2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第九章 第十节 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
[方法技巧]
圆锥曲线中定点问题的两种解法
定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量， 常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定 值．解决此类问题常从特征入手，求出定值，如有必 要，再证明这个值与变量无关．
方法( 二) 直接消参求定值 [例3] x2 y2 (2018· 湖南五市十校联考)已知椭圆C： 2 ＋ 2 a b
圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
代数式
为定值 点到直线 的距离为 定值 某线段长 度为定值
依题意设条件，得出与代数
利用点到直线的距离公式得出距离的关系
式，再利用题设条件化简、变形求得 利用长度公式求得关系式，再依据条件对 关系式进行化简、变形即可求得
3 ＝1(a>b>0)的离心率为 ，过左焦点F且垂直于长轴的弦 5 32 长为 . 5 (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且 4 斜率为 的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2 5 为定值．
c 3 e＝a＝5， a＝5， 2 [解] (1)由2b 32 可得b＝4， c＝3， a ＝5， 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， x2 y2 故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 25 16 5 x2 y2 (2)证明：设直线l的方程为x＝ y＋m，代入 ＋ ＝1，消 4 25 16 去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0. 4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－ m，y1y2＝ 5 8m2－25 41 2 41 2 2 2 2 2 ，又|PA| ＝(x1－m) ＋y1＝ y1，同理可得|PB| ＝ y2. 25 16 16 41 41 41 2 2 2 2 2 则|PA| ＋|PB| ＝ ( y 1 ＋y 2 ) ＝ [(y ＋y ) －2y1y2]＝ 16 16 1 2 16 2 4m 16 m －25 2 2 2 ＝ 41. 所以 | PA | ＋ | PB | 是定值． － － 5 25
[解]
c 3 (1)由题意知，e＝ a ＝ ， b2＋c2 ＝2，又a2＝b2＋ 2
2 x c2，所以a＝2，c＝ 3，b＝1，所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1. 4
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x 2 5 2 5 ＝± ，此时，原点O到直线AB的距离为 . 5 5 ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋ m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． x ＋y2＝1， 由 4 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. y＝kx＋m 则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1 4m 2 － 4 8km ＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 1＋4k2 1＋4k2
c 3 a＝ 2 ， 解：(1)由题意得1 2ab＝1， 2 2 2 a ＝b ＋c ， x2 2 所以椭圆C的方程为 ＋y ＝1. 4
a＝2， 解得b＝1， c＝ 3.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
2 设P(x0，y0)，则x2 ＋ 4 y 0 0＝4.
2
m2－4k2 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝ ， 1＋4k2 y1 y2 由OA⊥OB得kOA· kOB＝－1，即 · ＝－1， x1 x2 5m2－4－4k2 4 2 所以x1x2＋y1y2＝ ＝0，即m ＝ (1＋k2)， 2 5 1＋4k |m| 2 5 所以原点O到直线AB的距离为 2＝ 5 . 1＋ k 2 5 综上，原点O到直线AB的距离为定值 . 5
[解]
p 1 1 (1)当k＝ 时，直线l：y＝ x＋2，即2x－4y＋p＝0， 2 2
p ，0 2
抛物线C的焦点F 5|p| 2 5 ＝ ， 5 5
到直线l的距离d＝
|2p| 2 2 ＝ 2 ＋－4
解得p＝± 2，又p>0，所以p＝2， 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
1 2 1 2 1 2 2 2 2 所以y 1 ＋y 2 ＝ 3－ x1 ＋ 3－ x2 ＝6－ (x 1 ＋x 2 2 )＝3，所以|OP| ＋
2
2
2
|OQ|2＝9.
x2 y2 方法二] (2016· 3. [考点二· 北京高考)已知椭圆C： 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)的离心率为 的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x 轴交于点N.求证：|AN|· |BM|为定值． 3 ，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB 2
2 2 x1 y1 6 ＋ 3 ＝1， 圆C上，所以 2 2 x2＋y2＝1， 6 3
1 2 2 y1＝3－2x1， 即 1 2 y2 ＝3－ x2， 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 所以3－2x13－2x2＝ x1x2，整理得x2 1＋x2＝6， 4
2
1，所以p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
t2 t2 设A 4 ，t，B 4 ，－t.
1 因为直线OA，OB的斜率之积为－ ， 2 t －t 1 所以 2· 2 ＝－ ，化简得t2＝32. t t 2 4 4 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8. ②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，
y2 0－ 2 相等的实数根，所以k1· k2 ＝ 2 . x0－2
2 x2 y 1 2 0 0 2 因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，即y 0 ＝3－ x 0 ，所 6 3 2
1 2 1－ x0 2 1 以k1k2＝ 2 ＝－ 为定值． 2 x0－2
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.理由如下： ①当M点坐标为( 2 ， 2)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然 有|OP|2＋|OQ|2＝9. ②当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 1 1 2 2 2 2 因为k1k2＝－ ，所以y1y2＝ x1x2，因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭 2 4
解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切， |k1x0－y0| 2 2 2 所以 ＝ 2 ，化简得 ( x － 2) k － 2 x y k ＋ y 0 1 0 0 1 0－2＝0， 2 1＋k1
2 2 同理(x2 0－2)k2－2x0y0k2＋y0－2＝0， 2 2 所以k1，k2是关于k的方程(x 2 － 2) k － 2 x y k ＋ y 0 0 0 0 －2＝0的两个不
2 (2)证明：设点M(4t2,4t)，N(4t 2 1 ，4t1)，Q(4t 2 ，4t2)，易知直
线MN，MQ，NQ的斜率均存在， 4t－4t1 1 则直线MN的斜率是kMN＝ 2 ＝ ， 2 4t －4t1 t＋t1
1 从而直线MN的方程是y＝ (x－4t2)＋4t，即x－(t＋t1)y t＋ t1 ＋4tt1＝0. 同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0， NQ的方程是x－(t1＋t2)y＋4t1t2＝0. 1 又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1，即t＝ ， 4t1 点B(1，－1)在直线MQ上，从而有1－(t＋t2)(－1)＋4tt2＝
＝4. 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|· |BM|＝4. 综上，|AN|· |BM|为定值．
突破点(二) 圆锥曲线中的存在性问题
02
1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问 题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条 件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的 常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不 等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学 能力和数学思想有较高的要求. 2.圆锥曲线的存在性问题主要体现在以下几个方面： 1点的存在性. 2曲线的存在性. 3探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研 究直线与圆锥曲线的位置关系.
[全练题点]
1. [考点一] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐 标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点． (1)求抛物线C的方程； 1 (2)若直线OA，OB的斜率之积为－ ，求证：直线AB过x轴 2 上一定点．
p 解：(1)因为抛物线y ＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以 ＝ 2
2 y ＝4x， B(xB，yB)，联立得 y＝kx＋b，
化简得ky2－4y＋4b＝0.
4b 根据根与系数的关系得yAyB＝ k ，因为直线OA，OB的斜率之 1 yA yB 1 积为－ ，所以x · ＝－ ，即xAxB＋2yAyB＝0， x 2 2 A B
2 y2 A yB 即 · ＋2yAyB＝0， 4 4
y0 当x0≠0时，直线PA的方程为y＝ (x－2)． x0－2 2y0 令x＝0，得yM＝－ ， x0－2
2y0 从而|BM|＝|1－yM|＝1＋x －2 . 0
y0 － 1 直线PB的方程为y＝ x＋1. x0 x0 令y＝0，得xN＝－ ， y0 － 1
x0 从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y －1 . 0
x0 2y0 1 ＋ 所以|AN|· |BM|＝2＋y －1· x0－2 0
2 x2 ＋ 4 y 0＋4x0y0－4x0－8y0＋4 0 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
4x0y0－4x0－8y0＋8 ＝ x y －x －2y ＋2 0 0 0 0
01
锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问 题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现 在解答题中.
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第四章 第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函数
(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 长l＝________cm.
[解析] (1)设此扇形的半径为r，弧长为l， 2r＋l＝6， r＝1， r＝2， 则1 解得 或 rl＝2， l＝4， l＝2. 2 l 4 l 2 从而α＝r＝ ＝4或α＝r＝ ＝1. 1 2
(2)C
(3)－675°或－315°
[ 方法技巧]
讨 论 法 等 分 象 限 角 法
α 确定n(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； α (2)写出n的范围； α (3)根据k的可能取值讨论确定n的终边所在位置 α 已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求n是第几象限角． (1)等分：将每个象限分成n等份； (2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到x轴正半轴； α (3)选答：出现数字m的区域，即为n的终边所在的象限
(2)设扇形的半径为r cm，如图． 12 2 由sin 60°＝ r ，得r＝4 3， 2π 又 α＝ ， 3 2π 8 3 所以l＝|α|· r＝ 3 ×4 3＝ 3 π(cm)．
[答案]
(1)C
8 3 (2) π 3
[方法技巧]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式 时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运 用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心 角所在三角形列方程(组)求解． Nhomakorabea [解析]
(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第
二或第三象限角． cos α 由 ＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限 tan α 角．综上可知，α为第三象限角． (2)2 rad,3 rad是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad 是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2· cos 3· tan 4<0.
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第三章 导数及其应用 Word版含解析
第三章⎪⎪⎪导数及其应用第一节导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一) 导数的运算[基本知识]1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]1．判断题(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)若(ln x )′＝1x，则⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．填空题(1)已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ，∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：3(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x(3)已知f (x )＝2sin x ＋x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：∵f (x )＝2sin x ＋x ，∴f ′(x )＝2cos x ＋1，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2cos π4＋1＝2＋1. 答案：2＋1[全析考法][典例] (1)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －3)，则其导函数f ′(x )＝( ) A ．3x 2－2x B ．3x 2－2x －5 C ．3x 2－xD ．3x 2－x －5(2)(2018·钦州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( ) A ．1－8ln 2 B ．1＋8ln 2 C ．8ln 2－1D ．－8ln 2－1(3)已知函数f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1(0<φ<π2)，若f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，则φ的值为( ) A.π3B.π6C.π4D.5π12[解析] (1)法一：因为f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝(x ＋1)(x ＋1)(x －3)，所以f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋1)]′(x －3)＋(x ＋1)(x ＋1)(x －3)′＝2(x ＋1)(x －3)＋(x ＋1)2＝3x 2－2x －5.法二：f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝x 3－x 2－5x －3，则f ′(x )＝3x 2－2x －5.(2)因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选B.(3)因为f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以f ′(x )＝cos x cos φ＋sin x sin φ＝cos(x －φ)，因为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故选A. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧] 导数运算的常见形式及其求解方法[全练题点]1．下列函数中满足f (x )＝f ′(x )的是( ) A ．f (x )＝3＋x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝0解析：选D 若f (x )＝0，则f ′(x )＝0，从而有f (x )＝f ′(x )．故选D. 2．(2018·延安模拟)设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选C 由题意得，f ′(x )＝a ，因为f ′(1)＝3，所以a ＝3，故选C.3．(2018·南宁模拟)设f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx→f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3 D.13解析：选D 因为limΔx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝1，所以lim Δx →0⎣⎡⎦⎤3×f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝1，即3f ′(x 0)＝1，所以f ′(x 0)＝13.故选D.4．(2018·桂林模拟)已知函数y ＝x cos x －sin x ，则其导函数y ′＝( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B 函数y ＝x cos x －sin x 的导函数y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.5．(2018·九江一模)已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 3－32x 2＋2ln xB ．f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x C ．f (x )＝x 3－3x 2＋2ln x D ．f (x )＝x 3＋3x 2＋2ln x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(2)＋2x ，令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4f ′(2)＋1，∴f ′(2)＝－133，∴f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x ，故选B.突破点(二) 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]1．判断题(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝0(2)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2. 答案：e 2(3)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________．解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝0[全析考法]“过点A A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．求切点坐标[例2] (2018·P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[解析]∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1，∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.[答案] D求参数值或范围[例3] (1)(2018·长沙一模)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a ＝( )A ．－2 B.12 C ．1D ．2(2)(2018·南京调研)若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在点P (s ，t )处的切线斜率为s e ，y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在点P (s ，t )处的切线斜率为a s ，由题意知，s e ＝a s ，且12e s 2＝a ln s ，解得ln s ＝12，s 2＝e ，故a ＝1.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，故1x ＋a ＝2，即a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] (1)C (2)(－∞，2)[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．[全练题点]1.[考点一]曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.2.[考点一]曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.3.[考点二]已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.4.[考点三](2018·东城期末)若直线y ＝－x ＋2与曲线y ＝－e x＋a相切，则a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4解析：选A 由于y ′＝(－e x ＋a )′＝－e x ＋a ，令－e x ＋a ＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a ，所以切点为(－a ，－1)，进而有－(－a )＋2＝－1，故a ＝－3.5.[考点三](2018·西安一模)若曲线y ＝e x －ae x (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，则a ＝( )A.112 B.13 C.34D ．3解析：选C y ′＝e x ＋a e x ，∵y ＝e x －aex 在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，∴e x ＋a e x ≥3，由a >0知，e x ＋a ex ≥2a ⎝⎛⎭⎫当且仅当e x ＝a e x 时等号成立，故2a ＝3，故a ＝34，故选C.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋ 1)－x2x 2＋1.根据题意，有⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以当x>0时，f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－1[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一)导数的运算1．(2018·泉州质检)设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，则f′(x)＝()A．3x2＋3kx＋k2B．x2＋2kx＋2k2C．3x2＋6kx＋2k2D．3x2＋6kx＋k2解析：选C法一：f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)＋x[(x＋k)(x＋2k)]′＝(x＋k)·(x＋2k)＋x(x＋2k)＋x(x＋k)＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.法二：因为f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)＝x3＋3kx2＋2k2x，所以f′(x)＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.2．(2018·泰安一模)给出下列结论：①若y＝log2x，则y′＝1x ln 2；②若y＝－1x，则y′＝12x x；③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；④若y＝ax(a>0)，则y′＝a x ln a．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D根据求导公式可知①正确；若y＝－1x＝－x-12，则y′＝12x-32＝12x x，所以②正确；若f(x)＝1x2，则f′(x)＝－2x－3，所以f′(3)＝－227，所以③正确；若y＝ax(a>0)，则y′＝a x ln a，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.3．若函数y＝x m的导函数为y′＝6x5，则m＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C因为y＝x m，所以y′＝mx m－1，与y′＝6x5相比较，可得m＝6.4．已知函数f(x)＝xe x(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝()A.1＋x e xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x ，故选B.5．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )<0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(0,2)∪(－∞，－1)D ．(2，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ，由f ′(x )＝2x 2－2x －4x<0，得0<x <2，∴f ′(x )<0的解集为(0,2)，故选B. 6．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝a e x ＋x ，若1<f ′(0)<2，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选B 根据题意，f (x )＝a e x ＋x ，则f ′(x )＝(a e x )′＋x ′＝a e x ＋1，则f ′(0)＝a ＋1，若1<f ′(0)<2，则1<a ＋1<2，解得0<a <1，所以实数a 的取值范围为(0,1)．故选B.对点练(二) 导数的几何意义1．(2018·安徽八校联考)函数f (x )＝tan x 2在⎣⎡⎦⎤π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线的倾斜角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选B f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2cos x 2′＝12cos 2x 2，得切线斜率k ＝tan α＝f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，故α＝π4，选B.2．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．3．(2018·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C 设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)，所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．4．(2018·重庆一模)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1的图象相切，则实数a的值为( )A ．－26或83B ．－1或3C ．8或－83D ．－8或83解析：选D 令f ′(x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1或x ＝3，∵f (－1)＝83，f (3)＝－8，∴a ＝83或－8.5．(2018·临川一模)函数f (x )＝x ＋ln xx的图象在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12B.14C.32D.54解析：选B 因为f (x )＝x ＋ln xx ，f ′(x )＝1＋1－ln x x 2，所以f (1)＝1，f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)．令x ＝0，可得y ＝－1；令y ＝0，可得x ＝12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选B.6．(2018·成都诊断)若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D 由题意知，函数y ＝ln x ＋ax 2的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x ≥0恒成立，即2ax 2＋1≥0，a ≥－12x 2恒成立，又在定义域内，－12x 2∈(－∞，0)，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)．7．(2017·柳州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′(x )e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －be x，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(0)＝－2，F (0)＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min＝0.8．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝ln x ，则下列说法中正确的为( ) A ．f (x )，g (x )的图象在点(1,0)处有公切线B ．存在f (x )的图象的某条切线与g (x )的图象的某条切线平行C ．f (x )，g (x )的图象有且只有一个交点D ．f (x )，g (x )的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A ，f (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝2x －2，函数g (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，故A 错误；对于B ，函数g (x )的图象在(1,0)处的切线为y ＝x －1，设函数f (x )的图象在点(a ，b )处的切线与y ＝x －1平行，则f ′(a )＝2a ＝1，a ＝12，故b ＝⎝⎛⎭⎫122－1＝－34，即g (x )的图象在(1,0)处的切线与f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫12，－34处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C ，D 错误．故选B.9．(2018·包头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(1)＝3＋a ，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －a －2＝(3＋a )(x －1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a －2＝(3＋a )(2－1)，解得a ＝1.答案：1[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴f (1)＝2.∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4≤x ≤－1时，h ′(x )≥0； 当－1＜x ≤3时，h ′(x )≤0； 当3＜x ≤4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，∴h (x )的最大值为m ＋53，∴m ＋53≤0，即m ≤－53.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－53. 2．(2018·青岛期末)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋bx2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．(3)证明：不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．(3)证明：设存在直线与曲线C 同时切于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 31＋2x 21，而点B (x 2，y 2)处的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 32＋2x 22. 由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，即x 1＋x 2＝4；又有－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，即－23(x 1－x 2)·(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，则－13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，则x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)×4＋x 22－12＝0，即x 22－4x 2＋4＝0，解得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2，这与x 1≠x 2矛盾． 所以不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线．第二节导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间；2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[基本知识]1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．[基本能力]1．判断题(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()答案：(1)×(2)√(3)×2．填空题(1)函数f(x)＝e x－x的减区间为________．答案：(－∞，0)(2)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．答案：单调递增(3)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案：3[全析考法][例1](2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .讨论f (x )的单调性． [解]f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋ 2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1， 2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜ 2a＜1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， 2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法研究函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] (2018·山东德州期中)已知函数f (x )＝13x 3－(2m ＋1)x 2＋3m (m ＋2)x ＋1，其中m为实数．(1)当m ＝－1时，求函数f (x )在[－4,4]上的最大值和最小值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当m ＝－1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)．当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－3<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴当x ＝－3时，f (x )极大值＝10； 当x ＝1时，f (x )极小值＝－23.又∵f (－4)＝233，f (4)＝793，∴函数f (x )在[－4,4]上的最大值为793，最小值为－23.(2)f ′(x )＝x 2－2(2m ＋1)x ＋3m (m ＋2) ＝(x －3m )(x －m －2)．当3m ＝m ＋2，即m ＝1时，f ′(x )＝(x －3)2≥0， ∴f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当3m >m ＋2，即m >1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <m ＋2或x >3m ， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)．当3m <m ＋2，即m <1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <3m 或x >m ＋2， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)． 综上所述：当m ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当m >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)； 当m <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法[全练题点]1.[考点二](2018·江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )ex 的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.2.[考点二](2018·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D. 3.[考点一]已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．4.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．[全析考法]已知函数的单调性求参数的取值范围[例1] (1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]． (2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a ＝3.[方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0.(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．比较大小或解不等式[例2] (1)(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1) 的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定(2)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)设g (x )＝f (x )e x， 则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)ex 2， 所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)A (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′.[全练题点]1.[考点一]若函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，则( ) A ．a ≥3 B ．a ＝3 C ．a ≤3D ．0<a <3解析：选A 因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在[0,2]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥32x 在(0,2]上恒成立．因为32x ≤3，所以a ≥3.综上，a ≥3. 2.[考点一]已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－1，13 解析：选C 因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x ．令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x∈[－1,1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．3.[考点二]对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4.[考点二](2018·江西赣州联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x .由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．5.[考点一](2018·四川成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)6.[考点一](2018·辽宁大连双基测试)已知函数f (x )＝ln x ＋axx ＋1(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2x 相切，求a 的值．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝(x ＋1)2＋axx (x ＋1)2.∵函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，∴f ′(x )≥0在(0,4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax ≥0，即a ≥－x 2＋2x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x －2在(0,4)上恒成立． ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ∈[－4，＋∞)．(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋a (x 0＋1)2＝2，①且2x 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1.② 由①得a ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 0(x 0＋1)2，③ 代入②，得2x 0＝ln x 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即ln x 0＋2x 20－x 0－1＝0.令F (x )＝ln x ＋2x 2－x －1，x >0，则 F ′(x )＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x >0， ∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵F (1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x . 因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立， 即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)． [课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1.(2018·福建龙岩期中)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－2) B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题图可以看出－2,3是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3可化为y ＝log 2(x 2－x －6)．解x 2－x －6>0得x <－2或x >3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图象开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A.2．(2017·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，故选B. 3．(2018·湖北荆州质检)函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 对点练(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题1．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：选B f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意知，f ′(x )≤0在R 上恒成立，则Δ＝(2a )2－4×(－1)×(－3)≤0恒成立，解得－3≤a ≤ 3.2．(2018·河北正定中学月考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选B 由f (x )＝f (2－x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称．根据题意知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以f (3)＝f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .故选B.3．(2018·河北唐山期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)。
2019版高考数学理科课标A版一轮复习课件：第九章 平面
例2 如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足 DM
1 DP . = 2
面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意
义. 2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程, 然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想 (1)函数与方程的思想:求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示 为动点坐标x、y的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形” 的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问 题时又需要相互转化.
围对动点坐标取值范围的影响.
6.交轨法:求两条动曲线(含直线)的交点的轨迹方程时,可引入参数t,用t 分别表示两条动曲线的方程,联立它们消去t便得交点的轨迹方程,此方 法称为交轨法. 例1 (2017广东七校联考,10)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过定点 A(0,1),B(0,-1),且以该圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是 ( C )
(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形; (2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB
为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
解题导引
解析 (1)设M(x,y),则D(x,0),
1 DM = DP 知P(x,2y), 由 2
(1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动;
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第九章 第六节 抛物线
[全练题点]
1. [考点一] 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于 ―→ B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6， AF ＝ ―→ 2 FB ，则|BC|＝ A．8 13 B. 2 C． 6 9 D. 2 ( )
―→ ―→ 解析：因为|AF|＝6， AF ＝2 FB ，所以|BF|＝3，设|CF|＝ x 6－x 3 x，则由抛物线的定义可得 ＝ ，解得x＝ ，所以|BC|＝ 3 9 2 9 |CF|＋|BF|＝ . 2
标准 方程 范围 焦点坐标 准线 方程 离心率 焦半径
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p＞0) (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 x≤0，y∈R
p － ，0 2
y≥0，x∈R p 0， 2 p y ＝－ ________ 2 e＝1
[方法技巧]
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物 线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转 化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准 线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
焦点弦问题
焦点弦的常用结论 以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的 一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论： p2 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2； 4 p (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝ ，|BF|＝ 1－cos θ p ； 1＋cos θ
2p (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (其中θ为直线AB的倾斜角)，抛 sin θ 物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； p2 (4)S△AOB＝ (其中θ为直线AB的倾斜角)； 2sin θ 1 1 2 (5) ＋ ＝ 为定值； |AF| |BF| p (6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切； (8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1 ＝90°； (9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四十八)圆锥曲线
=2.课时达标检测(四十八) 圆锥曲线中的最值、范围、证明 问题［一般难度题一一全员必做］1 •已知椭圆E :拿+ 斧1(a>b>0)的一个焦点为F 2(1,0) ，且该椭圆过定点 M 1,三2 .(1) 求椭圆E 的标准方程；■ ■ ------------------------------------ ----------⑵设点Q(2,0)，过点F 2作直线I 与椭圆E 交于A , B 两点，且F 2A = AF 2B ,氏［—2, —1］,以QA , QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值.1 1解：(1)由题易知c = 1, ~2+2= 1,a 2b 又 a 2= b 2+c 2, 解得 b 2= 1, a 2= 2,x 2故椭圆E 的标准方程为耸+ y 2= 1.x = ky + 1,(2) 设直线 I : x = ky + 1，由 x 2 2y +y 2= 1得(k 2+ 2)y 2 + 2ky — 1 = 0, △= 4k 2+ 4(k 2+ 2)= 8(k 2+ 1)>0. 设 A(x1, y 1), B(X2, y 2),E r r ”口 一 2k 一 1 则可得 y 1+ y 2= k 2+ 2, y 1y 2= k 2+ 2. - > --- > ---- >QC = QA + QB =(X 1 + x 2 — 4,4 k 2+ 1 — 2kk 2+ 2 , k 2^ ,关.由 F 2A = ?F 2B 可得 y 1=入？，= £,：=彳卜1丫2工 0). 1 y 1 y 2 y 1+ y 2 2 — 2y 1y 2— 6k 2— 4从而入 +)=二+二==i 2丄入 y 2 y 1 y 1y 2k 2+ 21 5 5 — 6k 2— 4 2由入€ [ — 2, — 1]得 心~入€ — 2，一 2，从而一 ~k ?+ 2三一2,解得O W k < 令 t = k ^++2,则 t € 176, 2 , •••1商=8t 2— 28t + 16= 8 t — 4 2— 1，二当 t = 2时,|QC|miny 1+ y 2)•- |QC |2= |QA + QI B |2= 16—皋 + 疋+亍由此可知,l -®2的大小与k 2的取值有2. (2018河南洛阳统考)已知抛物线 C : x 2= 2py(p>0)，过焦点F 的直线交C 于A , B 两点，D 是抛物线的准线I 与y 轴的交点.(1) 若AB // I ，且△ ABD 的面积为1,求抛物线的方程；(2) 设M 为AB 的中点，过 M 作I 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切. 解：(1) •/ AB // I , •••|FD| = p , |AB|= 2p.「. S ^ ABD = p 2= 1. ••• p = 1，故抛物线C 的方程为x 2= 2y.px 2x 2(2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y = kx + ；, A x 1,命,B x 2,命.y = kx + p ,由 2消去y 整理得，x 2— 2kpx — p 2= 0.x 2= 2py2…X 1 + X 2= 2kp , X 1X 2=— p . • M(kp , k 2p + 2), N kp , — p .又 x 2= 2py ,「. y = x .p•抛物线x 2= 2py 在点A 处的切线斜率k =—.p •直线AN 与抛物线相切.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线y = kx + 1与曲线C 交于A , B 两点，求△ OAB 面积的取值范围.一y 2 x 2解：(1)设椭圆的标准方程为 十+ ~2= 1(a>b>0),a b2a = 4,由条件知， e = C =呼,解得a = 2, c =, 3, b = 1,a 2a 2=b 2 +c 2,故椭圆C 的方程为+ x 2= 1.4 (2)设 A(x 1, y 1), B(X2, y 2),2x. + p2p 2 kAN =』-= X 1 — kp坯+ p 2p 2 X 1 + X 2 X 1 — — x 2+ p 2pX 1 — X 22X 2— X 1X 2 2p X 1 — X 2~2~X 13. (2018合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1, F 2的距离之和为 4,离心率为_3 2 .'=1 , 4得(k 2+ 4)x 2+ 2kx — 3= 0,故 X 1+ X 2=—皋，X 1X 2=—皋,设厶OAB 的面积为S ,(1)求椭圆C 的方程;⑵若1W 冶2,求厶ABT解: (1)••飞="22 , c = 1, 即椭圆C 的方程为£ + y 2= 1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立. ②设直线 I : x = my + 1, A(X i , y i ), B(x 2, y 2),X 2 + 2y 2— 2= 0, 联立得(m 2+ 2)y 2+ 2my — 1 = 0,x = my + 1 “ —2m — 1则 y1+V 2=齐2, V1V 2=,x 2+ 由y = kx + 1由 X1X 2=— R2+ 4<0，知 S = 1X |X 1 — x 2| =X 1+ X 2 — 4X 1X 2= 2k 2+ 3 k 2 + 4 令 k 2+ 3 = t ,知 t > 3,••• S = 21对函数 y = t + -(t > 3)，知 y ' 1 t 2— 1 =1 —孑=-j^>0 ,• y = t +1 在 t € [3, + m )上单调递增，• t + ~》10,t t 3 •。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第九章 解析几何 Word版含解析
第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]1．判断题(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．填空题(1)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－2(2)如图中直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析：设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1，即k 2>k 3>k 1.答案：k 2>k 3>k 1(3)已知直线l 1：x ＝－2，l 2：y ＝12，则直线l 1与l 2的位置关系是________．答案：垂直(4)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得a a －3＝－2，解得a ＝2.答案：2[全析考法]1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2.tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16(2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法技巧]已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[全练题点]1.[考点一]设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 2.[考点一]直线l 过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[0,1] C ．[0,2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 因为直线过点A (1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l 过A 且平行于x 轴时，斜率取得最小值，k min ＝0；当直线l 过A (1,2)，O (0,0)时，斜率取得最大值，k max ＝2，所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．故选C.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：选A 由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0.解得n ＝－12.故选A.5.[考点二](2018·温州五校联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23.答案：23突破点(二) 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式[基本能力]1．判断题(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)直线l 经过点(0,1)且倾斜角为60°，则直线l 的方程为________________． 解析：∵k ＝tan 60°＝3，又直线l 过点(0,1)， ∴由点斜式方程得，y －1＝3(x －0)． 即3x －y ＋1＝0. 答案：3x －y ＋1＝0(2)经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2.答案：x＝2(3)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝____________. 解析：显然a ＝0不符合题意，当a ≠0时，令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－2[全析考法]求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程； (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．[解析] (1)由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1， 且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.(2)易求定点A (0,0)，B (1,3)． 当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ， 所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.[答案] (1)12 (2)5[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[全练题点]1.[考点一]直线3x －y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( )A ．x ＋3y －3＝0B ．x ＋3y －1＝0C ．3x －y －3＝0D ．x －3y ＋3＝0解析：选B 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，得y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.2.[考点二]已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8B ．2 2 C. 2 D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3.[考点二]当k >0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．解析：直线2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k ，又k ＋2k≥2k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为24. 答案：244.[考点二](2018·苏北四市模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：255.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离[基本能力]1．判断题(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．填空题(1)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，x －2y ＋4＝0，可解得⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝95.所以两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，95. 答案：⎝⎛⎭⎫－25，95 (2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________． 解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5.答案： 5(3)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 答案：2－1(4)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2[全析考法]交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.[答案] (1)B (2)23[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为_____________________________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0[易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等．对称问题1若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得{ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解2．轴对称问题的两种类型及求解方法若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2) (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[方法技巧]解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[全练题点]1.[考点一]过点⎝⎛⎭⎫65，－25且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －⎝⎛⎭⎫－25＝－2⎝⎛⎭⎫x －65，即2x ＋y －2＝0.故选C. 2.[考点三]点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标是( )A ．(5,2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)解析：选C 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ；而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，而不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.3.[考点二]若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 B. 2 C ．3 2D ．2 3解析：选C 点M 在直线x ＋y －6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O (0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝3 2.故选C.4.[考点二]已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：选C设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.5.[考点二]已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－796.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，则其可化为(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋(4－2λ)＝0，因为直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.则直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b .∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋b a ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎣⎡⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)、(2)可得：1－22<b <12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0垂直．答案：垂直4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞对点练(二) 直线的方程1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x ＝2.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋yb ＝1.因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135° B ．45° C ．30°D ．60°解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c －1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋113，∴c ＋2＝±4，∴c ＋2a ＝±1. 答案：±16.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43，∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.第二节 圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程； 2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一) 圆的方程[基本知识]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.[基本能力]1．判断题(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．填空题(1)圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心为________，半径为________． 解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：(2，－4) 5(2)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝2(3)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.答案：(－1,1)[全析考法]1．求圆的方程的两种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．[解析](1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即(a－5)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)法一：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.法二：由题易知AB ∥CD ，所以圆的一条对称轴既是AB 的垂直平分线又是CD 的垂直平分线，而AB 的垂直平分线方程为x ＝2，故－3＋a2＝2，解得a ＝7.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)7 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [例2] (2018·河南六市模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)， 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. [答案] D[全练题点]1.[考点一]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2.[考点一](2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________________．解析：圆心(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(0，－1)，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.答案：x 2＋(y ＋1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一、二](2018·湖北襄阳四中模拟)已知点C (－1,0)，以C 为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)如果圆C 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值． 解：(1)因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为半径长．由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－1－3|1＋3＝2，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心C ，所以－m ＋1＝0，解得m ＝1.突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题 (对应学生用书P148)圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.[全析考法]与圆有关的轨迹问题[例1] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在R t △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法[例2] (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[全练题点]1.[考点二]已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－33 2.[考点二]设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－(x －1)2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋(－2)2＝5＞2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.答案：5－2。
【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课件 第九章 平面解析几何 专题探究课 圆锥
则 y
18－8t2 xM＝ 2 ， 4t ＋ 9 12t . M＝ 2 4t ＋9
8t2－2 xN＝ 2 ， 4t ＋1 同理得到 (10 分) 4t yN＝ 2 . 4t ＋1
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上， 不妨设这个定点为Q(m，0)，
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
x2 y2 【例 1】(13 分)(2015· 石家庄模拟)椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离 a b 3 心率为 ，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动 点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
x2 y2 【例 1】(13 分)(2015· 石家庄模拟)椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离 a b 3 心率为 ，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动 点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
热点一 圆锥曲线中的定点、定值 问题
圆锥曲线中的最值、范围问 热点二 题
热点三
圆锥曲线中的探索性问题
热点突破
热点一
圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关
的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标
等的定值问题．
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
最新-2018届高三数学一轮复习 圆锥曲线综合问题课件 理 新人教B版 精品
－ 解得 y1＝
33ab22＋c＋b2 2a，y2＝－
3b2c－2a 3a2＋b2 .
因为A→F＝2F→B，所以－y1＝2y2.
即
33ba22＋c＋b22 a＝2·－
3b2c－2a 3a2＋b2 .
得离心率 e＝ac＝23.
(2)因为|AB|＝ 1＋13|y2－y1|，所以 23·34a23＋abb22＝145. 由ac＝23得 b＝ 35a.所以54a＝145，得 a＝3，b＝ 5. 椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1.
解析：抛物线的焦点为 F(0，p2)，过焦点斜率为 1 的直 线方程为 y＝x＋p2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2>x1)，由题意 可知 y1>0，y2>0.
由y＝x＋p2 消去 y 得，x2－2px－p2＝0.由韦达定理 x2＝2py
得：x1＋x2＝2p，x1x2＝－p2. 所以梯形 ABCD 的面积为 S＝12(y1＋y2)(x2－x1)
行，方程化为2x＝5.故此时方程(*)只有一个实数解，即直 线与双曲线相交，且只有一个公共点．如图，交点在双曲 线右支上．
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－ k2－4)＝4(4－3k2)．
①41－ －3k2k≠2>00，，
即－2
3
32 <k<
3
3且
k≠±1
• 已知椭圆的焦点为F1(－3,0)、F2(3,0)，且与直线x－y＋9 ＝0有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为________．
解析：解法 1：设椭圆方程为ax22＋a2y－2 9＝1，与直线 x －y＋9＝0 联立并消去 y 得：
(2a2－9)x2＋18a2x＋90a2－a4＝0， 根据题意，Δ＝(18a2)2－4(2a2－9)(90a2－a4)≥0， 解得 a2≥45 或 a2≤9. ∵a2>9，∴a2≥45，∴amin＝3 5. 此时椭圆的方程为4x52 ＋3y62 ＝1.
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性
[典例]
(2016· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的
x＋a，－1≤x＜0， 函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝2 其中 a∈ －x，0≤x＜1， 5 5 9 R .若 f －2＝f 2，则 f(5a)的值是________． [解析] 因为函数 f(x)的周期为 2，结合在[－1,1)上 f(x)的 解析式，得 5 1 1 1 F －2 ＝f －2－2 ＝f －2 ＝－ ＋a， 2 9 1 2 1 1 1 F 2 ＝f 4＋2 ＝f 2 ＝ 5－2 ＝ . 10 5 9 1 1 3 由 f －2＝f 2，得－ ＋a＝ ，解得 a＝ . 2 10 5 3 2 [答案] －2 所以 f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋ ＝－ . 5 5 5
判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法
(2)图象法 函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数奇偶性的应用
[例 2] (1)(2018· 湖北武汉十校联考)若定义在 R 上的偶 )
函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ex，则 g(x)＝( A．e －e
x
－x
1 x －x B. (e ＋e ) 2 1 x －x D. (e －e ) 2
(3)－1
[方法技巧]
利用奇偶性解题的类型及方法 (1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上， 进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇 函数满足 f(－x)＝－f(x)或偶函数满足 f(－x)＝f(x)列等式，根 据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能 够确定奇函数的定义域中包含 0， 可以根据 f(0)＝0 列式求解， 若不能确定则不可用此法．
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第六章 第三节 等比数列及其前n项和
[解析]
a1＝－1， q＝－2，
a1q4＝16， a1· (1) 由 题 意 ， 得 a1q＝2，
a1＝1， 解得 q＝2，
或
(舍去)，故选 C.
1 (2)①当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3 当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即 6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1. 1 ∴数列{an}是首项为 ，公比为 3 的等比数列，其通项公式为 3 1 an＝ ×3n－1＝3n－2. 3 1 1n－2 1 ②∵bn＝a ＝ 3 ， ∴{bn}是首项为 3， 公比为 的等比数列， 3 n 1n 31－3 1n 9 ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝ 1－3 . [答案] (1)C 1 2 1－ 3
第三节Βιβλιοθήκη 等比数列及 其前n项和本节主要包括 3 个知识点： 1.等比数列基本量的计算； 2.等比数列的性质； 3.等比数列的判定与证明.
01 02
03 04
突破点(一) 等比数列基本量的计算
突破点(二) 等比数列的性质
突破点(三) 等比数列的判定与证明
全国卷5年真题集中演练——明规律
05
课时达标检测
[典例]
(1)(2018· 资阳一诊)已知各项均为正数的等比数列{an} ( )
满足 a1a5＝16，a2＝2，则公比 q＝ A．4 C．2 5 B． 2 1 D． 2
(2)(2018· 石家庄模拟)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝ 9an(n∈N *)． ①求数列{an}的通项公式； 1 ②若数列{bn}满足 bn＝a ，求数列{bn}前 n 项和 Tn. n