分类与分布加法原理
概率与统计初步(含习题训练)
第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有:n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 (分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）;二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ,且：3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且:组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关；组合与顺序无关。
()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示； （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示(φ读作“fai ”)； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率； 3、 概率（1） 一般地,当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：; （2） 概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率:设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为:（3） 事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作：AB ；（4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”)（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ；（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件(互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件)（8） 相互独立事件:在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立;（事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量; 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：()n x x x nx +++=2112、 样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 三维目标知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：① 通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力；情感态度与价值观：①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法 启发式教具准备 多媒体教学过程一、引入课题引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。
师生互动：老师提问学生回答。
二、讲授新课：1、分类加法计数原理问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。
一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。
发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.（也称加法原理）设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。
人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：分类加法计数原理和分步乘法原理
目录考点一：基本计数原理 (2)题型一、分布加法原理 (2)题型二、分布乘法原理 (4)题型三、基本计数原理的综合运用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一：基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． 乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．题型一、分布加法原理1.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( ) A ．3B ．5C ．9D ．12【分析】用列举法求解．【解答】解：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法： ①用2张10元钱支付；②用1张10元钱和2张5元钱支付；③用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付； ④用1张10元钱和10张1元钱支付； ⑤用1张5元钱和15张1元钱支付； ⑥用2张5元钱和10张1元钱支付；⑦用3张5元钱和5张1元钱支付； ⑧用4张5元钱支付； ⑨用20张1元钱支付． 故共有9种方法． 故选：C ．【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有( ) A ．3种B ．1848种C ．37种D ．6种【分析】分情况讨论：选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可．【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法， 共有：12141137++=． 故选：C ．【点评】本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别． 3．已知集合{1M=，2-，3}，{4N =-，5，6，7}-，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点( ) A ．18个B ．10个C ．16个D ．14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质，分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，易得每种情况下的数目，进而由加法原理可得答案．【解答】解：第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制；分2种情况讨论，①取M 中的数作横坐标，取N 中的数作纵坐标坐标，有326⨯=种情况， ②取N 中的数作横坐标，取M 中的数作纵坐标坐标，有414⨯=种情况； 共有6410+=种情况， 故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质．题型二、分布乘法原理1．设函数:f N N ++→满足：对于任意大于3的正整数n ，()3f n n =-，且当3n 时，2()3f n ，则不同的函数()f x 的个数为()A ．1B ．3C ．6D ．8【分析】通过()3f n n =-，结合映射的定义，根据2()3f n ，确定函数的个数．【解答】解：3n ，2()3f n ，f∴（1）2=或3，且f（2）2=或3 且f（3）2=或3．根据分步计数原理，可得共2228⨯⨯=个不同的函数． 故选：D ．【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础． 2．将一枚骰子向桌面先后抛掷2次，一共有( )种不同结果． A ．6B ．12C ．36D ．216【分析】由分步计数原理知有66⨯种结果，问题得以解决 【解答】解：由分步计数原理知有6636⨯=种结果 故选：C ．【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题3．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有多少种（结果用数字表示）．( ) A ．5B ．10C ．20D ．120【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水， 第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土， 故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯= 故选：B ．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是( )A ．420B ．180C ．64D ．25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行， 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有4种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，∴共有180种不同的涂色方案．故选：B ．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况． 2．5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为 （用数字作答）．【分析】先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，求得结果．【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有44A 种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有44496A =种，故答案为：96．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，注意特殊元素优先排列，属于基础题．3．已知集合{1M ∈，2-，3}，{4N ∈-，5，6，7}-，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数．【分析】本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，⨯个，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有12⨯个．⨯个，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22在第二象限的点共有22⨯个．∴所求不同的点的个数是2212222214⨯+⨯+⨯+⨯=（个)．【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．课后综合巩固练习1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有()种．A．8B．15C．18D．30【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有358+=种结果，故选：A．【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．2．将一张面值1元的人民币全部换成面值1角，2角和5角的硬币，则换法总数为．【分析】设1角硬币有x枚，2角硬币有y枚，5角硬币有z枚，构造三元一次方程，然后利用列举法得到所有可能的情况，可得答案．【解答】解：设1角硬币有x 枚，2角硬币有y 枚，5角硬币有z 枚 则2510x y z ++= 满足方程的解有：10x =，0y =，0z = 8x =，1y =，0z = 6x =，2y =，0z = 4x =，3y =，0z = 2x =，4y =，0z = 0x =，5y =，0z =5x =，0y =，1z = 0x =，0y =，2z = 3x =，1y =，1z = 1x =，2y =，1z =共十种不同情况 故答案为：10【点评】解决此类问题要用列举法，把所有的情况都一一排查，找出问题的答案． 3．乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项．【分析】根据多项式的乘法法则，分析易得在123()a a a ++中取一项有3种取法，在1234()b b b b +++中取一项有4种取法，在12345()c c c c c ++++中取一项有5种取法，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据多项式的乘法法则，123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的结果中每一项都必须是在123()a a a ++、1234()b b b b +++、12345()c c c c c ++++三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在123()a a a ++中有3种取法，在1234()b b b b +++中有4种取法，在12345()c c c c c ++++中有5种取法，由乘法原理，可得共有34560⨯⨯=种情况，则123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的展开式中有60项； 故答案为60．【点评】本题考查分步计数原理的运用，是常见的题目；平时要多加训练．4．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有 种停放方法．（用数字作答）【分析】利用分步计数原理，第一步先选车，第二种再排列，问题得以解决【解答】解：第一步先选车有36C 种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有11111166543216C C C C C C A =种，根据分步计数原理得；366614400C A =种．故答案为：14400．【点评】本题考查了分步计数原理的应用，关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5．对于各数互不相等的正数数组1(i ，2i ，⋯，)(n i n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组(2，4，3，1)中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是 ． 【分析】根据题意，假设出一种情况，倒序后输出顺序数即可．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组1(a ，2a ，3a ，4a ，5)a 的“顺序数”是4，假设12a a <，13a a <，14a a <，15a a <，且后一项都比前一项小，因此可以判断出23a a >，34a a >，45a a >， 则5(a ，4a ，3a ，2a ，1)a 的“顺序数”是6， 故填：6．【点评】本题考查了新定义，理解好定义是解题的先决条件，另外，要大胆假设．本题属基础题．。
第一轮复习自己整理绝对经典排列组合第一轮
排列组合常见题型总结(2015版)排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.【知识要点】一、分类加法原理与分布乘法计数原理1．加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
二、排列与组合1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n ,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n! 。
2．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 规定：1C 0=n 组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=； （2）11--+=n n m n m n C C C ；一、 可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m L.分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m L.2 排列数公式：m nA =)1()1(m n n n =！！)(m nn .(n ，m ∈N *，且mn )．规定1!0.3 组合数公式：mn C=m n m mA A =m m n n n 21)1()1(=！！！)(m n m n (n ∈N *，m N ，且m n ).组合数的两个性质:(1)mn C=m n nC;(2) m n C+1m nC=mn C1.规定10nC.4 二项式定理nn nrrn r nn nn nnnnbC ba C baC ba C a Cb a222110)(;二项展开式的通项公式rrn r nrb a C T 1)210(n r ，，，.2012()()nnn f x ax b a a xa xa x L 的展开式的系数关系：012(1)na a a a f L；012(1)(1)nna a a a f L；0(0)a f 。
5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )．7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).kk n kn nP k C P P 8 数学期望：1122n nEx P x P x P LL数学期望的性质（1）()()E a b aE b . （2）若～(,)B n p ,则E np .(3)若服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ，则1E p .9方差：2221122n nDx Ep x Ep x Ep LL标准差：=D .方差的性质：(1)2D a ba D ；(2）若～(,)B n p ，则(1)D np p .(3)若服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ，则2q Dp.方差与期望的关系：22DE E.10正态分布密度函数：22261,,26xf x ex ，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于2(,)N ，取值小于x 的概率：xF x .12201x x P x xP x x x P 11)(x f 在0x 处的导数（或变化率）：0000()()()limlimx x xxf x x f x yf x yx x .瞬时速度：00()()()limlimttss tt s t s t t t .瞬时加速度：()()()limlimttvv tt v t av t tt.12函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y在点0x 处的导数是曲线)(x f y在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ，相应的切线方程是))((000x x x f y y.13 几种常见函数的导数：(1)0C （C 为常数）.(2) 1()()nn x nx nQ .(3) x x cos )(sin .(4) x x sin )(cos . (5) xx 1)(ln ；1(log )log a a x e x .(6) xxe e )(; a a a xxln )(.14 导数的运算法则：（1）'''()uv uv .（2）'''()uv u vuv .（3）'''2()(0)uu v uvv vv.15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(x f ，右侧0)(x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(x f ，右侧0)(x f ，则)(0x f 是极小值.16 复数的相等：,a bi c di ac bd .（,,,a b c dR ）17 复数za bi 的模（或绝对值）||z =||a bi =22ab .18 复平面上的两点间的距离公式：22122121||()()d z z x x y y （111z x y i ，222z x y i ）.19实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，①若240b ac ,则21,242bbacx a ;②若240b ac ,则122bx x a;③若240bac，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b bac ixbac a.20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？22排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：m nm nCm P ！组合数性质：m nC =m n nCm nC+1m nC=m n C1nr r nC=n21121r n r n r r r r r rCC CCC二项式定理：nn nrrn r nn nn nnnnbC baC b aC b a C a C b a 222110)(二项展开式的通项公式：rrn r nrb aC T 1)210(n r，，，概率统计23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
高中数学选修2-3排列组合
计数原理【知识要点】一、分类加法原理与分布乘法计数原理1．加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
种不同的方法。
2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
种不同的方法。
二、排列与组合1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m m(m≤≤n)n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m (m≤≤n)n)元素的所有排列个元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示，表示，mn A =n(n-1)=n(n-1)……(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n m,n∈∈N,m N,m≤≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n! 。
2．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m m(m≤≤n)n)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m m(m≤≤n)n)个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=规定：1C 0=n组合数的基本性质：（1）mn n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；解决排列与组合的应用题的一般方法有：解决排列与组合的应用题的一般方法有：（1）特殊元素（位置）法）特殊元素（位置）法 （2）相邻问题的“捆绑法”）相邻问题的“捆绑法” （3）不相邻问题“插空法”）不相邻问题“插空法” （4）正难则反）正难则反 “排除法”“排除法”一、两个计数原理1、某人计划按“石家庄—青岛—广州”的路线旅游，从石家庄到青岛可乘坐汽车、火车、飞机3种交通工具，从青岛到广东可以乘坐汽车、火车、飞机、轮船4种交通工具，文此人可选择的旅行方式有 （）选择的旅行方式有A、7 种B、8 种C、10 种D、12种2、从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b 组成复数a+bi,其中虚数有其中虚数有 （）A、30个B、36个C、42个D、35个3、（07全国）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一人参加，则不同的选派方法有 （）天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各1人参加，则不同的选派方法有A、40种B、60种C、100 种D、120种4、有4部机床，需要加工3个不同的零件，其不同的安排方法有个不同的零件，其不同的安排方法有 （）A、43B、34C、3A D、4445、有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加。
分类加法原理与分布乘法原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理 （1）提出问题问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N += 种不同的方法. （3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 练习1．填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理 （1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯= 种不同的方法. （3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？练习1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
双基达标(限时20分钟)
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为()．A．6 B．5 C．3 D．2
解析“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．答案 B
2．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有()．A．2个B．3个C．4个D．5个
解析满足题意的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共有5 个，故选D.
答案 D
3．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有()．A．10种B．20种C．25种D．32种
解析5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2 ＝32种报名方法．
答案 D
4. 如图所示为一电路图，从A到B共有________条不同的
线路可通电．
解析∵按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中
有3条；中线路中有1条；下线路中有2×2＝4(条)．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(种)．
答案8
5．在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
解析分两步安排这8名运动员．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．
第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．
∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．
答案 2 880
6．某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有
多少种不同的选法？
解(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第一类：从1班任选一名学生，有50种不同选法；
第二类：从2班任选一名学生，有60种不同选法；
第三类；从3班任选一名学生，有55种不同选法．
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165种．
(2)由题设知共有三类：
第一类：从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第二类：从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第三类：从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80种．
综合提高（限时25分钟）
7．设P，Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是()．A．4 B．7 C．12 D．16
解析a有3种取法，b有4种取法，由分步乘法计数原理有3×4＝12(种) 不同取法，生成12个不同元素．
答案 C
8．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()．A．16种B．18种C．37种D．48种
解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．
答案 C
9．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．
解析第一个箱子放入1个小球则共有4种情况，第一个箱子放入2个小球则共有3种情况，第一个箱子放入3个小球则共有2种情况，第一个箱子放入4个小球则共有1种情况，据分类加法计数原理共有10种情况．
答案10
10．如图所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、
E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法有________种．
解析按照分步乘法计数原理，先为A着色共有5种，再为B着色有4种(不能与A相同)，接着为C着色有3种(不与A，B相同)，同理依次为D、E着色各有3种．所以种数为：N＝5×4×33＝540.
答案540
11．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取
法？
(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问
一共有多少种不同的取法？
解(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理知，有10＋12＝22(种)取法．
(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再
从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理知，有10×12＝120(种)取法．12．(创新拓展)设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
解(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14种不同的选法；
(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，
利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70种不同的选法；
(3)三类分别为选国画与油画，油画与水彩画、国画与水彩画，再利用分类加
法计数原理和利用分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59种不同的选法．。