2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A. B. C. D.2.若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A. 倍B. 2倍C. 倍D. 倍3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为（）A.B.C.D.4.已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.圆C1：x2+（y-1）2=1与圆C2：（x+4）2+（y-1）2=4的公切线的条数为（）A. 4B. 3C. 2D. 16.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（）A. B. C. D.7.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是（）A. B. C. D.8.方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线（）A. 恒过定点B. 恒过定点C. 恒过点和D. 都是平行直线9.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x2+y2=4上，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 410.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A. B. 1 C. D. 211.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形12.已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D. 或13.若曲线与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是（）A. B. C. D.14.一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A.B.C.D. 15.如图，设圆C1：（x-5）2+（y+2）2=4，圆C2：（x-7）2+（y+1）2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．17.若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为______18.设点P（3，2）是圆（x-2）2+（y-1）2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有______．19.已知长方体ABCD-A1B1C I D1Φ，AB=2AA1=2AD，则直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值是______20.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点．（1）求证：平面BC1D平面ABB1A1；（4）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积．23.已知圆C过A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．24.在△ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，b cos C+b sin C=a．（1）求B；（2）点D在边BC上，AB=4，CD=，cos∠ADC=，求AC．25.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角，对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角，对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°，而k1＞k3，故θ1＞θ3，故选：A．根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．2.【答案】C【解析】解：以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三角形的高变为原来的sin45°=，所以直观图中三角形的面积是原三角形面积的倍．故选：C．以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化情况，即可得出答案．本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原来图形面积之间的关系，是基础知识的考查．3.【答案】C【解析】解：连结BC1，则BC1∥AD1，所以BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角．连结DC1，则三角形BDC1是正三角形，所以∠DBC1=60°，即AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．寻找与AD1平行的直线BC1，则直线BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角．本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：A如图可否定A；B如图∵l∥β，l⊂γ，γ∩β=m，∴l∥m，∵lα，∴mα，∴βα．故选：B．结合图形易否定A；利用线面平行的性质和面面垂直的判定可证B正确．此题考查了直线、平面的各种位置关系，难度不大．5.【答案】A【解析】解：∵|C1C2|==4，r1=1，r2=2，r1+r2=1+2=3，∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．故选：A．先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，由题意可知，O′A=3，OO′=4，∴R=OA=5，∴=，故选：C．根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积．此题考查了球体积公式，属容易题．7.【答案】A【解析】解：由已知两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0，所以m=6，所以两条平行线的距离为；故选：A．首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答．本题考查了两条平行线的距离；注意x，y的系数要化为相同，才能运用公式．8.【答案】A【解析】解：∵（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R），∴（x+2）a-x-y+1=0，∴，解得：x=-2，y=3．即方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点（-2，3）．故选：A．可将（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）转化为（x+2）a-x-y+1=0，令a的系数为0，-x-y+1=0即可．本题考查恒过定点的直线，方法较灵活，可转化为关于a的函数，令a的系数为0，-x-y+1=0即可，也可以令x、y取两组值，解得交点坐标即为所求，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵|-|=||≤|OB|+|OA|=2+=2+，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求||，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．10.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cosA==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC =bcsinA=，故选：C．利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A 与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．12.【答案】D【解析】解：∵方程表示圆，∴＞0，即2k2-2k-12＞0，k2-k-6＞0，解得k＞3或k＜-2．故选：D．由D2+E2-4F＞0的关于k的一元二次不等式求解．本题考查圆的一般方程，是基础题．13.【答案】A【解析】解：作出函数y=与y=x+b图象，由图可知：-1故选：A．数形结合：作出两个函数的图象，观察图象可得本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．14.【答案】D【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的外接球半径（2r）2=12+22+12=6，解得：，所以：V==故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】C【解析】解：依题意可知圆C1的圆心（5，-2），r=2，圆C2的圆心（7，-1），R=5，如图所示：对于直线y=x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|-R-r=|PC1|+|PC2|-7的最小值，即可看作直线y=x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线y=x对称的点为 C1′（-2，5），与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|的最小值，取得最小值，即直线y=x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|=∴|PA|+|PB|的最小值为=|PC1|+|PC2|-7=．故选：C．利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解．本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题题．16.【答案】x+y-5=0，或3x-2y=0【解析】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x-2y=0 ∴所求直线方程为x+y-5=0，或3x-2y=0故答案为x+y-5=0，或3x-2y=0分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．17.【答案】6【解析】解：设圆锥母线长R，底面圆半径为r，∵侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为2πr，∴πR=2πr，∴R=2r，∵表面积是侧面积与底面积的和，∴S表=πR2+πr2，∵R=2r，∴S表=3πr2=27π，解得r=3，∴圆锥的底面直径为2r=6．故答案为：6．设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，根据侧面展开图得到R=2r，再求表面积与底面半径和直径．本题考查了圆锥的结构特征与表面积公式计算问题，是基础题．18.【答案】x+y-5=0【解析】解：圆（x-2）2+（y-1）2=4的圆心（2，1），点P（3，2）是圆（x-2）2+（y-1）2=4内部一点，以点P为中点的弦所在的直线的斜率为：-=-1．以点P为中点的弦所在的直线方程为：y-2=-（x-3）．即x+y-5=0．故答案为：x+y-5=0．求出圆的圆心与半径，求出所求直线的斜率，然后求解以点P为中点的弦所在的直线方程．本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．19.【答案】【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2AA1=2AD=2，则C（0，2，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），B（1，2，0），=（1，0，1），=（0，-2，1），=（-1，0，0），设平面A1BCD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线CB[与平面A1BCD1所成角为θ，则sinθ===．∴直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值为．故答案为：．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB[与平面A1BCD1所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π∵圆锥的母线长为3．扇形的圆心角，∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：=3．故答案为：3．利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．m≠0时，∵l1l2，∴-×=-1，解得m=．综上可得：m=．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．∴m=-1时，l1∥l2．【解析】（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，∵A1C1=B1C1，D为A1B1的中点，∴C1D A1B1，又AA1∩A1B1=A1，∴C1D平面AA1B1B，而C1D⊂平面BC1D，∴平面BC1D平面ABB1A1；（2）解：连接AC1，由AC=BC，C1C平面ABC，∴AC1=BC1，∵异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，∴△ABC1为等腰三角形，取AB中点O，连接CO，C1O，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴，．∴．故直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=．【解析】（1）由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，再由已知得C1D A1B1，利用线面垂直的判定可得C1D平面AA1B1B，从而得到平面BC1D平面ABB1A1；（2）连接AC1，由AC=BC，C1C平面ABC，得AC1=BC1，进一步得到△ABC1为等腰三角形，求出三棱柱的高，代入棱柱体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，又由圆C过A（-2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y=0上，则有，解可得a=-2，b=6，r2=16，则圆C的方程为（x+2）2+（y-6）2=16；（Ⅱ）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|=4，设D是线段MN的中点，则有CD MN，则|MD|=2，|MC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，即kx-y+5=0．由点C到直线MN的距离公式：=2，解可得k=，此时直线l的方程为3x-4y+20=0．故所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．24.【答案】解：（1）由b cos C+b sin C=a，利用正弦定理得：sin B cos C+sin B sin C=sin A，即sin B cos C+sin B sin C=sin B cos C+cos B sin C，得sin B sin C=cos B sin C，又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin B=cos B，得tan B=，又B∈（0，π），所以B=；（2）如图所示，由cos∠ADC=，∠ADC∈（0，π），所以sin∠ADC==，由因为∠ADB=π-∠ADC，所以sin∠ADB=sin∠ADC=；在△ABD中，由正弦定理得，=，且AB=4，B=，所以AD===；在△ACD中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC=+-2×××=4，解得AC=2．【解析】（1）由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sinB与cosB的关系，得出tanB的值，从而求出B 的值；（2）根据互补的两角正弦值相等，得到sin∠ADB=sin∠ADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．25.【答案】解：方法一（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS DF于S，连接BS，∵AB AF，AB AD，AD∩AF=A，∴AB平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS DF∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角在Rt△ASB中，AS==，AB=，∴， ，∴二面角A-DF-B的大小为60°方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（，，、（0，0，1），∴=（，，，又点A、M的坐标分别是（，，）、（，，∴=（，，∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF（Ⅱ）∵AF AB，AB AD，AF∩AD=A，∴AB平面ADF∴，，为平面DAF的法向量∵=（，，•，，=0，∴=（，，•，，=0得，∴NE为平面BDF的法向量∴cos＜，＞=∴，的夹角是60°即所求二面角A-DF-B的大小是60°【解析】（Ⅰ）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，在平面BDE内求出向量，证明二者共线，说明AM∥平面BDE，（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出，说明是平面DFB的法向量，求出平面DAF 的法向量，然后利用数量积求解即可．本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题(带答案解析)
13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）
A．“弦” 米，“矢” 米
（2）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值．
24．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
25．设函数 是定义域为 的奇函数．
（1）若 ，求使不等式 对一切 恒成立的实数 的取值范围；
B．按照经验公式计算所得弧田面积（ ）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（ ）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )
14．已知函数 设 表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为种新运算： ，已知函数 ，若函数
恰有两个零点，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
二、填空题
16．已知函数 的图象如图所示，则 _____．
17．若 的图象过点 ，则 ______.
18． _____.
19．已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ，则不等式 的解集为_____．
12．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式作出 的图象，由题意得出 为奇函数，根据函数关于原点对称作出 的图象，由数形结合得出答案.
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学2018级高一下学期期末考试数学试卷及解析
2018-2019学年长郡中学2018级高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11的等比中项是（ ）A. 1B. －1C. ±1D. 12 【答案】C【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴==∴=±，等比中项为-1或12.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ）A. 22a b >B. 0a b ->C. 0a b +<D. b a >【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<Q ，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A. 79 B. 49 C. 23 D. 59【答案】D【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选： D. 4.若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1-B. 2C. 0D. 3- 【答案】D【解析】【分析】 由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值.【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D. 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.。
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （）A. B. C. D.2. sin 20 °cos 40 ° ＋cos 20 °s in 40 ° 的值等于（）A．______________________________________ B．C． D．3. 已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1___________________________________ B．或C．1或___________________________________ D．－1或4. 下列命题正确的是（）A．若，则 =0B．若 = ，则 =C．若 // ， // ，则 //D．若与是单位向量，则 =15. 函数 f(x)=sin2x cos2x是（）A．周期为π的偶函数____________________________ B．周期为π的奇函数C ．周期为的奇函数.________________________ D．周期为的偶函数6. 将函数的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 若| ，且（）⊥ ，则与的夹角是（）A． B． C．D．8. 已知 , 且点在的延长线上, ,则点的坐标为（）A． B ． C ．___________________________________ D．9. 已知 , , 则的值为（）A ．______________ ______________B ．___________________________________________________ C ．______________________________ D ．10. 化简 + ，得到（）A．2sin5 B．－2cos5 C．－2sin5 D．2cos511. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A. B.C. D.12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C．－D．二、填空题13. 已知向量 a＝(3，2) ， b＝(0，－1) ，那么向量 3b－a 的坐标是．14. 设－， , 则．15. 已知向量设 X 是直线 OP 上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________16. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：_________________________________ ．三、解答题17. 已知，，，，求的值.18. 已知 , ,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( ,).（I）若| |=| |，求角α的值；（II）若，求的值.20. 已知， , 且 f(x)= . （1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.21. 已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）. 求：（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值.22. 设，其中．（1）用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知}3{1A =，，5{}34B =，，，则集合A B =I （ ） A ．{}3 B ．{4}5，C ．15}2{4，，，D ．{345}，， 【答案】A【解析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】Q }3{1A =，，5{}34B =，，，∴{}3A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C. 【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 3．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】B【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.4．设α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由α是第三象限角，得出2α可能在第二、四象限，进一步由cos cos 22αα=-再判断出2α所在的象限. 【详解】αQ 是第三象限角， ∴3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， ∴2α在第二、四象限， 又coscos22αα=-，∴cos02α<，∴2α在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.5的是（ ）A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212ππ- C ．01tan151tan15+- D 【答案】B【解析】A.00011sin15cos15sin 3024==B ．223cos sin cos.121262πππ-==C ．001tan151tan15+-0tan 752 3.==+ D ．001cos306-2cos15=24+= 故答案为B.6．已知AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r，则BC uuu r为（ ）A ．4233a b +r rB ．2433a b +rrC ．2233a b -rrD ．2433b a -r r【答案】B【解析】易得22AB AC AD a +==u u u r u u u r u u u r r ，22BA BC BE b +==u u u r u u u r u u u r r ，再由AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r，可得222BC BA a BC BA b⎧-=⎨+=⎩u u u v u u u v v u u u v u u u v v ，解出BC uuu r即可. 【详解】 如图：因为AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，所以有：22AB AC AD a +==u u u r u u u r u u u r r ，22BA BC BE b +==u u u r u u u r u u u r r ，AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，整理得：222BC BA a BC BA b⎧-=⎨+=⎩u u u v u u u v v u u uv u u u v v ，解得：2433BC a b =+u u u r r r . 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，且()11f -=，若(2)1f x -≥-，则x 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，，故函数()f x 在R 上单调递减，又()11f -=，因此()21f x -≥-(2)(1)213f x f x x ⇔-≥⇔-≤⇔≤.故选A.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.8．已知点(0,1)A ，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB u u u v 在CD uuuv 方向上的投影为（ ） A ．322B ．2C ．322-D ．3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD u u u v u u u v==则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选B 9．函数ln |1|xy ex =--的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分1x ≥和01x <<两种情况去绝对值，判断选项. 【详解】 当1x ≥时，()ln 111xy ex x x =--=--=，当01x <<时，()ln ln 1111xx y e x e x x x-=--=--=+- 只有D 满足条件. 故选：D 【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD于N ，P 为平面上一点，且2(1),OP OB OC u u u r u u u r u u u r λλ=+-则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．34-B ．1-C ．74-D ．2- 【答案】C【解析】由题意可得：()()()222222114444PM PN PM PNPM PN PO NO PO NO ⎡⎤⋅=+-+=-=-⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,设2OP OQ =u u u r u u u r，则()()1,11,,,OQ OB OC Q B C λλλλ=+-+-=∴u u u r u u u r u Q u u r 三点共线.当MN 与BD 重合时，NO u u u r 最大，且2max2NO =u u u r ，据此：()min17244PM PN⋅=-=-u u u u r u u u r本题选择C 选项.11．2cos10tan 20cos 20︒︒︒-=（ ） A ．1 BCD【答案】C【解析】将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化cos10cos(3020)︒︒︒=-，整理运算即可.【详解】2cos10tan 20cos 20︒︒︒- 2cos10sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒=- 2cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒-=- 2(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒︒+-=sin 20cos 20︒︒=-sin 20sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒-==故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，切”化“弦”是关键，考查分析与运算能力，属于中档题. 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且(](]22log (1)10()173122x x f x x x x ⎧--∈-⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，，，，，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是（ ） A ．(2,1)-- B ．(1,1)-C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，由数形结合得出答案. 【详解】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，所以其图象如图：由图可知，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根，则(1,1)t ∈-, 设12345x x x x x <<<<，则126x x +=-，456x x +=， 由图可知，3(1,1)x ∈-，所以123453(1,1)x x x x x x ++++=∈-. 故选：B. 【点睛】本题考查奇偶函数图象的对称性，考查函数的零点，考查分析能力和数形结合思想，属于中档题.13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=()212⨯+弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（ ）A ．“弦” 3AB =“矢”2CD =米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（432）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16233π-D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据3 1.73≈， 3.14π≈) 【答案】C【解析】运用解直角三角形可得AD ，DO ，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论． 【详解】解：如图，由题意可得∠AOB 23π=，OA ＝4， 在Rt △AOD 中，可得∠AOD 3π=，∠DAO 6π=，OD 12=AO 1422=⨯=，可得矢＝4﹣2＝2，由AD ＝AO sin3π=432⨯=23， 可得弦＝2AD ＝43，所以弧田面积12=（弦×矢+矢2）12=（43⨯2+22）＝432+平方米． 实际面积2121164432432323ππ=⋅⋅-⋅⋅=-， 168320.9070.93π--=≈． 可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选C ．【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ） A ．16 B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-【答案】B【解析】试题分析：设()()()()228h x f x g x x a =-=--，由()0h x =得2x a =±，此时()()f x g x =；由()0h x >得22x a x a >+<-或，此时()()f x g x >；由()0h x <得22a x a -<<+，此时()()f x g x <；综上可知2x a ≤-时()()()()12,H x f x H x g x ==，当22a x a -≤≤+时()()()()12,H x g x H x f x ==，当2x a ≥+时()()()()12,H x f x H x g x ==，所以()()244,2412A g a a B g a a =+=--=-=-+16A B ∴-=-【考点】1．二次函数值域；2．分情况讨论15．定义一种新运算：,(){,()b a b a b a a b ≥⊗=<，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(]1,2 B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】B【解析】试题分析：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中a b ⊗实质上就是取,a b 中的最小值，因此()f x 就是41x +与2log x 中的最小值，函数41y x=+在(0,)+∞上是减函数，函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，且241log 44+=，因此当(0,4)x ∈时，24log 1x x <+，(4,)x ∈+∞时，241log x x+<，因此2log ,04,(){41,4x x f x x x<≤=+>，由函数的单调性知4x =时()f x 取得最大值(4)2f =，又(0,4)x ∈时，()f x 是增函数，且200lim ()limlog x x f x x →→==-∞，，又(4,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，且04lim ()lim (1)1x x f x x→→+∞=+=.函数()()g x f x k =-恰有两个零点，说明函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，从函数()f x 的性质知12k <<.选B. 【考点】函数的图象与性质.二、填空题16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f =_____．【答案】2【解析】根据周期求出ω，再根据五点法作图求得ϕ，可得函数的解析式，从而求得(2)f 的值．【详解】根据函数()sin()f x x ωϕ=+的图象可得：3323144T πω=⋅=-，34πω=， 再根据五点法作图可得3142ππϕ⨯+=， ∴4πϕ=-，∴3sin 44()x f x ππ=-⎛⎫⎪⎝⎭，∴352(2)sin sin sin 24442f ππππ⎛⎫⎪⎝==⎭=--=. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式并求值的问题，考查识图能力和计算能力，属于常考题.17．若()(0)xf x a a =>的图象过点()2,4，则a =______.【答案】2【解析】把已知点代入函数，即可解得a 值. 【详解】解：函数f （x ）的图象过点（2，4），可得4＝a 2，又a ＞0，解得a ＝2． 故答案为2 【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．18．cos18cos 42cos72sin 42⋅-⋅=o o o o _____. 【答案】12【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解． 【详解】 解：11842724218421842602cos cos cos sin cos cos sin sin cos ︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒-︒⋅︒=︒=， 故答案为12． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．19．已知函数()f x 的定义域是(0)+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()(3)2f x f x -+-≥-的解集为_____． 【答案】[)1,0-【解析】由已知令1x y ==，求得(1)0f =，再求(2)1f =-，即有(4)2f =-，原不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可． 【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则(1)2(1)f f =，即(1)0f =， 则11(1)(2)(2)()022f f f f =⨯=+=， 由1()12f =，则(2)1f =-， 即有(4)2(2)2f f ==-，不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥， 由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在(0)+∞，上递减，则原不等式即为030(3)4x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--≤⎩，即有0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩，即有10x -≤<，即解集为[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查由函数的单调性解不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，Rt ABC ∆中，AB AC =，4BC =，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP AD ⋅u u u r u u u r的最小值为_____．【答案】25-【解析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的定义结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】如图，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，所以(2,0)B -，(1,0)D ，(0,2)A ， 设(,)P x y (0y ≥)，且221x y +=，所以(2,)(1,2)22x y BP AD x y =+⋅-=⋅+-u u u r u u u r，令cos x α=，sin y α=，[]0,απ∈，则2sin 25cos (o )s 2BP AD αααϕ⋅+=+=-+u u u r u u u r ，其中：tan 2,(0,)2πϕϕ=∈，所以当απϕ=-时，BP AD ⋅u u u r u u u r有最小值，最小值为：2-.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法解决数量积的问题，考查平面向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.三、解答题21．已知向量()1,2a =r，向量()3,2b =-r . （1）求向量2a b -r r 的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +rr与向量2a b -rr共线. 【答案】（1）()7,2-（2）12k =-【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出ka b +rr的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k; 试题解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-r r（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+rr ， ()()()21,223,27,2a b -=--=-r r∵ka b +rr与2a b -rr共线， ∴()()72223k k +=-- ∴12k =-22．（1）计算：2222lg 6(log 3)log 3log 6lg 2-⋅+. （2）若1tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-. 【答案】(1)1 (2) 516【解析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值； （2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】(1)()2222lg6log 3log 3log 6lg2-⋅+ ()22222log 3log 3log 6log 6=-⋅+()2222log 3log 3log 6log 6=-+，22log 3log 61=-+=，(2) 〖解法1〗由题知cos 0α≠∴sin 2cos sin 2cos cos 5cos sin 5cos sin cos αααααααααα++=--. tan 25tan αα+=-， 516=， 〖解法2〗1tan 3sin cos 3ααα=-⇒-=∴()()sin 23sin sin 2cos 5cos sin 53sin sin αααααααα+-+=---. 516=， 【点睛】本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题． 23．已知函数2()cos cos f x x x x a =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0a =.【解析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，再求出()f x 的最大值与最小值，然后列出方程求得a 的值． 【详解】（1）函数2()cos cos f x x x x a =++12(1cos 2)22x x a =+++ 1sin(2)62x a π=+++，∴函数()f x 的最小正周期为：22T ππ==， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时， 52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，， 令ππ266x +=-，解得：6x π=-，此时函数()f x 取得最小值为：min 11()22f x a a =-++=， 令262x ππ+=，解得：6x π=，此时函数()f x 取得最大值为：max 13(221)f a a x =++=+， 又()f x 的最大值与最小值的和为32，所以有： 33()22a a ++=，解之得：0a =.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于中档题.24．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1. 综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．25．设函数21()?(01)x xa f x a a a-=>≠且是定义域为R 的奇函数． （1）若(1)0f >，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k的取值范围；（2）若函数()f x 的图象过点3(1,)2P ，是否存在正数(1)m m ≠，使函数22()log [()]x x m g x a a mf x -=+-在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()3,1- （2）见解析 【解析】（1）由f （1）＞0得a 1a-又a ＞0，求出a ＞1，判断函数的单调性f （x ）＝a x ﹣a ﹣x 为R 上的增函数，不等式整理为x 2﹣（k +1）x +1＞0对一切x ∈R 恒成立，利用判别式法求解即可；（2）把点代入求出a ＝2，假设存在正数m ，构造函数设s ＝2x ﹣2﹣x 则（2x ﹣2﹣x ）2﹣m（2x ﹣2﹣x ）+2＝s 2﹣ms +2，对底数m 进行分类讨论，判断m 的值．【详解】（1） ()xxf x a a -=-，由()10f > 得 10a a->，又 0a > ∴ 1a >. ∵ ()()210f kx xf x -+-<，函数()f x 是奇函数，∴()()21f kx x f x -<-∵ ()1,xxa f x a a ->=-在R 上为增函数，即 21kx x x -<-对一切x 恒成立，即()2110x k x -++> 在R 恒成立，有0∆<，∴()2140k +-<得 31k -<<，所以k 的取值范围是()3,1-（2）假设存在正数()1m m ≠符合，∵ ()f x 过31,)2（ ∴ 2a = ()()()2log 22222x xx x m g x m --⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，设22x x s -=-, ()22h s s ms =-+(i) 若01m <<，则函数()22h s s ms =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为1∵ 对称轴 122m s =<，()min 31731312426h s h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭（舍）(ii) 若1m >，则()220h s s ms =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大为1，最小值大于①()12522127382413maxm m h s h n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎩此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()min 73048h s h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭故不合题意 ②()25252126313136maxm m m h s h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩n n 无解 综上所述，不存在正数()1m m ≠满足条件． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．。
湖南省长沙市长郡中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴==∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<Q ，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。
2018-2019学年湖南省新选(A卷)高一下学期数学期中检测试卷答案
2019年4月湖南省新高考高一选科摸底测评试卷数学（A卷）参考答案1、【答案】C．【解析】解：样本间隔为64﹣14＝50，共抽取800÷50＝16个，则最大的编号应该为14+15×50＝764，故选：．C【难度】基础题【知识点】考察系统抽样。
2、C【解析】1 cos(1320)cos1320cos(13203603)cos240cos602 -==-⨯==-=-【难度】基础题【知识点】考查诱导公式3、D【解析】分析：在A中，事件“至少有一个是男生”是随机事件；在B中，事件“都是女生”是随机事件；在C中，事件“都是男生”和“至少一个男生”能同时发生；在D中，事件“至少一个是女生”和“都是男生”是对立事件．解：在8个同学中，有6个是男生，2个女生，从这8个同学中任意抽取2个同学，在A中，事件“至少有一个是男生”是随机事件，故A错误；在B中，事件“都是女生”是随机事件，故B错误；在C中，事件“都是男生”和“至少一个男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，事件“至少一个女生”和“都是男生”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故D正确．【难度】基础题【知识点】考查命题真假的判断，考查随机事件、互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力。
4、C【解析】利用方差的性质直接求解.∵数据x1，x2，x3的方差S2＝4，∴x1+2，x2+2，x3+2的方差为22×S2＝16．故选：C．【难度】基础题【知识点】考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想。
5、B【解析】利用特殊角的三角函数值的符号，直接判断点所在象限即可．解：sin1035°＝sin（360°×3﹣45°）＝sin452-=-，cos1035°＝cos（360°×3﹣45°）＝()2cos452-=．∴P在平面直角坐标系中位于第二象限．故选：B．【难度】基础题【知识点】考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用。
湖南省长郡中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题
长郡中学2018-2019学年度高一第二学期期末考试数学时量:120分钟满分:100分一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)11-两数的等比中项是A. 1B. 1-C. 1±D. 122.如果b <a <0，那么下列不等式错误的是A. a 2>b 2B. a 一b >0C. a +b <0D. b a >3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为A.79 B. 49 C. 23 D. 594.若经过两点A （4，2y +1），B(2，—3)的直线的倾斜角为 34π，则y 等于A.一1B.2C. 0D.一35.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是6.在等差数列{}n a 中，a 3+a 9=24一a 5一a 7，则a 6=A. 3B.6C. 9D. 12 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是A.324R B. 38R C. 324R D. 38R 8.不等式230x x -<的解集为A. {}03x x <<B. {}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {}33x x -<<9.在各项均为正数的数列{}n a 中.对任意m ，n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅。
若664a =，则a 9等于A. 256B. 510C. 512D. 1024 10.同时投掷两枚股子，所得点数之和为5的概率是 A.14 B. 19 C. 16 D. 11211.在正四面体ABCD 中。
E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A.16B. 3C. 13D. 612.已知直线l 1： 2213(1)20,:(1)03x a y l x a y a +--=+--=，若l 1//l 2， 则a 的值为A. a =1或a =2B. a =1C. a =2D. 2a =- 13.在数列{}n a 中，若121212111,,()2n n n a a n N a a a *++===+∈，设数列{}n b 满足21l o g ()nb nn N a *=∈，则n b 的前n 项和S n 为 A. 2n一1 B. 2n一2 C. 2n+1一1 D. 2n+1一214.若满足条件60C ︒=a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是A.B.C. 2)D.(1.2)15.曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A. 2[0,][,)33πππ B. [,]33ππ- C. 2[,)3ππ D. [0,)3π二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)★16.设x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_______。
2018-2019湖南省长郡中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）
2018-2019学年湖南省长郡中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、2x﹣y+1＝0，其斜率k1＝2，倾斜角θ1为锐角，对于B、x+2y+3＝0，其斜率k2，倾斜角θ2为钝角，对于C、x+y+1＝0，其斜率k3＝﹣1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1＝0，倾斜角θ4为90°，而k2＞k3，故θ2＞θ3，故选：B．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．2．一个边长为的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来正三角形面积的（）A．倍B．倍C．倍D．倍【答案】A【解析】由已知中正△ABC的边长为a，可得正△ABC的面积，进而根据斜二测画法的规则求得△ABC的直观图的面积，作比可得答案．【详解】∵△ABC的边长为a，故正△ABC的面积S，∵采用斜二测画法后，底边长为a，而高为a，∴面积S′，∴S′S，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握斜二测画法的规则是解答的关键，属于基础题.3．在正方体中，异面直线与所成角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由∥可知异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，在等边三角形中易得结果.【详解】解：∵∥，∴异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，∵△DB为等边三角形，∴∠DB＝60°．∴异面直线与所成角为60°故选：C．【点睛】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．已知两条不同直线与两个不同平面，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】在A中，可能也可能；在B中，由线面垂直的性质定理得；在C中，可能l⊥m，也可能；在D中，可能也可能【详解】由l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若，则可能也可能，故A错误；在B中，若，则由线面垂直的性质定理得故B正确；在C中，若，则可能l⊥m，也可能,故C错误；在D中，若，则可能，也可能，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，是中档题．5．圆的公切线的条数为( )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．【详解】∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．故选：A．【点睛】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题．6．一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积．【详解】如图，由题意可知，圆面的直径为6，则O′A＝3，又OO′＝4，∴R＝OA＝5，∴，故选：C．【点睛】本题考查了球的体积公式及垂径定理的应用，属于基础题． 7．两条平行直线和850mx y -+=之间的距离是（ ）A ．1110 B ．85 C ．157 D ．45【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，两直线平行，得m=6，所以850mx y -+=可化成，因此两直线的距离为=1110，综合故选A 【考点】两平行线间的距离公式； 8．方程所表示的直线（ ）A ．恒过定点B ．恒过定点C ．恒过点和点D ．都是平行直线【答案】B【解析】方程（a ﹣1）x ﹣y +2a +1＝0化为：a （x +2）﹣x ﹣y +1＝0，令，解出即可得出． 【详解】方程（a ﹣1）x ﹣y +2a +1＝0化为：a （x +2）﹣x ﹣y +1＝0， 令，解得x ＝﹣2，y ＝3．所表示的直线恒过点（﹣2，3）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了直线系方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为（ ） A ．3B ．C ．D ．4【答案】C【解析】根据向量减法的三角形法则转化为求||，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值． 【详解】 ∵||＝||≤|OB |+|OA |＝22，故选：C ． 【点睛】本题考查了考查了向量减法的运算法则，向量在几何中的应用问题，属于中档题． 10．在△ABC 中,若222a b c bc =+-,4bc =,则△ABC 的面积为（ ） A12B.1 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由222a b c bc =+-结合余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，可得23sin =A ，则1sin 32S bc A ==．故答案选C ．【考点】余弦定理，同角间基本关系式，三角形面积公式． 11．若的三内角分别为，满足，则的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】根据三角形内角范围得到，再结合三角函数正弦图像得到结果. 【详解】在△ABC 中，内角A 、B 满足,，根据正弦函数的图像的性质得到或故三角形是等腰三角形或者直角三角形.故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质以及三角形内角和性质,属于基础题.12．已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】由方程表示一个圆得到k2﹣k﹣6＞0，求出解集即可得到k的取值范围．【详解】方程表示圆，则有,即k2﹣k﹣6＞0，即（k﹣3）（k+2）＞0可化为或，解得k＞3或k＜﹣2，故选：D．【点睛】本题考查了圆的一般方程，掌握二元二次方程为圆时的条件，会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．13．若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出两个函数的图象，观察图象，利用直线与圆相切可得b的一个临界值，进而求得结论.【详解】∵y表示在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时，，即得,结合图像可知，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，则﹣1.故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于中档题．14．一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体，再根据长方体性质求外接球的半径即可．【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥，且底面为直角三角形(形状与俯视图相同)，侧棱垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体,其外接球的直径为2R．则该几何体的外接球的体积为V．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．属于中档题．15．设圆圆.点分别是圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解．【详解】依题意可知圆C1的圆心（5，﹣2），r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示：对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|P A|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，又C1关于直线y＝x对称的点为C1′（﹣2，5），由平面几何的知识易知当C1′与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|C1′C2|∴|P A|+|PB|的最小值为＝﹣7．故选：C．【点睛】本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题．二、填空题16．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________【答案】或【解析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为，把P代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．【详解】当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为y x，即3x-2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为，把P（2，3）代入直线的方程得m＝5，故求得的直线方程为x+y﹣5＝0，综上，满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y﹣5＝0．故答案为3x-2y=0或x+y﹣5＝0．．【点睛】本题考查直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，注意考虑截距为0的情况．17．若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为___________【答案】6【解析】利用圆锥的表面积公式即可求出圆锥的底面半径．【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr＝πl，∴l＝2r，∵圆锥的表面积为πr2+πrl＝πr2+2πr2＝27π，∴r2＝9，即r，2r=6，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积公式以及应用，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．设点是圆内部一点，则过点最短的弦所在的直线方程是___________【答案】【解析】先求出圆心和半径，由于点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．求得弦所在直线的斜率，用点斜式求弦所在的直线的方程．【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，表示以C（2，1）为圆心，半径等于的圆，所以点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．此时弦CP所在直线的斜率为：1，故过P的最短弦所在的直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0．故答案为：x+y﹣5＝0．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点与圆的位置关系，用点斜式求直线的方程．判断当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短，是解题的关键，属于中档题．19．已知长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值是________________【答案】【解析】过C1作C1H D1C，又C1H，则C1H面则∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,在直角三角形C1HB中，可得结果.【详解】∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，∴BC1，过C1作C1H D1C，又面DCC1D1则C1H，则C1H面连接HB，则∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,又C1H==，∴sin∠C1BH．故答案为．【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的作法及求法，考查了线面垂直的判定，属于中档题．20．圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．【答案】【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案．【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题21．已知直线，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m的值．【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2 ，可得1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．（2）由题意可知m不等于0,由l1∥l2 可得，解得m＝﹣1．【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．22．如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）由已知中的几何体为直三棱柱，，是的中点，结合直三棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得平面，（2）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得，利用柱体的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：由，得，而平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.（2）解：连接，由知是异面直线与所成角,，易知是正三角形，依题意得，，三棱柱的体积为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目.23．已知圆过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合即可得答案．【详解】（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，又由圆C过A（﹣2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y＝0上，则有，解可得a＝﹣2，b＝6，r2＝16，则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣6）2＝16；（2）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|＝4，设D是线段MN的中点，则有CD⊥MN，则|MD|＝2，|MC|＝4．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5＝kx，即kx﹣y+5＝0．由点C到直线MN的距离公式：2，解可得k，此时直线l的方程为3x﹣4y+20＝0．故所求直线l的方程为x＝0或3x﹣4y+20＝0．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．24．在中，角的三条对边分别为，.(1)求；(2)点在边上，，，，求.【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sin B与cos B的关系，得出tan B 的值，从而求出B的值；（2）根据互补的两角正弦值相等，得到sin∠ADB＝sin∠ADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值．【详解】（1）由b cos C b sin C＝a，利用正弦定理得：sin B cos C sin B sin C＝sin A，即sin B cos C sin B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，得sin B sin C＝cos B sin C，又C∈（0，π），所以sin C≠0，所以sin B＝cos B，得tan B，又B∈（0，π），所以B；（2）如图所示，由cos∠ADC，∠ADC∈（0，π），所以sin∠ADC，由因为∠ADB＝π﹣∠ADC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC；在△ABD中，由正弦定理得，，且AB＝4，B，所以AD；在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC24，解得AC＝2．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理的应用，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．25．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I）记与的交点为，连接，∵、分别是的中点，是矩形∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面平面，∴∥平面6分（Ⅱ）在平面中过作于，连接，∵∴平面，∴是在平面上的射影，由三垂线定理点得∴是二面角的平面角，在中，，∴二面角的大小为8分另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设与交于点，则（I）易得：，则∥，由面，故∥面；（Ⅱ）取面的一个法向量为，面的一个法向量为，则，故二面角的大小为．【考点】证明线面平行及求二面角。
长郡中学2018-2019高一第二学期开学考卷-数学试卷
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2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。