函数周期与对称轴
函数的周期性与对称性
第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
函数图象的对称轴和最小正周期
函数图象的对称轴和最小正周期本文主要讨论函数图象的对称轴和最小正周期问题。
函数图象的对称轴是在函数定义域中一个重要的概念，与它相关的概念是最小正周期的概念。
在函数图象的对称轴和最小正周期的研究中，我们首先介绍了一些基本概念，然后分析了函数图象上不同类型的对称轴。
接着，我们研究了函数图象上最小正周期的特性及其与对称轴的关系。
最后，我们提出了相关的定理，并给出了证明。
首先，介绍函数图象上对称轴的定义。
对称轴是一种函数图象，可以将图象上的某点映射到它自身的相反点。
即，图象上的某一点P(x,y)映射到另一点P(x, -y)，而P又映射到P。
在函数图象的不同类型中，有线性对称轴，椭圆对称轴，双曲线对称轴等3种。
线性对称轴是一条直线，它将函数图象上对称位置的点对应起来；椭圆对称轴是一个椭圆，它将椭圆上对称位置的两点对应起来；双曲线对称轴则是一条双曲线，它将双曲线上对称位置的点对应起来。
其次，讨论函数图象上最小正周期的定义。
最小正周期是指函数图象的最小的一段时间，它的定义域和值域的值是相等的。
最小正周期的存在可以使函数变得更简单，使函数在一段时间内重复，从而可以更好地发现函数之间的联系。
从理论上讲，当函数定义域中某个自变量改变时，其余自变量也将随之变化，从而形成一个最小正周期。
最后，我们提出了一个定理：在函数图象的定义域中，当对称轴的斜率为0时，最小正周期的值为2π。
该定理可以用数学归纳法来证明：当斜率m=0时，最小正周期的值为2π。
因为当m=0时，函数图象和它的对称轴是重合的，它们是定义域上的相同图象，所以，它们的最小正周期必定为2π。
以上，我们分析了函数图象的对称轴和最小正周期以及它们之间的关系。
总之，函数图象的对称轴和最小正周期在函数定义域中具有重要的意义，是函数研究的重点内容之一。
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导
函数周期性只有三个推导，分别如下：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则
函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正
周期）。
3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对
称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-
a|（不一定为最小正周期）。
周期函数性质如下：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是
f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定
是T*的正整数倍。
2.3 函数奇偶性,周期性及对称性
• 定义域关于原点对称； • f(x)为奇函数，x=0有定义,则f(0)=0; • f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称 区间单调性一致； • f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称 区间单调性相反。
函数的周期性
• 若f(x+a)=-f(x)，则f(x)的周期T=2a; 1 • 若 f x a f x ，则f(x)的周期T=2a;周期性,对称轴, Nhomakorabea称中心小结
• • • • • •
若函数f(x)有周期及对称轴,则有对称中心； 若函数f(x)有周期及对称中心,则有对称轴； 若函数f(x)有对称中心及对称轴,则有周期； 若函数f(x)2个对称轴,则有对称中心及周期； 若函数f(x)2个对称中心,则有对称轴及周期； 若函数f(x)有2个不成倍数周期,则有对称中心 及对称轴； 有“2”就有一 切
• •
1 若 f x a ，则f(x)的周期T=2a; f x
1 f ( x) 若 f x a 1 f ( x)，则f(x)的周期T=2a;
1 f ( x) f x a 1 f ( x)
• 若
，则f(x)的周期T=4a;
对称性
• • • • • •
若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)关于x=a对称； 若f(2a-x)=f(x)，则f(x)关于x=a对称； ab x 若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)关于 2 对称。 若f(a+x)=-f(a-x)，则f(x)关于(a,0)对称； 若f(2a-x)=-f(x)，则f(x)关于(a,0)对称； ab , 0 对称。 若f(a+x)=-f(b-x)，则f(x)关于 2
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
定理1：若定义在 上的函数 的图象关于直线 和 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论1：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
定理2：若定义在 上的函数 的图象关于点 和直线 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论2：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
性质4：设函数 ，如果对于定义域内任意的 ，都有 ，则 的图象关于点 对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式( )
对称性
函数 图象是奇函数
函数 图象是偶函数
或
函数 图象关于直线 对称
或
函数 图象关于点 对称
【注】：这里代数关系式中两个“ ”（对应法则）内的“ ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ ”放在“ ”的两边，则“ ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
7、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
8、若奇函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
四函数图象的对称轴和对称中心举例对称轴中心满足五函数周期性对称性与奇偶性的关系1定义在对称即对于任意的实数为周期的周期函数且是偶函数
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
一、函数图象的对称性
(一)一个函数图象自身的对称性
性质1：对于函数 ，若存在常数 使得函数定义域内的任意 ，都有的图象关于直线 对称.
函数周期与对称轴
抽象函数的周期与对称轴1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=。
特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++；特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
○4)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为C; C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+')()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵00)(y x f = ∴00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'定理3：（性质） ①若()y f x =的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么()f x 为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
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抽象函数的周期与对称轴1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=。
特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++；特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
○4)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为C; C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+')()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵00)(y x f = ∴00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'定理3：（性质） ①若()y f x =的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么()f x 为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若()y f x =的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么()f x 为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若()y f x =图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则()f x 是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--3.若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+；若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+；若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+2.函数的周期性的主要结论： 结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），周期T a b=-结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），周期2T a b=-证：令a x x-= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ ab T -=2结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a = 结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a=结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a=结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-结论9：如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++=-或1()()21()p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期典型例题1：设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式。
解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f∴31≤<x 时52)(+-=x x f例2：已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(bf m =，)2(cf n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？解：4=T，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴42-=-b∴8=b 464(4)134c f --==- ∴ 3=c ∴ )38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p ==∴ p m n >>练习：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-,当－1≤x ≤0，1()2f x x =-，则f(8.6)= _______ 解： x = 0，x =1是y = f (x) 对称轴。
T=2 ∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例3：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 ） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A) 例4：设定义域为R 的函数()y f x =、()y g x =都有反函数，并且(1)f x -和1(2)gx --函数的图像关于直线y=x 对称，若(5)1999g =那么(4)f =（C ）。
A 1999；B 2000；C 2001；D 2002。
解：(1)f x -和1(2)gx --函数的图像关于直线y=x 对称(1)(x)2f x g -=+ ∴有(51)(5)2f g -=+例5：若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a ,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
解析∵y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c ………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称， ∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），x=2（a －b ）－x 得 f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得： f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数。
练习1：若函数3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。
解： )1()1(x f x f --=+知)(x f 图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a ∴3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f2 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则○1)(x f 是周期函数且周期为2○2当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -=○343)5,2004(=-f 其中正确的是○1○2○3 3.对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
○1在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
○2若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。
○3若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。
○4若)(x f 为单调增函数，则)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的○2○3 4.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。