2020届高三理科数学大题专项练习10

2020届高三数学（理）大题专项练习1017．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒V 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．19．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>1,2⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ①刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB u u u v u u u v=，求k 的值.23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值．2020届高三数学（理）大题专项练习10（答案解析）17．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =， 故ABC V 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，AE ∴===b AC ∴====解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ，CAB CDA ∴V V ∽，即CB CA CA CD =，即31bb =，b ∴=18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒V 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E Q 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E Q 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=Q ， 所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥Q ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．已知点()()()()111,0,0,1,0,1,0,,,1,0,0,0,0,1,1,2222A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v ， 设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =v．则有0102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u uv v u u u u v v ，可得平面ABM的一个法向量为)2,0m =v，12DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，可得：1120cos,7m DMm DMm DM++⨯⋅===⋅u u u u vvu u u u vvu u u u vv，所以直线DM与平面ABM．19．已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的离心率为2，且经过点⎛-⎝⎭.（1）求椭圆C的方程；（2）过点)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q 使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【解】(1)由题意可得c2a=，22131a4b+=，又222a b c-=，解得2a4=，2b1=.所以，椭圆C的方程为22xy14+=(2)存在定点Q⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.设直线l的方程为x my0+-=，与椭圆C联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x,y，11x xy y12+=，定点()Qt,0.(依题意12t x,t x)≠≠则由韦达定理可得，122y y4m+=+，1221y y4m-=+.直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.所以，1212y yx t x t+=--，即得()()1221y x t y x t0-+-=.又11x my0+=，22x my0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，)()1212t y y 2my y 0-+-=.从而可得，)21t 2m 04m--⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x 轴时，Q 3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x 轴上的定点Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x xm x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =- 所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ①刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii ii x x u u bx x ==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46cu bx =-≈-⨯=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$∴模型①的回归方程为$0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型①的22R ，说明回归模型①的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB u u u v u u u v=，求k 的值.【解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v，所以43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞． （2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<Q ． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为对x R ∀∈，()32f x a≥恒成立， 所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a的最小值为1．。