二次函数和一次函数图像综合
2020年中考代数综合第4讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题
2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【专项突破】4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝x2+bx+c 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2 围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围．【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a 的一元一次方程，通过解该方程求得a 的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∴．∵点P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G 与直线PP'无交点，则B'要左移到M 及左边，令y＝﹣3 代入PP'，则，M 的坐标为，∴，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式易求点C 的坐标，进而可求出点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式可求出m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，可知t＝﹣3，若y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．∵抛物线与x 轴交于A、B 两点，OB＝OC，∴B（3，0）或B（﹣3，0）．∵点A 在点B 的左侧，m＞0，∴抛物线经过点B（3，0）．∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．∴m＝1．∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，∴t＝﹣3，∴y2＝﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m 的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线CD 的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数，∴m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图，∵当x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），∵当y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D（1，0），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CD 的表达式为：y＝﹣3x+3，又∵当x＝﹣时，y＝，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y＝﹣3x+3 经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：n＝4，当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3＝，解得：n ＝，当抛物线与直线相切情况，此时n＝∴n 的取值范围是≤n≤．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．【分析】（1）本题中，二次项系数m 的值不确定，分为m＝0，m≠0 两种情况，分别证明方程有实数根．（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b 的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m＝0 时，方程为x﹣2＝0，x＝2．∴m＝0 时，方程有实数根．②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴m≠0 时，方程有实数根．故无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m 取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 恒有实数根；（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2 经过原点，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y 得到x2﹣3x﹣b＝0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围可得当k＝0 时，为k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与x 轴的交点A（即左边的交点），可将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出m 的值；②原二次函数图象x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m 的取值．【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k 的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴相交，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴解得：x＝﹣1 或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②当直线位于l2 时，此时l2 与函数y＝﹣x2+2x+3 的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0 有两个相等实根，∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1 或m＝．【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B 的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点B 纵坐标t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），∴抛物线的对称轴x＝1．∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a＝4；（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y 轴的对称点为点D，∴D（﹣1，﹣4）．求出直线CD 的表达式为y＝﹣4．求出直线BD 的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1 时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到A 点坐标；（2）已知BC＝4，由（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得m 的值，于是得到抛物线解析式；②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0 时，直线y＝kx+b 过A、C 时，k 最大；当k＜0，直线y＝kx+b 过A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k 的范围．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点 B 在点C 左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：0＝4m﹣4，解得m＝1所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；②B（﹣1，0），C（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b 过A、C 时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b 过A、D 时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，所以若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，k 的取值范围为0＜k≤2 或﹣1≤k＜0．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．，（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 在第一象限内的部分记为图象 G ，如果过点 P （﹣3，4）的直线 y ＝mx +n （m ≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围．【分析】（1）将点 A 、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式．从而知其与 y 轴的交点 E ，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得．【解答】解：（1）将 A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：， 解得∴抛物线的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +3．（2）设抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 与 y 轴交于点 C ，则点 C 的坐标为（0，3）．抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 的顶点坐标为（1，4）．设直线 PB 解析式为 y ＝kx +b ，将点 P （﹣3，4）、B （3，0）代入，得：，∴直线 PB 的表达式为，∴与 y 轴交于点 E （0，2）．∵直线 PD 平行于 x 轴，∴与 y 轴交于点 F （0，4）．由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点，但此时 m ＝0．∴n 的取值范围是 2＜n ≤3．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 1：y ＝x 2+bx +c 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB ＝4．（1） 求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C 1 平移，得到的新抛物线 C 2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C 1 的对称轴与两条抛物线 C 1，C 2 围成的封闭图形为 M ．直线 l ：y ＝kx +m （k ≠0）经过点 B ．若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围．，解得：【分析】（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点E，当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得k BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得k BE，易得k 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1 的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1 的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2 的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1 的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点为E（3，8）①当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l 过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k 的取值范围是﹣4≤k≤2 且k≠0．【点评】本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．第21页（共21页）。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．2．如图，已知二次函数y＝12x2－x－32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．3．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y 轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求∠MBC的面积．4．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值.5．已知，二次三项式﹣x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围.6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.（1）求A，B两点的坐标.（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.7．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣4n﹣2﹣101234…y…8 4.520.500.52 4.58…；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为．（4）进一步探究函数的图象发现：①若点A（x a，y a），点B（x b，y b）在函数y= 12x2的图象上；当x a＜x b＜0时，y a与y b的大小关系是；当0＜x a＜x b时，y a与y b的大小关系是；②直线y1恰好经过函数的图象上的点（﹣2，2）与（1，0.5）；当y＜y1时，x的取值范围是．8．如图所示，将抛物线y＝12x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE∠CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．9．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG∠AB于点G．求出∠PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得∠ABM与∠ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C （0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM∠BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若∠BCD和∠ABC面积满足S∠BCD= 35S∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5 3个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．14．如图，二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
2022年江苏省南京市九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，⊙O 的直径AD=6，则BD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．333．连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的新四边形的形状是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形4．如图，在Rt △ABC 中，AC =3，AB =5，则cosA 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．435．已知反比例函数的解析式为||2-=a y x ，则a 的取值范围是( ) A ．2a ≠ B ．2a ≠- C ．2a ≠± D ．2a =±6．下列是随机事件的是( )A ．口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上D ．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是77．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ）A ．2 2y x x =+B ．2 21y x x =++C ．22y x =+D ．()21y x =- 8．如图，矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，AC 与DE 、EF 、FG 、HG 、HB 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△EPQ 、△GKM 、△BNC 的面积依次为S 1、S 2、S 1．若S 1+S 1=10，则S 2的值为（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．129．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c10．若0ab <，则函数y ax =与b y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．12．下列说法正确的是（ ）A ．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面B ．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨D ．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100%二、填空题（每题4分，共24分）13．已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为_____．14．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=2：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为________．15．已知ABC ∆∽DEF ∆，若周长比为4：9，则:AC DF =_____________．16．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C 在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若()31P ，是钝角ABC ∆的外心，则C 的坐标为__________．17．已知实数m ，n 满足等式m 2+2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0，那么求n m m n+的值是_____． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （4，2），反比例函数k y x =的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为_____________．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程：（1）22450x x +-=(配方法)（2）()()2322x x x -=-20．（8分）计算： （1）解不等式组2531(3)23x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩ （2）化简：22131x x x x x ---+- 21．（8分）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，cosC ＝35，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求△ABC 的面积．22．（10分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b 班征集到作品 件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．23．（10分）（1）计算：()2013.148445132sin π-⎛⎫--++-+ ⎪⎝⎭； （2）解分式方程：21321x x x---=-； （3）解不等式组：()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩．24．（10分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，连接OE.过点C 作CF//BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF. 求证：（1）△ODE ≌△FCE;（2）四边形OCFD 是矩形．25．（12分）在一元二次方程x 2-2ax +b =0中，若a 2-b >0，则称a 是该方程的中点值.（1）方程x 2-8x +3=0的中点值是________；（2）已知x 2-mx +n =0的中点值是3，其中一个根是2，求mn 的值.26．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆O 上，BE ⊥CD 垂足为E ，CB 平分∠ABE ，连接BC（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若cos ∠CAB 5CE 5AD 的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．【详解】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．2、D【分析】连接OB，如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到AB BC，则利用垂径定理得到OB⊥AC，所以∠ABO=12∠ABC=60°，则∠OAB=60°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．【详解】连接OB，如图：∵AB=BC，∴AB BC=，∴OB⊥AC，∴OB平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×120°=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=60°，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AB=12AD=3，∴BD=333AB=.故选D．【点睛】考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．3、B【分析】先根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证得此四边形为平行四边形，再判断一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形．【详解】如图所示，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线，∴HG∥AC∥EF，12HG EF AC==，∴四边形EFGH是平行四边形；同理可得，12EH GF BD==，∵AC=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH 是菱形；故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合思想解答．4、B【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，3cos 5AC A AB ==； 故选：B.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．5、C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.6、C【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【详解】A. 口袋里共有5个球，都是红球，从口袋里摸出1个球是黄球，是不可能事件，故不符合题意；B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故不符合题意；C. 掷一枚图钉，落地后图钉针尖朝上，是随机事件，故符合题意；D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7，是不可能事件，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7、C【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax 2+bx+c 中，b=0，由选项入手即可．【详解】二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x=0，即函数解析式y=ax 2+bx+c 中，b=0，故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．8、D【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出△AQE ∽△AMG ∽△ACB ，得到12QE AE MG AG ==,32BC AB MG AG ==，再通过证明得到△PQE ∽△KMG ∽△NCB ，利用面积比等于相似比的平方，得到S 1、S 2、S 1的关系，进而可得到答案.【详解】解：∵矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，∴AE=EG=GB=DF=FH=HC ，∠AEQ=∠AGM=∠ABC=90°，AB ∥CD,AD ∥EF ∥GH ∥BC∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△AQE ∽△AMG ∽△ACB ， ∴12QE AE MG AG ==,32BC AB MG AG == ∵EG= DF=GB=FH AB ∥CD,（已证）∴四边形DEGF ，四边形FGBH 是平行四边形，∴DE ∥FG ∥HB∴∠QPE=∠MKG=∠CNB ，∴△PQE ∽△KMG ∽△NCB ∴22121124S QE S MG ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22323924S BC S MG ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1214S S =，3294S S = ∵S 1+S 1=10，∴S 2=2．故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题的关键． 9、A【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c -=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A.【详解】请在此输入详解！10、B【分析】根据0ab <及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从00a b ><，和00a b ，两方面分类讨论得出答案．【详解】∵0ab <，∴分两种情况：（1）当00a b ><，时，正比例函数y ax =数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当00a b ，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．11、C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．12、D【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】解：A、一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面，是随机事件，错误；B、某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，错误；C、下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；D、正确．故选：D．【点睛】正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=12BC，从而得2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭，据此建立关于x的方程，解之可得．【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，则2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x-=，解得：x=1，即四边形BCED的面积为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．【解析】由DE 与BC 平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE 与三角形ABC 相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【详解】∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC =（AD ：AB ）2=4：1． 故答案为：4：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．15、4：1【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】∵△ABC ∽△DEF ， ∴ABC DEF 49C AC DF C ==． 故答案为：4:1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比是解题的关键．16、()4,3或()1,2【解析】由图可知P 到点A ，B 的距离为5，在第一象限内找到点P 的距离为5的点即可．【详解】解：由图可知P 到点A ，B 的距离为5，在第一象限内找到点P 的距离为5的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），故答案为()4,3或()1,2．【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C 点．17、1或﹣2【分析】分两种情况讨论：①当m ≠n 时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m =n 时，直接得出答案．【详解】由题意可知：m 、n 是方程x 1+1x ﹣1=0的两根，分两种情况讨论：①当m ≠n 时，由根与系数的关系得：m +n =﹣1，mn =﹣1， ∴原式222()2421m n m n mn mn mn ++-+====--2， ②当m =n 时，原式=1+1=1． 综上所述：n m m n+的值是1或﹣2． 故答案为：1或﹣2．【点睛】本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型． 18、1【分析】根据菱形的性质得出CD=AD ，BC ∥OA ，根据D （4，2）和反比例函数x k y =的图象经过点D 求出k=8，C 点的纵坐标是2×2=4，求出C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCO 是菱形，∴CD =AD ,BC ∥OA ，∵D (4,2),反比例函数xk y =的图象经过点D ， ∴k =8，C 点的纵坐标是2×2=4， ∴8xy =， 把y =4代入得：x =2，∴n =3−2=1，∴向左平移1个单位长度，反比例函数能过C 点，故答案为1.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，数形结合思想是关键.三、解答题（共78分）19、（1）1211x x =-+=-（2）1223x x ==，． 【分析】（1）方程整理配方后，开方即可求出解；（2）把方程整理后左边进行因式分解，求方程的解【详解】（1）22450x x +-=，方程整理得：2522x x +=， 配方得：252112x x ++=+， 即27(1)2x +=，开方得：12x +=±，解得：121122x x =-+=--； （2）()23(2)2x x x -=- ，移项得：()23(2)?20x x x ---=， 提公因式得：()()2320x x x ⎡⎤---=⎣⎦，即()()2260x x --=，∴20x -=或260x -=，解得：1223x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．20、（1）34x ；（2）1(1)x x -． 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；（2）根据分式的减法法则即可得．【详解】（1）2531(3)23x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②， 解不等式①得：4x ≤，解不等式②得：3x >-，则不等式组的解集为34x ；（2）22131x x x x x ---+-， 13(1)(1)(1)x x x x x x --+=-+-，2(1)(3)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ---+=+--， 22213(1)(1)x x x x x x x -+-+-=+， 1(1)(1)x x x x ++-=， 1(1)x x =-． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式的减法运算，熟练掌握不等式组的解法和分式的运算法则是解题关键．21、（1）AD=2；（2）S △ABC ＝1．【分析】（1）由高的定义可得出∠ADC ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ACD 中，由AC 的长及cosC 的值可求出CD 的长，再利用勾股定理即可求出AD 的长；（2）由∠B ，∠ADB 的度数可求出∠BAD 的度数，即可得出∠B ＝∠BAD ，利用等角对等边可得出BD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°．在Rt △ACD 中，AC ＝5，cosC ＝35， ∴CD ＝AC•cosC ＝3，∴AD 2．（2）∵∠B ＝25°，∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝25°，∴∠B ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝2，∴S △ABC ＝12AD•BC ＝12×2×（2+3）＝1． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1) 通过解直角三角形及勾股定理，求出CD 、AD 的长；(2) 利用等腰三角形的性质，找出BD 的长．22、（1）抽样调查；12；3；（2）60；（3）25． 【解析】试题分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A 、C 、D 的件数即为B 的件数；（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．试题解析：（1）抽样调查，所调查的4个班征集到作品数为：5÷150360=12件，B 作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为抽样调查；12；3；把图2补充完整如下：（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品x =12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；（3）画树状图如下：列表如下：共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P （一男一女）=1220=35，即恰好抽中一男一女的概率是35． 考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法；5．图表型．23、（1）4；（2）3x =；（3）18x <<．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．【详解】解：（1）()2013.1444512sin π-⎛⎫-+⎪⎝⎭， (214122=-⨯-+， 114=-，4=+（2）21321x x x---=-， 去分母得：()()1132x x +-=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根．（3）()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩①②， 解不等式①得1x >，解不等式②得8x <，∴原不等式组的解集为为：18x <<．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算、不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据题意得出DOE CFE ∠=∠，DE CE =，根据AAS 即可证明；（2）由（1）可得到OD FC =，再根据菱形的性质得出90DOC ︒∠=，即可证明平行四边形OCFD 是矩形.【详解】证明：（1）CF BD ∥，DOE CFE ∴∠=∠，.E 是CD 中点，DE CE ∴=，又DEO CEF ∠=∠ODE FCE ∴∆≅∆(AAS)（2）ODE FCE ∆≅∆，OD FC ∴=，.CF BD ∥，∴四边形OCFD 是平行四边形，平行四边形ABCD 是菱形，90DOC ︒∴∠=.∴平行四边形OCFD 是矩形.【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.25、 (1)4；(2)48.【分析】(1)根据中点值的定义进行求解即可；(2)根据中点值的定义可求得m 的值，再将方程的根代入方程可求得n 的值，由此即可求得答案.【详解】(1)2 x 8x 30-+=，x 2-2×4x+3=0，42-3=13>0，所以中点值为4，故答案为4；(2)由中点值的定义得：m 32=，m 6∴=， 2x 6x n 0∴-+=，将x 2=代入方程，得：412n 0-+=，n 8∴=，mn 48∴=.【点睛】本题考查了一元二次方程的根，新定义，弄懂新定义是解题的关键.26、（1）见解析；（2）AD =6． 【分析】（1）连接OC ，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB ＝∠EBC ，则OC ∥BE ，从而证得OC ⊥CD ，即CD 是⊙O 的切线；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OC．∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，又∵∠EBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）设AB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB＝55x，∴BC22AB AC-2255x x⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭25x，∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CAB＝∠BCE，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CEB，∴ACCE＝ABBC，∴5x55＝255xx，∴x＝552，∴AB＝552，BC＝5，∵△ACB∽△CEB，∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=CE BC∴BE＝25，∵OC∥BE，∴△DOC∽△DBE，∴OCBE＝ODBD，∴55425＝554552ADAD++，∴AD＝556．【点睛】本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
一次函数与二次函数图像共存及其性质
相关
a、b同号 a、b异号
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c 0 与y轴交于正半轴
c
与y轴交点的纵坐标c c
0 0
与坐标轴交于原点 与y轴交于负半轴
学以致用：
函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）
的图象可能是（C ）
y
y
y
y
1
x o
× A．
1
ox
× B．
o
x
√C．
1
0 0
从左往右上升 从左往右下降
b
与y轴
交
点
的
纵
坐
标
b b
0 0
与y轴交于正半轴 与坐标轴交于原点
b 0 与y轴交于负半轴
二次函数的一般式：y ax2 bx ca 0
二次函数的图像是一条抛物线
a
抛物线开口方向
a a
0 0
开口向上 开口向下
b
与对称轴x
b 2a
二次项系数a
ox
× D．
{ a>0→一次函数上升 + 二次函数开口向上
a相同 a<0→一次函数下降 + 二次函数开口向下
一次函数中常数项是1 →直线与y轴交于 正半轴(0,1) 二次函数中常数项是1 →抛物线与y轴交于正半轴(0,1)
新人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》 §22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质
一次函数与二次函数 图像及其性质
学校：潮州市高级实验学校 授课者：谢骏
知识回顾：
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 一次函数的图像是一条直线