导数压轴题型第5讲构造函数(mathtype WORD精编版)

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运用构造函数法解答导数问题的步骤

导数问题的难度较大，对同学们的数学抽象思维能力和运算能力有着较高的要求.导数与函数之间的联系紧密，所以在解答导数问题时，通常要根据已知条件来构造合适的函数模型，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.这就是构造函数法.运用构造函数法解答导数问题的步骤为：1.仔细研究题目中给出的关系式的结构特征；2.灵活运用幂函数的求导公式(x n)′=nx n-1、指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a（特例(e x)′=e x，(e nx)′=ne nx(n∈N*,n≥2)）、对数函数的求导公式(log a x)′=1x ln a（特例(ln x)′=1x）、三角函数的求导公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x等，对已知关系式中的部分式子进行求导或积分；3.根据导数的运算法则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u v)′=u′v-uv′v2将目标式或已知关系式进行变形，并将变形、化简后的式子构造成新函数模型；4.根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性；5.根据函数的单调性求函数的极值，比较函数式的大小.把导数问题转化为函数问题来求解，可以达到化繁为简、化难为易的目的.例1.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，且xf′(x)+3f(x)>0，那么不等式(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0的解集是（）.A.(-2024,+∞)B.(-2022,-2021)C.(-∞,-2022)D.(-2024,-2021)解：在不等式xf′(x)+3f(x)>0的两边同乘以x2，可得x3f′(x)+3x2f(x)>0，即x3f′(x)+(x3)′f(x)>0，得(x3f(x))′>0.设函数g(x)=x3f(x)，则g′(x)>0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.而(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0可变形为(x+2021)3f(x+2021)>(-3)3f(-3)，即g(x+2021)>g(-3).可得-3<x+2021<0，解得-2024<x<-2021.故选D.先根据指数函数的求导公式(x3)′=3x2以及导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′将xf′(x)+3f(x)>0变形，即可化简不等式；再构造出函数g(x)=x3+f(x)，探讨其单调性，便可根据函数的单调性求得问题的答案.例2.已知函数f(x)是R上的可导函数，且(x-1)⋅(f′(x)-f(x))>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，那么一定正确的是（）.A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)解：将不等式(x-1)(f′(x)-f(x))>0变形，可得(x-1)∙e x f′(x)-(e x)′f(x)(e x)2>0，即(x-1)∙(f(x)e x)′>0，设函数g(x)=f(x)e x，易知：当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.将f(2-x)=f(x)e2-2x变形，可得f(2-x)e2-x=f(x)e x，即g(2-x)=g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.根据函数g(x)的单调性、对称性可得g(0)=g(2)<g(3)，即f(0)e0<f(3)e3，因此e3f(0)<f(3).故选C.我们以指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a为切入点，根据导数的运算法则(u v)′=u′v-uv′v2，构造商式函数g(x)=f(x)e x，即可根据其单调性和对称性求得问题的答案.备考指南54例3.已知函数f (x )是定义在(1,+∞)上的可导函数，对∀x ∈(1,+∞)均有f '(x )ln x >1+ln x xf (x )恒成立，则（）.A.12f (2)>3f (4)>f (8)B.3f (4)>12f (2)>f (8)C.f (8)>3f (4)>12f (2)D.f (8)>12f (2)>3f (4)解：在f ′(x )ln x >1+ln x xf (x )的两边同乘以x ，移项可得f ′(x )x ln x -(1+ln x )f (x )>0，再变形得f ′(x )ln x -(x ln x )′f (x )(x ln x )2>0，得(f (x )x ln x )′>0，显然该不等式对∀x ∈(1,+∞)恒成立.设函数g (x )=f (x )x ln x，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.所以g (2)<g (4)<g (8)，即f (2)2ln 2<f (4)4ln 4<f (8)8ln 8，变形得f (2)2ln 2<f (4)8ln 2<f (8)24ln 2，可得f (8)>3f (4)>12f (2).故选C.根据已知条件和对数函数的求导公式(log a x )′=1x ln a，得到(x ln x )′=1+ln x ，便可根据导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′和(u v )′=u ′v -uv ′v 2，将不等式进行变形、化简，进而构造出函数g (x )=f (x )x ln x，利用函数的单调性即可解题.例4.已知函数f (x )是定义在(-π2,π2)上的可导函数，且f ′(x )cos x +f (x )sin x >0恒成立，那么下列不等式不成立的是（）.A.2f (π3)<f (π4)B.2f (-π3)<f (-π4)C.f (0)<2f (π4) D.f (0)<2f (π3)解：将f ′(x )cos x +f (x )sin x >0变形，得f ′(x )cos x -f (x )(cos x )′(cos x )2>0，即(f (x )cos x )′>0，设g (x )=f (x )cos x，得g ′(x )>0，所以函数g (2)在(-π2,π2)上单调递增.因为-π2<-π3<-π4<0<π4<π3<π2，所以f (-π3)cos(-π3)<f (-π4)cos(-π4)<f (0)cos 0<f (π4)cos π4<f (π3)cos π3，化简得2f (-π3)<2f (-π4)<f (0)<2f (-π4)<2f (π3)，所以A 选项不正确.故本题选A.由f ′(x )cos x +f (x )sin x >0的结构特征，可联想到三角函数的求导公式(cos x )′=-sin x 以及导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′，将不等式进行变形、化简，便可构造出新函数g (x )=f (x )cos x.例5.设定义在R 上的函数f (x )是连续可导函数，对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2.当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<2x .若不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 成立，则实数a 的取值范围是（）.A.(0,1]B.[1,2)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解：当x ∈(0,+∞)时，根据不等式f ′(x )<2x ，可得f ′(x )-2x <0，再变形得f ′(x )-(x 2)′<0，即(f (x )-x 2)′<0.设函数g (x )=f (x )-x 2，则g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递减.因为对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2，所以g (x )+g (-x )=f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，所以函数g (x )是R 上的奇函数.因为f (x )是连续函数，所以函数g (x )在R 上单调递减.不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 可变形为f (2-a )-(2-a )2≥f (a )-a 2，即g (2-a )≥g (a ).由函数g (x )的单调性可知2-a ≤a ，解得a ≥1.故选D.根据已知条件f ′(x )<2x ，可知需要利用指数函数的求导公式(x 2)′=2x 以及导数的运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，将不等式变形并化简，进而构造函数g (x )=f (x )-x 2，分析其函数的单调性、奇偶性，即可解题.对于本题，还可以将f (x )+f (-x )=2x 2变形为f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，再根据f (x )-x 2与f (-x )-(-x )2的结构特征构造函数g (x )=f (x )-x 2.导数问题侧重于考查一些常见的求导公式与导数的四则运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，(uv )′=u ′v +uv ′，(u v )′=u ′v -uv ′v2的灵活应用.导数问题较为复杂，同学们不仅要灵活运用导数和函数知识，还需培养数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力，才能轻松解题.（作者单位：甘肃省河州中学教育集团附属中学）备考指南55。

导数选择压轴题之【构造函数】

导数小题——构造函数解不等式当有题目有下列表格左栏中的条件时，那么构造相应的右侧的函数，利用新函数的单调性、奇偶性来解决题目中的问题。

例1 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f (1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f ′(x )<1 (x ∈R)，则不等式f (x )<x +1的解集为（）A.(1,+∞)B.(−∞,−1)C.(−1,1)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)例2 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且f (1)=0，当x <0时，f ′(x )+f (x )x>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是例3 ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()40f −=，则不等式()0xf x >的解集为．例4 已知()f x 是定义在(),−∞+∞上的函数，导函数()f x '满足()()f x f x '<对于R x ∈恒成立，则（）A ．()()220f e f >，()()201420140f e f >B ．()()220f e f <，()()201420140f e f >C ．()()220f e f >，()()201420140f e f <D ．()()220f e f <，()()201420140f e f <例5 已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f fπ⎛⎫< ⎪⎝⎭例6 α，,22ππβ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ−>，则下列结论正确的是（）A ．αβ>B ．22αβ>C ．αβ<D ．0αβ+>例7 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()10f =，当0x <时，有()()0xf x f x '−>恒成立，则不等式()0f x >的解集为．例8 已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为()f x '，且满足()10f −=，当0x >时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．例9 设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),0−∞上有()()2220xf x f x '+<，且()20f −=，则不等式()20xf x <的解集为例10若定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '−>，()01f =，则不等式()2x f x e >的解集为．例11已知函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，若()f x 满足：()()()10x f x f x '−−>⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e−−=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f f C ．()()330f e f >D ．()()440f e f < 答案：例1：A例2：(−1,0)∪(0,1)例3：(−∞,−4)∪(0,4) 例4：D 例5：A例6：A例7：(−∞,−1)∪(1,+∞) 例8：(−1,1) 例9：(−2,2)例10：(0,+∞)例11：C。

微专题构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方式，才能省时省力又有成效。

近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采纳构造函数法解答是一个不错的选择。

所谓构造函数法是指通过必然方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观看分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方式，简而言之确实是构造函数解答问题。

如何合理的构造函数确实是问题的关键，那个地址咱们来一路探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：1．关于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=假设碰到()()0'≠>a a x f ，那么可构()()ax x f x h -=2．关于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．关于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x =4．关于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e =5．关于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．关于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h = 一、构造函数法比较大小例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,那么,,a b c 的大小关系是 ( ).A a b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,因此函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,因此当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,因此0.23013219og og π<<<,因此b a c >>,选D.变式: 已知概念域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，那么以下关于,,a b c 的大小关系正确的选项是（ D ） .A a b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c>> 例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，那么有A ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f >B ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f <C ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f >D ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f < 【解析】构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，而且0x e >，因此()0g x '<，故函数()()x f x g x e =在R 上单调递减，因此(2016)(0)(2016)(0)g g g g -><，，即20162016(2016)(2016)(0)(0)f f f f e e--><，，也确实是20162016(2016)(0)(2016)(0)e f f f e f -><，，应选D ．变式: 已知函数()f x 为概念在R 上的可导函数，且()'()f x f x <关于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，那么（ C ）2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、2016.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、例3．在数列{}n a 中，1()n 1,()n n a n N +*=+∈．则数列{}n a 中的最大项为( )．ABCD ．不存在【解析】由已知1a =2a =3a =4a 易患12234,......a a a a a <>>>. 猜想当2n ≥时，{}n a 是递减数列又由11n n a n +=+知ln(1)ln 1n n a n +=+，令ln ()x f x x =，则221ln 1ln ()x x x x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，那么1ln 0x -<，即()0f x '<∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，2n ∴≥时，{}ln n a 是递减数列，即{}n a 是递减数列又12a a <，∴数列{}n a 中的最大项为2a 应选B ．练习1．已知函数)(x f y =对任意的)22(ππ，-∈x 知足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（）A ．)4(2)0(πf f > B. )3(2)0(π-<f f C. )4()3(2ππf f < D. )4()3(2ππ-<-f f 提示：构造函数()()cos f x g x x=，选D ．二、构造函数法解恒成立问题例1．假设函数y =)(x f 在R 上可导且知足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，假设a b <，那么必有（）A ．()()af b bf a ∴构造函数 )()(x xf x F =，那么()F x '=()()0xf x f x '+>，从而)(x F 在R 上为增函数。

导数中的构造函数-玩转压轴题(解析版)

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ； 22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=； ()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是专题6.1 导数中的构造函数（） A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．2B C ．2D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C 【解析】()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-， ()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈， ∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-2221a b -21a b =-， 221ln ln(2)ln a a a bb b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b+-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：a b ==，2a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,]22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞- D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m -- ()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x xx-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是fx ，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．1,D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦， ∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<． ∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A. 【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()xg x e f x = ，则()(()())0xg x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（） A ．(0)02(1)f f <，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ． 4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+，，∞∞ B ．()()2002-，，C ．()()202-+，，∞D ．()()202--，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减， ()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<-，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001-，，B ．()()11--+，，∞∞C ．()()101-+，，∞D ．()()101--，，∞ 【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x =，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x'=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<， ∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101--，，∞ 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()f x 为减函数 D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0xg x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]xg x xf x =。

导数—构造函数

导数—构造函数一：常规的构造函数例一. 若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是( C ) (A)[0,]4π(B)[,]4ππ (C)5[,]44ππ(D)3[,)42ππ变式、已知3355x y x y ---≥-成立，则下列正确的是（B ）A.0x y +≤B. 0x y +≥C. 0x y -≥D. 0x y -≤变式. 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()'()f x f x <对于x R ∈恒成立且e为自然对数的底，则（）A ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅>⋅ B ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅C ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f ef >⋅<⋅ D ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅答案：A变式. ()f x '为()f x 的导函数，若对x R ∈，22()()f x xf x x '+>恒成立，则下列命题可能错误的是( D )A ．(0)0f >B ．(1)4(2)f f <C ．(1)4(2)f f -<-D ．4(2)(1)f f -<二：构造一次函数例二、对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>a+2x 恒成立的x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.三：变形构造函数例三．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+．则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-．由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---例四、已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.四：消参构造函数例五、设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <．（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224ln f x ->．【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-()222,1x x af x x++'=+且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即1,2a <且 12112112,.22a ax x ----+-== …………………………………①又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．（II ）由题设和①知22210,2(1),2x a x x -<<=-+ 于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++则 ()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=；当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-= 因此 ()22122()4ln f x g x -=>．五：消元构造函数例六、已知函数()x x f ln =，()xe x g =．（Ⅰ）若函数()()11-+-=x x x f x ϕ，求函数()x ϕ的单调区间；（Ⅱ）设直线l 为函数的图象上一点()()00,x f x A 处的切线．证明：在区间()+∞,1上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()x g y =相切．（Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-, http:// / 即001ln 1y x x x =+-, ① ····························································· 6分设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴101x e x =，∴10ln x x =-． ·············································· 8分 ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+，即0000ln 11x y x x x x =++， ② ································································ 9分由①②得 0000ln 1ln 1x x x x -=+， ∴0001ln 1x x x +=-． ·············································································· 11分下证：在区间（1，+∞）上0x 存在且唯一.由（Ⅰ）可知，()x ϕ1ln 1x x x +=--在区间1,+∞（）上递增．又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， ············· 13分结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ．故结论成立．六：二元合一构造函数例七、已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>且导数'(1)0f = （1）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122(,),(,)A x y B x y 如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈）使得点M 处的切线//l AB ，则称AB 存在“跟随切线”。

高考数学导数—构造函数十三种题型精讲精练

高考构造函数十三种题型精讲精练目录一、十三种题型精讲【题型一】利用x n f（x）构造型【题型二】利用f（x）/x n构造型【题型三】利用e nx f（x）构造型【题型四】用f（x）/e nx构造型【题型五】利用sin x与f（x）构造型【题型六】利用cos x与f（x）构造型【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造二、最新模拟试题精练【题型一】利用x n f （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A. B.C.D.【详解】设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以020165x <+<，解得.方法技巧：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，()()x g x e f x =，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【提分秘籍】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '>< 对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+>< 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性.【详解】设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增.又()f x 是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即.故选C.2.已知()f x的定义域为，为()f x 的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C.D.【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3.设函数()f x在R 上可导，其导函数为，且.则下列不等式在R 上恒成立的是（）A.()0f x ≥ B.()0f x ≤ C.D.【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n 构造型【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A.B.C.D.【详解】令，，，∵，，∴，，∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，，∵，，，∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0f x x f x f x g x x '><= （）对于（），构造（），2.()-()0 0k f x x f x kf x g x x '><= （）对于（），构造（）【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A. B.C.D.【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】构造函数，，当时，，故，在上单调递增，又为偶函数，21y x =为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.，则(3)1f =，；，当时，即，，所以；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，结合导函数，判定的单调性，得对称轴，对选项判断即可.【详解】构造函数，计算导函数得到=，由>0，得当，>0当时，<0.所以在单调递增，在单调递减，而，所以关于对称，故，得到，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.()()0 0x f x f x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（），2.()()0 0kx f x kf x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可.【详解】由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：.故选：B.2.设函数()f x的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，因为，所以，化简可得，即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】用f（x）/e nx构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0x f x f x f x g x e '><=（）对于（），构造（），2.()-()0 0kx f x f x kf x g x e '><=（）对于（），构造（）【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由即可求解集.【详解】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数()f x满足：，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【详解】令()()x g x e f x =，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造()()x g x e f x =，构造，构造等【分析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A 错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B 正确；，，，，故C 错误；，，，，故D 错误.故选：B.2.已知偶函数()f x是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在(0,1]上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数.当时，，所以函数在上单调递增，在(0,1]上单调递减.又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数.当时，，由，得，∴，则在上单调递减.将化为，即，则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B【题型六】利用cos x与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【提分秘籍】基本规律1.cos ()-sin ()0 0cos x f x x f x g x f x x '><= 对于（），构造（）（），2.cos ()sin ()0 0cos f x x f x x f x g x x'+><= （）对于（），构造（）3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【变式演练】1.已知偶函数()f x 的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）A. B.C.D.【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为()f x 在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数()f x的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有极大值D.()f x 有极小值【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减.所以选A.【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B.-∞， D.C.()0【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【提分秘籍】基本规律()()()-() 0x g x e f x k f x f x k =-⎡⎤⎣⎦'><对于（），构造【变式演练】1.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【分析】构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】构造函数，在上，等价于，，，得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】复杂型：与ln （kx +b ）结合型【典例分析】设函数()f x 是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数()f x 及其导函数满足，则函数()f xA.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数()f x 在处存在导数即可求出的值并求出函数()f x 的解析式，然后通过求导即可判断出函数()f x 的极值.【详解】由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数()f x 在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，，构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.【提分秘籍】基本规律1.()()l ()ln x 0 xn x f 0x f f g x x x '+><= （）对于（），构造2.授课时，可以让学生写出y =ln （kx +b ）与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果【变式演练】1..已知()f x是定义在上的奇函数，是()f x 的导函数，且满足：则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A.B.C.D.【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出()f x 在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又(1)0f <，于是得在上，，而()f x 是上的奇函数，则在上，，由(1)()0x f x -⋅<得：或，即或，解得或，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为.故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A. B.C.D.【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案.【详解】令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，当时，()(1)0g x g <=，所以，又，所以，在是连续的函数，且，所以(1)0f <，时，，又由()f x 为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】复杂型：基础型添加因式型【典例分析】已知函数()f x 的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即()f x 在上单调递增，又，故()f x 为上的偶函数，其图象关于轴对称，()f x 在上单调递减，故，故，故选：C.【提分秘籍】基本规律在本专题一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A. B.C.D.【详解】设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（）A.B.C. D.【分析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式.【详解】涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为.故选：A.3.已知函数()f x为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减.又因为，则.所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【题型十一】复杂型：二次构造【典例分析】已知是函数()f x的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解.【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有.原不等式可等价于，即，解得的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律二次构造：n f x r(x)g x r(x)=x e ,sin ,cos nx x x ⨯÷±（）（），其中，等授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征.【变式演练】1.已知定义域为的函数()f x满足（为函数()f x 的导函数），则不等式的解集为（）A. B.(0,1]C.D.【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；当时，，即满足.综上，.故选：C.2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故，故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B.【题型十二】综合构造【典例分析】f x的导函数为，且成立，则下列各式一定义在上的连续函数()定成立的是（）A. B.C.()0f π> D.【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A ，B ，C ，将2x π=代入条件可得，可判断选项D.【详解】由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入，可得，所以选项D 错误，故选：C.【提分秘籍】基本规律结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者f （x ）+r （x ）（r （x ）为常见函数）可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.【详解】由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数.故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A 选项，，则，即，A 选项错误；对于B 选项，，，即，B 选项正确；对于C 选项，，，即，C 选项错误；对于D 选项，，，即，D 选项错误.故选：B.3.已知函数()f x 的定义域为R ，且是偶函数，（为()f x 的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】设函数，求得时，()0p x '>，得到当时，()0f x '>，得到函数()f x的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，()0p x '>，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，()0f x '>，f x在上单调递增，在上单调递减.所以函数()设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】f x的导函数为，若，且，则定义在上的函数()A. B.C. D.【分析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y =kx +b 与y =f (x )的加、减、乘、除各种【变式演练】1.已知()f x是定义在上的奇函数，记()f x 的导函数为，当时，满足.若使不等式成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【分析】由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，变量分离求最值即可.【详解】由是定义在上的奇函数，当时，满足.可设故为上的增函数，又∴e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，∴a ≥x 3﹣3x +3﹣，令g （x ）=x 3﹣3x +3﹣，g ′（x ）=3x 2﹣3+=（x ﹣1）（3x +3+），故当x ∈（﹣2，1）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min （x ）=g （1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D.2.定义在上的函数()f x 满足：是()f x 的导函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集.【详解】设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A.3.已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[op −′(p]tan −op <0，则（）A.oln 32)sin(l 32)一定小于0.6oln 52)sin(l 52)B.oln 32)sin(l 32)一定大于0.6oln 52)sin(l 52)C.oln 32)sin(l 32)可能大于0.6oln 52)sin(l 52)D.oln 32)sin(l 32)可能等于0.6oln 52)sin(l 52)【解析】∵[op −′(p]tan −op <0∴[op −′(p]sincos −op <0，即opsin −′(psin <opcos ⇒opsin <′opsin ′即opsin ′−opsin >0，设op =opsin，则′(p=opsin=−，即函数op =opsin在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而0<ln 32<ln 52<2，所以)sin ln32<)sin ln 52⇒)sin 32<)sin 52⇒oln 32)sin ln<35oln 52)sin A二、最新模拟试题精练1.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x <'<，则（）A.()()()()e 21,2e 1f f f f >>B.()()()()e 21,2e 1f f f f ><C.()()()()e 21,2e 1f f f f <>D.()()()()e 21,2e 1f f f f <<【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造()e ()x h x f x =和()()e xf xg x =，求导后判断其单调性得出(2)(1)h h <和(2)(1)g g >的结论代入化简即可.【详解】由题意可知，函数()f x 在R 上单调递减.()()0f x f x '+<,()()0f x f x '->.构造()e ()x h x f x =，定义域为R ，则()()()e ()e e [()]0x x xh x f x f x f x f x '''=+=+<，所以()h x 在R上单调递减，所以(2)(1)h h <，即2e (2)e (1),e (2)(1)f f f f <<，故A,B 错误.构造()()e x f x g x =，定义域为R ，则()()()()2e e ()0(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''⋅-⋅-'==>，所以()g x 在R 上单调递增，所以(2)(1)g g >，即2(2)(1),(2)e (1)e ef f f f >>，故B,D 错误.故选:C【方法点评】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.2.定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x '<<恒成立，其中()y f x '=为函数()y f x =的导函数，则（）A.()()24161f f << B.()()2481f f << C.()()2341f f << D.()()2241f f <<【分析】根据已知条件可以得到()()2f xg x x=，()()3f x h x x=在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到()()()()21,21g g h h ><,进而得到结论.【详解】()()2f x xf x '<，即()()20f x x f x '⋅->，因为()y f x =定义在()0,∞+上，∴()()220f x x xf x '⋅->，令()()2f xg x x =则()()241f f >，()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增.由()()21g g >得，()()222121f f >即，()24(1)f f >；同理令()()3f x h x x =，()()()()()3264330f x x x f x f x x f x h x xx''⋅-⋅-'==<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减.由()()21h g <得，()()332121f f <，即()()281f f <.综上，()()2481f f <<.故选：B.【方法点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题.()()20f x x f x '⋅->，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有2x 的导数产。

(完整word版)导数选择题之构造函数法解不等式地一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A．B．C．D．2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为( )A．B．C．D．5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知偶函数满足，且，则的解集为A．B．C．D．8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．B．C．D．9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A．B．C．D．11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）A．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)C．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)13．已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为A．B．C．D．14．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15．已知函数的导数是，若，都有成立，则( )A．B．C．D．16．已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．17．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（）A．B．C．D．18．已知函数是偶函数，，且当时其导函数满足，若，则（）A．B．C．D．19．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案1．B【解析】【分析】构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2．A【解析】分析：构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设，则的导数为，因为时，，即成立，所以当时，恒大于零，当时，函数为增函数，又，函数为定义域上的偶函数，当时，函数为减函数，又函数的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3．A【解析】【详解】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设，则，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，不等式即为，即，∴，∴，即．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．4．B【解析】分析：设，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设，所以，因为当时，有恒成立，所以当时，所以在上递增，因为，所以，所以是奇函数，所以在上递增，因为，所以，当时，等价于，所以，所以，当时，等价于，所以，所以，所以原不等式的解集为，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.5．B【解析】分析：根据题意，设，对其求导分析可得在区间上递减，利用的值可得的值，进而将原不等式转化为，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设，则，又由函数定义在上，且有，则，则在区间上递减，若，则，，则，即不等式的解集为.故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.6．C【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在上为减函数，则有，即，又由，则有，变形可得，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 7．C【解析】【分析】构造函数，由可得在递增，结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.【详解】由得，令，，时，递增，又时，不等式等价于是偶函数，也是偶函数，可得或，所以的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8．B【解析】【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设，，则则，在定义域内单调递增，，，则不等式的解集为故选【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。

导数中的构造函数(最全精编)Word版

导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想,转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

(一)利用()f x 进行抽象函数构造1、利用()f x 与x 构造; 常用构造形式有()xf x ,()f x x :这类形式是对.uu v v，型函数导数计算的推广及应用，我们对.u u v v ，的导函数观察可得知，.u v 型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“一”法，由此，我们可以猜测。

当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造.u v 型，当导函数形式出现的是“一”法形式时，优先考虑构造uv;[例 1]()f x 是定义在R 上的偶函数，当x<0时，()()0f x xf x '+<，且()40f -=，则不等式()0xf x >的解集为____________.[例 2]()f x 是定义在R 上的偶函数，且() 10f =，当x<0时，()()0xf x f x ->'恒成立，则不等式()0f x >的解集为____________.()xf x ,()f x x是比较简单常见的()f x 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.()()()()()()()11,n n n n F x x f x F x nx f x x f x x nf x f x --'''==+=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()()121,n n n n n f x f x x nx f x xf x nf x F x F x x x x -+''-+'===结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()n F x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()nf x F x x=； [例3]已知偶函数() 0()f x x ≠的导函数为()f x '，且满足()=10f -，当x>0时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是___________.[变式提升]设函数()f x 满足()()3231ln =x f x x f x x '++，且()12fe e=，则x>0时，()f x （） A 、有极大值，无极小值 B 、有极小值，无极大值 C 、既有极大值又有极小值 D 、既无极大值也无极小值[例 4]设()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0-∞，上有()()2220 xf x f x +<'，且 ()20f -=，则不等式() 20xf x <的解集为___________.（2）利用()f x 与x e 构造；()f x 与x e 构造，一方面是对.uu v v，函数形式的考察，另外一方面是对()=x x e e 的考察，所以对于()()f x f x ±'类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理，“+”法优先考虑构造()()x F x f x e =⋅，“-”法优先考虑构造()()xf x F x e=. [例 5]已知()f x 是定义在()-∞+∞，上的函数，导函数()f x '满足()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则( )A 、()()()()2201420,20140f e f f e f >>B 、()()()()2201420,20140f e f f e f <>C 、()()()()2201420,20140f e f f e f >< B 、()()()()2201420,20140f e f f e f <<同样()()x x f x e f x e，,是比较简单常见的()f x 与x e 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？()()()()()()(),nx nx nx nx F x e f x F x n e f x e f x e f x nf x '''==⋅+=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()()2,nx nx nx nx nxf x nf x f x f x e ne f x F x F x e e e '-⎡⎤'-⎣⎦'===结论：出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()nx F x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()nxf x F x e=； [例6]若定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '->，()10=f ，则不等式()2x f x e >的解集为_____.[变式提升]若定义在R 上的函数()f x 满足()()240f x f x '-->，()01f =-，则不等式()2>2x f x e -的解集为_________.[例7]已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：()()()10x f x f x '-->⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A 、()()10f f C 、()()330f e f >D 、()()440f e f <（3）利用()f x 与sin x ,cos x 构造.sin x ,cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.()()()()()sin ,sin cos F x f x x F x f x x f x x ''==+；()()()()()2sin cos ,sin sin f x f x x f x xF x F x x x'-'==； ()()()()()cos ,cos sin F x f x x F x f x x f x x ''==-；()()()()()2cos sin ,cos cos f x f x x f x xF x F x x x'+'==；根据得出的关系式，我们来看一下例8[例8]已知函数()=y f x 对于任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A 、234f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 、()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D 、()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭[变式提升]定义在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的函数，函数()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<成立，则（）A 、3243f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、()12sin12f fπ⎛⎫< ⎪⎝⎭ C 、264f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 、363f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.[例9]22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，，且sin sin 0ααββ>-，则下列结论正确的是（）A 、αβ>B 、22αβ>C 、αβ<D 、0αβ+>[变式提升]定义在R 上的函数()f x 满足()11=f ，且对()1,2x R f x '∀∈<则不等式()22log 1log 2x f x +>的解集为_________.[例10]等比数列{}n a 中，1=2a ，8=4a ，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0=f '（）A 、62B 、92C 、122D 、152[例11]已知实数,,a b c 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么22()()ac bd -+-的最小值为( )A 、8B 、10C 、12D 、18[变式提升]已知实数, a b 满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a cbc -+的最小值为_____________.[课后作业]设函数()f x 在R 上的导函数()f x '，在( 0,)+∞上()sin 2f x x <'，且x R ∀∈，有()()22sin f x f x x -+=，则以下大小关系一定正确的是（）A 、5463f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、()4f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 、5463f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、()4f f ππ⎛⎫->- ⎪⎝⎭构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

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目录构造函数 (2)一、求导法则构造型 (2)二、f’(x)+nf(x)型 (6)三、xf’(x)+nf(x)型 (9)四、f’(x)-nf(x)型 (13)五、xf’(x)-nf(x)型 (18)六、三角函数型 (22)七、复合函数型 (26)八、转化型 (26)构造函数解题中我们经常会遇见这样一类函数综合问题：给定式)(x f 与)(x f '所满足的一个不等式或者等式，大多数同学都这一类问题比较迷惑，进而造成解题受阻. 解决这一类问题往往是需构造一个新的函数，使这个新函数的单调性，可以直接由给定的条件判断，进而利用新函数的性质去解题. 所以本专题就针对)(x f 与)(x f '出现的不同类型进行归纳总结.一、求导法则构造型此类题目在构造上相对较为简单，只需根据常见的求导公式及其求导法则就可以构造出原函数已知函数()(),f x g x 在区间[],a b 上均有()()''f x g x <，则下列关系式中正确的是( )A ．()()()()f x f b g x g b +≥+B ．()()()()f x f b g x g b -≥-C ．()()f x g x ≥D ．()()()()f a f b g b g a -≥- 【答案】B定义域为R 的函数()f x 满足(3)6f -=，且2()1f x x '>+对x R ∈恒成立，则31()153f x x >+的解集为( )A ．(3,)-+∞B ．(,3)-∞-C ．(,3)-∞D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】构造函数31()()3F x f x x =-，则有31(3)(3)(3)153F f -=---=，且2()()F x f x x ''=-．由2()1f x x '>+，可知，则()F x 为增函数，故31()15()15(3)33f x x F x F x >+⇔>=-⇔>-．故选：A ．已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>．当[]0,απ∈时，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->的解集为( )A ．(,)42ππB ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(,)4ππ D ．3(,)24ππ 【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>，设2()()2g x f x x =-+，()()20g x f x x ''=->，故()g x 在R 上单调递增， (0)(0)21g f =+=，2(sin cos )(sin cos )(sin cos )2(sin cos )sin 21g f f ααααααααα+=+-++=+-+，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->等价于(sin cos )1(0)g g αα+>=，所以sin cos 0αα+>，)04πα+>，即(2,2)4k k παπππ+∈+，即3(2,2)44k k ππαππ∈-+，结合[0α∈，]π，所以[0α∈，3)4π，故选：B ．(2019秋抚州期末)已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()4f x x '>，且11()22f =．当[0α∈，2]π时，不等式(sin )cos210f αα+->的解集为( ) A ．711(,)66ππ B ．45(,)33ππ C ．2(,)33ππ D ．5(,)66ππ【答案】D【解析】令2()()2g x f x x =-，()4f x x '>，则()()40g x f x x ''=->，即()g x 单调递增，11()22f =，1()02g =，当[0α∈，2]π时，由(sin )cos210f αα+->可得2(sin )cos212sin f ααα>-+=，即(sin )0g α>，故1sin 2α>， [0α∈，2]π，故566ππα<<，故选：D ．定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m --≥-，则m 的取值范围是( )A ．(],1-∞-B ．1(,1]3- C ．[)1,-+∞ D ．1[1,]3-【答案】D【解析】由条件得：函数()(12)31()(12)(12)f m f m m f m m f m m ---⇔----，所以构造函数()()F x f x x =-，()(12)31()(12)f m f m m F m F m ---⇔- 由于(2)()22f x f x x -=-+；所以(2)(2)()f x x f x x ---=-，即(2)()F x F x -=，所以()F x 的对称轴为1x =；又()()1F x f x ''=-，当1x 时恒有()1f x '<．所以，[1x ∈，)+∞，()0F x '>，()F x 是增函数； (x ∈-∞，1]，()0F x '<，()F x 是减函数． |1||121|m m ∴---，解得：23210m m +-，[1m ∴∈-，1]3．故选：D ．设函数()f x 在R 上可导，x R ∀∈，有2()()f x f x x +-=且()22f =；对(0,)x ∀∈+∞，有()f x x '>恒成立，则2()12f x x >的解集为( ) A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】C【解析】令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，∴函数()g x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，()g x ∴在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，由2()12f x x >，得21()02f x x ->，即()0g x >， f (2)2=，∴21(2)(2)202g f =-=，(2)0g -=， (2,)x ∴∈+∞或(2,0)x ∈-时，()0g x >，故(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，2()12f x x >．故选：C ．(2015 福建理 10)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭11kk >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有( )A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x >D ．()()()()f x g x f a g a >【答案】A已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，满足：()0f x >，()0g x >，且()()()()0f x g x f x g x ''-<．若a b R +∈，且a b ≠，则有( )A ．22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22a b a b f g g f ++⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b a b f g g f ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】构造函数()()()f x F xg x =，则2()()()()()()f x g x f x g x F x g x ''-'=．∵()()()()0f x g x f x g x ''-<，∴()0F x '＜，即()F x 为减函数．又当a b +∈R ，且a b ≠时，2a b +>∴2a b F F +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即22a b f a b g +⎛⎫⎪⎝⎭<+⎛⎫ ⎪⎝⎭又()0f x >，()0gx >，∴22a b a b f g f g ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．(2018 成外4月月考 11)设函数()'f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，当0x >时，()()1ln ',x f x f x x⋅<-则使得()()210x f x ->成立的x 的取值范围是( )A. ()()1,00,1-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()(),10,1-∞-【答案】D 【解析】()()1ln '0x f x f x x⋅+⋅<，故可构造函数()()ln g x f x x =⋅，则()'0g x <，()g x 单调递减又()10g =，故01x <<时，()0g x >，()0f x <，()()210x f x -> 当1x >时，()0g x <，()0f x <，()()210x f x -< 又()()21x f x -是奇函数，由图像可得解集为D二、f ’(x )+nf (x )型 (1)()()()'00f x f x +≥≤：构造()()xg x e f x =，则()()()()()''00xg x e f x f x =+≥≤，()g x 单增(单减)；(2)()()()'00f x nf x +≥≤：构造()()nx g x e f x =，则()()()()()''00nxg x e f x nf x =+≥≤，()g x 单增(单减)定义在上的函数满足：0)()(>+'x f x f ，5)0(=f ，是的导函数，则不等式5)(>x f e x(其中为自然对数的底数)的解集为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可构造)()(x f e x F x =，则0)]()([)(>'+=' x f x f e x F x，所以)(x F 在R 上为增函数，则0(0)(0)5F e f ==，故当0()5()5xx F x e f x >⇒>⇒>故选A 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=．当0x <时，()()0f x f x +'>，若(31)(21)a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【解析】令()()x g x e f x =，当0x <时，()()0f x f x +'>，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，0x <，因为对于任意的实数x 都有2()()x f x e f x -=，又2()()()()()x x x x g x e f x e f x e f x e g x ---=-===即()g x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知，当0x >时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，由(31)(21)a e f a f a ++，可得3121(31)(21)a a e f a e f a ++++，即(31)(21)g a g a ++，所以|31||21|a a ++，解可得，205a -．故选：B ．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )R ()f x '()f x ()f x e (0,)+∞(,0)(3,)-∞+∞(,0)(1,)-∞+∞(3,)+∞A ．()(),00,-∞+∞B ．()(),02017,-∞+∞C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞ 【答案】D【解析】令()()x x g x e f x e =-，则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-， ()()1f x f x +'>，()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，()g x 在R 上为单调递增函数， (0)(0)1201812017g f =-=-=∴原不等式可化为()(0)g x g >，根据()g x 的单调性得0x > 故选：D ．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2x f x f x xe -'+=，若(0)1f =，则函数()()f x f x '的取值范围为( )A ．[]2,0-B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．[]0,2 【答案】A【解析】由()()2x f x f x xe -'+=，得()()2xf x f x x e-'+=，即()()2x x e f x e f x x '+=，令()()x g x e f x =，则()()()2x x g x e f x e f x x '=+'=，2()g x x c ∴=+(其中c 为常数)，2()x x cf x e+∴=，又(0)1f =，1c ∴=，则21()x x f x e+=，221()xx x f x e --∴'=，∴222()2121()11f x x x x f x x x '--==-+++，当0x =时，()1()f x f x '=-，当0x ≠时，()211()f x f x x x'=-++，1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞，∴()[2()f x f x '∈-，0]．故选：A ．三、x f ’(x )+nf (x )型 (1)()()()'00xf x f x +≥≤：构造()()g x xf x =，则()()()()''00g x xf x f x =+≥≤，()g x 单增(单减)；(2)()()()'00xf x nf x +≥≤：构造()()ng x x f x =，则()()()()()1''00n g x x xf x nf x -=+≥≤(0x >)，()g x 单增(单减)设函数()f x '是奇函数()()y f x x R =∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．()(),10,1-∞- B ．()()0,11,+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()1,01,-+∞【答案】D【解析】设()()g x xf x =，则()g x 的导数为：()()()g x f x xf x '=+' 当0x >时，()()0xf x f x '+>，即当0x >时，()g x '恒大于0，∴当0x >时，函数()g x 为增函数，()f x 为奇函数∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)1(1)0g f -=-⨯-=， ()0f x >，∴当0x >时，()0g x >，当0x <时，()0g x <，∴当0x >时，()0g x g >=(1)，当0x <时，()0(1)g x g <=-，1x ∴>或10x -<<故使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1-，0)(1⋃，)+∞，故选：D ．(2019秋城关区校级月考)已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '．当0x 时，恒有()()0xf x f x '+-，若()()g x xf x =，则不等式()(12)g x g x <-的解集为( ) A ．1(,1)3B ．1(,)3-∞C ．(1,)+∞D ．1(,)(1,)3-∞+∞【答案】B【解析】函数()f x 为偶函数，∴当0x 时，恒有()()0xf x f x '+-即为()()0xf x f x '+，由()()g x xf x =可得，()()()0g x f x xf x '=+'，故函数()g x 在(0,)+∞上为增函数，易知函数()g x 为R 上的奇函数， ∴函数()g x 在R 上单调递增， ()(12)g x g x ∴<-等价为12x x <-，解得13x <．故选：B ．已知偶函数()()f x x R ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，21()()0f x xf x x '++>，1(5)25f =，则不等式21()f x x >的解集为．【答案】()(),55,-∞-+∞ 【解析】令1()()g x xf x x=-，当0x >时，21()()()0g x f x xf x x ''=++>， ()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为()f x 是偶函数，所以()g x 是奇函数．因为f (5)125=，所以g (5)5f =(5)105-=．()05g x x ∴>⇔>；()05g x x <⇔<-不等式21()f x x >等价于()0g x x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-．故答案为：()(),55,-∞-+∞定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ' 且()()()f x xf x xf x '+<对x R ∈恒成立则( ) A.()()221f f e < B. ()()221f f e> C. ()10f > D. ()10f -> 【答案】A【解析】结合前两类，先构造)()()()()(x f x x f x F x xf x F '+='⇒=则原条件)()(x F x F <'，则0)()(<-'x F x F构造xx x x e x xf x f x x f e x F x F x H e x xf e x F x H )()()()()()()()()(-'+=-'='⇒==则由0)(<'x H 所以)(x H 在R 上是减函数，所以)1()2(2)2(2)1(1)2()1(21f ef e f e f H H <⋅⇒⋅>⋅⇒>故选A 【考点】二次构造已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其导函数为)(x f '，且0<x 时0)()(2<'+x f x x f 恒成立，则)1(f a =，)2014(2014f b =，)2015(2015f c =的大小关系为 ( )A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c b a <<【答案】D【解析】)()(2x f x x F =则)](2)([)(x f x f x x x F +'=，由题意得，当0<x ，0)(>'x F ，)(x F 在)0,(-∞上是增函数，又因为)(x f 是奇函数，则)(x F 也是奇函数，则当0>x 时，)(x F 在),0(+∞ 上也是增函数，则有：)2015(2015)2014(2014)1()2015()2014()1(f f f F F F <<⇒<<故a b c >>，故选D设函数)(x f '是奇函数)()(R x x f ∈ 的导函数，0)2(=-f ，当0>x 时，0)(3)(>+'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( ) A. ()(),20,2-∞- B. ()()2,02,-+∞ C. ()(),22,2-∞-- D. ()()0,22,+∞【答案】B【解析】构造)()(3x f x x F =则)](3)([)(2x f x f x x x F +'=，所以当0>x ，0)(>'x F 则)(x F 在),0(+∞上为增函数。