2无界函数的反常积分
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
反常积分
x arcsin a 0
t
lim t a
t arcsin a 0 π arcsin 1 2
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例5.20 求 (1) 0
1
3 dx dx dx (2) (3) 2 2 1 x 0 1 x ( x 1) 3 1
当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.
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例5.19
a
dx a2 x 2
0
(a 0)
解：
lim x a
1
a2 x 2
x a为被积
函数的无穷间断点，于是
a
dx a x
2 2
0
lim a
t
t
dx a2 x 2
0
lim t a
b
lim ln( x a ) b q1 t , t a , q 1 1 q ( x a) b 1 q lim (b-a) t t a 1 q 1 q ,q 1
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则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b] 上的反常积分, 记作
b a
f ( x )dx, 即
b a
f ( x )dx lim f ( x)dx
Aa A
b
此时也称反常积分
b a
b a
f ( x )dx 收敛, 否则就称反常积分
f ( x )dx 发散. a称为瑕点 .
反常积分
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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铃
三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
二无界函数反常积分审敛法
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
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2; 3
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的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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当 p 1时, 可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
b
a
f
( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
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f (x) dx 发散 , 则称
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。
它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。
而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。
反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。
这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。
因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。
我们需要了解反常积分的分类。
反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。
第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。
例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。
同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。
通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。
通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。
除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。
(整理)反常二重积分.
反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义 1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx N cM aM N ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解 ，令，则计算 1) ⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ;2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ;22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？。
反常积分(二)
dx x2
=
lim
→0+
−
1 x
−
=
-1
lim
→0+
1
− 1
=
+
所以，原反常积分发散.
例： 证明反常积分
11 0 x p dx
当p
1时，收敛于
1
1 −
p
;
当p 1时，发散
证 当p = 1时
11
dx = lim(0 - lnε) = +
0.5 x − 0.5 dx 发散
1
0
1 dx x
=
1
1 −
1
=2
2
例：
计算
+ 1 0 x p dx
解：
+ 0
1 xp
dx
=
11 0 x p dx +
+ 1 1 x p dx
发散
1时，收敛于 1时, 发散. 1
1 −
p
;
+ 1 当p 1时，收敛于 1 ;
1 x p dx 当p 1时, 发散. p − 1
结论
b 1
a ( x − a)q dx
当q
1时，收敛于
(b − a)1−q 1−q
;
当q 1时，发散
11
0 x2 dx 发散
21
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
7.1 定积分的概念 7.2 定积分的基本性质 7.3 定积分计算基本公式 7.4 定积分基本积分方法 7.5 反常积分 7.6 定积分的应用
反常积分法课件
3、
0
x ne xdx（
n 为自然数
）；4、
2 dx 0 (1 x)2
；
5 、 2 xdx ； 1 x1
6 、
x ln x 0 (1 x 2 )2
dx
；
7 、
1
ln
n
xdx
.
0
三 、 求 当 k 为何值时
， 广 义 积 分 b dx a (x a)k
(b a)
收 敛 ？ 又 k 为何值时 ， 这 广 义 积 分 发 散 ？
的瑕点是哪几点？
01
02
思考题解答
1
ln
x
0
x
dx 1
积分
x0,可能x 的 瑕1 点是
lim lnx lim1 1, x1
x014x 1 x1 x
03
的瑕1点l是nx dx
0 x1
x0.
不是瑕点,
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
1 xp 发散；
0 1x2
6、 广 义 积 分x f(t)d的 t 几 何 意 义 是 ______________
________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ； 2、 dx
；
x2 2x 2
1
因此当q 1时反常积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时反常积分发散.
例6 计算反常积分
2 dx .
1 x ln x
2
1
dx x ln x
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3.定积分的MATLAB符号求解
MATLAB中用于求解定积分的符号函数仍是int，此时，其调用格式为：
int(fx, x, a, b) % 求函数f(x)关于x的在区间[a,b]上的定积分
4.定积分的几何应用
1. 平面图形面积的计算 设在区间 上曲线 位于 之上，如图a）所示，则这两条曲线与直线 和 所包围的面积为 更一般地，若没有指定两条曲线的位置关系，则它们所包围的面积为 有时平面图形的边界曲线方程是 关于 的单值函数，这样，介于曲线 和 线 和 所包围的面积（示意图如图b）所示）为
以
为被积表达式，在闭区间
上作定积分，便得所求立体的体积
图
平行截面面积已知的立体体积
旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一 周而成的立体。现在我们考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。 如图1所示，取横坐标 为积分变量，它的变化区间为 。相应于 上的任一小区间 的 窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似于以 为底半径、 为高的扁圆柱体的体积，即体 积元素
平行截面面积为已知的立体的体积 如果已知某立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积可以用定积分来计算。 如图所示，取上述定轴为 轴，并设该立体在过点 且垂直于 轴的两个平面之间。以 表 示过点 轴的截面面积。假定 为 的已知的连续函数。这时，取 为积分变量，它的变化区间为 ；立体中相应于 上任一小区间 的一薄片的体积，近似于底面积为 ，高为 的扁柱体的 体积，即体积元素
第8章 积分的MATLAB求解
编者
Outline
8.1 8.2 8.3 8.4
不定积分 定积分 反常积分 积分的数值求解
8.1
那么函数 在区间 其中记号 即
不定积分
就称为 在区间 上的不定积分，记作 称为积分号， 的导函数为 ，即对任一 ，都有 或 上的原函数。函数 的带有任意常数项的原函数称为
以
为被积表达式，在闭区间
上作定积分，便得所求旋转体体积为 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转
类似地，我们可以推出由曲线 、直线 一周而成的旋转体（如图2所示）的体积为
图1
平面图形绕x轴旋转的旋转体
图2 平面曲线绕y轴旋转的旋转体
3.平面曲线弧长的计算 设曲线弧由参数方程 给出，其中 在 上具有连续导数，且 不同时为零。现在来计算这曲线弧 的长度。 取参数 为积分变量，它的变化区间为 ，相应于 上任一小区间 的小弧段 的长度 近似等于对应的弦的长度 ，因为
记 ，如果不论对 怎样划分，也不论在小区间 上点 怎么选 取，只要当 时，和 总趋于确定的极限 ，那么称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即
其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 限和积分上限， 叫做积分区间。 叫做积分变量， 分别叫做积分下
2.定积分的几何意义
设 在区间 上非负、连续。由直线 及曲线 所围成的图形，我们称之 为曲边梯形。 我们知道，矩形的高是不变的，它的面积可按公式 矩形面积=高×底 来定义和计算。而曲边梯形在底边上各点处的高 在区间 上是变动的，故它的面积不能直接按上 述公式来定义和计算。然而由于曲边梯形的高 在区间 上是连续变化的，在很小一段区间上它的 变化很小，近似于不变。因此，如果把区间 划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度 来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩 形，如图所示。
与直
a）曲线
和
所夹图形 图 平面图形的面积
b）曲线
和
所夹图形
对于采用极坐标的函数，计算由极坐标方程 之间的面积为 1 1
S 2 r 2 d 2
所表示的曲线与矢径
和
r 2 ( )d
2. 立体体积的计算 立体体积的计算一般分为两类：一类是平行截面面积为已知的立体的体积计算，另一 类是旋转体的体积计算。
图
曲线的积分曲线族
3.不定积分的MATLAB符号求解
MATLAB符号运算工具箱中提供了int函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：
int(fx, x) % 求函数f(x)关于x的不定积分
8.2 定积分
1.定积分的定义
设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 把区间 分成 个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间 上任取一点 ，并作和 ，作函数值 与小区间长度 的乘积
1.无穷限的反常积分
这时也称反常积分 收敛；如果上述极限不存在，则函数 就没有意义，习惯上称为反常积分 发散，这时记号 类似地，设函数 在无穷区间 在区间 上连续，取 上的反常积分，记作 ，如果极限 ，即
1.不定积分的定义
如果在区间 上，可导函数
称为被积函数，
称为被积表达式， 称为积分变量，也
。
2.不定积分的几何意义
函数 的一个原函数 的图像称为 的一条积分曲线。对于任意常数 ， 表示的是一族曲线，我们称这个曲线族为 的积分曲线族。因此， 在几何上表示的是 的积分曲线族同一横 坐标 处的切线都有相同的斜率 ，所以在这些点处，它们的切线相互平行，并且任意 两条积分曲线的纵坐标之间相差一个常数。因此，积分曲线族中的每一条曲线都可以由曲线 沿 轴上下移动而得到，如图所示。
所以， 的近似值（弧微分）即弧长元素为
于是所求弧长为 当曲线弧由极坐标方程 给出，其中 在 上具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系可得
这就是以极角 为参数的曲线弧的参数方程。以下过程同上面的推导，这里从略。
8.3
设函数 在无穷区间
反常积分
在区间 上连续，取 上的反常积分，记作 ，如果极限 ，即 存在，则称此极限为函数
图 曲边梯形面积的近似求法
这样我们就可以将所有这些窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值。即
这也就是说，若在 上 ，则定积分 在几何上表示由曲线 、 轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。若在 上 ，则定积分 在几何上表示由曲线 、 轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积的负值；若在 上 既取得正值又取得负值时，定积分 表示 轴上方图形面积减去 轴下方图形面积所得之差。