矩阵及基本运算
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。
矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是领域的重要问题。
将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对矩阵的基本知识点进行总结。
1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。
一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。
2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。
(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。
(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。
3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。
(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。
(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。
(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。
(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。
5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。
(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。
(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。
(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。
总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
第二章 矩阵及其基本运算
• 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就 是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵 元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) ans = 2 显然，序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以 m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其 相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。
三、矩阵的建立和引用
1． 矩阵的建立 • 直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接 输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵 的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序 输入各元素，同一行的各元素之间用空格 或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分 隔。
• 利用冒号表达式建立一个向量 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
例2-9 建立矩阵A，然后找出大于4的元素的 位置。 (1) 建立矩阵A。 A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0] (2) 找出大于4的元素的位置。 find(A>4)
5. 矩阵的转置与旋转
• 矩阵的转置 转置运算符是单撇号(‘)。 • 矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º 的k倍， 当k为1时可省略。
4. 特殊矩阵的生成 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。 rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。 randn：产生均值为0，方差为1的标准正态 分布随机矩阵。
例2-2 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零 矩阵。 (1) 建立一个3×3零矩阵。 zeros(3) (2) 建立一个3×2零矩阵。 zeros(3,2) (3) 设A为2×3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立 一个与矩阵A同样大小零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的 零矩阵
线性代数：矩阵的基本运算及性质
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
5
●矩阵的乘法
a11
设
A
i行
am1
c11
则
AB
C
cm1
a1t
b11
amt
B
mt
bt1
b1n j 列
btn tn
c1n
左矩阵
A的列数
右矩阵 B的行数
cmn
mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... aitbtj
D (i k) ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0 (i k)
a1 j A1s a2 j A2s
anj s)
18
2、设有行列式 2 1 3 2 3322
（5）0A 0, A0 0
或 BA CA BC
7
若 A 是方阵，则乘积 AA......A 有意义，记作 Ak
称为 A 的 k 次幂。
性质 Ak Al Akl
Ak l Akl
●矩阵A的转置
a11
如果
A
am1
AT 或 At , A
a1n
a11
，则
AT
amn
a1n
am1
A为反对称矩阵
aij a ji
10
10 方阵的行列式
定义 n阶方阵A (aij )的行列式A（或det A)是 按如下规则确定的一个数：
当n 1时， A a11 a11;
当n 1时， a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1)11 a11M11 (1)12 a12M12 (1)1n a1n M1n
矩阵的运算规则
矩阵的运算规则矩阵是数学中重要的概念之一，在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的运算规则是研究和操作矩阵的基础，它们被广泛用于解决线性方程组、矩阵计算和数据处理等问题。
本文将详细介绍矩阵的基本运算规则，包括矩阵的加法、乘法以及转置等操作。
一、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵相加的操作规则。
假设有两个矩阵A和B，它们的行数和列数相等，则可以将它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
例如，有两个2×2的矩阵A和B：A = [a11, a12][a21, a22]B = [b11, b12][b21, b22]则矩阵A与B的加法运算可表示为：C = A + B = [a11+b11, a12+b12][a21+b21, a22+b22]二、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘的操作规则。
要使两个矩阵能够相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
例如，有两个m×n的矩阵A和n×p的矩阵B：A = [a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n][..., ..., ..., ...][am1, am2, ..., amn]B = [b11, b12, ..., b1p][b21, b22, ..., b2p][..., ..., ..., ...][bn1, bn2, ..., bnp]则矩阵A与B的乘法运算可表示为：C = A × B = [c11, c12, ..., c1p][c21, c22, ..., c2p][..., ..., ..., ...][cm1, cm2, ..., cmp]其中，矩阵C的元素cij的计算方式为：cij = a(i1)b(1j) + a(i2)b(2j) + ... + a(in)b(nj)三、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。
假设有一个m×n的矩阵A，则它的转置矩阵记为A^T，具有n×m的行列数。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵的基本运算
E 2XX T H 所以H是对称矩阵.
HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 4 XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X (X T X )X T E 4XX T 4XX T E
坐标分别为 和 , 它们有如 y′
yA x′
下关系：
x x 'cos y 'sin
y x 'sin y 'cos
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x cos
y
s
i
n
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
C
2
2
2
2
有
A
B
0
0
0 ,
AC
0
0
0
0
0
则 A B A C , 但是
BC
注 该例也说明 A B 0 不 能 推 出 A 0 或 B 0
定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的
的k次幂,即
Ak
A 14
A 2
L43A
,
并且
k个
A m A k A m k , A m k A m k ( m , k 为 正 整 数 )
例 对 于 任 意 的 n阶 矩 阵 A .证 明 :
(1) A AT 是 对 称 矩 阵 , A AT 是 反 对 称 矩 阵 .
(2) A可 表 示 为 对 称 矩 阵 和 反 对 称 矩 阵 之 和 .
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22
3. 逻辑运算
• 逻辑运算符：&(与)、 |(或)、 ~(非)、 xor(异或 )、&&(先决与)、||(先决或) x 0 0 y 0 1 x&y 0 0 xIy 0 1 ~x 1 1 xor(x,y ) 0 1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
•&&: 当该运算符的左边为1时，才执行右边的运算 •||: 当该运算符的左边为0时，才执行右边的运算
a= 1
2
3
4
5 >> length(a) ans = 5
25
>> reshape(A,3,2) ans = 1 5 4 3 2 6
• • • • • • • • • • • •
max(a): 返回向量a的最大元素 max(A,[],dim): 返回矩阵沿着第dim维方向的最大 元素向量 max(A,B): 返回矩阵A,B中对应位置上的较大元素 min: 返回最小元素，用法类似max mean(a): 返回向量a的平均值 mean(A,dim): 返回矩阵A第dim维方向上平均值 median: 返回中位数，用法类似mean sum：求元素和，用法类似mean prod：求元素积，用法类似mean cumsum:求元素累积和，用法类似mean sort(a)：对向量a进行升序排序 sort(A,dim,mode): 对矩阵A沿着第dim维方向排 26 序，mode:’ascend’(升序，默认)、’descend’(降序
I= 1 2 J= 1 2
20
例
>> A=[1 4 3 2];B=[5 4 1 3]; >> A>B %比较A与B矩阵的元素大小，输出逻辑数值 ans = 0 0 1 0 >> x=find(A==B) %找出A与B中对应元素相等的下标 x= 2 >> A(find(A==B)) %找出A和B中对应元素相等的元素 ans = 4
3 6 9
>> A=[] A= [] >> isempty(A) ans = 1
16
>> A(2,:)=[] A= 1 2 3 7 8 9
矩阵的运算
1. 基本运算
• • • • • • • • 加（+）：A+B, A+k (每个元素都加k) 减（-）：A-B, A-k 乘（*）：A*B 左除（\）：A\B, 即A-1B, A必须为方阵 右除（/）： A/B, 即AB-1, B必须为方阵 乘幂（^）: A^n, A必须为方阵 转置(‘): transpose(A)或 A’ 点运算(.): 其加、减、乘、除和乘方都是对两 个相同维数的矩阵进行对应元素的运算.
logspace(a,b,n)=10.^linspace(a,b,n)
10
复数矩阵的输入
设A = 1 + 2i 3 + 4i 5 + 6i 7 + 8i >> A=[1+2i 3+4i; 5+6i 7+8i] >> A=[1 3;5 7]+i*[2 4;6 8]
11
矩阵元素操作
1. MATLAB利用下标来访问矩阵中的元素，下 标可以是向量.
6
例 生成三对角矩阵 A= 1 2 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0
0 2 1 3 0 0
0 0 2 1 1 0
0 0 0 2 1 2
0 0 0 0 2 1
>> a1=ones(1,6) >> a2=2*ones(1,5) >> a3=[1 2 3 1 2] >> A=diag(a1,0)+diag(a2,1)+diag(a3,-1)
23
例 设
A= 1 3
2 4
B= 4 2
3 1
>> (A>B)&(A==B) ans = 0 0 0 0 >> (A>B)|(A>1) ans = 0 1 1 1
>> (A>B)&(A>1) ans = 0 0 1 1 >> xor(A>B, A>1) ans = 0 1 0 0
24
4. 其它一些常用矩阵函数
• • • size(A): 返回矩阵的行数和列数
– – size(A,1): 返回行数 size(A,2): 返回列数
length(a): 返回向量a的长度 reshape(A,m,n): 重排矩阵A为m行n列矩阵，A必须为 m*n个元素
A= 1 2 3 4 5 6 >> size(A) ans = 2 3 >> size(A,2) ans = 3
13
>> b=A(2,:) b= 4 5 6 >> d=A(1:2,end) d= 3 6
3. 用单下标来表示 即将矩阵的所有列按先左后右的次序接成 “一维长列”，然后再对元素位置进行编 号
设A= 1 2 4 5 7 8
>> A(4) ans = 2 3 6 9 >> A(2:5) ans = 4 7 2
-17.5000 -22.5000 -15.0000
-17.5000 -22.5000 18 -15.0000
例 已知
A= 1 4
2 5
3 6
B= 7 8 -9 -1 -3 -2 >> A./B ans = 0.1429 0.2500 -0.3333 -4.0000 -1.6667 -3.0000 >> A.^3 ans = 1 8 27 64 125 216
8
数组的生成：
除前面的矩阵输入外，还有 1. 使用from:step:to生成数组
• 当step省略时，表示步长step=1 • 当step为负数时，可以创建降序的数组 >> a=1:0.5:2 a= 1.0000 1.5000 2.0000
>> b=1:3 b= 1 2 3 >> c=3:-1:1 c= 3 2 1
5
14
4. 矩阵的合并
A= 1 4 B= 7 9 C= 11 2 5 8 10 12 13 3 6
>> [A,B] ans = 1 2 4 5 >> [A;C] ans = 1 2 4 5 11 12
3 6
7 8 9 10
3 6 13
15
5. 通过空矩阵“[ ]”对矩阵元素进行删除
设A= 1 2 4 5 7 8
17
例 已知
A= 1 2 3 3 2 1 1 2 5 求出AX=B和XA=B的解 >> A\B ans = 2.0000 4.0000 3.5000 1.0000 1.0000 -19.0000 -2.0000 1.0000 6.5000 >> inv(A)*B ans = 2.0000 4.0000 3.5000 1.0000 1.0000 -19.0000 -2.0000 1.0000 6.5000
21
例 找出以下矩阵中绝对值大于3的所有元素 A= -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 >> A=zeros(2,5); >> A(:)=-4:5 A= -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 >> L=abs(A)>3 L= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
>> XL=A(find(L)) XL = -4 4 5
a= 12
5 65
9
3
1
>> max(a) ans = 65 >> min(a) ans = 1
A= 1 2 3 4 5 6 >> max(A,[],1) ans = 4 5 6 >> max(A,[],2) ans = 3 6 >> max(A) ans = 4 5 6
27
a= 12
5 65
9
关于运算在对应元素之间进行，结果是一个二 值矩阵，其中0表示“假”，1表示“真”. 相关函数 I = find(A) 返回矩阵A的非零元素的线性指标 [I J]= find(A) 返回矩阵A的非零元素的行、列指标， 分别存于I和J >> [I J]=find(A)
A= 1 0 0 4 >> find(A) ans = 1 4
设A= 1 2 4 5 7 8
3 6 9
>> c=A([1 2],[2 3]) c= 2 3 5 6
>> b=A(2,3) b= 6
12
2. 如果在某个下标位置只有一个：号，则表 示取对应的所有列或行. 用end表示某一维数中的最大值.
设A= 1 2 4 5 7 8
3 6 9
>> c=A(:,2:3) c= 2 3 5 6 8 9
9
2. linspace(a,b,n)
• 生成从a到b之间线性分布的n个元素的数组. 如果n 省略，则默认为100. 生成从10^a到10^b之间按对数等分的n个元素的数 组. 如果n省略，则默认为50.
3. logspace(a,b,n)
•
>> a=linspace(1,9,5) a= 1 3 5 7 9 >> b=logspace(1,5,3) b= 10 1000 100000
7
4. 通过文件生成
• • 有时我们需要处理一些没有规律的数据，或数 据量很大时，如在命令窗口输入，清除后再次 使用需要重新输入，这就增加工作量. 解决方案：