上海市徐汇区2017年高三一模数学试题Word版含答案
徐汇区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准
参考答案一、填空题 (共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)1.2 2.92 3.2 4.2 5.160 6.4π7.01m <≤8.32−9.410.4032011.01m ≤<12.[]3,2−−二、选择题 (共20分，每小题5分)13.C 14.D 15.C 16.C、解答题17、解 1 ∵⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又∵AB AC ⊥，⊥∴AB 平面PAC ，所 DPA ∠就是PD 平面PAC 所成的角.………4分在PAD Rt ∆中，23,2==AD PA ，………………………………………6分所 43arctan =∠DPA ，即PD 平面PAC 所成的角的大小为43arctan.………………………8分 2 PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是 AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个 AD为底面半径、AP 为高的小圆锥.………10分所 体 πππ23223(312)3(3122=⋅⋅−⋅⋅=V .……………14分.18、解 1 由条件得 21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x +=+⋅=+，即1()cos 2sin 22f x x x =++………2分sin(2)3x π=++，………3分因为[0,]2x π∈，所 sin(2[3x π+∈因 ()sin(23f x x π=++1]+………6分2 由(2Af =，化简得sin(3A π+=因为(0,)A π∈，所 4(,)333A πππ+∈，所 233A ππ+=，即3A π=.………8分由余弦定理得 2216b c bc +−=，所 2()316b c bc +−=，又5b c +=，解得3bc =，………12分所 1sin 2ABC S bc A ∆==.………14分19、解 1 1()(0)4f x x x =≥.……3分，()0)g x x =≥.………6分 2 设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为 10x − 万元，创业团队获得的利润为y 万元，则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+−=+−≤≤.………10分t =，()1002545412≤≤++−=t t t y ，即21565((04216y t t =−−+≤≤，当52t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625………13分答 当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分20、解 1 易得1(2,0)F −，2(2,0)F ，Γ的渐近线方程为y x =，由对 性，妨设:2) l y x =−,即20x −−=，------------------2分所 ，1(2,0)F −到l 的距离2d ==.-----------------------------4分 2 当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =−，------------------------5分因 ，(0,2)Q −，-----------------------------6分又1(2,0)F −，故1(2,2)F Q =−，设Γ右支 的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+ ，由110F P F Q ⋅= ，得2(2)20x y +−=，-----------------------8分又2213x y −=，联立消去y 得2212150x x ++=，由根 系数的关系知， 方程无 根，因 ，在双曲线Γ的右支 存在点P ，满足110F P F Q ⋅=.--------------------10分 3 设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212(,)44x x y y M −−−−，----------------11分由M 点在曲线 ，故212212(4()134x x y y −−−−−=(*)设:(2)l y k x =−联立l Γ的方程，得2222(13)121230k x k x k −+−−=---------------------------12分由于l Γ交于 同两点，所 ，k ≠.所 ，21221213k x x k −+=−，因 ，12121224(2)(2)()413k y y k x k x k x x k k−+=−+−=+−=−.------------14分从而(*)即为22222124()3()481313k k k k−−−=−−，解得k =.即直线l的方程为20x ±−=.-------------------------------------------16分21、解 1由条件得1122a b +==，令，即1a=2+，1b=2.----------4分 2 充分性 当{}n a 为常数数列时，{}n a 是公差为零的等差数列 --------------5分必要性 当{}n a 为等差数列时，1120m m m a a a −++−=对任意2,*m m N ≥∈恒成立，----------------------------------------------------------------------6分而112m m ma a a −++−=1m a −+1211()()m m m m a b a b −−+−+=121()m m m a b b −+−=1111(22m m m a b b −−−++−，0>0=，即11m m a b −−=，-------------9分从而1111122m m m m m m a b a a a a −−−−−++===对2,*m m N ≥∈恒成立,所 {}n a 为常数列.------------------------------------------------------------------------10分3 因为任意*,2n N n ∈≥，112n n n n a b a b −−+=≥=，--------------12分又已知11a b ≥，所 n n n c a b =−.从而11n n a b ++−=111((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+−≤+−=−，即112n n c c +≤，----------------------------------------------------------------------------------14分则n c ≤121n c −≤2212n c −≤…≤1112n c −，----------------------------------------------16分所 2n c c ++⋯≤112c +⋯+1112n c −=11(12n −−1c <1c .-------------------18分。
上海市徐汇区届高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2０16年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题:（本题满分５6分,每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是.2．方程的解是.3．设,则数列｛a n}的各项和为．４．函数的单调递增区间是.x的图象关于直线x＋ｙ=0对称，则f(ｘ）的解析式为f（x) 5．若函数f（x)的图象与对数函数y=log４＝．6.函数f（x）=|4x﹣x2|﹣ａ有四个零点，则a的取值范围是．7.设x、y∈R＋且=1，则x+y的最小值为.8.若三条直线ax+y＋3=０，x＋y+２=０和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为. ９．在△ABC中，边ＢC=2，AB=，则角C的取值范围是．１0.已知四面体AＢCＤ的外接球球心O在棱ＣD上,，CD=２,则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是.11.(x3+2x＋１）（3x2+4)展开后各项系数的和等于．12.已知函数f （ｘ)＝x ２﹣1的定义域为D,值域为｛0，１｝，则这样的集合D 最多有 个．13.正四面体的四个面上分别写有数字０，1，2,3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为 ．14.设ｘ1,x 2是实系数一元二次方程ax ２+ｂx+ｃ=0的两个根，若ｘ1是虚数，是实数,则S=1+= ．二.选择题：（本题满分2０分,每小题5分) １５.已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是（ ） A ．向量与垂直 B.向量与垂直 C ．向量与垂直ﻩD.向量与平行1６.若a,b 为实数，则“0＜a ｂ＜1”是“”的( )A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 Ｃ.充分必要条件ﻩD ．既不充分也不必要条件１７．（文)设x 、y 均是实数,i 是虚数单位，复数(x ﹣2ｙ)＋(5﹣2ｘ﹣ｙ）i 的实部大于0,虚部不小于0，则复数ｚ=ｘ＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( ）A ．ﻩB. C. D.18．设函数y=f(ｘ）的定义域为Ｄ,若对于任意x 1、x ２∈D,当ｘ１+ｘ2=2a 时,恒有f （x 1)+f(x 2)=2ｂ,则称点(ａ,ｂ）为函数ｙ=f(ｘ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x+sin πx ﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为（ )A．﹣4０３１Ｂ.4０31 Ｃ．﹣80６2ﻩD.8062三．解答题:(本大题共5题，满分74分）19.三棱锥S﹣ABC中,SＡ⊥AB，SA⊥AC,AC⊥BC且ＡＣ=2，ＢＣ=，SB=．(1）证明：ＳC⊥ＢC;．（2)求三棱锥的体积V S﹣ABC20．已知函数f(x）=sin2２x﹣sin2ｘcos２x．（1)化简函数ｆ(ｘ）的表达式,并求函数ｆ（x）的最小正周期；）是ｙ=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标.（2）若点A(x0，y０２１．已知实数x满足32x﹣４﹣+9≤0且ｆ(x)=lｏg2.（1）求实数x的取值范围；(２)求f(x)的最大值和最小值，并求此时ｘ的值.22．数列{a n}满足ａ1=5，且（n≥2，n∈N＊）.（１）求a2,a3,a4;（２）求数列{a n}的通项公式；(３）令b n=,求数列{b n}的最大值与最小值.2３.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AＢ是以点Ｅ为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(０<t≤25）;曲线BC是抛物线ｙ=﹣ax２+50（a＞０）的一部分;CＤ⊥AD，且CD恰好等于圆Ｅ的半径．假定拟建体育馆的高ＯB=50(单位:米,下同）.（1）若t=２０、a＝,求ＣD、AD的长度；（２）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤF不超过75米，求ａ的取值范围; （３)若a=,求AD的最大值．20１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分５6分,每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ=﹣２,则抛物线的标准方程是ｙ2=8x.【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先根据准线求出ｐ的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式,将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知：＝２,∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y２＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为:y2＝８ｘ.【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题．２．方程的解是ｘ=2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得3x﹣5=4,即3ｘ=3２,由此求得方程的解.【解答】解:由方程可得3x﹣5=4，即3x=32,解得x=2,故答案为ｘ＝2．【点评】本题主要考查对数方程的解法,对数的运算性质应用，属于基础题.3.设，则数列｛a n}的各项和为.【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题．}为公比的等比数列,要求等比数列的各项和,即【分析】由已知可知=,从而可得数列{aｎ求前n项和的极限,由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵=,∴=,则数列｛a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S=＝故答案为【点评】本题所涉及的知识:等比数列定义在判断等比数列中的应用,等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前ｎ项和是不同的概念,要注意区别４．函数的单调递增区间是[kπ﹣,kπ＋],ｋ∈Z .【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为,故答案为：[kπ﹣，ｋπ+],k∈Z.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,属于基础题．5．若函数f(x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线ｘ+y=０对称,则f（x)的解析式为f(x)＝y=﹣4﹣x .【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】计算题;数形结合．【分析】先设f(x)上一点(x，y），求这个点关于ｘ+y＝０的对称点,则根据题意该对称点在函数y=log4ｘ的图象上，满足函数ｙ=loｇ4x的解析式,从而可求出点(ｘ,y)的轨迹方程【解答】解:设函数f(x)的图象上一点(ｘ，ｙ),则点（x,y）关于x+y=0的对称点(x',y'）在对数函数ｙ=log4x 的图象由题意知，解得ｘ'=﹣y,y'=﹣xｘ的图象又∵点（x'，y＇）在对数函数ｙ=ｌog４∴﹣x＝log4（﹣y)∴﹣y=4﹣ｘ∴y＝﹣4﹣x故答案为:ｙ=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式.解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题６．函数f（x）=|4ｘ﹣x２|﹣a有四个零点,则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意可得,直线ｙ=a和函数ｙ=｜4x﹣ｘ2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围. 【解答】解:∵函数f（x)=｜4x﹣x2｜﹣a有四个零点,故直线y=a和函数y=|4ｘ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a<4,故答案为(０,4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题.7．设x、ｙ∈R+且=1，则ｘ+y的最小值为16 .【考点】基本不等式．【专题】计算题.【分析】将x、ｙ∈R+且=１，代入x＋y=(x+ｙ)•()，展开后应用基本不等式即可．【解答】解:∵＝1，x、ｙ∈R＋,∴x＋y＝（x＋ｙ）•（)==1０+≥10+２=16(当且仅当，x=4,ｙ＝１2时取“＝”）．故答案为:16.【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题．8.若三条直线aｘ+y＋3=0，x+ｙ＋2=0和2x﹣y+１＝０相交于一点，则行列式的值为1.【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标．【专题】计算题;方程思想；综合法;矩阵和变换.【分析】先由三条直线aｘ+y+3=０,ｘ+ｙ＋2=0和2x﹣y＋1＝0相交于一点,求出a,再由二阶行列式展开法则能求出的值.【解答】解:联立,得x=﹣１，y＝﹣１,∵三条直线ax＋y+3=0,ｘ+y+2=0和2x﹣ｙ+1=０相交于一点,∴直线aｘ+ｙ+3=0过点（﹣1，﹣１），∴﹣a﹣1+3＝0,解得a＝2，∴=a﹣1=2﹣1＝１.故答案为：１.【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用.９.在△AＢＣ中，边BC=2，AＢ=,则角C的取值范围是（0，].【考点】余弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角C的取值范围.【解答】解:由题意,设ＡC＝ｂ,3＝ｂ2+4﹣4bcosC∴b２﹣4bcosC+1=０∴△＝16cos2Ｃ﹣４≥０∵AB<BC∴Ｃ不可能是钝角∴∴角Ｃ的取值范围是（0,]故答案为:(0,]【点评】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式.10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱ＣD上，，ＣD=2,则Ａ、B两点在四面体ABＣＤ的外接球上的球面距离是.【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；方程思想；综合法;球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为ＣD的中点，且OA＝ＯB=OC=OD,进而在△A０B 中,利用余弦定理求得cos∠AOB的值,则∠AＯB可求,进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解:球心到四个顶点距离相等,故球心Ｏ在ＣD中点,则OＡ＝ＯＢ＝OC=OD=1，再由AB＝,在△Ａ0B中，利用余弦定理cos∠ＡOＢ=＝﹣，则∠AＯＢ=，则弧AB=•１＝.故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能力．１1．(x3+2ｘ+１）(３x２+4)展开后各项系数的和等于２８.【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理.【分析】根据题意，令x=１,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：(x3+2ｘ+1）(３x2+4)展开后含有字母x，令x=1,则展开式中各项系数的和为:(13+2×１+1)(3×１2+4)＝28.故答案为:28.【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用x=1进行计算,是基础题.１2.已知函数f(x)=x2﹣1的定义域为D，值域为｛0，1｝，则这样的集合Ｄ最多有9 个．【考点】函数的定义域及其求法;二次函数的性质.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域Ｄ的各种情况．【解答】解:∵ｆ(x）=x2﹣1,∴f(±1)=０,f(±)=1，因此，定义域D有：{1,}，{﹣1，﹣},{﹣１，}，｛1,﹣}，｛﹣1，1，}，{﹣１,1,﹣},{1,，﹣},{﹣1，,﹣},｛﹣1，1，,﹣}共9种情况．故答案为:9.【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．１３.正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，３把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题;转化思想;综合法；概率与统计.【分析】称求出基本事件总数ｎ=4×4=１6,再由列举法求出露在外面的６个数字之和恰好是９包含的基本事件个数,由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的６个数字之和包含的基本事件总数n=4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为ｍ，ｎ,则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：(０,3),(3，０)，(1，２)，（2,1）,共包含４个基本事件,∴露在外面的6个数字之和恰好是９的概率ｐ=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用．1４．设ｘ1，x２是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,若x1是虚数，是实数，则S=1+＝﹣2.【考点】复数代数形式的混合运算.【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.【分析】设x1=s+ti(s,ｔ∈Ｒ，t≠0)．则x2=s﹣ti．则x1+x２＝2s,ｘ１x２=s2＋ｔ２.利用=s3﹣３ｓt2＋(3ｓ2ｔ﹣ｔ3)i是实数，可得3s２=t2.于是ｘ1+x２=2s,ｘ1x2＝s2+t2.+１=０，取＝ω,则ω２＋ω+1=０，ω3=1.代入化简即可得出.【解答】解:设x１=ｓ＋ti（s,ｔ∈R，t≠0)．则x2＝s﹣tｉ.则ｘ１+x2=2s,x1x2=ｓ2+t2.∵==ｓ3﹣3st2+（3ｓ２t﹣ｔ3)ｉ是实数,∴3ｓ2t﹣t3=0,∴3s2=t２．∴x1+x2=2ｓ，xx2＝s2+t２.１∴4s2＝=+２x1x2＝x1ｘ2，∴+1=0，取＝ω，则ω２+ω+１=0，∴ω３=1．则S＝1＋=1+ω+ω２+ω4+ω8+ω1６+ω32=0+ω+ω２＋ω+ω２＝﹣２．故答案为:﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题:(本题满分２0分,每小题5分)15.已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是()A.向量与垂直ﻩB.向量与垂直C．向量与垂直ﻩＤ．向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想;分析法;平面向量及应用.【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直.【解答】解:设的夹角为θ,则0<θ<π，∵（)•（)＝=0，∴()⊥（）,故A正确；D错误.∵(）•＝﹣=﹣cｏsθ≠0，∴与不垂直;故B错误;∵=＝+ｃosθ≠0,∴与不垂直,故C错误;故选:Ａ．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题.1６．若a，b为实数,则“0<ab<1”是“”的（)A.充分而不必要条件ﻩB．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质,我们先判断“０<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab＜1”的真假,然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解:若“0<ab<１”当a,ｂ均小于0时，即“0<ab＜１”⇒“”为假命题若“”当a<0时，ab＞1即“”⇒“0＜aｂ＜1”为假命题综上“０<ａｂ＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D.【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab＜1”的真假，是解答本题的关键.１7.（文)设x、y均是实数，ｉ是虚数单位，复数（ｘ﹣2ｙ）+(５﹣２x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+ｙi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B． C. D.【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（ｘ﹣2y)＋（５﹣２x﹣y)i的实部大于０，虚部不小于0,可得,利用线性规划的知识可得可行域即可.【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y)ｉ的实部大于0，虚部不小于0，∴,由线性规划的知识可得:可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方,因此为A．故选:A.【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域,属于中档题．18．设函数y＝f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D,当ｘ１＋x2＝2a时,恒有f（ｘ1)+f(x2）=２b，则称点（a，ｂ)为函数y＝ｆ（x）图象的对称中心.研究函数f（x）=x+sｉnπx﹣３的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为( )A．﹣4031ﻩB．4０３1ﻩC．﹣８0６２ﻩD.８062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题;转化思想；综合法;函数的性质及应用.【分析】利用函数对称中心的性质得到当x１+x2＝2时，恒有f（x1)＋f(x2）＝﹣4，能此能求出结果. 【解答】解：∵ｆ（x)=x＋sｉnπx﹣3,∴当ｘ=１时,f(1）=1+sinπ﹣３=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x１＋x２=2时,恒有ｆ（x1）+ｆ(x2）=﹣4，∴=2０１5[f(）+ｆ()]+f（）=201５×（﹣4）﹣２=﹣8０62.故选：Ｃ.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.三．解答题：（本大题共５题,满分7４分）19．三棱锥S﹣AＢC中，SA⊥AB，ＳＡ⊥AC,AC⊥ＢＣ且AC=２，ＢＣ=，SB=．（１)证明：ＳC⊥BC；（2)求三棱锥的体积V S．﹣ABC【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】(１)因为SA⊥面ABC,AC为SC在面AＢＣ内的射影，由三垂线定理可直接得证．(2）由题意可直接找出侧面SＢＣ与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．【解答】解:（1）∵SA⊥AＢSＡ⊥AC AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC,∴AＣ为SC在平面ABC内的射影,又∵BC⊥ＡＣ，由三重线定理得：ＳＣ⊥ＢC(2）在△ＡBC中,AＣ⊥ＢC,AC＝２,BC=,∴AB==，∵SＡ⊥ＡB，∴△ＳAB为Ｒt△，SB=，∴ＳA==2，∵ＳA⊥平面AＢC，∴SＡ为棱锥的高，∴Ｖ=××ＡＣ×BC×ＳA=×2××=．Ｓ﹣ABC【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力,计算能力;三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法.20．已知函数f(x）＝ｓin２２ｘ﹣ｓin2xcoｓ2x.(１)化简函数ｆ(x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期;(2）若点A（x０,y0)是ｙ=f(x)图象的对称中心，且，求点A的坐标．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【专题】函数思想;综合法；三角函数的图像与性质.【分析】（1）利用降次公式，二倍角公式，和角公式化简f（x)＝,代入周期公式计算周期；（２）由对称中心的性质可知sｉｎ（４ｘ0+)=0，结合x0∈［0,]求出x0，得到A点坐标.【解答】解：（1）=,所以f(ｘ)的最小正周期.（2)∵点Ａ（x0,y0）是y=f（ｘ）图象的对称中心,∴sｉn(4x0＋）＝0,∴４x0+=kπ，x0=﹣．ｋ∈Ｚ．∵x０∈［0，］,∴，解得k＝1或ｋ=2,∴x0=或x０＝．∴点Ａ的坐标为或.【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质,属于中档题．21．已知实数x满足３2ｘ﹣４﹣+9≤0且ｆ（x)＝ｌoｇ２．(1）求实数x的取值范围；（2）求f(x）的最大值和最小值,并求此时x的值．【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用．【分析】（1）将3x﹣2看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可；（2）先将ｆ(x)配方，结合二次函数的性质求出其最值即可．【解答】解:(1）由,得3２x﹣4﹣10•3ｘ﹣２＋9≤0,即(3ｘ﹣2﹣1）（３x﹣２﹣9）≤0,∴1≤3x ﹣2≤9，2≤ｘ≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)因为=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当,即时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当log 2x=1或log 2x ＝2,即x ＝2或x ＝4时,y ｍax =0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质，考察二次函数的性质，是一道中档题.22．数列{a n }满足a １＝5，且(ｎ≥２，n ∈N *）.（1)求a ２，ａ３，a ４;（2)求数列{a n ｝的通项公式； (３)令b n =，求数列{b n ｝的最大值与最小值．【考点】数列递推式；数列的求和.【专题】方程思想;转化思想；等差数列与等比数列. 【分析】(1）由a 1=5,且（n ≥２,ｎ∈N *）．分别令n ＝２,3，4,即可得出.(２)设数列的前n 项和为Ｓn ，利用递推关系可得：，得即,再利用等比数列的通项公式即可得出.（3）,变形利用单调性即可得出.【解答】解：（1）∵a １=5,且(n ≥2,ｎ∈N *）．分别令n ＝2,3,４,可得:．(２）设数列的前n项和为S n，则,∴,得即，∴｛a n}从第二项起成等比数列,又a2=1０，∴．(3)，由，得,所以当n=3时，，当n＝4时，但，综上所述,,（ｂn)max=b1=5．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2３.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0,t）(0＜t≤25);曲线BC是抛物线y＝﹣aｘ2+50（a＞0）的一部分；CＤ⊥AD,且CD恰好等于圆Ｅ的半径.假定拟建体育馆的高OB=50(单位:米,下同）．（１)若t=20、ａ=，求CD、AD的长度;(2）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤＦ不超过75米，求a的取值范围;(3）若a=，求AD的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用.【专题】数形结合;综合法;直线与圆．【分析】(1）分别求出ＯD和AＯ的长,相加即可；(2）问题转化为恒成立,根据级别不等式的性质解出即可;(3）法一：根据三角函数知识解答；法二:根据圆的知识解答即可.【解答】解：(1)因为圆E的半径为OＢ﹣ＯＥ=５0﹣ｔ=３0，所以CD=30.在中令y=30,得．在圆E:ｘ2+(ｙ﹣２0)2＝３02,中令ｙ=0，得,所以．（2)由圆Ｅ的半径为ＯB﹣ＯＥ＝50﹣ｔ,得CD=50﹣t．在y=﹣ax2+50中令y＝50﹣t,得.．由题意知,对t∈（0，25]恒成立，所以恒成立.当,即t=25时,取得最小值10，故,解得.（3）当时,．又圆E的方程为x2＋(y﹣t）2=（５0﹣t)2，令y＝0,得,所以,从而．下求的最大值．方法一:令,则=，其中φ是锐角,且, 从而当时，AD取得最大值.方法二:令，则题意相当于：已知x２＋y2=2５(x≥0，y≥0),求z=AＤ=5（2ｘ＋y)的最大值．当直线与圆弧x2+y2=25（x≥0，y≥0）相切时,z取得最大值.答：当t=5米时,AD的最大值为米．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题，考查函数恒成立问题，是一道难题．。
07.2017年上海高三数学一模分类汇编：解析几何
2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6， 则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交 双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于 抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取 值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线 是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均 为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之 间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长； （1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。
2017高考上海各区数学一模(含答案)
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
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2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2018．12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则UA =___________.3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） （A ）16 （B）（C ）163 （D ）128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y =是( )（A ）①、②均不是“蝶型函数” （B ）①、②均是“蝶型函数”（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） （A ）2 （B ）53 （C ）32 （D ）43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B是异面直线？ （2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈（1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.海20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，62ON OM =,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当4556λ≤≤时，求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. 22. (],0-∞ 3. 4. 1- 5.221520x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. []310,0,lg2x y x =-∈ 10.43π11. (]()1,34,+∞ 12. 8二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. C 15. B 16. D 三、 解答题17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点， 所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分 由于'''','''90A B B C A B C =∠=于是'''45A C B ∠=， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45. ………….14分 18、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+>……………….11分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分 故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分 19、解：（1）100AB =（海里）,3AOB π∠=则100120AO BO OC OD ====（海里），（海里） ……………….2分2211220012010023233ABCD S πππ=⋅⋅-⋅⋅=（平方海里） ……………….5分所以，海域ABCD 的面积为22003π平方海里. ……………….6分（2）100AB =（海里）40,AP BP ==（海里）cos PAB ∴∠=12=……………….8分 3PAB π∴∠=，23PAO π∠=……………….10分PO ∴ ……………….12分=120=>（海里） ∴这艘不明船只没有进入海域ABCD . ……………….14分20、解：（1）2a = a ∴=……………….1分又1a c +=，1,c ∴= ……………….2分222a b c =+1b ∴= ……………….3分故椭圆Γ方程为2212x y +=……………….4分 （2）y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k --∴++，则2221(,)1212k M k k -++ ……………….6分62ON OM=,∴22(,)122(12)N k k -++,代入椭圆Γ方程， ……………….8分得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12k =±……………….10分 （3）原点O 到直线l 的距离为1，2211m k =⇒=+ ……………….12分设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+=联立22222(12)4220(*)12y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 22222164(12)(22)800k m k m k k ∆=-+-=>⇒≠由(*)式知，2121222422,1212km m x x x x k k--+=⋅=++ 2212121212()()(1)()x x kx m kx m k x x km x x m λ∴=+++=++++222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ (14)分12AB x x =-====1OABS∆∴==……………….15分令2213512,,,223tk t k t-⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦5AOBS∆∴==⎣⎦……………….16分21、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6na是Ω数列，取数列{}n a中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s ta a s t≠，使得12s ta a+=+，故数列{}n a不是Ω数列；……….4分(2)若13d≤，对于1,2p q==，若存在2s t<<，满足p q s ta a a a+=+，因为2s t<<，于是3,4s t≥≥，所以2sa a≥，1ta a>，从而21s ta a a a+>+，矛盾，所以14d≥，同理34d≥.……………….8分下面证明22d≥：若21d=，即2出现了1次，不妨设2ka=，1k s ta a a a+=+，等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾，于是12d≥.……………….10分(3)设1出现1d次，2出现2d次，…，2019出现2019d次，其中*122019,,,d d d N∈…由(2)可知，120194,4d d≥≥，且22d≥，同理20182d≥，……………….12分又因为*342017,,,d d d N∈…，所以项数01220192027n d d d=+++≥….……….14分下面证明项数n的最小值是2027：取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列{}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求， 同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分。
【上海中学】2017年高考模拟数学试卷(一)-答案
上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）答 案一、填空题 1．0 2．0 3．5 4．4 5．()(24)a a a a ---，，6．837．1924 8．129．11()0)({}-∞-+∞，，10．11．24 12．8.413．cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++ 二、选择题 14-17．DDAB 三、解答题18．解：（1）∵222cos π()cos ()11sin(2)26x f x x x x x x =-∈∈=+-=-+R R ，w w w w w w ．由于它的最小正周期为π，故2ππw=，∴1w =．故π1sin(2(6))f x x -+=．（2）∵]π[0x ∈，， ∴ππ13π2[]6x +∈，．列表如下：如图：19．解：（1）设i z a b =+（a ，b R ∈且0b ≠）则i z a b =-∵||21510|z z +=+∴|()|2152i (+10)i|a b a b ++-∴2275a b +==∴||z =（2）设i z c b =+（c ，b ∈R 且0b ≠）假设存在实数a 使z aa z+∈R 则有2222()R z a c ac b ab a z a c b a c b +=++-∈++ ∴220b ab a c b-=+ ∵0b ≠∴a =由（1=∴a =±20．解：（1）11B C C A ⊥证明如下： 在平面1BA 内，过1B 作1B D AB ⊥于D ， ∵1BA ABC ⊥侧面平面，∴1B D ABC ⊥平面，1B BA ∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴1π2ππ33B BA ∠=-=，连接1BC ， ∵11BB CC 是菱形，∴11BC B C ⊥，1CD A B ⊥平面，1B D AB ⊥， ∴1B C AB ⊥， ∴11B C ABC ⊥平面， ∴11B C C A ⊥．（2）解：由题意及图，11111222423B ACC A B A AC A ABC V V V ---===⨯答：四棱锥11B ACC A -的体积为221．解：（1）210110%0.(1)2.8y n n n n n =+++∈N *， （2）由20.2 1.810 1.1%n n n p +≤⨯，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯， 令0.2 1.810 1.1n nn a +=⨯，由11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，得12n ≤≤， ∴122%11p a a ≥==， ∴20011p ≥． 22．解：（1）∵当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，∴2225804||28()30x x x c x x x x x ⎧-+-≥⎪≥=⎨---<⎪⎩，---，，由二次函数的性质得74c ≥-．（2）2()||32x b x --=-，即2(||)1b x x -=+有四个不同的解，∴2()(1)0xb x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解， 由根的分布得1b ≥且514b <<， ∴514b <<． 23．解：（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩即220020ax ax x ax -+= ∴222200440a x a x ∆=-= ∴l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点00()N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣ 则22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣ ∴22242220000000ax by b y ax abx y -+-+> ∴22001by ax +>∴00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）同理可得此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l 上，即01011ax x by y +=，整理得12222001112()10ax by ax by l +-++-= 同理得关于2l 的方程，类似．即1l 、2l 是222200211(0)1ax by ax by l +-++-=的两根 ∴120+=λλ．上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）解 析一、填空题1．【考点】3Q ：函数的周期性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，又根据()f x 是以2为周期的周期函数得()()2f x f x +=，取1x =-可求出()1f 的值．【解答】解：∵()f x 是以2为周期的周期函数， ∴1(1)()f f =-， 又函数()f x 是奇函数， ∴()(111)()f f f -=-=， ∴()(0)11f f =-= 故答案为：02．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果． 【解答】解：∵1(1)(1)1(1)111(1)(1)222bi bi i b b i b b i i i i ++-++-+-===+++-， ∵实部和虚部互为相反数，∴11022b b +-+=， ∴202b =，∴0b =， 故答案为：03．【考点】DC ：二项式定理的应用．【分析】由题意可得(122)Tr Cnr x r rCnrxr +==分别令3r =，1r =可得含3x ，x 项的系数，从而可求 【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，(122)Tr Cnr x r rCnrxr +== 令3r =可得含3x 项的系数为：38Cn ，令1r =可得含x 项的系数为12Cn ∴31882Cn Cn =⨯ ∴5n = 故答案为：54．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设2z x y =+，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线2z x y =+，过可行域内的点2(1)A ，时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，在坐标系中画出可行域三角形，A （1，2），（4，2），C （1，5）， 则目标函数2z x y =+的最小值为4． 故答案为：4．5．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0||3x a a <+<-，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集． 【解答】解：因为0a <，则关于x 的不等式3||1ax a>+，所以不等式0||3x a a <+<-， 根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到a -的距离大于0并且小于3a -， 可知不等式的解集为：()()24a a a a -⋃--，，． 故答案为：()()24a a a a -⋃--，，． 6．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF 1F 2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P 点纵坐标． 【解答】解：根据椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，12||6F F =， 令内切圆圆心为O则1212121212|||1(2|||)PF F POF POF OF F PF r PF r S S S S F F r =++++=△△△△=1212||||11(||)28PF PF F F +⋅=+=又∵12121||23PF F F F yP yP S ⋅==△． 所以38yp =，83yp =．故答案为83．7．【考点】8E ：数列的求和；6F ：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n 项和记为S n ，再求它们的极限．【解答】解：当2n k =时，221111[1()][1()]9924111149nnSn --=+-- 当21n k =+时，1221111[1()][1()]9924111149nn Sn +--=+-- ∴lim21193824n n S −−→∞=+=故答案为1924． 8．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A 被选中的情况和城市A 未被选中的情况都找出来，即可得到城市A 被选中的概率． 【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的情况有：ACE ACF ACG ACH ADF ADG ADH AEG AEH AFH 、、、、、、、、、，共10种．则城市A 未被选中的情况有：BDF BDG BDH BEG BEH BFH CEG CEH CFH DFH 、、、、、、、、、，共10种．故城市A 被选中的概率为：101=10+102， 故答案为：12． 9．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设1y 22y kx =-+，画出函数1y k 的取值范围．【解答】解：根据题意设1y 22y kx =-+， 当0k =时，方程只有一个解0x =，满足题意； 当0k ≠时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当1k ->或1k -<-时，直线2y kx =-+与y = 综上，满足题意k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-． 故答案为：11()0)({}-∞-⋃+∞⋃，，．10．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP ：正弦定理．【分析】由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，根据海仑公式得：22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，所以设22a p +=所以根据海仑公式得：S = 所以22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，当212a =时，即当a =ABC 的面积有最大值，并且最大值为故答案为11．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P Q R S ，，，四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥， 且底面四边形ABCD 为边长是6的正方形，侧棱PD ABCD ⊥平面，6PD =∴1666723P ABCD V =⨯⨯⨯=四棱锥﹣∵棱长为12的正方体体积为1212121728⨯⨯= ∵17282472=， ∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体． 故答案为2412．【考点】4R ：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设()A x ax ，，函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，得出点A 到直线y x =的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式及()A x ax ，在函数1y x=的图象上得到18.4a =≈即可． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设()A x ax ，，∵函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，∴||AB =，⇒点A 到直线y x =，x=⇒2ax x =﹣，① 又()A x ax ，在函数1y x=的图象上，⇒1ax x =，②由①②得：12x x -=⇒1x x=，∴11)2-=，⇒18.4a =≈ 故答案为：8.4．13．【考点】F3：类比推理；LL ：空间图形的公理． 【分析】由题意可得：cos cos (0||||AB B AC C BC AB AC l ⋅+=，即BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直，设D 为BC的中点，则2OB OCOD +=，可得cos cos (||||AB B AC C DP AB AC +=λ，即可得到0BC DP ⋅=，进而得到点P 在BC 的垂直平分线上，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：cos cos (||||0||||AB B AC CBC BC BC AB AC l ⋅+=-+=∴BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直 设D 为BC 的中点，则2OB OCOD +=， 所以cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++， 所以cos cos (||||AB B AC C DP AB AC l +=，因为BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直所以0BC DP ⋅=， 又∵点D 为BC 的中点，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 的轨迹会通过△ABC 的外心． 故答案为：cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++． 二．选择题14．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA ：余弦函数的单调性．【分析】可把A B C D ，，，四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D 项的符合题意．【解答】解：cos2y x =在区间π[0]2，上是减函数，πsin )6π([0]3y x =+，上单调增，在ππ[]32，上单调减，故排除A ．πsin )4π([0]4y x =+，在π[0]4，单调增，在ππ[]42，上单调减，故排除B ．πsin )3π([0]6y x =+，在π[0]6，单调增，在ππ[]62，上单调减，故排除C ．(πsin )2y x =+在区间π[0]2，上也是减函数，故选D ．15．【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC 和AB ，最后三边相加整理即可得到答案． 【解答】解：根据正弦定理sin sin BC ACA B =，sin sin(120)BC AB A B =-∴sin sin BC AC B B A ==，sin(120)s 3cos in B A CB B AB B =-= ∴△ABC的周长为π3cos 36sin 3)6(B B B B ++=++故选D ．16．【考点】IH ：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M 、N 在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a 与c 的关系，从而可判定点)(1P c a ，，1()Q b c，和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点)(1M a b ，和)(1N b c ，都在直线l ：1x y +=上∴11a b +=，11b c += 则11b a =-即1111a c+=-化简得11c a +=∴点)(1P c a ，在直线l 上而11b c +=则1()Q b c，在直线l 上故选A ．17．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①；12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②；①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，1214n n n n a a +++-=，同理，得114n n n na a ++-=，整理，得12211n n n a a a ++=+，1{}an是等差数列． 由此能求出1297111...a a a ++． 【解答】解：1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，∴1214n n n na a +++-=， 同理，得114n n n na a ++-=， ∴12111n n n n n n n n a a a a ++++--=-， 整理，得12211n n n a a a ++=+， ∴1{}an 是等差数列． ∵114a =，215a =，∴等差数列1{}an 的首项是114a =，公差2111541d a a =-=-=，14(1)13nn n a =+-⨯=+． ∴12971119796 (974150442)a a a ⨯++=⨯+⨯=． 故选B ．18．【考点】HK ：由(n )si y A x w j =+的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数π1sin(2())6f x x w =-+，再由它的周期等于π求出1w =，故π1sin(2(6))f x x =-+．（2）由]π[0x ∈，，可得ππ13π2[]666x +∈，，列表作图即得所求． 19．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z a bi =+(a ，b R ∈且0b ≠)则z a bi =-代入条件||21510|z z +=+然后根据复数的运||z 的值（2）对于此种题型可假设存在实数a 使z aR a z+∈根据复数的运算法则设（z c bi =+（c ，b R ∈且0b ≠））可得2222()z a c ac b ab R a z a c b a c b +=++-∈++即220b ab a c b -=+再结合0b ≠和（1）的结论即可求解．20．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B 1C 与C 1A 垂直，可在平面BA 1内，过B 1作1B D AB ⊥于D ，证明11B C ABC ⊥平面，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，111122B ACC A B A AC A ABC V V V ---==，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可； 21．【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）210110%0.2( 1.8)N *y n n n n n =+++∈， （2）由20.2 1.8101.1%n n n n p +≤⋅，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯，令0.2 1.810 1.1nn n a +=⨯，由此能求出p 的最小值． 22．【考点】3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）将2b =，4m =-代入函数解析式，根据()()f x g x ≥恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c 的取值范围；（2）将3c =-，2m =-代入函数解析式得2()||1x b x =+﹣有四个不同的解，然后转化成2()(1)0x b x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b 的取值范围．23．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，由根的差别式能得到l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点)00(N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣．由22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣，能求出00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l上，得222220011111()0ax by ax by l +-++-=．由此能求出120l l +=．。
2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
上海市徐汇区届高考数学一模试卷(文科)(解析版)
２0１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)一．填空题:（本题满分5６分,每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点,准线方程为ｘ＝﹣２,则抛物线的标准方程是.２.方程的解是．3.设,则数列{a n｝的各项和为.４.函数的单调递增区间是．x的图象关于直线x＋y=0对称，则f（x)的解析式为ｆ（ｘ）５．若函数f（x）的图象与对数函数y=log４＝.６.函数f（x)＝｜4x﹣x2|﹣a有四个零点,则a的取值范围是.7．设ｘ、y∈Ｒ+且=１，则x+ｙ的最小值为．8．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+２=0和2x﹣y+1＝０相交于一点,则行列式的值为．9.在△AＢＣ中,边BC=2，ＡB=，则角C的取值范围是.10.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱ＣD上，，ＣD=2，则A、B两点在四面体AＢCD的外接球上的球面距离是．１1.(ｘ3+2x+１)（3x2+4）展开后各项系数的和等于．12．已知函数f(x)=x2﹣１的定义域为D，值域为{０，1},则这样的集合Ｄ最多有个.13.正四面体的四个面上分别写有数字０，1，2,３把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的６个数字之和恰好是９的概率为．14.设ｘ1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx＋c=０的两个根,若x1是虚数,是实数，则S=1＋= .二．选择题:(本题满分20分，每小题5分)15．已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是(）A．向量与垂直ﻩB．向量与垂直C．向量与垂直D.向量与平行16．若a,b为实数，则“０＜ab<１”是“”的(）A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件ﻩD.既不充分也不必要条件17.（文)设x、ｙ均是实数,i是虚数单位，复数（x﹣2ｙ）＋（５﹣２x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=ｘ＋yｉ在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．ﻩＣ．ﻩD．18.设函数ｙ=ｆ（ｘ)的定义域为Ｄ,若对于任意x1、x２∈D，当x１+x2=２a时,恒有f（ｘ１)+f(x2）＝2b，则称点（a,b)为函数y=f(x）图象的对称中心.研究函数f(ｘ)＝ｘ+sinπx﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为()A．﹣4031 Ｂ.403１ﻩＣ．﹣8062ﻩD．8062三．解答题：（本大题共5题,满分7４分)1９．三棱锥Ｓ﹣ＡBＣ中,SＡ⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且ＡC=2，BＣ＝,ＳB=. （1)证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．2０.已知函数f（x)=sin22ｘ﹣sｉn2xcos２x.（1)化简函数f（ｘ)的表达式,并求函数f（x）的最小正周期；（2)若点A（x０,y０）是y＝f(x)图象的对称中心，且，求点Ａ的坐标．21．已知实数ｘ满足32x﹣4﹣＋9≤0且f（x）＝lｏｇ2．（１)求实数ｘ的取值范围;(2）求ｆ（x)的最大值和最小值,并求此时x的值．22.数列{a n}满足a1=5,且(n≥2，n∈Ｎ*）.（1)求ａ２，a3,a4；（2）求数列{ａn}的通项公式;(3)令b n=,求数列｛ｂｎ}的最大值与最小值．23.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线ＡB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(０<t≤２5）;曲线BＣ是抛物线y=﹣aｘ2+50(a>0)的一部分；CD⊥AD，且ＣＤ恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位:米,下同).（１）若t=20、a=,求CD、ＡD的长度;(2）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤF不超过７5米，求a的取值范围；(３)若a＝，求ＡD的最大值.ﻬ２0１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一．填空题:（本题满分56分,每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ=﹣２，则抛物线的标准方程是y2=8x ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先根据准线求出p的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将ｐ的值代入可得答案.【解答】解:由题意可知：＝2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x．故答案为:y2=８ｘ.【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题.２.方程的解是x＝2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得3ｘ﹣5=４，即３x=３2,由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得３x﹣5=4,即３x=3２，解得ｘ=2,故答案为x=2．【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题.3．设,则数列{a n}的各项和为．【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题．【分析】由已知可知=，从而可得数列{a n}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限,由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解:∵=,∴=,则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S==故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式,等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4.函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+],ｋ∈Z ．【考点】正弦函数的图象.【专题】转化思想;综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的单调性,得出结论．【解答】解:对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ＋，求得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的增区间为，故答案为：[kπ﹣，kπ+],k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．5.若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+ｙ＝0对称，则f(x）的解析式为f（x）= y ＝﹣4﹣ｘ．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象.【专题】计算题;数形结合．【分析】先设f（x)上一点(x,ｙ),求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y＝log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，ｙ）的轨迹方程【解答】解:设函数f(x）的图象上一点（x,y)，则点（x，ｙ)关于x+y=０的对称点（x'，ｙ＇）在对数函数y=logｘ的图象４由题意知,解得x'=﹣y，ｙ＇=﹣x又∵点（x'，ｙ')在对数函数ｙ=log4x的图象∴﹣x＝ｌog4（﹣ｙ)∴﹣y=４﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为:ｙ=﹣4﹣ｘ【点评】本题考查函数的图象与性质,求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点.属简单题6．函数f（ｘ）=|4x﹣ｘ2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4) ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2｜的图象有4个交点,数形结合求得a的取值范围.【解答】解:∵函数f(x）＝｜４ｘ﹣x２|﹣ａ有四个零点，故直线ｙ=a和函数y＝|４ｘ﹣x2｜的图象有4个交点,如图所示:结合图象可得0<a<４，故答案为（0,4).【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题.７．设ｘ、y∈R+且＝1,则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题.【分析】将ｘ、ｙ∈R+且=１，代入x＋y=(x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解:∵=１,x、y∈Ｒ＋，∴x+y=(x+y)•(）==１0+≥10+2＝1６(当且仅当，x＝4，y=12时取“＝”).故答案为:１６.【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题.8.若三条直线ax＋y+3=0，ｘ+ｙ+2＝0和２ｘ﹣y＋1=0相交于一点,则行列式的值为１.【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标.【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换．【分析】先由三条直线ax+y+３=０，x+y+2＝0和2ｘ﹣y+1=0相交于一点，求出a，再由二阶行列式展开法则能求出的值.【解答】解:联立,得x=﹣1,y=﹣1，∵三条直线aｘ+y＋3＝０,x+y＋２＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点,∴直线ax＋ｙ＋3=０过点（﹣１，﹣1），∴﹣a﹣１+３=０,解得a=2，∴=a﹣1=２﹣1=1.故答案为:1.【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用.9.在△ABC中,边ＢC＝2，AB=，则角C的取值范围是(0，].【考点】余弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角C的取值范围.【解答】解:由题意，设AC=ｂ,3=b2+4﹣４bｃosC∴b２﹣4bｃosＣ+1＝0∴△=１6cos2C﹣4≥0∵AB<BC∴C不可能是钝角∴∴角C的取值范围是(0，]故答案为：（０,]【点评】本题考查余弦定理的运用,考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式.1０.已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ＡBＣD的外接球上的球面距离是.【考点】球面距离及相关计算.【专题】计算题；方程思想;综合法;球.【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB＝ＯＣ＝OD，进而在△Ａ０B中，利用余弦定理求得ｃｏｓ∠AOB的值,则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解:球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点,则ＯＡ=OＢ＝OC＝OD=1,再由AB＝，在△A0B中,利用余弦定理cｏs∠AＯB==﹣，则∠ＡOB＝，则弧AＢ=•1=．故答案为:．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能力.１1．（x3+2x+1）(3ｘ2＋4）展开后各项系数的和等于２8 .【考点】二项式系数的性质.【专题】对应思想；转化法；二项式定理.【分析】根据题意，令ｘ=1,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和.【解答】解：（x3＋２x+1）（3x2+4)展开后含有字母x，令x＝１，则展开式中各项系数的和为:（13+2×1＋1)（3×12＋4）=28.故答案为：2８.【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用x=1进行计算,是基础题.12．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D,值域为{0,1},则这样的集合D最多有9个．【考点】函数的定义域及其求法；二次函数的性质.【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解:∵f（ｘ）=x2﹣1，∴f（±1）=０,f（±)=1，因此，定义域D有：｛1，｝,{﹣1,﹣}，｛﹣1，},｛1，﹣｝，{﹣1，１,}，｛﹣1，1，﹣}，{1,,﹣},{﹣1,，﹣}，{﹣1，１,，﹣}共9种情况．故答案为：9．【点评】本题给出二次函数的一个值域,要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识,属于基础题.13.正四面体的四个面上分别写有数字０,１，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的６个数字之和恰好是9的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想;综合法;概率与统计．【分析】称求出基本事件总数ｎ=４×4=1６,再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率.【解答】解:正四面体的四个面上分别写有数字0，1,2,３把两个这样的四面体抛在桌面上, 露在外面的６个数字之和包含的基本事件总数ｎ=４×4＝１6, 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m,n,则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有:（0,３)，（3,０),（1，2)，（2，1），共包含４个基本事件,∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意列举法的合理运用．１4．设ｘ1,x 2是实系数一元二次方程ax ２＋b ｘ+ｃ=0的两个根，若ｘ1是虚数,是实数，则S ＝1+＝ ﹣2 .【考点】复数代数形式的混合运算.【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数.【分析】设x １=s ＋ti(s ，t ∈Ｒ,ｔ≠0)．则x 2=s ﹣ti ．则x 1+x 2＝２s,x 1x 2＝s ２+t 2.利用=s 3﹣３st 2+(3s 2t ﹣ｔ3)ｉ是实数，可得3ｓ2=ｔ2．于是ｘ1+x 2=2s,ｘ1x 2＝s 2+t ２． +1=0,取＝ω，则ω２+ω+１=0,ω3=１.代入化简即可得出.【解答】解：设ｘ１=ｓ+ｔi(s ，t ∈R ，t ≠0).则ｘ２=s ﹣ｔｉ. 则x 1＋x ２=2s,x 1x 2=s 2＋t ２．∵==s3﹣3st2+（3ｓ2t﹣t3)i是实数，∴3s2t﹣ｔ３=０,∴3s2=t2.∴x+x2=2s，x1x2=ｓ2+ｔ２．１∴4s2＝=+2ｘ1x2=x1x，２∴+1＝０,取=ω,则ω2+ω＋1=0,∴ω3=1.则S=1+=1＋ω+ω２+ω4＋ω８+ω16+ω32=０+ω+ω２+ω+ω2=﹣2．故答案为:﹣２.【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题：（本题满分２0分，每小题5分）１５．已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是()Ａ.向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D.向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想;分析法；平面向量及应用.【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直．【解答】解:设的夹角为θ,则0＜θ＜π，∵（）•（)==０，∴()⊥(），故A正确;D错误.∵(）•=﹣=﹣cosθ≠0,∴与不垂直;故B错误；∵==+cosθ≠0,∴与不垂直,故Ｃ错误;故选:A．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系,属于基础题.16．若a，b为实数，则“０<aｂ＜1”是“”的（）A.充分而不必要条件ﻩB.必要而不充分条件C．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质.【专题】简易逻辑.【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0<ab＜1”⇒“”与“”⇒“０<ab＜１”的真假,然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解:若“0＜ab<1”当ａ，b均小于0时，即“0<ab<1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab>１即“”⇒“0<ａb＜1”为假命题综上“0＜ab<1”是“”的既不充分也不必要条件故选D.【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质,其中根据不等式的性质判断“0＜aｂ＜1”⇒“”与“”⇒“0<ａb<1”的真假,是解答本题的关键.1７.(文)设x、ｙ均是实数，i是虚数单位，复数(x﹣2y）+(5﹣2x﹣y)i的实部大于0,虚部不小于０，则复数z=ｘ+yｉ在复平面上的点集用阴影表示为图中的(）A．ﻩB.C．ﻩD．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（x﹣２y）+（5﹣2ｘ﹣y）i的实部大于0，虚部不小于０，可得,利用线性规划的知识可得可行域即可.【解答】解：∵复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣ｙ)i的实部大于0，虚部不小于0，∴,由线性规划的知识可得：可行域为直线ｘ=２y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选:A.【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．18．设函数y＝f(x)的定义域为Ｄ，若对于任意ｘ1、ｘ２∈Ｄ，当x1＋x2＝２ａ时，恒有f(ｘ１)+f（ｘ２)=２b,则称点（a,b)为函数y=f(x）图象的对称中心．研究函数f(x)=x＋sinπx﹣３的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣40３1ﻩB.4031ﻩC.﹣８０62ﻩＤ．８06２【考点】函数的值;抽象函数及其应用．【专题】计算题;转化思想;综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+ｘ2=2时,恒有f（x1)+f(x2)＝﹣４，能此能求出结果．【解答】解:∵f(x)＝ｘ＋ｓinπx﹣３,∴当x=1时,ｆ（1)＝1+ｓinπ﹣3=﹣2,∴根据对称中心的定义,可得当x1+x2=2时，恒有f(ｘ1）+f(x２）=﹣4,∴=２01５[f(）+f()]+f()=201５×（﹣4)﹣2＝﹣80６2．故选：Ｃ．【点评】本题考查函数值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三．解答题:（本大题共5题,满分７4分)19．三棱锥S﹣AＢC中，ＳA⊥AB，SA⊥ＡＣ，AC⊥BＣ且ＡC=2,BC=，ＳB=．（1)证明：SＣ⊥BC;(2)求三棱锥的体积V S．﹣ABＣ【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】（１）因为SＡ⊥面ABC，ＡC为SＣ在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证.（2)由题意可直接找出侧面SBC与底面AＢC所成二面角的平面角是∠ＳCA，在直角三角形中求解即可. 【解答】解:(１)∵SＡ⊥AＢSA⊥AＣＡB∩AＣ=Ａ∴ＳA⊥平面ABＣ，∴AC为SC在平面ABＣ内的射影,又∵BC⊥ＡＣ，由三重线定理得:SC⊥BC（2）在△ABC中,ＡC⊥BC,AC=2，ＢC=,∴AＢ==，∵SＡ⊥AB,∴△ＳAＢ为Rt△，ＳB＝，∴SA==2,∵ＳA⊥平面ABＣ，∴SA为棱锥的高,∴V S＝××AＣ×BＣ×SＡ＝×2××=.﹣ABC【点评】本题考查了三垂线定理的应用,考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．20.已知函数f（x)=sin22x﹣sin2ｘcoｓ2ｘ．(1)化简函数f（x)的表达式，并求函数f(ｘ)的最小正周期;(2）若点Ａ(x0，y0)是y=f（x)图象的对称中心，且,求点A的坐标．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想;综合法；三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用降次公式,二倍角公式，和角公式化简ｆ（x)=，代入周期公式计算周期;(２)由对称中心的性质可知sｉn（4x0＋）=0,结合x0∈[０,]求出x0,得到A点坐标.【解答】解:（1)=,所以f(ｘ）的最小正周期.(2）∵点Ａ（x0，ｙ０)是y＝f(x)图象的对称中心,∴sｉn(４x0+）=0，∴4ｘ0+＝kπ,x0=﹣.k∈Ｚ．∵x０∈[0,],∴,解得ｋ=1或k＝2，∴x０=或x0=．∴点A的坐标为或.【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质,属于中档题．２1．已知实数x满足３2ｘ﹣4﹣＋９≤０且f(x）=log2.（1）求实数ｘ的取值范围;（2)求f（ｘ)的最大值和最小值,并求此时x的值.【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想;综合法；函数的性质及应用．【分析】(１)将3x﹣２看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可；（２)先将f(x)配方，结合二次函数的性质求出其最值即可.【解答】解：(1)由,得3２x﹣4﹣１0•3x﹣2+9≤0，即（3x﹣2﹣1)（3x﹣2﹣９）≤０，∴1≤３ｘ﹣2≤9,2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2)因为=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x=1或ｌoｇ2x=２，即x＝2或ｘ=４时,y max=０.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当log２﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质，考察二次函数的性质,是一道中档题.22．数列{a n｝满足ａ1＝5,且（n≥2，n∈Ｎ*).;（1）求a2,a3,a４(２）求数列{a}的通项公式;ｎ（3）令ｂn＝,求数列{b n}的最大值与最小值．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】(１)由ａ1＝5,且（ｎ≥2,ｎ∈N＊）．分别令n=2,3,4，即可得出．(2)设数列的前n项和为S n,利用递推关系可得:，得即,再利用等比数列的通项公式即可得出．（3)，变形利用单调性即可得出.【解答】解:(1）∵a1＝5,且（ｎ≥2,n∈N*).分别令ｎ=2,3,4,可得:．(2)设数列的前ｎ项和为Ｓn ，则,∴，得即,∴{a n }从第二项起成等比数列,又a 2=1０， ∴．(3）,由,得，所以当n=3时,,当ｎ＝4时,但,综上所述,，（b ｎ）max =b １=5.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、数列的单调性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.２3.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线A Ｂ是以点E 为圆心的圆的一部分,其中E （0，t)（０＜t ≤25);曲线B Ｃ是抛物线y ＝﹣ａx 2+50（ａ>０)的一部分；CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆Ｅ的半径.假定拟建体育馆的高OB ＝5０（单位：米,下同)． （1）若t ＝２0、ａ＝，求ＣD 、AD 的长度;（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过７５米,求a 的取值范围; (3)若a ＝，求AD 的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用.【专题】数形结合；综合法;直线与圆．【分析】（1)分别求出ＯD和AＯ的长，相加即可;(2)问题转化为恒成立，根据级别不等式的性质解出即可；(3)法一：根据三角函数知识解答;法二:根据圆的知识解答即可．【解答】解:（１)因为圆E的半径为ＯＢ﹣OE=50﹣t=30，所以CD=３0.在中令y=3０,得．在圆E：x2+（ｙ﹣2０)2=3０2,中令y=0,得,所以.(2)由圆E的半径为ＯB﹣ＯE=5０﹣t，得CD=50﹣t．在y＝﹣ax2+50中令ｙ=50﹣t，得．.由题意知，对t∈（0,25]恒成立，所以恒成立.当，即ｔ=2５时,取得最小值１0,故,解得．（3）当时,．又圆E的方程为x2+(y﹣t)2=（50﹣ｔ）2,令y=0,得,所以，从而．下求的最大值.方法一:令，则=，其中φ是锐角，且, 从而当时,AD取得最大值．方法二：令,则题意相当于：已知ｘ2+y２＝２５(x≥０,y≥0），求z＝AD=5（2x+y）的最大值．当直线与圆弧x2+y2=25(x≥０,y≥0）相切时，z取得最大值.答:当t=5米时,AD的最大值为米.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题,考查函数恒成立问题，是一道难题．。
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上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷
2016.12.21
一.填空题(本大题共 12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
2n
1. Iim
j n 1
2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x 轴上，若C 经过点M(1,3)，则 其焦点到准线的距离为
勺
0 2
】，解为片2
，则a 心
<0 1 b 丿 [y=1
4.若复数z 满足：i n =、,3 • i ( I 是虚数单位)，则|z|二
2 6
5. 在(X 2)的二项展开式中第四项的系数是 _______________ (结果用数值表示)
X
6. 在长方体ABCD —ABQ 1D 1中，若AB=BC=1，AA =J 2，则异面直线BD 1与CC 1 所成角的大小为 _________
「2X , x 兰0
7. 若函数f(x)=《
的值域为(皿,1],则实数m 的取值范围是 ____________
-x^m, x >0
1 ■—
8.如图，在△ ABC 中，若 AB =AC =3，cos BAC 二一，DC =2BD ，贝V
2
AD BC 二 _________ 9.定义在R 上的偶函数y 二f(x)，当x_0时，f (x) =lg(x 2-3x • 3)，则f (x)
在R 上
的零点个数为 _________个
10.将6辆不同的小汽车和 2辆不同的卡车驶入如图所示的
10个车位中的某8个内，其中
2辆卡车必须停在 A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 ____________ 种(结果用数值 表示)
(n ・N *)，若数列｛b n ｝是递减数列，则实数 m 的取值范围是 __________
3.若线性方程组的增广矩阵为
A
If
11.已知数列｛a n ｝是首项为1，公差为2m 的等差数列，前
n 项和为S n ，设b n =
S n n
n 2。