas Brudenell, the Earl of Cardigan, spent his own money to buy special knitted(针织的)jackets for the men in his army. Knitted jackets with buttons soon came to be called cardigans.Jules Leotard was a French circus performer. In 1859, at the age of twenty-one, Leotard performed the first mid-air somersault(空翻). He became known as the "daring young man on the flying trapeze(吊杠)". Leotard invented a close-fitting one-piece suit to wear when he performed. Dancers still call their close-fitting garments leotards.Another person who gave her name to a style of clothing was Amelia Bloomer. Bloomer was the editor of a magazine called The Lily. American women in her day were expected to wear heavy skirts that dragged on the floor. In 1851, a young woman named Elizabeth Smith Miller introduced a new kind of clothing that was much easier to move around in. She wore a dress that came only to the knees. Under it she wore loose pants that fitted close at the ankles. Amelia Bloomer published a picture of the outfit(全套服装)in the Lily.She hoped women would adopt the new style. In news stories, reporters called the pants "bloomers". A hundred years later, people were still using the word.There are many other words that come from people's names. The diesel engine was named for its inventor, Rudolf Diesel. The word boycott comes from the name of an English landlord named Charles Boycott. Where each word came from is a story in itself. Who knows, maybe your name will become a word someday.28. Why did the Earl of Sandwich invent the "sandwich"?A. He found it boring to play cards.B. He preferred to eat meat and bread.C. He wanted to create a new kind of food.D. He could eat while playing cards without stopping the game.29. According to the text, what do "bloomers" refer to?A. Loose dressesB. Loose pants worn under a dressC. Dresses that came to the kneesD. Heavy skirts dragged on the floor30. What do the words cardigan, leotard and sandwich have in common?A. They are still in use today.B. They were first used in the army.C. They belong to the clothing category.D. They were invented during the same period.31. What is the best title for this passage?A. Ways to remember words.B. Words that come from people's names.C. The history of garments development.D. The unknown stories behind English words.DA team of researchers led by engineers from Penn State University has created the first material that heals itself in the presence of water, according to a study published in Scientific Reports. The material, inspired by squid(鱿鱼)teeth, could be used to repair instruments in water-filled environments that are difficult to access, such as the human body, or the bottom of the sea.The researchers had been studying squids' ring teeth, which are uniquely strong and can change state from liquid to solid in the presence of water. After testing ring teeth samples from several species of squid found all over the world, the researchers uncovered the genetic code for the proteins (蛋白质) that allow the teethto heal themselves when broken. They then changed the genetic structure of bacteria to produce the proteins so they could conduct more tests.The researchers then made the proteins into a rubbery plastic by mixing them with a solvent(溶剂)and letting the solvent change into a gas. The resulting material combines a soft, shapeless part of the protein that gives the plastic its self-healing characteristics and a more structured sheet of amino acids(氨基酸)that give it a solid structure.To test the material's strength, the researchers cut it, and then put the two pieces back together with a drop of water. They found that the material healed best at 113 degrees Fahrenheit, a little warmer than the temperature of the human body, and with slight pressure from a metal tool. The material was just as strong, and able to hold the same amount of weight, before and after it was cut.Material that heals itself in the presence of water could expand the usability of biomedical implants(移植). Of course, this material is nowhere near ready for that application, and the researchers didn't test whether the constant presence of water degrades(降低)the plastic's ability to heal itself. The researchers next plan to study how their technology could help heal wounds.32. According to paragraph 3, the rubbery plastic become self-healing in combination with .A. amino acidsB. another kind of rubberC. a mixture of gasesD. some protein33. In paragraph 4, the researchers carried out a test to check whether the material .A. was fit for human bodyB. would melt at high temperaturesC. could be connected with the metalD. would recover its original strength after healing itself34. What is the author's attitude towards the self-healing material?A. Positive.B. Objective.C. Doubtful.D. Critical.35. What is the main idea of the text?A. A kind of self-healing teeth was made from squids' ring teeth.B. The genetic code of squids' special teeth has been uncovered.C. Super-strong material inspired by squid teeth is self-healing.D. A special rubbery plastic is used to replace squids' teeth.其次节(共5小题；每小题2分，满分10分)依据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。