无界函数的反常积分
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反常积分判敛法
19 x 8
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
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6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
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6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
反常积分
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∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
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三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
含参量无界函数的反常积分_OK
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在
J上一致收敛于I(x), 或简
单地说含参量积分(1)在
J 上一致收敛.
2021/8/27
3
注1 由定义,
I( x) f ( x, y)dy在 J上一致收敛的 c
充要条件是
(A) sup xJ
证 由于反常积分
sin xdx 收敛(当然, 对于参量y,
0x
它在 [0, d ] 上一致收敛), 函数
g( x, y) e xy 对每一
个 x [0, d ] 单调, 且对任何
0 y d , x 0 都有
g( x, y) e xy 1 .
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25
故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在 上一致收敛.
n1
n1
An1 f ( x, y)dy .
An
由(9)式知存在正数
0 , 对任何正整数N, 只要
就有某个 x0 J , 使得
n N,
u2n( xn )
A2 n1 A2 n
f ( xn,
y)dy
0
.
这与级数(7)在
J 上一致收敛的假设矛盾. 故含参量
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17
反常积分在
J 上一致收敛.
[0 ,d]
例5 证明: 若
f ( x, y)在[a, b][c, )上连续, 又
c f ( x, y)dy
在 [a, b)上收敛, 但在 处x发散, b则
c f ( x, y)dy
在 [a, b)上不一致收敛.
2021/8/27
第四节 反常积分
0 +∞
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
17/17
1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学
3/17
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
17/17
1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学
3/17
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
4.7反常积分
a
f ( x )dx F ( x ) a lim F ( x ) F (a )
x
类似的
b
f ( x )dx F ( x ) F (b) lim F ( x )
x x x
b
f ( x )dx F ( x ) lim F ( x ) lim F ( x )
例3 计算反常积分 解
2
1 1 sin dx . 2 x x
2
1 1 1 1 sin dx 2 2 sin x d x x x
lim
b
b
2
1 1 cos 1 sin d lim x x b x 2
b
设函数f(x)在区间 , 上连续，c为
常数，若反常积分 f ( x )dx、
c
c
f ( x )dx 同时
收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在 无穷区间 , 上的反常积分，记作
f ( x )dx, 即
f ( x )dx
1 例 5 证明反常积分 0 q dx 当 q 1时收敛， x 当 q 1时发散.
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 ,q1 0 x 1 q 0 1 q 因此当 q 1时反常积分收敛，其值为 1 ；当 q 1时反常积分发散. 1 q 1
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。
它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。
而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。
反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。
这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。
因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。
我们需要了解反常积分的分类。
反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。
第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。
例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。
同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。
通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。
通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。
除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。
四、含参量无界函数的反常积分解读
c), 函数项级数
n1
An1 An
f (x
,
y ) dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
I( x) c f ( x, y)dy
(1)
都收敛，则 I( x) 是 J 上的函数.
称(1)为定义在 J上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
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注1 由定义, I( x)
f ( x, y)dy在 J上一致收敛的
反常积分
e 1． 0
x
d x x d(e ) x e e ( 1) d x x e e C
x x x
x x
注 对于反常积分，也可以使用换元法和分部积分， 但使用时，必须满足极限运算法则． 例如，由于 x e 0和
b
b
a
f ( x ) d x F ( x )a ，
b
其中 F ( x )a 应理解为 F (b) lim F ( x ) ．
x a
其它情形，类似理解．
例 计算反常积分 解
1
1 dx． x x 1
注意到这是个无限区间上无界函数的反常积分，
令 t x 1 ，则 x 1 t 2 ， 于是 1 1 2t 1 x x 1 d x 0 t (1 t 2 ) d t 20 1 t 2 d t π ．
2
1 π x π 1 x d x ln 2 2 1 4 1 x x 4 2 1 x 1 π 1 ln 2 ． 4 2
1 d x ( p 0) 的收敛性． 例 讨论反常积分 p 1 x 1 解 当 0 p 1时 dx p x 1 1 1 p 1 ； 1 x p d x 1 p x 1 1 当 p 1时 d x ln x 1 ； 1 x 当 p 1 时 1 1 1 1 p 1 ． 1 x p d x p 1 1 p x 1
t a
b
b
t
极限存在，则称反常积分 f ( x ) d x 收敛， 并把此极
a
限称为该反常积分的值； 若上述极限不存在，则称反常积分 f ( x ) d x 发散．
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例1. 计算反常积分
解:
[ arctan x ] π π ( ) π 2 2
y O
y
1 1 x 2
x
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分 时发散 .
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例3. 计算反常积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
第四节 反常积分
常义积分
推广
第五章
积分限有限 被积函数有界
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
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一、无穷限的反常积分
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
y
1 y 2 x A
x 其含义可理解为 A lim
A
提示: P260 题2 d(ln x ) dx 2 x (ln x) k 2 (ln x) k dx 1 当 k 1 时, I (k ) 2 k x (ln x) (k 1)(ln 2) k 1
令 f (k ) (k 1)(ln 2)
k 1
, 求其最大值 .
3
f ( x) d f ( x) 1 f 2 ( x) d x 1 f 2 ( x) arctan f ( x) C
π ] 2
π 32 ] arctan 2 π 2 27
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内容小结
1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限
dx 2
b
1
b 1
b
1 dx lim 2 b x 1 x
O 1
b
x
1 lim 1 1 b b
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定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若
(b a)1q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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例7. 解： 积分.
求 的无穷间断点, 故 I 为反常
0
f ( x) I dx 2 11 f ( x )
f ( x) dx 2 2 1 f ( x)
当 p >1 时收敛 ; p≤1
证:当 p =1 时有
ln x
当 p ≠ 1 时有
a
x 1 p a
1 p
,
a 1 p , p 1
p 1 p 1
a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 p 1 当 p≤1 时, 反常积分发散 .
其含义可理解为
A lim
0
1
dx 1 lim 2 x x 0
A
O
lim 2(1 ) 2
0
x
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定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限 存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
注意: 若瑕点 c (a , b) , 则
f ( x) dx F (b) F (c ) F (c ) F (a)
可相消吗?
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例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 a x π arcsin 1 原式 arcsin a 0 2 例5. 讨论反常积分
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
a f ( x) dx c f ( x) dx
lim
1 0
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
的收敛性 .
1 1 解: 2 2 x x 1 x 0x 1 1 dx 0 1 1 2 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 所以反常积分 1 发散 .
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f ( x ) dx F ( x)
F () F (a) F (b) F () F () F ()
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)
b
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1 2
1 1 x 2 1 x2 0 x2
dx
1 1 1 d (x ) 2 2 0 (x 1) 2 x
x
1 2 2
arctan
x1 x 2
0
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c 1 a
c
b
f ( x) dx lim
2 0
b
c 2
f ( x ) dx
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如,
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dt 2 t 2 (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
0
分别讨论每一区间上的反常积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
v.p.
b
f ( x) dx lim
f ( x ) dx a a
a
v.p. f ( x) dx (c 为瑕点, a c b)
a
c b lim f ( x ) dx f ( x ) dx c a 0
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反
常积分收敛 .
思考与练习
P260 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)
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作业
P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2; 3
0
1
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例6. 证明反常积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证 : 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q , b 1 q a ,
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
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若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 试证
解:
0
dx x d x , 并求其值 . 4 4 0 1 x 1 x
2
令t1 x
1 1 1 14 t 2 d t
0 t
t2 dt 4 0 1 t 2 d x 1 dx x d x 4 4 4 0 1 x 0 1 x 2 0 1 x 1 1 x 2 d x 2 0 1 x4
2. 两个重要的反常积分
, 1 , p 1 ( p 1) a
p 1 p 1
,
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q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互
相转化 .
例如 ,
1 1 x2 0 x2 1 x2
1
dt
1
d( x 1 ) x 2
0 ( x 1)2 x
则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则
a a
b
f ( x) dx F (b ) F (a) f ( x) dx F (b) F (a )