(课件)29.1几何问题的处理方法

C
联想 >> 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 >> 直角三角形的两锐角互余 >> ｎ边形的内角和等于
（ｎ－2）×180°。
例 求证：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角和 • 已知：如图，∠CBD是△ABC的一外角。 • 求证：∠CBD=∠A+∠C
证明:∵∠A+∠ABC+∠C=1800(三角形
回忆1
你还记得吗？
等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”（平行公理）作为添加辅助线的依 据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。
平行线的性质
E
∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
B
A
D
· ·C
例3 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它 的一个外角, E为边AC上一点,延长BC 到D,连接DE. D 求证: ∠1>∠2. 2
讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是 什么? 它与”同位角相等,两直线平行” 有什么不同?
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 内错角∠２ 与∠３ 大小有什么关系？
关于内错角， 看我小熊的！
F
我们可以猜想得到: 如果两条平行直线被第三条直 线所截，内错角相等。
同学们，帮帮忙，请你们利用小兔 的结论来证明一下我的结论，好吗？
逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法.
• 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的,最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同位角∠1 与∠2大小 有什么关系？其他同位角大小也有 这样的关系吗？
F
关于同位角， 哈哈，看我小 兔的！
平行线的性质
A
c
1 B
C 2
结论： 如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
D
简 两直线平行 记：
同位角相等
如图 若AB//CD 则 ∠1 = ∠2
c
小兔：两直线平行，同位角相等。 小熊：两直线平行，内错角相等。
1
证明： ∵ a // b
a 4 3 b
(已知)
2
∴ ∠1= ∠3
（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠2= ∠3 （等量代换）
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 内错角∠２ 与∠３ 大小有什么关系？
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
A
B
F
关于同旁内角， 呵呵，看我小 猴的！
同学们，请你们帮忙证 明我的结论吧！呵呵
小兔：两直线平行，同位角相等。
c
小熊：两直线平行，内错角相等。 小猴：两直线平行，同旁内角互补。 证明： ∵ a // b ( 已 知 )
1 a
∴ ∠2= ∠3
2 3
（两直线平行，内错角相等）
b
4
又∵ ∠3 + ∠4 = 180 °
1 2
E
∠EAC(等式性质).
A
∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义).
2 1
· ·
D
∴∠DAE=∠B(等量代换).
B
C
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得:
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图 中的其它角有什么关系? A 能证明你的结论吗?
2
∠1+∠4=1800 ;∠1>∠2;∠1>∠3; 3 4 1 B C ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
1. 两直线平行，同位角相等。
（若a
// b ，则∠1=∠3 ）
c
2. 两直线平行，内错角相等。
（若a
1
a
// b ，则∠2=∠3 ）
2 3
4
b
3. 两直线平行，同旁内角互补。
（若a∥b
，则∠2+∠4=180°）
做一做：
如图,三根木条相交成∠1与∠2,固定木条 b,c，转动木条a。并猜想: ∠1与∠2满足什 么条件时, a//b?
1 2 1
∠EAC(等式性质).
E
∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
2
A
·
D

∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
B
·C
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), ∴∠B=
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人 的等腰三角形可以不一样，如图，把纸片 对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？
A A
B D
C
B
D
C
想一想：
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以 等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD的在的直线 就是它的对称轴。 由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样 线段BD与CD也重合。所以∠B＝ ∠C。 等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角” 这种合情推理的方法是研究几何图形属性的 一种基本方法。同时也学习了用逻辑推理的方法 去探索一些几何图形所具有的属性。
看完我的演 示,得到什么 结论呢?
F
结论：如果两条平行直线被第 三条直线所截，内错角相等。
简 两直线平行， 记： 内错角相等．
若AB//CD 则∠２ ＝∠３
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同旁内角∠２ 与∠４ 大小有什么关系？
猜想: 两条平行直线被第三条直线 所截，同旁内角互补
讨论 n边形的内角和为:(n-2)×180°
A1 A5
A2 A3
A4
课堂感悟
谈一谈你对于证明, 有了哪些新的认识. 作业：练习1－3； 习题1
《几何问题的处理方法》
下课!
29.1 几何问题的处理方法
逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。
这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的《几何原本》。
地球是运动的 缺乏依据,无法证明
哥白尼
知识回顾

探索几何图形性质的 常用的两种方法?
• （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； • （2）用逻辑推理的方法。
C
D
例1
已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°，求 ∠C和∠A的度数。 解：∵AB＝AC（已知）， ∴ ∠C＝ ∠B＝ 80°（等边对等角） ∵ ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180 °（三角形内角和等于180 ° ） ∴∠A＝180°－ ∠B－ ∠C（等式的性质） ＝180 ° －80 ° －80 ° ＝20 °。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性这种合情推理的方法是研究问题的 又一种基本方法。
例4：已知:如图所示,在△ABC中,外角
∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小.
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
A


∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知), B C D
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
C
内角和定理),
∠A＋ ∠C＝1800－ ∠ABC（等式的性质） ∠ABC+∠CBD=1800(平角的定义), A
∴ ∠CBD＝∠A＋∠C (等量代换). ∴∠CBD=1800－∠ABC.(等量性质).
B
D
图29.1.3
>> 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他 命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理。

∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
你认识 例5：已知:国旗上的正五角星形如图所示. 外角吗?
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.