2020届高三理科数学大题专项练习10
2020届高三数学(理)大题专项练习10
17.在ABC △中,角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,
2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=;
(1)证明:ABC △为等腰三角形;
(2)若D 为BC 边上的点,2BD DC =,且2ADB ACD ∠=∠,3a =,求b 的值.
18.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形,//BC AD ,且
222,AD AB BC ===
90,BAD PAD ∠=?V 为等边三角形,平面ABCD ⊥平面PAD ;点E M 、分别为PD PC
、的中点.
(1)证明://CE 平面PAB ;
(2)求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.
19.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>1,2?- ??
. (1)求椭圆C 的方程;
(2)过点
)
作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,试问在x 轴上是否存在定点Q
使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.
20.已知函数()ln 2f x x x =--.
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;
(2)函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点,求k 的值;
21.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数y (万人)与年份x 的数据:
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了y 与x 的两个回归模型:
模型①:由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+;
模型①:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线bx
y ae =的附近.
(1)根据表中数据,求模型①的回归方程$bx y ae =.(a 精确到个位,b 精确到0.01). (2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数2R ,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:万人,精确到个位).
参考公式、参考数据及说明:
①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ,其回归直线μμμw
v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为μμμ1
2
1()()
,()
n
i
i
i n
i
i w w v v w v v v β
α
β==--==--∑∑. ①刻画回归效果的相关指数μ2
2
1
2
1
()1()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑ .
①参考数据: 5.46235e ≈, 1.43 4.2e ≈.
表中10
1
1ln ,10i i i i u y u u ===∑.
22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ,
2sin ,x y θθ=??
=?
(θ为参数),已知点
(4,0)Q ,点P 是曲线1C 上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程;
(2)已知直线l :y kx =与曲线2C 交于,A B 两点,若3OA AB u u u v u u u v
=,求k 的值.
23.已知函数()121f x ax x =++- (1)当1a =时,求不等式()3f x >的解集; (2)若02a <<,且对任意x ∈R ,3
()2f x a
≥恒成立,求a 的最小值.
2020届高三数学(理)大题专项练习10(答案解析)
17.在ABC △中,角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,
2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=;
(1)证明:ABC △为等腰三角形;
(2)若D 为BC 边上的点,2BD DC =,且2ADB ACD ∠=∠,3a =,求b 的值. 【解】(1)2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ,由正弦定理得:22cos 2bc A a cb +=,
由余弦定理得:2222222b c a bc a bc bc
+-?+=;
化简得:222b c bc +=,所以()2
0b c -=即b c =, 故ABC V 为等腰三角形. (2)如图,
由已知得2BD =,1DC =,
2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠
ACD DAC ∴∠=∠, 1AD CD ∴==,
又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ,
222222
22AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-
??, 即222222
1211221211
c b +-+-=-
????,
得2229b c +=,由(1)可知b c =,得b =
解法二:取BC 的中点E ,连接AE .由(1)知,AB AC AE BC =∴⊥, 由已知得31
,1,22
EC DC ED =
==,
2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠
ACD DAC ∴∠=∠,
AE ∴===
b AC ∴====
解法三:由已知可得1
13
CD a =
=,由(1)知,,AB AC B C =∴∠=∠, 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ,
CAB CDA ∴V V ∽,
即
CB CA CA CD =,即31
b
b =,
b ∴=
18.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形,//BC AD ,且
222,AD AB BC ===
90,BAD PAD ∠=?V 为等边三角形,平面ABCD ⊥平面PAD ;点E M 、分别为PD PC
、的中点.
(1)证明://CE 平面PAB ;
(2)求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值. 【解】(1)设PA 的中点为N ,连接,EN BN ,
E Q 为PD 的中点,所以EN 为PAD △的中位线,
则可得//EN AD ,且1
2
EN AD =
; 在梯形ABCD 中,//BC AD ,且1
2
BC AD =
, //,BC EN BC EN ∴=,
所以四边形ENBC 是平行四边形,
//CE BN ∴,又BN ?平面PAB ,CE ?平面PAB , //CE ∴平面PAB .
法二:设O 为AD 的中点,连接,CO OE ,
E Q 为PD 的中点,
所以OE 是ADP △的中位线,所以//OE AP , 又OE ?平面PAB ,AP ?平面PAB ,
//OE ∴平面PAB ,
又在梯形ABCD 中,//BC AD ,且1
2
BC AD =, 所以四边形BAOC 是平行四边形,
//BC BA ∴,
又OC ?平面PAB ,AB ì平面PAB ,
//OC ∴平面PAB ,
又OE OC O ?=Q , 所以平面//OEC 平面PAB , 又CE ?平面PAB ,
//CE ∴平面PAB .
(2)设AD 的中点为O ,又,PA PD PO AD =∴⊥Q .
因为平面PAD ⊥平面ABCD ,交线为AD ,PO ?平面PAD ,
PO ∴⊥平面ABCD ,
又由//CO BA ,90BAD ∠=?,
CO AD ∴⊥.
即有,,OA OC OP 两两垂直,如图,以点O 为原点,OA 为x 轴,OP 为y 轴,OC 为z 轴建立坐标系.
已知点
()(
)()(
)111,0,0,1,0,1,0,,,1,0,0,0,0,1,1,2222A B M D AB AM ????
-==- ? ? ? ????
?u u u v u u u u v , 设平面ABM 的法向量为:(),,m x y z =v
.
则有0
1
02m AB z m AM x y z ?
?==???=-++=??
u u u
v v u u u u v v ,可得平面ABM
的一个法向量为)
2,0m =v
,
12DM ??
= ? ???
u u u u v ,
可得:
1
120
cos,
7
m DM
m DM
m DM
++?
?
===
?
u u u u v
v
u u u u v
v
u u u u v
v,
所以直线DM与平面ABM.
19.已知椭圆
22
22
:
1
x y
C
a b
+=(0
a b
>>)的离心率为
2
,且经过点
?
-
??
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q 使得直线
QA与直线QB恰关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解】(1)由题意可得
c
2a
=,
22
13
1
a4b
+=,又222
a b c
-=,
解得2a4
=,2b1
=.
所以,椭圆
C的方程为
2
2
x
y1
4
+=
(2)存在定点Q
?
?
?
??
,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.
设直线l
的方程为x my0
+-=,与椭圆C联立,整理得,()22
4m y10
+--=.
设()
22
B x,y,1
1
x x
y y1
2
+=,定点()
Q
t,0.(依题意
12
t x,t x)
≠≠
则由韦达定理可得,
122
y y
4m
+=
+
,
122
1
y y
4m
-
=
+
.
直线QA与直线QB恰关于x轴对称,等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.
所以,12
12
y y
x t x t
+=
--,即得
()()
122
1
y x t y x t0
-+-=.
又
11
x my0
+=,
22
x my0
+=,
所以,
))
122
1y my t y my t 0-+-=,)
()1212t y y 2my y 0-+-=.
从而可得,
)
2
1
t 2m 04m
--?=+,
即()
2m 40=,
所以,当t =,即Q ?????时,直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地,
当直线l 为x 轴时,Q 3?? ? ???也符合题意. 综上所述,存在x 轴上的定点Q 3??
? ???
,
满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.
20.已知函数()ln 2f x x x =--.
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;
(2)函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点,求k 的值; (3)若不等式
()(1)
()x m x f x x
-->对任意正实数x 恒成立,求正整数m 的取值集合.
【解】(1)1
()1f x x
'=-
,所以切线斜率为()01f '=, 又(1)1f =-,切点为(1,1)-,所以切线方程为1y =-. (2)令1
()1f x x
'=-
,得1x =, 当01x <<时,()0f x '<,函数()f x 单调递减; 当1x >时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<,又2222
1111(
)ln 20e e e e f =--=>, 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ,此时0k =;
因为(3)3ln321ln30f =--=-<,(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->, 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ,此时3k =.综上,k 的值为0或3. (3)当1x =时,不等式为(1)10g =>.显然恒成立,此时m R ∈;
当01x <<时,不等式
()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1
x x x
m x +>-,
令ln ()1x x x g x x +=
-,则22
ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--,
由(2)可知,函数()f x 在(0,1)上单调递减,且存在一个零点1x , 此时111()ln 20f x x x =--=,即11ln 2x x =- 所以当10x x <<时,
()0f x >,即()0g x '>,函数()g x 单调递增;
当11x x <<时,()0f x <,即()0g x '<,函数()g x 单调递减. 所以()g x 有极大值即最大值111111
1111ln (2)()11
x x x x x x g x x x x +-+=
==--,于是1m x >.
当1x >时,不等式
()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1
x x x m x +<-,
由(2)可知,函数()f x 在(3,4)上单调递增,且存在一个零点2x ,同理可得2m x <. 综上可知12x m x <<.
又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈,所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3.
21.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数y (万人)与年份x 的数据:
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了y 与x 的两个回归模型:
模型①:由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+;
模型①:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线bx
y ae =的附近.
(1)根据表中数据,求模型①的回归方程$bx y ae =.(a 精确到个位,b 精确到0.01). (2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数2R ,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:万人,精确到个位).
参考公式、参考数据及说明:
①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ,其回归直线μμμw
v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为μμμ1
2
1()()
,()
n
i
i
i n
i
i w w v v w v v v β
α
β==--==--∑∑. ①刻画回归效果的相关指数μ2
2
1
2
1
()1()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑ .
①参考数据: 5.46235e ≈, 1.43 4.2e ≈.
表中10
1
1ln ,10i i i i u y u u ===∑. 【解】(1)对bx
y ae =取对数,得ln ln y bx a =+,
设ln u y =,ln c a =,先建立u 关于x 的线性回归方程,
()()
()
10
1
10
2
1
9.00
0.10883
i
i
i i
i x x u u b
x x ==--==
≈-∑∑$, 6.050.108 5.5 5.456 5.46c
u bx =-≈-?=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$
∴模型①的回归方程为$0.11235x y e =
(2)由表格中的数据,有30407>14607,即
10
10
2
2
1
1
30407
14607
()
()
i
i
i i y y y y ==>
--∑∑,
即
10
10
2
2
1
130407
14607
11()
()
i
i
i i y y y y ==-
<-
--∑∑,22
12R R <
模型①的相关指数2
1R 小于模型①的2
2R ,说明回归模型①的拟合效果更好.
2021年时,13x =,预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ?==≈?=(万人) 22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ,
2sin ,x y θθ=??
=?
(θ为参数),已知点
(4,0)Q ,点P 是曲线1C 上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程;
(2)已知直线l :y kx =与曲线2C 交于,A B 两点,若3OA AB u u u v u u u v
=,求k 的值.
【解】(1)设()2cos ,2sin P θθ,(),M x y .且点()4,0Q ,由点M 为PQ 的中点,所以
2cos 42,22sin ,
2x cos y sin θθθθ+?==+???
?==??
整理得()2221x y -+=.即22
430x y x +-+=, 化为极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=.
(2)设直线l :y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα,()2,B ρα,因为3OA AB =u u u v u u u v
,所以43OA OB =u u u v u u u v
,即1243ρρ=.
联立2430,,cos ρρθθα?-+=?=?整理得24cos 30ραρ-?+=.
则1212124,
3,43,
cos ρραρρρρ+=??=??=?
解得7
cos 8α=.
所以2
2
2115tan 1cos 49k αα==-=
,则k =
23.已知函数()121f x ax x =++- (1)当1a =时,求不等式()3f x >的解集; (2)若02a <<,且对任意x ∈R ,3
()2f x a
≥
恒成立,求a 的最小值. 【解】(1)当1a =时,()121f x x x =++-,即()3,112,1213,2x x f x x x x x ?
?-<-?
?
=-+-≤≤??
?
>??
,
解法一:作函数()121f x x x =++-的图象,它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -,
所以,()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-?+∞.
解法2:原不等式()3f x >等价于133x x <-??->? 或11223x x ?-≤≤???-+>? 或1233
x x ?
>
???>?,
解得:1x <-或无解或1x >,
所以,()3f x >的解集为()(),11,-∞-?+∞. (2)11
02,,20,202
a a a a <<∴-
+- -+<-?? ? =++-=-+-≤≤?? ? +>?? 所以函数()f x 在1,a ??-∞- ?? ?上单调递减,在11,2a ??-????上单调递减,在1 ,2 ??+∞ ??? 上单调递 增. 所以当12x = 时,()f x 取得最小值,()min 1122a f x f ?? ==+ ??? . 因为对x R ?∈,()3 2f x a ≥恒成立, 所以()min 3122a f x a =+≥. 又因为0a >, 所以2230a a +-≥, 解得1a ≥ (3a ≤-不合题意). 所以a的最小值为1. 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一:解三角形 1、正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === (R 是AB C ?外接圆的半径) 变式①:?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②:?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③: C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理:???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式:???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式:A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理:?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos (少用,可以不记哦^o^) 5、三角形的内角和等于 180,即π=++C B A 6、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式:??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系:①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇: 2 π 的奇数倍 偶: 2 π 的偶数倍 1.(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 =1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M :(x -2)2+(y -1)2 =1相切. (1)求椭圆C 的方程. (2)过点N (0,-1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证:BP ⊥BQ . 1.(1)解:由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x +ay -a =0. 由直线AB 与圆M :(x -2)2+(y -1)2=1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d =2 1+a 2 =1,求得a =3, 故椭圆C 的方程为x 23 +y 2 =1. (2)证明:直线l 的方程为y =kx -1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y =kx -1 2 , x 23 +y 2=1,消去y 整理得(4+12k 2)x 2-12kx -9=0. ∴x 1+x 2=12k 4+12k 2,x 1x 2 =-9 4+12k 2 . 又BP →=(x 1,y 1-1),BQ → =(x 2,y 2-1), ∴BP →·BQ → =x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)=x 1x 2+(kx 1-32)·(kx 2-32)=(1+k 2)x 1x 2-32k (x 1+x 2)+94 = -9(1+k 2)4+12k 2-18k 24+12k 2 +94=0,∴BP ⊥BQ . 2.(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )=2ax +bx -1-2ln x (a ∈R ). (1)当b =0时,确定函数f (x )的单调区间. (2)当x >y >e -1时,求证:e x ln(y +1)>e y ln(x +1). 2.(1)解:当b =0时,f ′(x )=2a -2x =2(ax -1) x (x >0). 当a ≤0时,f ′(x )<0在(0,+∞)上恒成立. ∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递减. 1 A B C D S E F N B 高考数学试题(整理三大题) (一) 17.已知0αβπ<<4,为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期,1tan 14αβ????=+- ? ????? ,, a (cos 2)α=, b ,且?a b m =.求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值. 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜 甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行;第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙; 第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求: (1)乙连胜四局的概率; (2)丙连胜三局的概率. 19.四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC =45°,AB =2,BC=22,SA =SB =3。 (Ⅰ)证明:SA ⊥BC ; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小; (二) 17.在ABC △中,1tan 4A =,3 tan 5 B =. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). (I )连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; (II )连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率; (III )连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证:EF ∥平面SAD ; (三) 17.已知ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值. 18. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖;摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率; (2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率. 19. 在Rt AOB △中,π 6 OAB ∠= ,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角 的大小; (III )求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 (四) 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???,ππ42x ??∈???? ,. (I )求()f x 的最大值和最小值; (II )若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ,上恒成立,求实数m 的取值范围. 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率. 19. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形, 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点。 (Ⅰ)证明:直线MN OCD 平面‖; (Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 高考数学常用公式及结论200条(一) 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|2 2 M N M N f x +-- ()0() f x N M f x ->- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 (重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法. 2017年普通高等学校招生全国统一考试(xx卷)数学(理科) 第Ⅰ卷(共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2017年xx,理1,5分】设函数的定义域为,函数的定义域为,则()(A)(B)(C)(D) 【答案】D 【解析】由得,由得,,故选D. (2)【2017年xx,理2,5分】已知,是虚数单位,若,,则()(A)1或(B)或(C)(D) 【答案】A 【解析】由得,所以,故选A. (3)【2017年xx,理3,5分】已知命题:,;命题:若,则,下列命题为真命题的是() (A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】由时有意义,知是真命题,由可知是假命题, 即,均是真命题,故选B. (4)【2017年xx,理4,5分】已知、满足约束条件,则的最大值是()(A)0(B)2(C)5(D)6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现, 当其经过直线与的交点时,最大为 ,故选C. (5)【2017年xx,理5,5分】为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知,,,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为() (A)160(B)163(C)166(D)170 【答案】C 【解析】,故选C. (6)【2017年xx,理6,5分】执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的值为7,第 二次输入的值为9,则第一次、第二次输出的值分别为()(A)0,0(B)1,1(C)0,1(D)1,0 【答案】D 【解析】第一次;第二次,故选D. (7)【2017年xx,理7,5分】若,且,则下列不等式成立的是()(A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】,故选B. (8)【2017年xx,理8,5分】从分别标有1,2,…,9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1xx,则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是() (A)(B)(C)(D) 高考数学大题 1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值; (2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。 2.(12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点. (I)求证:CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高 下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4.(12分) 在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA (1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x- 2C ),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。 5.(13分)已知函数f(x)=x+x a 的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N. (1)求a 的值; (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由: (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。 6.(13分)设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围.高考数学数列大题训练答案版
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