集装箱问题

占角位置：某个长方体进行占角动作后，长方体所处的位置为占角位置。他 图 5.1-1 中的α就处在占角位置上。
占穴动作：某个长方形占据一个占角位置后，还和除这个角以外的其他面贴 面，则此动作称为占穴动作。图 5.1-1 中的长方体β放入容器就属于占穴动作。
占穴位置：某个长方体进行占穴动作后，长方体所处的位置为占学位置。图 5.1-1 中的长方体β就处在占穴位置。
图 5.1-1 一种格局 初始格局：容器中还没有放入任意一个长方体； 终止格局：全部待放置的长方体已经放入容器； 方向约束条件：根据假设，长方体能够任意旋转或者水平旋转，并且各个面 都与容器的各面分别平行。 占角动作：在某一格局下，若放入的长方体与容器中已有的长方体的面或容 器的六个面中的三个面贴面，则称这种放入的动作为一个该长方体的一个占角动 作。图 5.1-1 中的α放入容器的动作就属于占角动作。
，
而方向 whl 意味着
，等等，这里
和
分别表示长方体前左下角和后右上角的坐标。本文中，放置方向的优
先序取为 1wh>wlh>lhw>whl>hlw>hwl。
点的优先序:对给定的两点
和
，如果满足如下三个条
件中的一个，则称点 的优先序大于点 的优先序：
1.
；
2.
且
；
3.
，
且
。
5.2. 算法框架：
在当前格局之下，枚举所有的合法占角动作并计算每一个占角动作的穴度和
4. 符号说明
积载率 l:长方体的长度；
单个货物体积 集装箱体积
w：长方体的宽度；
h：长方体的高度
；
；
；
；
；
;
，
分别是长方体 B 的中心坐标、前左下角
坐标和后右上角坐标；
，
和
分别是长方体 中心坐标、前左下角
坐标和后右上角坐标；
5. 模型的建立与求解 5.1. 概念定义：
格局：在某一时刻，容器中已经放入了若干个长方体，还有若干个长方体等 待放入，这种状态称为一种格局。如图 5.1-1 所示；
关键字
装载率、穴度优先、边度、占角动作、格局
1. 问题重述
将货物装进集装箱是货物运输的一个重要的环节。随着物流业地发展，如何 提高集装箱的装载效率，从而节约成本成了社会上重要的问题。
在理论上，集装箱问题属于 NP-hard 问题。由于 NP-hard 问题存在巨大的 解空间，只要能够给出令用户满意的解，就有有一定意义。
第四题的 b 问相当于多次执行 a 问，具体如下：对所有的货物执行 a 问， 得到一个最优的装箱方法和这个方法用到的货物；从原来的所有的货物中去掉前 一次用到的货物，重复前一次操作；当所有的货物都装载完了，就可以得到最优 装载方法。
3. 模型假设
货物形状假设：假设所有的货物都是规则的长方体； 方向性约束假设：一般货物的方向性约束有两种，即任意旋转和水平旋转； 货物稳定性假设：所放入的货物都是； 货物位置假设：假设任意一件放入集装箱的货物的每一个面必须与集装箱的 面平行； 假设任意两件货物没有嵌入，即任意两件货物的重叠体积不大于 0； 假设任意一件放入集装箱的货物不能超过集装箱的边界；
5.1. 概念定义：........................................................................................8 5.2. 算法框架：......................................................................................13 5.3. 长方体信息的记录..........................................................................14
，那
么长方体 B 和 m 个长方体
之间的距离定义为
。
占角动作的穴度：若将某一长方体 按合法占角动作放进容器之后，长方体
与形成这个角以外的其它已放进容器的长方体(包括构成容器的 6 个长方体)的
距离为 ，则此占角动作的穴度， 定义为
式中， 和 分别为长方体 的长度、宽度和高度。 事实上，占角动作的穴度反映了即将放进容器的长方体和距离此长方体最近 的长方体(不包括形成此角的长方体 a，b，c)的贴近程度。根据此定义，占角动 作的穴度不会大于 1。当作此占角动作的长方体占据了由 4 个或更多个长方体形 成的穴时，占角动作的穴度就等于 1。当仅占据由 3 个长方体形成的角时，占角 动作的穴度就小于 1。在放置长方体的过程中，我们总是挑选穴度最大的占角动 作，并将对应的长方体按相应的方向放在容器中相应的位置上。 占角动作的边度：当占角动作所关联的长方体按占角位置放进容器之后，容 器中所有长方体(包括当前长方体和先前已放进容器的长方体)之间由于贴面形 成的棱和长方体自身未被占据的棱的总数称为此占角动作的边度。例如，当长方 体 a 位于 A 位置时，对应占角动作的边度为 24，如图 5-1-3a 所示；如果位于位 置 B，对应占角动作的边度为 27，如图 5-1-3b 所示。边度越小，意味着放进容 器的各长方体形成的布局越规整。因此，在放置过程中，若有多个占角动作的穴 度都为最大，就选边度最小的占角动作。例如，在图 5-1-3 中，不论长方体 a 放
在位置 A 还是位置 B，占角动作的穴度都为 1。但由于放在位置 A 所对应占角动 作的边度更小，因此我们选择将长方体 a 放在位置 A 的占角动作。
（a）
（b）
图 5-1-3
放置方向的优先序：对一个即将放进容器的长方体，最多有 6 个可选的方向，
即 lwh，wlh，lhw，whl，hlw，hwl。方向 lwh 意味着
长方体 i 和长方体 j 的距离：
（）
式(1)定义的两长方体间的距离是两点之间曼哈顿距离的推广。例如，在图
5-1-2 中，两长方体之间的距离分别为 0,l 和
。
(a)
(b)
(c) 图 5-1-2
一个长方体和多个其它长方体间的距离:对给定的长方体 B 和 m 个长方体组
成的集合
。令长方体 B 与 之间的距离为
2. 问题分析
首先对第四题的 a 问进行分析：首先在容器的角落放最大的长方体，按照如 下原则向容器中继续放置长方体：放进容器的长方体始终占据由三个先前已放进 容器的长方体所形成的角，并且放置动作的穴度还要尽可能地大；若有多个穴度 最大的动作，就挑选边度最小的动作(边度体现了放进容器中各长方体所形成布 局的规整程度，在本文的模型建立与求解Байду номын сангаас将给出边度的详细定义)。一直到放 完为止。这样一来，放进容器的诸长方体就抱得非常紧凑，从而提高了容器的积 载率。参照这个方法，第一、二、三题都可以解出来。
东北大学 数学建模团队
集装箱装载模型
求解最大积载率
王智、余万科、傅天赋 2011-8-22
集装箱装载问题
目录
摘要........................................................................................................................ 3 关键字.................................................................................................................... 3 1. 问题重述 ......................................................................................................4 2. 问题分析 ......................................................................................................5 3. 模型假设 ......................................................................................................6 4. 符号说明 ......................................................................................................7 5. 模型的建立与求解 ......................................................................................8
摘要
所谓集装箱装载问题，就是将若干大小不同的长方体装进一个大小已知的长 方体容器，其目标是最大化容器的积载率。对于这一问题，本文参考前人经验， 提出一种求解此问题的基于最大穴度优先原则的启发式算法。算法中使用了两个 重要的策略：最大穴度原则和最小边度原则。让被装进去的长方体尽可能满足这 两条原则，最终使容器的装载率变得尽可能大。
5.3.1. 货物的唯一标识.......................................................................14 5.3.2. 长方体所有顶点的获得 ...........................................................14 5.3.3. 长方体所有棱的获得...............................................................15 5.3.4. 长方体所有面的获得...............................................................15 5.4. 遍历所有占角动作..........................................................................16 5.4.1. 理论分析...................................................................................16 5.4.2. 遍历所有的长方体...................................................................17 5.4.3. 对于每个长方体，找出所有的面并记录 ...............................18 5.4.4. 找出所有合法占角动作 ...........................................................18 5.5. 统计边度的算法..............................................................................18 5.5.1. 对于每一个长方体，找出所有棱并记录 ...............................18 5.5.2. 处理棱.......................................................................................18 5.5.3. 判断并统计边度.......................................................................19 5.6. 模型求解..........................................................................................20 6. 参考文献： ................................................................................................23