高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
C
∥ =
1 2CD
EM ∥ =
1 2 AB
B
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
又在△OME中， EM
1 2 1 AB ,OE DC 1 2 2 2
h
例题讲解
实战演练
作业布置
【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD, 底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2. 求证:平面PBC⊥平面PBD.
P
D
H
C
A
B
【解】在梯形ABCD中,
过点B作BH⊥CD于H. 在△BCH中,BH=CH=1, ∴ ∠BCH=45°. 又∵在△DAB中,AD=AB=1, ∴ ∠ADB=45°, ∴ ∠BDC=45°, ∴ ∠DBC=90°, ∴ BC⊥BD,
练习：如图所示，已知PA⊥矩形 ABCD所在平面，M，N分别是AB， PC的中点.
【分析】（1）因M 为AB中点，只要证 △ANB为等腰三角形，
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA= 平面PCD.
45
，求证：MN
⊥
则利用等腰三角形的性 质可得MN⊥AB.
（中）
（中）
例题讲解
实战演练
作业布置
【作业1】如图所示，P是△ABC所在平面外的一点， 且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC 求证：ＢＣ⊥AC. 【作业2】如右图所示，在棱长均 为2的斜三棱柱ABC－DEF中，已知源自∵平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD∩平面ABCD=CD,
PD⊥CD, PD⊂平面PCD, ∴ PD⊥平面ABCD, ∴ PD⊥BC,BD∩PD=D, 又∵ BD⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,
∴ BC⊥平面PBD,BC⊂平面PBC.
∴平面PBC⊥平面PBD.
P
D
A
H
C
B
例题讲解
实战演练
作业布置
D
O 2
B E
2
2
C
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO= 3 , 而AC=2, ∴ AO2+CO2=AC2, ∴ ∠AOC=90°,即AO⊥OC. ∵ BD∩OC=O, ∴ AO⊥平面BCD.
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中点， CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE，
连接AO，求证：AO⊥平面FEBC.
例题讲解
实战演练
作业布置
【选做】如右图所示，在四棱锥P－ ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD ＝a，PA＝PC＝ a， (1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求证：二面角P－BC－D是45°的二面 角．
1 = 3· D1D · DC · AD 1 =3
1
C E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中, AD=AA1=1,AB=2, 点E是AB的中点.
(2)求证D1E⊥A1D.
D1
A1 D
B1
C1
C
A
E
B
例题讲解
实战演练
作业布置
解 (2) ：连接AD1, ∵ A1ADD1是正方形, ∴ AD1⊥A1D. 又∵ AE⊥平面ADD1A1, A1D⊂平面ADD1A1,
A
2
O
B
2
D
2
2
E
C
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中点， CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD.
1 2
A
【解】(1) ∵在△ABD中, BO=DO,AB=AD, ∴ AO⊥BD. 又∵ 在△BOC中，BO=DO,BC=CD, ∴ CO⊥BD.
1 1 ∴ h·S△ACD= ·AO·S△CDE. 3 3
在△ACD中，CA=CD=2，AD= 2
D .H O E
B
C
1 2 2 7 2 2 2 ( ) . ∴ S△ACD= 2 2 2
1 3 2 3 而AO=1，S△CDE= 2 ， 2 4 2
AO SCDE S ACD 1 3 2 7 2 21 21 ,故点E到平面 ACD的距离为 7 7
立体几何之线线垂直、线面垂直、 面面垂直
【规律方法】
1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质 (3)利用线面垂直的性质 (2)利用勾股定理逆定理.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1，
AB=2,点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. (2)求证D1E⊥A1D.
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《直线、平面垂直的判定及其性质》ppt课件高中数学人教版2
n
a n
a l
a l
同理 bl
l
abA
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
*
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
解法分析：
1.两种证法的共同点是：都从一个面 内做交线的垂线，目的是使用面面垂直的
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
线面平行判定
*
线面平行性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
思考：还可以怎样作辅助线？
证法2：设 n， m,
l
在γ内任取一点A（不在m,n上），
α
β
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an γ mb A
▪
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
▪
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
▪
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
线线垂直线面垂直课件
线面垂直的定义与
02
性质
定义
两条直线垂直
如果两条直线在三维空间中互相 垂直，则它们之间的夹角为90度 。
直线与平面垂直
如果一条直线与一个平面内的任 意一条直线都垂直，则这条直线 与该平面垂直。
性质
线面垂直的性质定理
如果一条直线与一个平面垂直，那么 这条直线与平面内的任意一条直线都 垂直。
垂直关系的不变性
无论直线或平面如何旋转或平移，只 要保持它们的相对位置不变，垂直关 系就不会改变。
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交的 直线都垂直，那么这条直线与该平面 垂直。
如果一条直线与平面内的无数条直线 都垂直，那么这条直线与该平面垂直 。
如果一条直线与平面内的两条平行直 线都垂直，那么这条直线与该平面垂 直。
线线垂直与线面垂
03
直的联系与区别
联系
垂直关系的共通性
无论是线线垂直还是线面垂直，它们都涉及到两条直线或一条直线与一个平面 之间的垂直关系。
判定方法的相似性
在判定线线垂直或线面垂直时，常常需要利用到直线与平面垂直的判定定理， 即线面垂直判定定理。
区别
涉及元素不同
线线垂直只涉及到两条直线，而线面垂直则是一条直线与一个平面。
空间向量具有方向性，而线面垂直可以用来描述向量的方向 ，帮助我们理解向量的几何意义。
向量运算
利用线面垂直的性质，可以进行向量的运算，如向量的加法 、数乘、向量的模等。
在解析几何中的应用
确定直线与平面的位置关 系
通过线面垂直的性质，可以确定直线与平面 的位置关系，从而解决与解析几何相关的问 题。
计算点到平面的距离Βιβλιοθήκη 线线垂直与线面垂04
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
高中数学直线、平面垂直的判定与性质(公开课)(共12张PPT)
A
D
C
E B
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
S 证明:(2) 若AB＝BC，则AC⊥BD ， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD 又∵SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC.
A
B (2)线面垂直的性质，常用来证 明线线垂直．
(1)证明线面垂直，常转化为求 E 证线线垂直
D
B
∵ BN⊂面BDMN， ∴面BDM⊥面ECA.
(2) ∵DM BN ∴ DM⊥面ECA，DM⊂面DEA， ∴平面DEA⊥平面ECA.
线面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
P ∴ AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD， ∴ BD⊥面PAD. 又∵ BD⊂面MBD， ∴面MBD⊥面PAD. A M D 4 8 C
B
线面垂直的 判定与性质
面面垂直的 判定与性质
空间垂直关系之间的转化
作业布置
必做题
Hale Waihona Puke 选做题SA E B
D
C
D M C
A
N
B
D
C
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
变式训练1 如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD. 证明:∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面 ABC， ∴BD⊥CN. 又∵AC＝BC，N是AB的中点， ∴ AB ⊥CN. 又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD 垂直于平面，则垂 而AD ⊂平面ABD，∴CN⊥AD. 直于平面内的任意 条直线 A
D
M
C
N
B
线面垂直的 判定与性质
线面垂直的判定PPT课件
P
所在的平面,则PA与BC
的位置关系是_垂__直__.
A
3·如右图，PA平面ABC， p A B C 中 ， B CA B
则图中直角三角形的个
数是（ A ）
A
A4 B3 C2 D 1
2021
B
C B
C
10
例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？ A
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
2021
17
小结：
1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 化为证明线线垂直；反之亦然.
2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交；
3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？
①勾股定理的逆定理（已知长度）
②等腰三角形的三线合一
③利用线面垂直的性质
④利用平行移动不改变夹角大小
⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直
⑦相似
2021
18
作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 条件，然后用你的这个条件来证明
A’C⊥B’D’
2、（如图）在正方体AC1中， D1
求证：(1)AC⊥平面D1DB A1
(2)D1B⊥平面ACB1
D
C1 B1
C
A
B
2021
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
Байду номын сангаас
2021
7
线面垂直判定定理：
线线,线面,面面垂直关系ppt课件
证明：作AB的中点G，连接FG、GC
E
∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC
∴BE∥CD 又∵GF∥BE 且GF＝1
H
D
∴GF∥CD 且 GF＝CD
∴四边形CDFG为平行四边形 F
B
C
∴DF∥GC 且
GC平面 ABC
G
∴DF∥平面ABC
A
整理版课件
26
• 练习 40页 1 ，2 题
整理版课件
27
小结
29
• 已知（见右图）
D1
– 长方体ABCD-A1B1C1D1中，
B1G⊥BC1且交BC1于G。过
A1B1的平面交BC1于H，交
A1
AD1于K。
• 求证
– （1）B1G⊥平面ABC1D1; – （2）四边形A1B1HK为矩形
• 注意
KD
– 证明过程中推理演绎的运 用 A
整理版课件
C1
B1
H G
C
B
30
整理版课件
31
整理版课件
32
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二. 数学思想方法: 转化的思想
整理版课件
21
垂直关系的性质
整理版课件
22
一、直线与平面的性质
在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂直 于另一条直线，那么这两条直线平行。”
请问在空间中有相同或者类似的结论吗？
观察右图的长方体：
} a⊥α
b⊥β
a∥b
a
b
α
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ，
直线与平面垂直的性质：
1、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结PPT课件
精品课件
23
【证明】(1)连结AC，取其
中点O，连结NO、MO，并
延长MO交CD于R.
因为N为PC的中点，
所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所
以NO⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为
AC的中点，所以MO⊥CD.
而 MO∩NO ＝ O ， 所 以 CD⊥ 平 面 MNO， 所 以
B B1上 的 动 点 ．
1求 证 ： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求 当 B1P 等 于 多 少 时 ， PB
PO 平 面 D1AC ?
精品课件
10
【 解 析 】1 证 明 ：
因 为 ABCD为 菱 形 ， 所 以 AC BD. 连 结 B1D1. 因 为 D1D 底 面 ABCD， 所 以 AC D1D. 又 BD D1D＝ D， 所 以 AC 平 面 BB1D1D . 因 为 D1P 平 面 BB1D1D， 所 以 D1P AC .
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
精品课件
13
【
证
明
】
如
图
，
连
结
AE，
C
E，
D 1O ，
D
1
B
，
1
D 1E
.
设
正
方
体
D
B
的
1
棱
长
为
a .易
证
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件
β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直 问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理： 问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解 例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述： 如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究： 问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m
1.4.1线线垂直线面垂直与面面垂直课件高二上学期数学人教A版选择性(1)
以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(/2, √2,0),B(0, √2,0),D(2,0,0),
,所以n=-2 AM,即 n 与A 供线 . 所以AM1 平面BDF.
例题解析
,AB=/2,AF=1,M 是线段EF 的中
DF=(0,√2,1),
在直三棱柱ABC-A₁ B₁C₁ 中 ，AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,∴AC,BC,CC₁ 两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC₁ 分别为x 轴 、y 轴 、z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0), C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4).∵AC=(-3,0,0),BC₁=(0,-4,4),∴AC-BC₁=0,∴AC⊥BC₁,∴AC⊥BC₁ .
分别是平面α,β,y 的一个法向量，则α,β,
例题解析
设n=(x,y, 是平面BDF 的法向量，则n1BD,n1DF, 取y=1, 得x=1,z=-2, 则n=(1,1,-2
F(2,√BD=(2,- √2,0).所以因为
例5.如图，已知正方形ABCD和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直点 .求证：AM1 平面BDF.
例6.如图，在直三棱柱 ABC-A₁ B₁C₁ 中 ，AC=3,BC=4,AB=5,AA₁ =4.(1)求证：AC⊥BC₁.
例题解析
(2)在线段 AB 上是否存在点D, 使得 AC₁ ⊥CD 假设在线段 AB 上存在点D, 使得AC₁ ⊥CD,设AD= 入AB=(-3λ,4λ,0), 其中λ∈[0,1],则 D(3-3λ,4λ,0), 于是CD=(3-3λ,4λ,0).∵AC₁=(-3,0,4), 且AC₁ ⊥CD,∴-9+9λ=0, 解得λ=1.∴在线段 AB 上存在点D, 使得AC₁ ⊥CD, 且这时点D 与 点B 重 合 .
,所以n=-2 AM,即 n 与A 供线 . 所以AM1 平面BDF.
例题解析
,AB=/2,AF=1,M 是线段EF 的中
DF=(0,√2,1),
在直三棱柱ABC-A₁ B₁C₁ 中 ，AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,∴AC,BC,CC₁ 两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC₁ 分别为x 轴 、y 轴 、z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0), C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4).∵AC=(-3,0,0),BC₁=(0,-4,4),∴AC-BC₁=0,∴AC⊥BC₁,∴AC⊥BC₁ .
分别是平面α,β,y 的一个法向量，则α,β,
例题解析
设n=(x,y, 是平面BDF 的法向量，则n1BD,n1DF, 取y=1, 得x=1,z=-2, 则n=(1,1,-2
F(2,√BD=(2,- √2,0).所以因为
例5.如图，已知正方形ABCD和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直点 .求证：AM1 平面BDF.
例6.如图，在直三棱柱 ABC-A₁ B₁C₁ 中 ，AC=3,BC=4,AB=5,AA₁ =4.(1)求证：AC⊥BC₁.
例题解析
(2)在线段 AB 上是否存在点D, 使得 AC₁ ⊥CD 假设在线段 AB 上存在点D, 使得AC₁ ⊥CD,设AD= 入AB=(-3λ,4λ,0), 其中λ∈[0,1],则 D(3-3λ,4λ,0), 于是CD=(3-3λ,4λ,0).∵AC₁=(-3,0,4), 且AC₁ ⊥CD,∴-9+9λ=0, 解得λ=1.∴在线段 AB 上存在点D, 使得AC₁ ⊥CD, 且这时点D 与 点B 重 合 .