空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF() A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.异面直线所成角[典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，1111的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝5 4，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.[活学活用]如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝22AD时，求异面直线AD和BC所成的角．解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．∴EG∥BC，且EG＝12BC；FG∥AD，且FG＝12AD.又AD＝BC，∴EG＝FG＝12AD.∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．在△EFG中，∵EG＝FG＝12AD，又EF＝22AD，∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.层级一学业水平达标1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：选D因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.4．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.层级二应试能力达标1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.2．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD 1，AC ，因为CD 1∥BA 1，所以CP 与BA 1所成的角就是CP 与CD 1所成的角，即θ＝∠D 1CP .当点P 从D 1向A 运动时，∠D 1CP 从0°增大到60°，但当点P 与D 1重合时，CP ∥BA 1，与CP 与BA 1为异面直线矛盾，所以异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为__________．解析：连接BC 1，AD 1，AB 1，则EF 为△BCC 1的中位线，∴EF ∥BC 1.又∵AB 綊CD 綊C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．∴BC 1∥AD 1.∴EF ∥AD 1.∴∠AD 1B 1为异面直线EF 和B 1D 1所成的角或其补角．在△AB 1D 1中，易知AB 1＝B 1D 1＝AD 1，∴△AB 1D 1为正三角形，∴∠AD 1B 1＝60°.∴EF 与B 1D 1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于________．解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5. 答案：57．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，AD ， 由四棱柱的性质知BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝a ，∵AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，且AB ＝AC ＝AA 1，∴A 1B ＝a ，BD 1＝AC 1＝2AA 1·cos 30°＝3a .又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ，∴A 1D 1＝2a ，∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°， ∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S -ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ，∴SF⊥AB，且SF＝3 2a.同理可得CF⊥AB，且CF＝3 2a.在△SFC中，SF＝CF＝32a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝SF2－SE2＝2 2a.在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝12SA＝a2.在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝12BC＝a2.在△EGF中，FG2＋GE2＝a22＝FE2，∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.。