人教版九年级数学下册《相似三角形》复习题及答案
人教版九年级数学下《相似三角形》期末复习题及答案解析(WORD版)
九年级数学《相似三角形》提优训练题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长及BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BA D，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC及BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________ ．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= _________ ．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________ ．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________ cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________ （写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形及△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________ 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= _________ 时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，及过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________ ．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n= _________ ．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________ ．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC及AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB及⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC及AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．参考答案及试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长及BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定及性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定及性质；等腰三角形的判定及性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积及正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定及性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠C DB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考点：相似三角形的判定及性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定及性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM及△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△AC F为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG及△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定及性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC及BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考点：相似三角形的判定及性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，及PB的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定及性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定及性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD及CD相交于D，BC及CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定及性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO及直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC及∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO及三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC 化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD及圆O相切，DC及圆O相切，BC及圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s ．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定及性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 5 cm．考点：相似三角形的判定及性质；等腰三角形的判定及性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠C BP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定及性质；等腰三角形的判定及性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定及性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆及外心；相似三角形的判定及性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF及三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ及三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP及三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD及∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，以及三角形的外接圆及圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形及△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定及性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP及BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP及AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定及性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，及过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例及BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想及转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n= ．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定及性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定及性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A n B n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定及性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，。
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)
专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。
人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (5)(含答案解析)
第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (5)一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D ．对角线相等的四边形是矩形2．已知ABC ，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（ ）A ．1B ．1 2C ．1D ．13．如图，在△ABC 中，DE//BC ，AD DB =2，记△ADE 的面积为a ，四边形DBCE 的面积为b ，则a b的值是（ ）A ．45B ．59C ．23D ．49二、填空题4．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是AD 上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD 内找点F ，使得EF AD ⊥，且满足2·AF AE AD =，则线段BF 的最小值是__________．5．如图，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC ＝8，点F 在边CD 上，连接BF ，沿BF 折叠矩形使点C 落在点E 处．连接AE ，则AE 长度的最小值为___．6．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.8米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为____米．7．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，尺规作图：在BC 上求作E 点，使得ABE △与ABC 相似；（保留作图痕迹，不写作法）8．在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论：①APE AME ∆≅∆；②PM PN AC +=；③222PE PF PO +=；④POF BNF ∆∆∽；⑤点O 在M 、N 两点的连线上，其中正确的是____________．9．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．10．在ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点1,2F DE AB =，则:AF BC =__________．11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的坐标为（n －1，3n ＋2），点Q 是抛物线y =－x 2＋x ＋1上一点，则P ，Q 两点间距离的最小值为______．三、解答题12．如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在AB ，BC 上运动，将线段DE 绕点E 按顺时针方向旋转90°得到线段EF ．（1）如图1，若D 为AB 中点，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ，求证：OE OD ；（2）如图2，若点E 不与C ，B 重合，点D 为AB 中点，点G 为AF 的中点，连接DG ，连接BF ，判断线段BF ，CE ，AD 的数量关系并说明理由；（3）如图3，若AB =3AD BD =，点G 为AF 的中点，连接CG ，90GDE ∠=︒，请直接写出CE 的长．13．如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于A （−3，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）当04y ≤≤时，请直接写出x 的范围；（3）点D 是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD ，当∠ACD=90°时，求点D 的横坐标． 14．已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，延长DE 、BC 交于点F ．求证：BF·EC=CF·AE ．15．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）当点Q 在线段CA 上时，如图1，求证：△BPE ∽△CEQ ；（2）当点Q 在线段CA 的延长线上时，如图2，△BPE 和△CEQ 是否相似？说明理由； （3）在（2）的条件下，若BP ＝1，CQ ＝92，求PQ 的长．16．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ． （1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．17．如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB ，BC 上，AE 与CD 交于点F ，AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．（1）证明AEC AFD ∠=∠．（2）若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ．证明CD CG FC BD ⋅=⋅．18．如图，函数2y x bx c =-++的图象经过点(),0A m ，()0,B n 两点，m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）对于（1）中所求的函数2y x bx c =-++，当03x ≤≤时，求函数y 的最大值和最小值； （3）设抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，连接AB ，BC ，BD ，求证：BCD OBA ∽△△19．如图，一次函数1y mx n =+与反比例函数()20k y x x=>的图象分别交于点(),4A a 和点()8,1B ，与坐标轴分别交于点C 和点D ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使COD ∆与ADP ∆相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，小华和同伴在游玩期间，发现在某地小山坡的点E 处有颗梅花树，他想利用平面镜测量的方式计算一下梅花树到山脚下的距离，即DE 的长度，小华站在点B 的位置，让同伴移动平面镜至点C 处，此时小华在平面镜内可以看到点E ，且3BC =米，11.5CD =米，120CDE ∠=︒，已知小华的身高AB 为2米，请你利用以上的数据求出DE 的长度．（结果保留根号）21．问题背景：已知EDF ∠的顶点D 在ABC ∆的边AB 所在直线上（不与,A B 重合），DE 交AC 所在直线于点,M DF 交BC 所在直线于点,N B A EDF ∠=∠=∠（1）初步尝试：如图①，当ABC ∆是等边三角形，判断：ADM ∆ BND ∆（填相似或全等关系）；（2）类比探究：如图②，当AC BC =时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D 在BA 的延长线上运动到点M 与点C 重合时，若:1:2,:1:3,1ADM BND S S BN BM AD ∆∆===，则DN =22．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，AE 与BD 交于点H ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点G ，∠BAE=∠DAF ．（1）求证：AD 2=DF·DG ； （2）若HE=4，EG=5，求AH 的长．23．苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且CF=3DF ，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可： ①可以假定正方形的边长AB ＝4a ，则AE ＝DE ＝2a ，DF ＝a ，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE ∽△DEF ；请结合提示写出证明过程．②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE 与△DEF 中的比例线段来证明△EBF 与它们相似．证明过程如下：证明：∵ABE DEF ∽△△∴,ABE AB BE DEF DE EF=∠=∠ 又∵9A 90,0ABE AEB ︒︒=∴∠+∠=∠∴90EF ,90D AEB BEF A BEF ︒︒∠+∠=∠=∴∠=∠= ∴AE ,,AB BE AB AE DE AE EF BE EF=∴== ∴,ABE EBF DEF EBF ∴∆∆∆∆∽∽（2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答： 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC ．（AB ＞AE ）①求证：△AEF ∽△ECF ；②设BC ＝2，AB ＝a ，是否存在a 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．24．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB 在两棵同样高度的树苗CE 和DF 之间，树苗高2 m ，两棵树苗之间的距离CD 为18 m ，在路灯的照射下，树苗CE 的影长CG 为1 m ，树苗DF 的影长DH 为3 m ，点G 、C 、B 、D 、H 在一条直线上．求路灯AB 的高度．25．顶角等于36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在ABC 中，已知：,AB AC =且36,A DE ∠=是AB 的垂直平分线，交AC 于D ，并连接BD ．（1）BCD △是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（2）设1,AB BC x ==，试求x 的值；（3）如图2，在ABC 中将BC 延长至点F ，使1CF AC ==，求BC AF的值． 26．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点,2F CD DE =．（1）求证：ABF CEB △△；（2）若DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．27．如图，平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上（点A 在点B 的左侧），点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角，且恰使△OCA ∽△OBC ，抛物线y ＝ax 2-8ax +12a （a ＜0）经过A 、B 、C 三点．（1）求线段OB 、OC 的长；（2）求点C 的坐标及该抛物线的函数关系式；（3）在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标：若不存在，请说明理由．28．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m ．若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m，求小明举起的手臂超出头顶的高度是多少米？29．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求BEEG的值．30．如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有．．符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为．【答案与解析】1．A【解析】根据菱形的判定定理、垂径定理的推论、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．A：根据菱形的判定定理可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；B：根据垂径定理可知，平分弦的直径不一定垂直于弦，但垂直于弦的直径一定平分这条弦，故此选项不符合题意；C：根据三角形相似的判定定理可知，两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意；D：对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意；故选：A．本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理及垂径定理的推论，掌握各判定定理是解题的关键．2．A【解析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．解：∵△ABC，2，∴△ABC：2=1∴△ABC相似的三角形三边长可能是1故选：A．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．A【解析】先由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出含有a与b 的比例式，化简即可得出答案．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵23 ADAB，∴49ABCaS∆=，∴49aa b=+，∴9a=4a+4b，∴5a=4b，∴4 =5ab．故选：A．本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．2【解析】连结FD，由2·AF AE AD=可证△FAE∽△DAF，可得∠DFA=90°，可知点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，由B、F、O三点共线时，利用两点之间线段最短知BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得，可求BF=5-3=2．连结FD，∵2·AF AE AD=，∴AF AD AE AF=，∵∠FAE=∠DAF，∴△FAE∽△DAF，∴∠FEA=∠DFA，∵EF AD⊥，即∠FEA=90°，∴∠DFA=90°，∴点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，当B、F、O三点共线时，BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得，，BF=5-3=2，BF的最小值为2，故答案为：2．本题考查三角形相似判定与性质，圆周角性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握三角形相似的判定方法和性质的应用，会根据直角确定点F 在圆周上运动，利用两点之间线段最短解决问题是关键．5．154【解析】结合题意，得8BE BC ==；当点F 和点D 重合时，ABE ∠取最小值，过点A 作AM BD ⊥交BD 于点M ，过点E 作EN BD ⊥交BD 于点N ，得90AMB END ∠=∠=，//AM EN ；根据轴对称和矩形性质，得ABD MBA △∽△，EDB NDE △∽△，根据相似比性质，计算得AM ，BM ，EN ，DN ，通过证明四边形AMNE 为平行四边形，得AE ；当ABE ∠取最小值时，AE 长度取最小值，从而完成求解．∵AB=6，BC ＝8，点F 在边CD 上，连接BF ，沿BF 折叠矩形使点C 落在点E 处∴8BE BC ==如下图，当点F 和点D 重合时，ABE ∠取最小值，过点A 作AM BD ⊥交BD 于点M ，过点E 作EN BD ⊥交BD 于点N∴90AMB END ∠=∠=，//AM EN∵沿BF 折叠矩形使点C 落在点E 处∴6DE CD AB ===，BED BCD ∠=∠∵矩形ABCD∴90BAD BED BCD ∠=∠=∠=，8AD BC ==∴90AMB BAD ABM ABD ⎧∠=∠=⎨∠=∠⎩，90END BED EDN EDB⎧∠=∠=⎨∠=∠⎩，10BD == ∴ABD MBA △∽△，EDB NDE △∽△ ∴BM AM AB AB AD BD ==，DN EN DE DE EB BD== ∴245AB AM AD BD =⨯=，185AB BM AB BD =⨯=，245DE EN EB BD =⨯=，185DE DN DE BD =⨯= ∴245AM EN ==，181********MN BD BM DN =--=--= 又∵//AM EN∴四边形AMNE 为平行四边形 ∴145AE MN ==， 当ABE ∠取最小值时，AE 长度取最小值∴AE 长度的最小值为145 故答案为：145． 本题考查了轴对称、三角形边角关系、相似三角形、勾股定理，平行四边形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形边角关系、相似三角形、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解． 6．8【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ，∴△ACE ∽△BDE ， ∴AC AE BD BE=， ∴ 1.80.210.2AC -=， ∴AC=8（米），故答案为：8．本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．7．见解析【解析】过点A 作AE ⊥BC 于E ，因为∠B=∠B, 90BAC BEA ∠=∠=︒,即可得到△ABE 与△ABC 相似．解：如图所示，点E 即为所求．本题考查作图-复杂作图，过直线外一点作已知直线的垂线，以及三角形相似的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．①②③⑤【解析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE 和△AME 全等，由此判断①；根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=12PM ，同理，FP=FN=12NP ，证出四边形PEOF 是矩形，得出PF=OE ，证得△APE 为等腰直角三角形，得出AE=PE ，PE+PF=OA ，即可得到PM+PN=AC ，由此判断②；根据矩形的性质可得PF=OE ，再利用勾股定理即可得到PE 2+PF 2=PO 2；由此判断③；判断出△POF 不一定等腰直角三角形，△BNF 是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；⑤证出△APM 和△BPN 以及△APE 、△BPF 都是等腰直角三角形，从而判断④由垂直平分线的性质求得点O 是直角三角形PMN 的外接圆圆心，从而结合圆周角定理判断⑤． 解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵PM ⊥AC ，∴∠AEP=∠AEM=90°，在△APE 和△AME 中，BAC DAC AE AE AEP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APE ≌△AME （ASA ），故①正确；②∵△APE≌△AME，∴PE=EM=12 PM，同理，FP=FN=12 NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴AE=PE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=12PM，FP=FN=12NP，OA=12AC，∴PM+PN=AC，故②正确；③∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确；④∵△APE≌△AME，∴AP=AM△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，∴OM=OP，ON=OP，∴OM=OP=ON，∴点O是△PMN的外接圆的圆心，∵∠MPN=90°，∴MN 是直径，∴M ，O ，N 共线，故⑤正确．故答案为：①②③⑤此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．9．73【解析】当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，连接PB ，此时△OAQ ∽△BAP ，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP ，求出BP 的最大值即可求解． 解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大，此时BP 最大值为：27+=BC CP ，∴OQ 的最大值为：73． 本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．10．2:3【解析】证明△ABF ∽△DEF ，进而得到2=1=AB AF DE DF ，设AF=2k(k≠0)，则DF=k ，得到BC=AD=3k ，由此即可求解．解：∵ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DE ，∴∠A=∠FDE ，且∠AFB=∠DFE ，∴△ABF ∽△DEF ， ∴2=1=AB AF DE DF ， 设AF=2k(k≠0)，则DF=k ，BC=AD=3k ， ∴2233==AF k BC k ， 故答案为：2:3．本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．11【解析】先求出点P 所在直线的解析式，再求出与点P 所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解．∵点P 的坐标为（n －1，3n ＋2），∴设x= n －1，y=3n ＋2，∴y=3x+5，即：点P 在直线y=3x+5上，设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b ，当直线y=3x+b 与抛物线y =－x 2＋x ＋1相切时，则3x+b=－x 2＋x ＋1，即：x 2+2x+b-1=0，∴∆=2241(1)0b -⨯⨯-=，解得：b=2，∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P ，Q 两点间距离的最小值．设直线y=3x+5与y 轴的交点为C ，直线y=3x+2与x ，y 轴的交点分别为F ，E ，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F(23-，0)，∴CE=3，OE=2，OF=23，= 过点C 作CD ⊥EF 于点D ，∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO ，∴∆CDE~∆FOE ， ∴CD CE FO FE =，即3223CD =，解得：∴P ，Q．本题主要考查一次函数图像和二次函数图像的综合，以及相似三角形的判定和性质，把两点间的最小距离化为两直线间的距离，是解题的关键．12．（1）详见解析；（2）CE+BF ，详见解析；（3）CE =【解析】（1）证明△AOD ≌△FOC ，即可得到结论；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，EM ∥AB 交AC 于M ，则四边形AMEH 是平行四边形，得到AH=EM ，求得CE ，证明△HED ≌△BEF ，得到HD=BF ，即可得到CE+BF ； （3）如图，作DN ⊥BC 于N ，FR ⊥BC 于R ，连接DF ，取AB 中点O ，连接OG ，设CE=x ，证明△DEN ≌△EFR ，得到FR=EN=3-x ，证明D 、E 、F 、B 四点共圆，求得∠DBF=90︒，计算出(3-x)，得到OG=1)2BF x=-，过点E作ET⊥AB于T，证明△ODG∽△TED，得到OG ODDT ET=，由BE=4-x，得到)x-，代入数值得(3)2x-=x的值即可（1）在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，点D为AB中点，AC=BC，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∵CD=CF，∴CF=AD，∵∠AOD=∠COF，∠ADE=∠DCF=90︒，∴△AOD≌△FOC，∴OD=OC即OD=OE；（2）CE+BF，理由如下：如图，过点E作EH⊥BC交AB于H，EM∥AB交AC于M，则四边形AMEH是平行四边形，∴AH=EM，∠MEC=∠ABC=45︒，∴CE，∵EH⊥BC，∴∠HEB=∠DEF=90︒，∴∠HED+∠DEB=∠BEF+∠DEB，∠EHB=∠HBE=45︒，∴∠HED=∠BEF，HE=BE，∵DE=EF，∴△HED≌△BEF，∴HD=BF，∵AD=AH+HD，∴；（3）如图，作DN ⊥BC 于N ，FR ⊥BC 于R ，连接DF ，取AB 中点O ，连接OG ，设CE=x ，∵AB =3AD BD =，∴，AC=BC=4，∵∠DBE=45︒，∴DN=BN=1，∴EN=3-x ，∵∠DEF=90︒，∴∠DEN+∠FER=∠DEN+∠EDN ，∴∠EDN=∠FER ．∵ED=EF ，∴△DEN ≌△EFR ，∴FR=EN=3-x ，∵∠DBE=∠DFE=45︒，∴D 、E 、F 、B 四点共圆，∴∠DEF+∠DBF=180︒，∵∠DEF=90︒，∴∠DBF=90︒，∴∠FBR=45︒，∴BR=FR=3-x ，(3-x)，∵点G 为AF 中点，点O 为AB 中点，∴OG ∥BF ，∴∠GOD=90︒，OG=1)22BF x =-，过点E 作ET ⊥AB 于T ，∵∠GDE=90︒，∴∠ODG+∠EDT=∠ODG+∠OGD ，∴∠OGD=∠EDT ，∴△ODG ∽△TED ， ∴OG OD DT ET=， ∵BE=4-x ，∴BT=ET=)2x -， ∴-)2x -，)2x -=，解得：x =x =，∴CE = ．此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，四点共圆的判定及性质，是一道综合题，较难，辅助线的引出是解题的关键．13．（1）248433y x x =--+；（2）32x --≤≤或01x ≤≤；（3）2316-． 【解析】（1）用待定系数法解二次函数的解析式即可；（2）分别计算临界点=0y 、=4y 时，相对应的x 的值，再结合图象解题即可；（3）过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，由题意设248(,4)33D x x x --+，继而证明△AOC ∽△CED ，最后根据相似三角形对应边成比例性质及解一元二次方程解题．解：（1）把A （−3，0）、B （−1，0）代入2+4y ax bx =+，得9340+40a b a b -+=⎧⎨+=⎩， 解得4383a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以二次函数的解析式为248433y x x =--+；（2）当=0y 时，即抛物线与x 轴的交点12=1=3x x -，当=4y 时，2484=433x x --+ 即248=033x x -- 220x x +=120,2x x ∴==-结合图象可得，当04y ≤≤时，32x --≤≤或01x ≤≤；（3）∵A （−3，0），C （0，4），∴OA=3，OC=4，如图，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ， 设248(,4)33D x x x --+， ∵点D 在第三象限，∴x<0， ∴224848,443333D C DE x x CE y y x x x x ==-=-=--+-=-- ∵∠ACD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，∵∠CDE+∠DCE=90°，∴∠ACO=∠CDE ，又∵∠AOC=∠DEC=90°，∴△AOC ∽△CED ， ∴OA CE OC DE=， 即2483334x x x--=-， 21632=333x x x ∴--- 216230x x ∴+=解得12230,16x x ==-（舍去）， 即点D 的横坐标是2316-． 本题考查二次函数综合题，涉及相似三角形的判定与性质、坐标与图形、一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．14．见解析【解析】作DG ∥BC ，DH ∥AC ，可得G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，根据DG ∥BC可得DG EG CF CE =，根据1DG CF +=21EG CE+，化简即可解题． 证明：作DG ∥BC ，DH ∥AC ，则△ADG ∽△ABC ，∵D 是AB 中点，∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，∵△DGE ∽△FCE ， ∴DG EG CF CE=， ∴22DG EG CF CE =，即2BC EG CF EC=， ∴211BC EG CF EC+=+， 即BC CF EG EG EC CF EC +++=， ∵EG+EC=GC=AG ，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE ， ∴BC CF AE CF EC +=，即BF AE CF EC=， ∴BF·EC=CF·AE ．本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADG ∽△ABC 是解题的关键．15．（1）见解析；（2）△BPE ∽△CEQ ；见解析；（3）52【解析】（1）由∠BEQ ＝∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C 及∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°，所以∠BEP ＝∠EQC ，所以△BPE ∽△CEQ ，结论得证；（2）同（1）方法； （3）根据△BPE ∽△CEQ ，所以BP BE CE CQ =，因为BE CE = ,将BP ＝1，CQ ＝92问题即可求解． 解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°，∵∠BEQ ＝∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；（2）△BPE ∽△CEQ ；理由如下：∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；（3） ∵△BPE ∽△CEQ ， ∴BP BE CE CQ=， ∵BE ＝CE ， ∴192CE CE =，解得：BE ＝CE＝2， ∴BC＝∴AB ＝AC＝322BC =⨯=， ∴AQ ＝CQ ﹣AC ＝93322-=，AP ＝AB ﹣BP ＝3﹣1＝2， 在Rt △APQ 中，PQ52==． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，根据两角对应相等的两个三角形相似是解本题的关键.16．（1）见解析；（2）2【解析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB 可得出∠ADE=∠C ，结合∠DAE=∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD=AB 即可得出AB 的长．解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE ，∠ADB=∠DAE+∠C ，∠DEC=∠ADB ，∴∠ADE=∠C ．又∵∠DAE=∠CAD ，∴△AED ∽△ADC ．（2）∵△AED ∽△ADC ， ∴AD AE AC AD =，即113AD AD=+， ∴AD ＝2或AD ＝﹣2（舍去）．又∵AD ＝AB ，∴AB ＝2本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质，求出AD 的长．17．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据已知条件先证明△BAF ∽△CAF ，推出∠AEB ＝∠AFC ，由等角的补角相等可得出结论． （2）由（1）结论得出=AEC AFD CFE ∠=∠∠，得出CE ＝CF ，由//EG CD 内错角相等，同位角相等得出∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，推出△BDC ∽△GCE ，由相似三角形的性质可得出结论．（1）证明：∵AB•AF ＝AC•AE ， ∴AB AC AE AF=， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴△BAE ∽△CAF ，∴∠AEB ＝∠AFC ，∴180°−∠AEB ＝180°−∠AFC ，∴∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∵由（1）证得=AEC AFD CFE ∠=∠∠，∴CE ＝CF ，∵DC//EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ，∵（1）中证得△BAE ∽△CAF ，∴ ∠ACF ＝∠B∴∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ， ∴BD GC CG DC CE CF==， ∴CD•CG ＝FC•BD ．本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 18．（1）m=-1，n=3，2y x 2x 3=-++；（2）当1x =时，=4y 最大值；当3x =时，=0y 最小值； （3）见解析【解析】（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）由抛物线2y x 2x 3=-++解析式，可得对称轴为1x =，根据增减性可知：x=1时，y 有最大值，当x=3时，y 有最小值；（3）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB 和△DBC 两直角边的比相等，则两直角三角形相似． 解：（1）∵m ，n 分别是方程x 2-2x-3=0的两个实数根，且m ＜n ，用因式分解法解方程：（x+1）（x-3）=0，∴x 1=-1，x 2=3，∴m=-1，n=3，∴A （-1，0），B （0，3），把（-1，0），（0，3）代入得，103b c c --+⎧⎨⎩＝＝ ，解得23b c ⎧⎨⎩＝＝ ， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．综上所述，m=-1，n=3，2y x 2x 3=-++．（2）抛物线2y x 2x 3=-++的对称轴为1x =，顶点为()1,4D ，在03x ≤≤范围内，当1x =时，=4y 最大值；当3x =时，=0y 最小值；（3）由2y x 2x 3=-++，易得()1,0A -，()0,3B ，()3,0C ，()1,4D ，则BC =，BD DC =222CD DB CB =+，BCD ∴△是直角三角形，且90DBC ︒∠=，AOB DBC ∴∠=∠，在Rt AOB 和Rt DBC 中，2AO BD ==，2OB BC ==， AO OB BD BC∴=， BCD OBA ∴△∽△．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中考查的知识点有：利用待定系数法求抛物线的解析式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识．19．（1）1152y x =-+；28y x =；（2）存在，P ()2,0或()0,0． 【解析】(1)把(),4A a 和()8,1B 分别代入反比例函数解析式中求出8k和2a =，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式；(2)先求出C 点和D 点的坐标，再分情况讨论当~COD APD ∆∆时和当~COD PAD ∆∆时求解即可．解：(1)把()8,1B 代入反比例函数2k y x=，得8k ∴反比例函数的表达式为28y x =． 点(),4A a 在28y x=图象上，2a ∴=，即()2,4A把()2,4A ，()8,1B 两点代入1y mx n =+， 解得12m =-，5n = 所以一次函数的表达式为1152y x =-+． (2)由(1)得一次函数的表达式为1152y x =-+ 当0x =时，5y =，()0,5C ∴，即5OC =．当0y =时，10x =，D ∴点坐标为()10,0，即10OD =，CD ∴=()2,4A ，AD ∴=设P 点坐标为(),0b ，由题可以，点P 在点D 左侧，则10PD b =-，由CDO ADP ∠=∠可得：①当~COD APD ∆∆时，AD PDCD OD =，1010b -=， 解得2b =，故点P 坐标为()2,0；②当~COD PAD ∆∆时，AD PDOD CD =，10∴=， 解得0b =，即点P 的坐标为()0,0．因此，点P 的坐标为()2,0或()0,0时，COD ∆与ADP ∆相似．本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键．20．()4米【解析】过E 作EF BC ⊥于点F ，设DF=x ，根据∠CDE=120°求出∠EDF=60°，进而将DE 、EF 分别用x 的代数式表示，最后根据△ABC ∽△EFC 线段成比例求出x 的值即可求解．解：如图所示，过E 作EF BC ⊥于点F ，120CDE ∠=︒，60EDF ∴∠=︒设DF 为x 米，2DE x =米，EF =米，90B EFC ∠=∠=︒，∠=∠ACB ECD ，~ABC EFC ∴∆∆，AB EF BC FC ∴=，代入数据：即23=，解得2x =，则24DE x ==，DE ∴的长度为()4米．本题考查相似三角形测高，相似三角形的应用，本题的关键是能证明△ABC ∽△EFC ，进而通过边成比例求解．21．（1）∽；（2）成立，见解析；（3）【解析】（1）根据等边三角形的性质结合AA 定理判定三角形相似；（2）根据等腰三角形的性质结合AA 定理判定三角形相似；（3）先判定三角形相似，然后利用相似三角形的性质，相似三角形面积比等于对应边比的平方列比例式求解解：（1）∵ABC ∆是等边三角形，且B A EDF ∠=∠=∠∴=60B A EDF ∠=∠=∠︒∴120MDA NDB NDB BND ∠+∠=∠+∠=︒∴MDA BND ∠=∠在ADM ∆ 和BND ∆中MDA BND A B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ADM ∆∽BND ∆故答案为：∽（2）上述结论还成立理由：AB BC =A B ∴∠=∠在NBD ∆中B BND EDF ADM ∠+∠=∠+∠B EDF ∠=∠BND ADM ∴∠=∠在BDN ∆ 和AMD ∆中BND ADM A B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ADM ∆∽BND ∆（3）AB BC =CAB CBA ∴∠=∠，即CAD DBN ∠=∠在NBD ∆中，CBA BDN BND ∠=∠+∠CBA CDN CDA BDN ∠=∠=∠+∠BND CDA ∴∠=∠在BDN ∆ 和ACM ∆中BND ADM MAD DBN ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ADM ∆∽BND ∆∴21=()2ADM BND S AD S BN ∆∆= 又∵AD=1 ∴2112BN =，解得：∵:1:3BN BM =，∴BM=AC=由ADM ∆∽BND ∆，可得AC BD AD BN=∴1=，解得：BD=6，即AB=BD=AD=5 过点M 作MG ⊥BD∵AC=BC 且MG ⊥BD∴AG=1522AB = 在Rt △ACG中，CG === 在Rt △DCG中，CD === ∵ADM ∆∽BND ∆，∴CD AD DN BN =，DN =，解得：DN=故答案为：本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22．（1）证明见解析；（2）6【解析】（1）证明∠G=∠DAF ，结合∠ADF=∠GDA 即可证明△ADF ∽△ADG ，进一步可得结论； （2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB//DG ，∴∠BAE=∠G ，∵∠BAE=∠DAF ，∴∠G=∠DAF ，∵∠ADF=∠GDA ，∴△ADF ∽△ADG ，∴AD ：DG=DF ：AD ，即AD 2=DF·DG ； （2）∵//,//AB CD AD BC ∴HD HG BH AH =，AH HD HE BH=， ∴AH HG HE AH = ∵4HE =，5EG =，∴24(45)4936AH HE HG =⋅=⨯+=⨯=∴6AH =（负值舍去）此题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ADF ∽△ADG 是解答此题的关键．23．（1）①见解析；（2）①见解析；②存在，a 【解析】（1）①假定正方形的边长AB=4a ，则AE=DE=2a ，DF=a ，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE ∽△DEF ；（2）①依据∠AEF=∠DCE ，∠A=∠D=90°，即可得到△AEF ∽△DCE ，进而得出AF EF ED CE =，根据AE=ED ，可得 AF AE EF CE=，根据∠A=∠CEF=90°，即可得到 △AEF ∽△ECF ． ②由△AEF ∽△DCE 得：AF=1a ，故BF=a-1a ．根据∠A=∠B=90°，分两种情况讨论：若△AEF ∽△BFC ，则AE AF BF BC =；若 △AEF ∽△BCF ，则AE AF BC BF =．即可得到当a= △AEF与△BFC 相似．解：（1）①证明：如图，假定正方形的边长AB=4a ，则AE=DE=2a ，DF=a ，在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°． ∵2AB AE DE DF==，∠A=∠D=90°． ∴△ABE ∽△DEF ．（2）①证明：如图，∵∠D=90°，∴∠DEC+∠DCE=90°，∵EF ⊥EC ，∴∠DEC+∠AEF=90°，∴∠AEF=∠DCE ，又∵∠A=∠D=90°，∴△AEF ∽△DCE ， ∴AF EF ED CE=， ∵AE=ED ， ∴AF EF AE CE =，即AF AE EF CE =， ∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF ∽△ECF ．②由题意得：BC=AD=2，AB=DC=a ，AE=DE=1，由△AEF ∽△DCE 得：AF=1a ，故BF=a-1a． 若△AEF ∽△BFC ， 则AE AF BF BC =，即1112a a a =-， 此时a 无解；若△AEF ∽△BCF ， 则AE AF BC BF =，即1112a a a =-，此时所以，当△AEF 与△BFC 相似．本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．解决问题的关键是进行分类讨论，利用相似三角形的对应边成比例进行计算求解．24．11m【解析】设CB x =，则18BDx =-，根据题意证明△△GCE GBA 和△△HBA HDF ，列出方程即可求解；解：设CB x =，则18BDx =-， ∵CE ∥AB ，∴△△GCE GBA ， ∴GC EC GB AB =，即12=1x AB+， ∴()21AB x =+，同理可得：△△HBA HDF， ∴DH DF HB AB =，即32=318x AB+-， ∴()2213AB x =-，∴()()221213x x +=-， 解得：92x =， ∴()2111AB x =+=．本题主要考查了相似三角形的应用，准确利用中心投影的知识点求解是解题的关键．25．（1）△BDC 是黄金三角形，理由见解析；（2）x =；（335 【解析】（1）先根据AB=AC ，∠A=36°证明∠ABC=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质证明∠ABD=∠A=36°，∠BDC=∠C ，从而可得结论；（2）证明BDC ABC ∆∆，根据相似三角形的性质可得方程，求解方程即可； （3）证明FBA ABC ∆∆可得结论．解：()1BCD 是黄金三角形．证明如下：点D 在AB 的垂直平分线上，,AD BD ∴=,ABD A ∴∠=∠36,A AB AC ∠=︒=72ABC C ∴∠=∠=，36,ABD DBC ∴∠=∠=︒又72BDC A ABD ∠=∠+∠=，,BDC C ∴∠=∠,BD BC ∴=BCD ∴△是黄金三角形．()2设,1BC x AC ==，由()1知，AD BD BC x ===．,DBC A C C ∠=∠∠=∠BDC ABC ∴∆∆，。
人教版初中数学九年级下册27.2：相似三角形 解答题专项
人教版九年级下册27.2相似三角形解答题专项1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．相似三角形专项练习参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．【解答】解：（1）证明：①∵在正方形ABCD中，E是AD边的中点，∴在Rt△EBA中，AB＝2AE，∵AP⊥BE于点P，∴Rt△ABP∽Rt△EBA，∴＝＝，∴BP＝2AP．②如图，过点C作CH⊥BE于点H，则∠BCH+∠PBC＝90°，又∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABP，又BC＝AB，∴Rt△BCH≌Rt△ABP（AAS），∴BH＝AP，又BP＝2AP，∴BH＝PH，又CH⊥BE，∴PC＝BC．（2）如图，同（1）②可证：Rt△AFD≌Rt△BEA，∴AF＝BE，在Rt△BEA中，若设AE＝1，则AB＝2，BE＝，∵AP⊥BE于点P，∴AP•BE＝AB•AE，∴AP＝＝，则PF＝AF﹣AP＝BE﹣AP＝﹣＝，∴＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解答】解：（1）△BAP∽△CPD，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠B＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴，∴，∴BP＝．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．【解答】解：如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴EH∥CD，CD＝AB＝3HE，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH，∴＝＝．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．【解答】证明：（1）∵C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°＝∠ACE，∴∠E＝∠ABC，∴AB＝AE；（2）∵AB＝AE＝5，∠ACB＝90°，∴CE＝BC＝EB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠ABC，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴EC＝．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFB＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝12，∵AE2＝DE2﹣AD2＝144﹣64＝80，∴AE＝4．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝t cm，CP＝（4﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，故答案为：t；（4﹣2t）．（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．【解答】证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴＝，即，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，∵，∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠F AB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA；（2）∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝，∴FG＝BG﹣BF＝﹣5＝．14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．【解答】证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴＝，又∵QE＝EP，∴BD＝FQ，EF＝DE，∵QF∥CD，∴△AFQ∽△ADC，∴，∴，∴；（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，∴QF∥PH，∴△FQE∽△HPE，∴，又∵QE＝EP，∴PH＝FQ，EF＝HE，∵FQ∥BC，∴△AQF∽△ACD，∴，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABD，∴，∴＝＝＝．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．【解答】证明：（1）∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵，∴△ABD∽△ACE；（2）如图，∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，∵，∴＝，∴DE＝3，∴CD＝＝＝．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，而∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA；（2）连接BD，如图，∵AB为直径，∵∠BDC＝90°，∠C＝60°，∴BC＝2CD，∵△CDE∽△CBA；∴＝＝，∴DE＝AB＝×4＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为2．【解答】解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC垂足为G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∴∠EAD＝90°＝∠EFD，∴tan∠EAG＝＝＝，∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，∵∠EGF＝∠EAD＝90°，∵DE为圆的直径，∴∠GFE＝∠ADE，∴△EGF∽△EAD，∴＝＝，∵DA＝BC＝4，∴FG＝2；（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：设AE＝2x，∵∠EAG＝30°，∴∠GAM＝60°，∴EG＝x，GA＝x，∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，∵AD＝BC＝4，∴MD＝4﹣x，∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，∵在直角三角形AED中，直径ED＝，∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝×ED，∴DF2＝3x2+12，∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，∴x＝，∴DF＝，DG＝，∴DF+DG取最小值为2．故答案为：2．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．【解答】解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥CF，∴∠ACF＝90°，∴∠A+∠AFC＝90°，∴∠A+∠BCD+∠ABC＝90°，又∠CDE＝∠ABC，∠A＝∠CDE，∴2∠A+∠BCD＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝2∠A；（2）过C作CH⊥AB于H，交BD的延长线于G，如图：∵∠DCH+∠ACH＝90°，∠A+∠ACH＝90°，∴∠DCH＝∠A，又∵∠CDB＝2∠A；∴∠CDB＝2∠DCH，∴∠G＝∠DCH，∴CD＝DG．∵BD＝1，BC＝，在Rt△BCD中，CD＝，∴DG＝3，∴BG＝BD+DG＝4，CG＝，∴cos∠G＝，∴cos∠A＝，又cos∠A＝，∴AH＝AC•cos∠A＝，AF＝，∵∠A＝∠CDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠A＝∠ABC，∴AC＝BC，∴AB＝2AH＝，∴BF＝AB﹣AF＝．。
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。
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初中数学试卷
九年数学下第27章《相似三角形》复习题及答案
一.选择题
(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( )
A.
DB AD =EC BF B.AC AB =FC
EF
C.
DB AD =FC
BF
D.
EC AE =BF
AD
(2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( )
A.138
B.
3
46
C.135
D.不确定
(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )
A.△ABD ∽△BCD
B.△ABC ∽△BDC
C.△ABC ∽△ABD
D.不存在
(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）
A.1∶3∶5∶7
B.1∶2∶3∶4
C.1∶2∶4∶5
D.1∶2∶3∶5
(5)下列命题中，真命题是( )
A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似
B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似
C.底角为40°的两个等腰梯形相似
D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 (6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )
A.5
B.6
C.7
D.8
(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )
A.EF ＞CD
B.EF=CD
C.EF ＜CD
D.不能确定
(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A ′B ′C ′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
(9)D为△ABC的AB边上一点，若△ACD∽△ABC，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB
③AC2=AB·AD，其中正确的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
(10)下列命题错误的是( )
A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似
B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似
C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比
D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似
二、填空题
(1)比例的基本性质是________________________________________
(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________
(3)如下图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________
(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________
(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________
(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，则CD2=________
(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.
(8)Rt△ABC中，∠C=90°,CD为斜边上的高。
若AC∶AB=4∶9，则AD∶BD=________
(9)把62cm的线段分成三部分，它们的比为3∶2∶5，则最长段为________
(10)若D为△ABC边BC之中点，E为AD的中点，BE交AC于F，则AF∶FC=________
三、.已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.
四.如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE ·CE.
五、已知如图，在平行四边形ABCD 中，DE=BF,求证：
DQ CD =PQ
PD
.
六、过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：AE ∶ED=2AF ∶FB.
七、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG ∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2
=GE ·GF.七.提示：过E 点作EH ∥BD 交CD 于H ，连接HO ，由CA CO =CD CH 得HO ∥AD ，这时GO GF =GH
GD
，由OD ∥EH ，得GE GO =GH
GD
，即可证
八、如下图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF ∶FG ∶GM=5∶3∶2
九、如下图，△ABC 中，AD ∥BC ，连结CD 交AB 于E ，且AE ∶EB=1∶3，过E 作EF
∥BC ，交AC 于F ，S △ADE =2cm 2，求S △BCE ，S △AEF .
十、已知：线段AB ，分点C 将AB 分成3∶11两组，分点D 将AB 分成5∶9两段，且CD=4cm,求AB 的长.
十一、下图中，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ∶EC=1∶3，BE 的
延长线交CD 的延长线于G ，交AD 于F ，求证：BF ∶FG=1∶2.
参考答案
一..(1)C (2)A (3)B (4)A (5)D (6)B (7)B (8)C (9)D (10)D
二.(1)略 (2)6，24 (3)2∶3，1∶2 (4)5∶2；25∶4 (5)2∶2 (6)AD ·BD (7)100，10 (8)16∶65 (9)31 (10)1∶2
三.1∶3，S △CDF =54cm 2
四.提示：连接AE ，则AE=DE,证△AEC ∽△BEA 五.略 六.略
七.提示：过E 点作EH ∥BD 交CD 于H ，连接HO ，由CA CO =CD CH 得HO ∥AD ，这时GO GF =GH
GD
，由OD ∥EH ，得
GE GO =GH
GD
，即可证 八、略
九.提示：连接MD ，证F 为MC 中点，MD=2EF,AE=2MD,∴CF ∶GF ∶GM=5∶3∶2 十.S △BCE =18cm 2
S △AEF ＝1.5cm 2
11.28cm 十一略。
十二.△AEF∽△CEB，AF∶BC=AF∶AD=1∶3，则AF∶FD=1∶2，又△ABF∽△GDF，则BF∶FG=1∶2。