培优专题一绝对值
2020秋七年级数学上册培优专项《绝对值专题》
abc 的值
3、有理数 a 的位置如图所示，试求 a | a 2 | a 3 的值 |a| a2 |a3|
4、已知 x＜0＜z，xy＞0，|y|＞|z|＞|x| (1) 试在数轴上表示出 x、y、z 的大致位置 (2) 化简：|x＋z|＋|y＋z|－|z－y| (3) 求 y 1 2xz 的值
绝对值专题系列一
知识点 1、正数的绝对值得正，负数的绝对值得负：如果
，那么
；
反之，如果
，那么
；拓展：非负数的绝对值得正，非正数的绝对值得
负：如果
，那么
；如果
，那么
；反之也成
立：如果
，那么
；如果
，那么
；
知识点 2、一个数和它本身的商得 1，一个数和它的相反数的商得-1，如果 ，那么
；
如果
，那么
；反之，如果 ，那么
y ab bc ca ，求代数式 1 x 2(x 1 y 2 ) ( 3 x 1 y 2 ) 的值
| ab | | bc | | ca |
2
3
23
11.若 abc 0 ，化简 a b c abc 结果是_______________. a b c abc
12．若 abc＜0，a＋b＋c＝0，则 | b c | | a c | | a b | ＝___________
若
，
中有 或 或 个负数；
知识点 6、多个绝对值代数式的和为 0，则每一个绝对值代数式都等于 0
知识点 7、互为相反数的两个数或者代数式、绝对值式子，相加得 0
例：1．已知 a、b、c 是非零有理数，且 a＋b＋c＝0，abc＜0，求 a b c abc __________ | a | | b | | c | | abc |
绝对值同步练习培优
一、填空题1、一个正数的绝对值是＿＿＿＿，一个负数的绝对值是＿＿＿＿，0的绝对值是＿＿＿2、绝对值小于3的整数有＿＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、用“＞”或“＜”号填空。
－3＿＿－4， －（－4）＿＿－｜－5｜， －65＿＿－76 4、若a +｜a ｜＝0，则a ＿＿0，若a －｜a ｜＝0，则a ＿＿0。
5、已知｜a ｜＝73，｜b ｜＝209，且b ＜ a ，则a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿。
6、若｜a －2｜＋｜b ＋1｜＝0，则a ＋b ＝＿＿＿。
7、绝对值最小的有理数是＿＿＿，绝对值等于它本身的数是＿＿＿，绝对值等于它的相反数的数是＿＿＿＿。
8、绝对值小于2的整数有＿＿＿个，绝对值不大于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。
9、一个数的倒数的绝对值是21，则这个数是＿＿＿＿。
10、－31的相反数是＿＿＿，－31的绝对值是＿＿＿，－31的倒数是＿＿＿。
11、有理数m ，n 在数轴上的位置如图，二、选择题1、－｜－2｜的倒数是（ ） A 、2 B 、21 C 、－21 D 、－2 2、若｜a ｜＝－a ，则a 一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数3、代数式｜x －2｜＋3的最小值是（ ）A 、0B 、2C 、3D 、54、若｜a ｜＝｜b ｜，则a 与b 的关系是（ ）A 、a ＝bB 、a ＝－bC 、a ＝b 或a ＝－bD 、不能确定5、下面说法中正确的有（ ）个①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是一个正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数。
A 、1B 、2C 、3D 、46、下面说法中错误的有（ ）个。
①一个数的相反数是它本身，这个数一定是0；②绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是0；③｜a ｜＞｜b ｜，则a ＞ b ；④两个负数，绝对值大的反而小；⑤任何数的绝对值都不会是负数。
A 、1B 、2C 、3D 、47、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、无数多个8、 如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（ ）A.-n>m>-m>nB.m>n>-m>-nC.-n>m>n>-mD.n>m>-n>-m9、比较21、31、41的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜31 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 三、解答题1、比较下列各组数的大小。
2024年浙教版七年级上册数学期末培优复习第2招与绝对值有关的常见题型
A. ①④
B. ①③
C. ②③
D. ②④
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绝对值的非负性在求字母取值中的应用
3. 如果｜－2 a ｜＝－2 a ，那么 a 的取值范围是(
A. a ＞0
B. a ≥0
C. a ≤0
D. a ＜0
4. 如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是
C
)
x ≤2
.
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5. 已知｜ x －2｜＋｜ y －3｜＝0.
(1)求 x ， y 的值；
【解】由题意得， x －2＝0， y －3＝0，
所以 x ＝2， y ＝3.
(2)已知｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，求 z 的值.
【解】因为 x ＝2， y ＝3，｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，
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(4)当 m 为何值时，式子8－｜ m －2｜有最大值？最大值
是多少？
【解】要使式子8－｜ m －2｜有最大值，则｜ m －2｜
取得最小值.
因为｜ m －2｜≥0，所以当 m ＝2时，｜ m －2｜取得
最小值，最小值为0，
所以当 m ＝2时，式子8－｜ m －2｜取得最大值，最大
值为8－0＝8.
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绝对值在数轴中的应用
七年级培优——绝对值
七年级培优——绝对值绝对值是七年级数学中的一个非常重要的基本概念，但涉及到的数学思想非常重要，所涉及的方法也会对整个初中数学的学习有很大的帮助，本节课我们将从几种方法对绝对值的综合题进行讲解。
一、利用绝对值的定义求绝对值的值。
绝对值的定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,0,00,||时当时，当时，当a a a a a a例题1：已知1||≤x ，1||≤y ，求|52||1|--++x y y 的最小值。
方法点拨：要化简|52||1|--++x y y ，必须要搞清楚1+y 和52--x y 的正负情况，当不能判断的时候就需要通过分类来进行化简.解：因为1||≤x ，1||≤y 可得11≤≤-x ，11≤≤-y ，所以210≤+≤y ，从而得1|1|+=+y y因为11≤≤-y ，所以222≤≤-y ，因为11≤≤-x ，所以11≤-≤-x所以323≤-≤-x y所以2528-≤--≤-x y ，即052<--x y ，从而有52)52|52|++-=---=--x y x y x y （ 所以6521|52||1|+-=++-+=--++y x x y y x y y所以当x 取最小值，y 取最大值时，6+-y x 的值最小即当1-=x ，1=y 时，|52||1|--++x y y 的最小值为4611=+--.练习1：若3||=x ，2||=y ，且x y y x -=-||，求y x +的值.练习2：已知0<a ，0>b ，求|5||1|---+-b a a b 的值.练习3：已知a 、b 、c 是非零有理数，且0=++c b a ，求abcabc c c b b a a ||||||||+++的值.练习4：已知1||≤x ，1||≤y ，求|42||1|||--++++x y y y x 的最大值和最小值.练习5：已知152||=++y x x ，3| |=-+y y x ，求x ，y 的值.二、利用数轴解绝对值的值由绝对值的几何意义可知，||a 表示的几何意义为实数a 到原点的距离，||b a -表示的几何意思为实数a 到实数b 在数轴上的距离。
人教版 七年级数学上册 一元一次方程培优专题-绝对值方程(解析版)
2 - 1 =22 2 2 进而 ⎪⎨，解得 ⎪⎨ ⎩ ⎩一元一次方程培优专题——绝对值方程例题1. 解方程： 2 x + 3 = 5【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为 2x + 3 = 5 或者 2x + 3 = -5 ，解得 x = 1 或 x = -4【答案】 x = 1 或 x = -4例题2. 解方程 x + 1 - 1 2 - x + 13【解析】原方程整理得： x + 1 = 13 ，即 x + 1 = 13 或者 x + 1 = - 13 ，所以原方程的解为 x = 8 或 x = - 1855 5 5 5【答案】 x = 8 或 x = - 1855例题3. 已知：当 m > n 时，代数式(m 2- n 2+ 3) 和 m 2+ n 2- 5 的值互为相反数，求关于x 的方程m 1 - x = n的解．【解析】因为代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数，所以 (m 2 - n 2 + 3) + m 2 + n 2 - 5 = 0 ， 所以 (m 2 - n 2 + 3) = 0 ， m 2 + n 2 - 5 = 0 ，⎧m 2 - n 2 = -3 ⎪m 2 + n 2 = 5⎧m 2 = 1 ⎪n 2 = 4，所以 m = ±1, n = ±2 ，因为 m > n ，当 m = 1时， n = -2 ；当 m = -1 时， n = -2 ；当 m = 1，n = -2 时，方程为 1 - x = -2 ，该方程无解；当 m = -1， n = -2 时，方程为 - 1 - x = -2 ，解得 x = -1 或 x = 3 ．【答案】 x = -1 或 x = 3例题4.解方程4x+3=2x+9【解析】解法一：令4x+3=0得x=-3，将数分成两段进行讨论：4①当x≤-3时，原方程可化简为：-4x-3=2x+9，x=-2在x≤-3的范围内，是方程的解．44②当x>-3时，原方程可化简为：4x+3=2x+9，x=3在x>-3的范围内，是方程的解．44综上所述x=-2和x=3是方程的解．解法二：依据绝对值的非负性可知2x+9≥0，即x≥-9．原绝对值方程可以转化为①4x+3=2x+9，2解得x=3，经检验符合题意．②4x+3=-(2x+9)，解得x=-2，经检验符合题意．综合①②可知x=-2和x=3是方程的解．【答案】x=-2或x=3例题5.解方程4x+3=2x+9【答案】x=3或x=-2例题6.a为有理数，a=2a-3，求a的值．【解析】解法一：要想求出a的值，我们必须先化简a=2a-3．采用零点分段讨论的方法．令a=0，2a-3=0得a=3．2①当a≥3时，由原式可得a=2a-3，求得a=3，在a≥3的范围内；22②当0≤a<3时，由原式可得a=3-2a，求得a=1，在0≤a<3的范围内；22③当a<0，由原式可得-a=-2a+3，求得a=3，不在a<0的范围内．综上可得a的值为3或1．x 解法二：依题意， a 的绝对值和 2a - 3 的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即a = 2a - 3或a = -(2a - 3) 解得 a = 3 或 a = 1．【答案】 a = 3 或 a = 1例题7. 解方程 2 x - 1 = 3x + 1【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到2x - 1 = 3x + 1 或 2x - 1 = -3x - 1 ，解得 x = -2， = 0 ．【答案】 x = -2 或 x = 0例题8. 解方程 x - 1 + x - 3 = 4【解析】令 x - 1 = 0 ， x - 3 = 0 得 x = 1 ， x = 3 ，它们可以将数轴分成 3 段：①当 x < 1 时，原方程可化简为： -( x - 1) - ( x - 3) = 4 ， x = 0 在 x < 1 的范围内是原方程的解；②当 1 ≤ x < 3 时，原方程可化简为： x - 1 - ( x - 3) = 4 ，此方程无解；③当 x ≥ 3 时，原方程可化简为： x - 1 + x - 3 = 4 ， x = 4 在 x ≥ 3 的范围内是原方程的解；综上所述，原方程的解为： x = 0 或 x = 4 ．【答案】 x = 0 或 x = 4例题9. 解方程 x - 1 + x - 5 = 4【解析】由绝对值的几何意义可知 1 ≤ x ≤ 5 ．【答案】 1 ≤ x ≤ 5例题10. 解方程： 2 x + 1 - 2 - x = 3【解析】零点为： x = - 1 ， x = 2 ，它们可将数轴分成三段：22 ①当 x < - 1 时，原方程变形为：-(2 x + 1) - (2 - x) =3 ，x = -6 在 x < - 1 的范围内，是方程的解；22②当 - 1 ≤ x < 2 时，原方程变形为： (2 x + 1) - (2 - x) = 3 ， x = 4 在 - 1 ≤ x < 2 的范围内，是方程23 2的解；③当 x > 2 时，原方程变形为：(2 x - 1) - ( x - 2) = 3 ，x = 0 不在 x > 2 的范围内，不是方程的解．综上所述原方程的解为： x = -6 或 x = 4 ．3【答案】 x = -6 或 x = 43例题11. 解方程：方程 x + 3 + 3 - x = 9 x + 52【解析】对 x 的值分 4 段讨论：①若 x < -3 ，则原方程化为 - x - 3 + 3 - x = - 9 x + 5 ，解得 x = 2 ，与 x < -3 矛盾；2②若 -3 ≤ x < 0 ，则原方程化为 x + 3 + 3 - x = - 9 x + 5 ，解得 x = - 2 ；29③若 0 ≤ x < 3 ，则原方程化为 x + 3 + 3 - x = 9 x + 5 ，解得 x = 2 ；29④若 x ≥ 3 ，则原方程化为 x + 3 + x - 3 = 9 x + 5 ，解得 x = -2 ，与 x ≥ 3 矛盾．2综上所述方程的解为 x = ± 2 ．9【答案】 ± 29例题12. 解绝对值方程： x - 3x - 5- 1 = 62【解析】 x - 3x - 5 - 1 = 6 或 -6 ，即 3x - 5 = x - 7 或 3x - 5 = x + 522 2①当 x - 7 ≥ 0 时（即 x ≥ 7 ）， 3x - 5 > 0 ， 3x - 5 = x - 7 化为 3x - 5 = x - 7 ，解得 x = -9 ；22②当 x + 5≥ 0 时（ x ≥ -5 ），若还有 3x - 5 > 0 （即 x ≥ 5 ）， 3x - 5 = x + 5 ，解得 x = 15 ；23 2③当 x + 5≥ 0 时（ x ≥ -5 ），若还有 3x - 5 < 0 （即 x < 5 ）， 3x - 5 = - x - 5 ，解得 x = -1 ．23 2再来检验这三个解 x = -9 （舍去）、 x = 15 、 x = -1 ．【答案】 x = 15 或 x = -13x + 1 = 0，x = - ； x - 3x + 1 = 0 ， x = - ， - ，这 3 个零点将数轴分成 4 段，我们分段讨论 8例题13. 解方程： 3x - 5 + 4 = 8【解析】3x - 5 + 4 = 8 或 - （舍），即 3x - 5 = 4 ，所以 3x - 5 = 4 或 -4 ，即 3x = 9 或 3x = 1 ，故 x = 3 或 x = 1 ．3【答案】 x = 3 或 x = 13例题14. 求方程 x - 3x + 1 = 4 的解．【解析】解法一：1 1 1 32 4研究可以得到结果为： x = 3 或 x = - 5 ，但其实这么做是没必要的．我们来看看解法二．24解法二：①当 x ≤ - 1 时，方程可化为： 4x + 1 = -4 ， x = - 5 ，在 x ≤ - 1 范围内，是方程的解；34 3②当 x > - 1 时，方程可化为 -2 x - 1 = 4 ：当 -2x - 1 = 4 时，得 x = - 5 ， - 5 < - 1 ， x = - 5 不是32 23 2解，舍去；当 -2x - 1 = -4 时，得 x = 3 ，∵ 3 > - 1 ，∴ x = 3 是方程的一个解．22 3 2综上可得，原方程的解为 x = 3 或 x = - 5 ．24【答案】 x = 3 或 x = - 524例题15. 当 0 ≤ x ≤1 时，求方程 x - 1 - 1 - 1 = 0 的解【解析】根据 x 所在的范围，可得 x ≥ 0 ， x - 1≤ 0 ，因此 x = x ，x - 1 = 1 - x ，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为： 1 - x - 1 - 1 = 0 ，即 1 - x = 0 ，所以 x = 1 ．【答案】1。
2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题《绝对值》原卷
专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，表示数a表示数a与数b间的距离；3. 绝对值的性质；②；③；⑤【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a =，当b＝﹣2时，求|b|b=．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为．三、绝对值的最值【学霸笔记】1. a与数b两点间的距离；2. n为奇数，当n.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣10093．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．54．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c25．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|=．6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c +|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b ﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，a n，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，b n．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|之所有可能的值．。
初一七年级绝对值练习（含例题基础培优）
初⼀七年级绝对值练习（含例题基础培优）初⼀七年级绝对值练习（含例题、基础、培优）例题部分⼀、根据题设条件例1 设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）思路分析由可知可化去第⼀层绝对值符号，第⼆次绝对值符号待合并整理后再⽤同样⽅法化去．解∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．⼆、借助数轴例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所⽰，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让⼈去观察，⼀定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表⽰的数总⼤于左边点表⽰的数．3．离原点远的点的绝对值较⼤，牢记这⼏个要点就能从容⾃如地解决问题了．三、采⽤零点分段讨论法例3 化简思路分析本类型的题既没有条件限制，⼜没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采⽤零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—⼀讨论．解令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴原式∴原式③当时，，∴原式∴归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采⽤此法的⼀般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不⼀定是两个）．2．分段：根据第⼀步求出的零点，将数轴上的点划分为若⼲个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或⽆根据地增加⼀些附加条件，以免得出错误的结果．练习：请⽤⽂本例1介绍的⽅法解答l、2题1．已知a、b、c、d满⾜且，那么2．若，则有（）。
七上绝对值培优专题
七年级数学培优专题讲解绝对值培优一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数二、 典型例题例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例5．已知|ab －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值：()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．例7.若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.例8.已知112x x ++-=，化简421x -+-．例9.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？练习题 1.如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值. b -1 c 0 a 12.已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．3.若0abc <，求a b c a b c +-的值4.有理数a ，b ，c ，d 满足1abcdabcd =-，求abcda b c d+++的值．5.试求123...2005x x x x -+-+-++-的最小值6. 已知式子：431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，求x 的取值范围。
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专题一 绝对值
题型一、基本定义化简
【典型例题】
例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+.
例2、已知00x z xy y z x <<>>>，
，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0,>-<b
a b a ，化简a b a b ab -+++
【课后练习】 1、实数,,a b c 在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-
0c
b a
2、已知有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简a a b c b a c -++-++
3、⑴若有理数a 、b 满足|a+4|+|b-1|=0，则a+b=_______
⑵若|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a ，则a+b=________.
⑶若m 是有理数，则|m|-m 一定是( ) A.零 B.非负数 C. 正数 D 负数
⑷如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（ ）
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
-2
32b a
1-1
题型二、绝对值零点分段化简
【典型例题】
例4、阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，
可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-
【课后练习】
化简： ⑴3x
- ⑵12x x +++
⑶523
x x ++- ⑷212x x ---
⑸12m m m +-+- ⑹121
x x --++
（7）3243m m m ++-+- （8）32264m m m ++-+-
题型三、关于a
a
的探讨应用
【典型例题】 例5、已知a b c abc x a b c abc =
+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值。
例6、11、已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求
a b c abc a b c abc
+++的值。
【课后练习】
1、已知a 是非零有理数，求23
23a a a a a a ++的值.
2、若01a <<，21b -<<-，求
1212a b a b a b a b -++-+-++的值。
13、如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
14、a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则
a b b c c a a b b c c a ++的值等于多少？
题型四、绝对值的几何意义的应用
【典型例题】
例7、m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示( )的点之间的距离。
+m n 的几何意义是数轴上表示m 的点与表示( )的点之间的距离。
例8、①x 的几何意义是数轴上表示x 的点与_______之间的距离；____0(,,);x x ->=< ② 21- 的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-=_______；
③3x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示_______的点之间的距离，若3x -=1，则x =_______. ④2x +的几何意义是数轴上表示x 的点与表示_______的点之间的距离，若2x +=2，则x =_______. ⑤当x =-1时，则22_____.
x x -++= 例9、（1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为别为,,,.p q r s 若10,12,9,p r p s q s -=-=-=则______.
q r -=
(2) 不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为,,A B C ，如果a b b c a c -+-=-，那么,,A B C 在数轴上的位置关系是（ ）
A 、点 A 在点
B ，
C 之间 B 、点B 在点A ，C 之间
C 、点C 在点A ，B 之间
D 、以上三种情况均有可能
例10、（1）利用绝对值得几何意义完成下题：
已知2,x =利用绝对值的几何意义可得2;x =±
若21,x +=利用绝对值的几何意义可得1x =-或-3.
已知125,x x -++=利用绝对值在数轴上的几何意义得______x =.
（2）利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值_______.
52x x ++-的最小值__________.
214x x x ++-+-的最小值__________.
7326x x x x ++++-+-的最小值__________.
【课后练习】
1、设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.
2、如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建立在什么位置？
3、如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站p ，使这5台机床到供应站p 的距离总和最小，供应站p 建在哪？最小值为多少？。